高二数学下学期期中测试试题 理试题

2021-2021学年高二数学下学期期中测试试题理〔扫描版〕
2021—2021学年度第二学期期中测试卷
高二数学(理科甲卷)参考答案及评分意见
一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D A A B D A C B C D 二、填空题〔每一小题5分，一共20分〕
13．
3
2a 14．
22
3
15．316．①②④
三、解答题
17.(1)结论：BC∥l，
因为AD∥BC，BC平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.
又因为BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，所以BC∥l.
(2)结论：MN∥平面PAD.
设Q为CD的中点，如下图，连接NQ，MQ，那么NQ∥PD，MQ∥AD.
又因为NQ∩MQ＝Q，
PD∩AD＝D，
所以平面MNQ∥平面PAD.
又因为MN⊂平面MNQ，
所以MN∥平面PAD.
18．解析：
〔1〕由该几何体的三视图知AC ⊥面BCED ，且EC=BC=AC=4，BD=a ，
体积1(4)4416,2
32a V a +=⋅==； ………………4分
〔2〕在ΔRT ABD 中，2AB =，2BD =，6AD =，
过B 作AD 的垂线BH ，垂足为H ，易得
42
3BH =
，
该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为
423BH =
，
所以圆锥底面周长为
4282233π
C π==42和2，
故该旋转体的外表积为182(3282)42)233ππ
S +=+=。

