北京市石景山区2018-2019学年九年级上期末数学试卷(Word版,含答案解析)

2018-2019学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意
的选项只有一个、
1、如果3x=4y（y≠0）,那么下列比例式中正确的是（）
A、B、C、D、
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,,AC=2,则tanA的值为（）
A、B、2 C、D、
3、如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上、若∠ACD=25°,则∠BOD的度数
为（）
A、100°
B、120°
C、130°
D、150°
4、如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC、若⊙O的半径为4,则弦AB的长
为（）
A、B、C、D、
5、如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中,a＞0,b＜0,c＜0,那么这个二次函
数的图象可能是（）
A、B、
C、D、
6、若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是
（）
A、m＞1
B、m＜1
C、m＞1且m≠0
D、m＜1且m≠0
7、如图,将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象,其中原
函数图象上的两点A（1,m）、B（4,n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′、若阴影部分的面积为6,则新函数的表达式为（）
A、B、
C、D、
8、如图,点M为▱ABCD的边AB上一动点,过点M作直线l垂直于AB,且直线
l与▱ABCD的另一边交于点N、当点M从A→B匀速运动时,设点M的运动时间为t,△AMN的面积为S,能大致反映S与t函数关系的图象是（）
A 、
B 、
C 、
D 、
二、填空题（本题共16分,每小题2分）
9、如果两个相似三角形的周长比为2:3,那么这两个相似三角形的面积比
为 、
10、如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上、若∠ADE=∠
C,AB=6,AC=4,AD=2,则EC= 、
11、如图,扇形的圆心角∠AOB=60°,半径为3cm 、若点C 、D 是的三等分点,
则图中所有阴影部分的面积之和是 cm 2、
12、“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅的平屋顶改建成坡屋
顶,并对外立面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为、如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图、根
据图中的数据,如果要使坡面BC 的坡度达到1:1.2,那么立柱AC 的长为 米、
13、如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点
A和点B、当y1＞y2＞0时,x的取值范围是、
14、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰
好经过AB的中点D,则AC的长等于、
15、如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过若干次图形的变化（平移、
轴对称、旋转）得到△DEF,写出一种由△ABC得到△DEF的过程:、
16、石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化,拟从点A出
发,将△ABC分成面积相等的三个三角形,栽种三种不同的花草、
下面是小美的设计（如图2）、
作法:（1）作射线BM；
（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；
（3）连接B3C,分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C,交BC于点C1、C2；
（4）连接AC1、AC2、则、
请回答,成立的理由是:
①；
②、
三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
17、（5分）计算:3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°、
18、（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标、
19、（5分）在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c、
若a=2,sin,求b和c、
20、（5分）小红和小丁玩纸牌游戏:如图是同一副扑克中的4张牌的正面,
将它们正面朝下洗匀后放在桌上,小红先从中抽出一张,小丁从剩余的3张牌中也抽出一张、比较两人抽出的牌面上的数字,数字大者获胜、（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由、
21、（5分）如图,小明想测量山的高度、他在点B处仰望山顶A,测得仰角∠
ABN=30°,再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处,在点C 处仰望山顶A,测得仰角∠ACN=45°、求这座山的高度、（结果精确到0.1m,小明的身高忽略不计）（参考数据:≈1.41,≈1.73）
22、（5分）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象与x轴交于点
A（2,0）,与反比例函数y=的图象交于点B（3,n）、
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P为x轴上的点,且△PAB的面积是2,则点P的坐标是、23、（5分）如图,四边形ABCD是平行四边形,CE⊥AD于点E,DF⊥BA交BA
的延长线于
点F、
（1）求证:△ADF∽△DCE；
（2）当AF=2,AD=6,且点E恰为AD中点时,求AB的长、
24、（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1,﹣2）、
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）当﹣4≤x≤1时,求y的取值范围、
25、（6分）如图,AC是⊙O的直径,点D是⊙O 上一点,⊙O的切线CB与AD
的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交⊙O于点E,连接AE、
（1）求证:∠ABC=∠AED；
（2）连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长、
26、（7分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1,0）
和B（0,3）、