………………12分
19．解析：(1)证明：由可得BD ＝22， 又AD ＝2，CD ＝4，AB ＝2，
那么BC ＝22，那么BD2＋BC2＝16＝DC2， 所以BD ⊥BC.
因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 故PD ⊥BC. 又BD∩PD ＝D ，
所以BC ⊥平面BDP . ………………6分 (2)如图，过M 作MG ⊥DC 交DC 于点G.
由PD ⊥DC ，M 是PC 中点，知MG 是△DCP 的中位线，因此，MG ∥PD ，MG ＝1
2PD ， 又PD ⊥平面ABCD ， 所以MG ⊥平面BDC.
又tan ∠PCD ＝1
2， 得PD ＝2，MG ＝1
2PD ＝1.
所以VM －BDP ＝VP －BCD －VM －BCD
＝13×12×22×22×2－13×12×22×22×1＝4
3.………………12分 20．〔1〕由''//A B AB 得
'''''61
153PA A B PO PA PA AB PO AB ==⇒== '5;18PA AB ∴==
由
222215(92)37
PO PA AO =-=-=
22'372733OO PO ∴=
=⨯=221
(36183618)273V ∴=++⨯⋅台
1
4682731273=⨯⨯=〔cm3〕…………………………6分
〔2〕作轴截面图如下，设球心为E ，半径为R ，由22
15912PH PQ ==-=,18HQ AB ==
2
2
12937po =-=，那么1
()2PHQ S PH PQ HQ R
∆=++⋅
11
1837(121218)22R ∴⨯⨯=++⋅
977R ∴=,232447S R ππ
∴==球表(cm2)…………12分
21．解析 (1)方法一 ∵AD ∥BC ，BC ＝1
2AD ，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 为平行四边形．∴CD ∥BQ. …………1分 ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD.
又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴BQ ⊥平面PAD. …………3分
∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD. …………4分 方法二 ∵AD ∥BC ，BC ＝1
2AD ，Q 为AD 的中点， ∴BC ∥DQ 且BC ＝DQ.
∴四边形BCDQ 为平行四边形，∴CD ∥BQ. …………1分 ∵∠ADC ＝90°，∴∠AQB ＝90°，即QB ⊥AD.
∵PA ＝PD ，∴PQ ⊥AD. …………2分
又PQ∩BQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PBQ. …………3分 ∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PQB ⊥平面PAD. …………4分 (2)∵PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD.
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ ⊥平面ABCD. …………5分
如图，以Q 为原点，QA ，QB ，QP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，那么Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，3)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，M(－12，32，3
2)．……6分
∴AP →＝(－1,0，3)，BM →
＝(－12，－32，3
2)． 设异面直线AP 与BM 所成角为θ，
那么cosθ＝|cos 〈AP →，BM →
〉|＝|AP →·BM →
|AP →||BM →||＝27
7.…………7分
∴异面直线AP 与BM 所成角的余弦值为27
7.…………8分 (3)由(2)知，平面BQC 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，…………9分
连接QC ，由P ，M ，C 三点一共线，得QM →＝λQP →＋(1－λ)QC →
，且0≤λ≤1. ∴QM →
＝(λ－1，3(1－λ)，3λ)．…………10分 又QB →
＝(0，3，0)，
设平面MBQ 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，那么⎩⎪⎨⎪
⎧
m·QM →＝0，
m·QB →
＝0.
即⎩⎨⎧
x λ－1＋31－λy ＋3λz ＝0，
3y ＝0.
令x ＝3，得y ＝0，z ＝1－λ
λ.
∴平面MBQ 的一个法向量为m ＝(3，0，1－λ
λ)．…………11分 ∵二面角M －BQ －C 的大小为30°，∴cos30°＝|n·m |n||m||＝3
2. ∴λ＝14.∴QM ＝39
4.…………12分
22．解析 (1)因为等边三角形ABC 的边长为3，且AD DB ＝CE EA ＝1
2， △ADE 中，∠DAE ＝60°，
由余弦定理，得DE ＝12＋22－2×1×2×cos60°＝ 3. 因为AD2＋DE2＝AE2，
所以AD ⊥DE ，折叠后有A1D ⊥DE. …………3分 因为二面角A1－DE －B 是直二面角，
所以平面A1DE ⊥平面BCED.又平面A1DE∩平面BCED ＝DE ，A1D ⊂平面A1DE ，A1D ⊥DE ， 所以A1D ⊥平面BCED. …………6分
(2)假设在线段BC 上存在点P ，使直线PA1与平面A1BD 所成的角为60°. 如图，作PH ⊥BD 于点H ，连接A1H ，A1P .
方法一 由(1)知A1D ⊥平面BCED ，又PH ⊂平面BCED ， 所以A1D ⊥PH.
又A1D∩BD ＝D ，所以PH ⊥平面A1BD.
所以∠PA1H 是直线PA1与平面A1BD 所成的角．…………8分
设PB ＝x(0≤x≤3)，那么BH ＝x 2，PH ＝3x
2. 又在Rt △PA1H 中，∠PA1H ＝60°，所以A1H ＝x
2. 在Rt △A1DH 中，A1D ＝1，DH ＝2－x
2， 由A1D2＋DH2＝A1H2，得12＋(2－x 2)2＝(x
2)2. 解得x ＝5
2，满足0≤x≤3，符合题意．
所以在线段BC 上存在点P ，使直线PA1与平面A1BD 所成的角为60°， 此时PB ＝5
2.…………12分 方法二
由(1)可知ED ⊥DB ，A1D ⊥平面BCED.
以D 为坐标原点，以射线DB ，DE ，DA1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴，建立空间直角坐 标系D －xyz ，如下图．
设PB ＝2a(0≤2a≤3)，那么BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a. 所以A1(0,0,1)，P(2－a ，3a,0)，E(0，3，0)． 所以PA1→
＝(a －2，－3a,1)．
因为ED ⊥平面A1BD ，所以平面A1BD 的一个 法向量为DE →
＝(0，3，0)．…………9分 因为直线PA1与平面A1BD 所成的角为60°， 所以sin60°＝|PA1→·DE →||PA1→||DE →|＝3a 4a2－4a ＋5×3
＝3
2.
解得a ＝54，即PB ＝2a ＝5
2，满足0≤2a≤3，符合题意．
所以在线段BC 上存在点P ，使直线PA1与平面A1BD 所成的角为60°， 此时PB ＝5
2.…………12分
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

好男儿踌躇满志，你将如愿;真巾帼灿烂扬眉，我要成功。

含泪播种的人一定能含笑收获。

贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

功崇惟志，业广为勤。

耕耘今天，收获明天。

成功，要靠辛勤与汗水，也要靠技巧与方法。

常说口里顺，常做手不笨。

不要自卑，你不比别人笨。

不要自满，别人不比你笨。

高三某班，青春无限，超越梦想，勇于争先。

敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。