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C,连接BC、设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q,若点Q落在△OBC的内部,求t的取值范围、
27、（7分）在正方形ABCD中,点P在射线AC上,作点P关于直线CD的对称
点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP、
（1）当点P在线段AC上时,如图1、
①依题意补全图1；
②若EQ=BP,则∠PBE的度数为,并证明；
（2）当点P在线段AC的延长线上时,如图2、若EQ=BP,正方形ABCD的边长为1,请写出求BE长的思路、（可以不写出计算结果）
28、（8分）在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为
（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2,若PQ为某个等腰三角形的腰,且该等腰三角形的底边与x轴平行,则称该等腰三角形为点P,Q的“相关等腰三角形”、下图为点P,Q的“相关等腰三角形”的示意图、
（1）已知点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为,则点A,B的“相关等腰三角形”的顶角为°；
（2）若点C的坐标为,点D在直线y=4上,且C,D的“相关等腰三角
形”为等边三角形,求直线CD的表达式；
（3）⊙O的半径为,点N在双曲线y=﹣上、若在⊙O上存在一点M,使
得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,直接写出点N的横坐标x N 的取值范围、
2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意
的选项只有一个、
1、如果3x=4y（y≠0）,那么下列比例式中正确的是（）
A、B、C、D、
【分析】根据比例的性质,可得答案、
【解答】解:A、由比例的性质,得4x=3y与3x=4y不一致,故A不符合题意；
B、由比例的性质,得xy=12与3x=4y不一致,故B不符合题意；
C、由比例的性质,得4x=3y与3x=4y不一致,故C不符合题意；
D、由比例的性质,得3x=4y与3x=4y一致,故D符合题意；
故选:D、
【点评】本题考查了比例的性质,利用比例的性质是解题关键、
2、在Rt△ABC中,∠C=90°,,AC=2,则tanA的值为（）
A、B、2 C、D、
【分析】本题需先根据已知条件,得出BC的长,再根据正切公式即可求出答案、
【解答】解:∵∠C=90°,AB=,AC=2,
∴BC=1,
∴tanA==、
故选:A、
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义,在解题时要根据在直角三角形中,正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键、
3、如图,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上、若∠ACD=25°,则∠BOD的度数
为（）
A、100°
B、120°
C、130°
D、150°
【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题、
【解答】解:∵∠AOD=2∠ACD,∠ACD=25°,
∴∠AOD=50°,
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°,
故选:C、
【点评】本题考查圆周角定理,邻补角的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型、
4、如图,在⊙O中,弦AB垂直平分半径OC、若⊙O的半径为4,则弦AB的长
为（）
A、B、C、D、
【分析】连接OA,由AB垂直平分OC,求出OD的长,再利用垂径定理得到D 为AB的中点,在直角三角形AOD中,利用垂径定理求出AD的长,即可确定出AB的长、
【解答】解:连接OA,由AB垂直平分OC,得到OD=OC=2,
∵OC⊥AB,
∴D为AB的中点,
则AB=2AD=2=2=4、
故选:B、
【点评】此题考查了垂径定理,以及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解本题的关键、
5、如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中,a＞0,b＜0,c＜0,那么这个二次函
数的图象可能是（）
A、B、
C、D、
【分析】由a＞0,b＜0,c＜0,推出﹣＞0,可知抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的右边,交y轴于负半轴,由此即可判断、
【解答】解:∵a＞0,b＜0,c＜0,
∴﹣＞0,
∴抛物线的图象开口向上,对称轴在y轴的右边,交y轴于负半轴,
故选:C、
【点评】本题考查二次函数的图象,解题的关键是熟练掌握基本知识,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型、
6、若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,则m的取值范围是
（）
A、m＞1
B、m＜1
C、m＞1且m≠0
D、m＜1且m≠0 【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出:方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,且m≠0,利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围,此题得解、
【解答】解:∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点,
∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根,且m≠0,
∴△=22﹣4m＞0,
∴m＜1、
∴m＜1且m≠0、
故选:D、
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式,利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键、
7、如图,将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象,其中原
函数图象上的两点A（1,m）、B（4,n）平移后对应新函数图象上的点分
别为点A′、B′、若阴影部分的面积为6,则新函数的表达式为（）
A、B、
C、D、
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标,再过A
作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C（4,1）,AC=4﹣1=3,根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分）,得出AA′=2,然后根据平移规律即可求解、
【解答】解:∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1,m）,B（4,n）,
∴m=（1﹣2）2+1=1,n=（4﹣2）2+1=2,
∴A（1,1）,B（4,2）,
过A作AC∥x轴,交B′B的延长线于点C,则C（4,1）,
∴AC=4﹣1=3,
∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分）,
∴AC•AA′=3AA′=6,
∴AA′=2,
即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象,
∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+3、
故选:B、
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识,根据已知得出AA′是解题关键、
8、如图,点M为▱ABCD的边AB上一动点,过点M作直线l垂直于AB,且直线
l与▱ABCD的另一边交于点N、当点M从A→B匀速运动时,设点M的运动时间为t,△AMN的面积为S,能大致反映S与t函数关系的图象是（）
A、B、
C、D、
【分析】当点N在AD上时,可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时,MN长度不变,可得后半段函数图象为一条线段、【解答】解:设∠A=α,点M运动的速度为a,则AM=at,
当点N在AD上时,MN=tanα×AM=tanα•at,
此时S=×at×tanα•at=tanα×a2t2,
∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分,
当点N在DC上时,MN长度不变,
此时S=×at×MN=a×MN×t,
∴后半段函数图象为一条线段,
故选:C、
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象,用图象解决问题时,要理清图象的含义即会识图、函数图象是典型的数形结合,图象应用信息广泛,通过看图获取信息,不仅可以解决生活中的实际问题,还可以提高分析问题、解决问题的能力、
二、填空题（本题共16分,每小题2分）
9、如果两个相似三角形的周长比为2:3,那么这两个相似三角形的面积比为
4:9、
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比,相似三角形面积的比等于相似比的平方解答、
【解答】解:因为两个相似三角形的周长比为2:3,
所以这两个相似三角形的相似比为2:3,
所以这两个相似三角形的面积比为4:9；
故答案为:4:9、
【点评】本题考查的是相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比；
相似三角形面积的比等于相似比的平方、
10、如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上、若∠ADE=∠
C,AB=6,AC=4,AD=2,则EC=1、
【分析】只要证明△ADE∽△ACB,推出=,求出AE即可解决问题；
【解答】解；∵∠A=∠A,∠ADE=∠C,
∴△ADE∽△ACB,
∴=,
∴=,
∴AE=3,
∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1,
故答案为1、
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中考常考题型、
11、如图,扇形的圆心角∠AOB=60°,半径为3cm、若点C、D是的三等分点,
则图中所有阴影部分的面积之和是cm2、
【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点,通过平移可把阴影部分都集
中到一个小扇形中,可发现阴影部分正好是扇形AOB的,先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度,半径是3的扇形的面积皆可、
【解答】解:S扇形OAB=,
S阴影=S扇形OAB=×π=π、
故答案为:
【点评】此题考查扇形的面积问题,通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形,再求算扇形的面积即可、利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法、
12、“平改坡”是指在建筑结构许可条件下,将多层住宅的平屋顶改建成坡屋
顶,并对外立面进行整修粉饰,达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为、如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图、根据图中的数据,如果要使坡面BC的坡度达到1:1.2,那么立柱AC的长为
2.5米、
【分析】由坡度的概念得出=,根据AB=3可得AC的长度、
【解答】解:根据题意知=,
∵AB=3,
∴=,
解得:AC=2.5,
故答案为:2.5、
【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是熟练掌握坡度的定义、
13、如图,一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点
A和点B、当y1＞y2＞0时,x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5、
【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标,结合图象确定出所求x的范围即可、
【解答】解:根据图象得:当y1＞y2＞0时,x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5,
故答案为:﹣2＜x＜﹣0.5
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,利用了数形结合的思想,弄清数形结合思想是解本题的关键、
14、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,若以点C为圆心,CB长为半径的圆恰
好经过AB的中点D,则AC的长等于5、
【分析】连接CD,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD,求出圆的半径的长,再利用勾股定理列式进行计算即可得解、
【解答】解:如图,∵∠C=90°,点D为AB的中点,
∴AB=2CD=10,
∴CD=5,
∴BC=CD=5,
在Rt△ABC中,AC===5、
故答案为:5、
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质,勾股定理的应用,求出圆的半径的长是解题的关键、
15、如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC经过若干次图形的变化（平移、
轴对称、旋转）得到△DEF,写出一种由△ABC得到△DEF的过程:向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°、
【分析】根据对应点C与点F的位置,结合两三角形在网格结构中的位置解答、
【解答】解:△ABC向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF,
所以,过程为:向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°、故答案为:向右平移4个单位,沿对称轴BC翻折,再绕点C逆时针旋转90°、【点评】本题考查了几何变换的类型,平移、旋转,准确识图是解题的关键、16、石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化,拟从点A出
发,将△ABC分成面积相等的三个三角形,栽种三种不同的花草、
下面是小美的设计（如图2）、
作法:（1）作射线BM；
（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；
（3）连接B3C,分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C,交BC于点C1、C2；
（4）连接AC1、AC2、则、
请回答,成立的理由是:
①平行线分线段成比例定理；
②等底共高、
【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得、
【解答】解:由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C,依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C,
再由△ABC1,△AC1C2与△AC2C等底共高知,
故答案为:①平行线分线段成比例定理；
②等底共高、
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图,解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系、
三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
17、（5分）计算:3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°、
【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案、
【解答】解:原式=3×﹣（）2+﹣2×
=﹣+2﹣
=、
【点评】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键、18、（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标、
【分析】把解析式化为顶点式即可、
【解答】解:
∵y=x2﹣10x+3=（x﹣5）2﹣22,
∴二次函数的顶点坐标为（5,﹣22）、
【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a（x﹣h）2+k中,顶点坐标为（h,k）,对称轴为x=h、
19、（5分）在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c、
若a=2,sin,求b和c、
【分析】先根据sinA=知c==6,再根据勾股定理求解可得、
【解答】解:如图,
∵a=2,sin,
∴c===6,
则b===4、
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义,解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理、
20、（5分）小红和小丁玩纸牌游戏:如图是同一副扑克中的4张牌的正面,
将它们正面朝下洗匀后放在桌上,小红先从中抽出一张,小丁从剩余的3张牌中也抽出一张、比较两人抽出的牌面上的数字,数字大者获胜、（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；
（2）这个游戏公平吗？请说明理由、
【分析】（1）根据题意画出树状图,即可解决问题；
（2）根据树状图,利用概率公式即可求得小红获胜的概率,由概率相等,即可判定这个游戏公平；
【解答】解:（1）树状图如右:
则小红获胜的概率:=,小丁获胜的概率:=,
所以这个游戏比较公平、
【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率,解题的关键是学会正确画出树状图,判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平、用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比、、
21、（5分）如图,小明想测量山的高度、他在点B处仰望山顶A,测得仰角∠
ABN=30°,再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处,在点C 处仰望山顶A,测得仰角∠ACN=45°、求这座山的高度、（结果精确到0.1m,小明的身高忽略不计）（参考数据:≈1.41,≈1.73）
【分析】作AH⊥BN于H,设AH=xm,根据正切的概念表示出CH、BH,根据题意列出方程,解方程即可、
【解答】解:如图,作AH⊥BN于H,
设AH=xm,
∵∠ACN=45°,
∴CH=AH=xm,
∵tanB=,
∴BH=x,
则BH﹣CH=BC,即x﹣x=100,
解得x=50（+1）、
答:这座山的高度为50（+1）m；
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键、
22、（5分）在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+b的图象与x轴交于点
A（2,0）,与反比例函数y=的图象交于点B（3,n）、
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）若点P为x轴上的点,且△PAB的面积是2,则点P的坐标是（﹣2,0）或（6,0）、
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；
【解答】解:（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2,0）,
∴2+b=0,
∴b=﹣2,
∴y=x﹣2,
当x=3时,y=1,
∴B（3,1）,代入y=中,得到k=3,
∴反比例函数的解析式为y=、
（2）∵△PAB的面积是2,
∴•PA•1=2,
∴PA=4,
∴P（﹣2,0）或（6,0）、
【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型、
23、（5分）如图,四边形ABCD是平行四边形,CE⊥AD于点E,DF⊥BA交BA
的延长线于
点F、
（1）求证:△ADF∽△DCE；
（2）当AF=2,AD=6,且点E恰为AD中点时,求AB的长、
【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB,即∠DAF=∠CDE,再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°,据此可得；
（2）根据△ADF∽△DCE知=,据此求得DC=9,再根据平行四边形的性质可得答案、
【解答】解:（1）∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,
∴∠DAF=∠CDE,
又∵CE ⊥AD 、DF ⊥BA,
∴∠AFD=∠DEC=90°,
∴△ADF ∽△DCE ；
（2）∵AD=6、且E 为AD 的中点,
∴DE=3,
∵△ADF ∽△DCE,
∴=,即=,
解得:DC=9,
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB=CD=9、
【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握相
似三角形的判定和性质及平行四边形的性质、
24、（5分）二次函数y=x 2﹣2mx +5m 的图象经过点（1,﹣2）、
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）当﹣4≤x ≤1时,求y 的取值范围、
【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；
（2）根据二次函数的性质可得、
【解答】解:（1）把点（1,﹣2）代入y=x 2﹣2mx +5m 中,
可得:1﹣2m +5m=﹣2,
解得:m=﹣1,
所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣,
（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6,
∴当x=﹣1时,y取得最小值﹣6,
由表可知当x=﹣4时y=3,当x=﹣1时y=﹣6,
∴当﹣4≤x≤1时,﹣6≤y≤3、
【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键、
25、（6分）如图,AC是⊙O的直径,点D是⊙O 上一点,⊙O的切线CB与AD
的延长线交于点B,点F是直径AC上一点,连接DF并延长交⊙O于点E,连接AE、
（1）求证:∠ABC=∠AED；
（2）连接BF,若AD=,AF=6,tan∠AED=,求BF的长、
【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC,进而得出答案；
（2）首先得出DC的长,即可得出FC的长,再利用已知得出BC的长,结合勾股定理求出答案、
【解答】（1）证明:连接DC,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠BDC=90°,
∴∠ABC+∠BCD=90°,
∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B, ∴∠BCA=90°,
∴∠ACD+∠BCD=90°,
∴∠ACD=∠ABC,
∴∠ABC=∠AED；
（2）解:连接BF,
∵在Rt△ADC中,AD=,tan∠AED=,
∴tan∠ACD==,
∴DC=AD=,
∴AC==8,
∵AF=6,
∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2,
∵∠ABC=∠AED,
∴tan∠ABC==,
∴=,
解得:BD=,
故BC=6,
则BF==2、
【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识,正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键、
26、（7分）在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1,0）
和B（0,3）、
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C,连接BC、设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q,若点Q落在△OBC的内部,求t的取值范围、
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；
【解答】解:（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1,0）和B（0,3）,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3、
（2）如图,易知抛物线的顶点坐标为（1,4）、
观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时,t=3,
当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时,t=2,
∴满足条件的t的值为2＜t＜3、
【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会寻找特殊点解决问题,属于中考常考题型、27、（7分）在正方形ABCD中,点P在射线AC上,作点P关于直线CD的对称
点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP、
（1）当点P在线段AC上时,如图1、
①依题意补全图1；
②若EQ=BP,则∠PBE的度数为45°,并证明；
（2）当点P在线段AC的延长线上时,如图2、若EQ=BP,正方形ABCD的边长为1,请写出求BE长的思路、（可以不写出计算结果）
【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q,作射线BQ交射线DC于点E,连接BP；②依据题意得到DP=EP,再根据四边形内角和求得∠BPE=90°,根据BP=EP,即可得到∠PBE=45°；
（2）连接PD,PE,依据△CPD≌△CPB,可得DP=BP,∠1=∠2,根据DP=EP,可得∠3=∠1,进而得到∠PEB=45°,∠3=∠4=22.5°,△BCE中,已知∠4=22.5°,BC=1,可求BE长、
【解答】解:（1）①作图如下:
②如图,连接PD,PE,易证△CPD≌△CPB,
∴DP=BP,∠CDP=∠CBP,
∵P、Q关于直线CD对称,
∴EQ=EP,
∵EQ=BP,
∴DP=EP,
∴∠CDP=∠DEP,
∵∠CEP+∠DEP=180°,
∴∠CEP+∠CBP=180°,
∵∠BCD=90°,
∴∠BPE=90°,
∵BP=EP,
∴∠PBE=45°,
故答案为:45°；
（2）思路:如图,连接PD,PE,
易证△CPD≌△CPB,
∴DP=BP,∠1=∠2,
∵P、Q关于直线CD对称,
∴EQ=EP,∠3=∠4,
∵EQ=BP,
∴DP=EP,
∴∠3=∠1,
∴∠3=∠2,
∴∠5=∠BCE=90°,
∵BP=EP,
∴∠PEB=45°,
∴∠3=∠4=22.5°,
在△BCE中,已知∠4=22.5°,BC=1,可求BE长、
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用,解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理、
28、（8分）在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为（x1,y1）,点Q的坐标为
（x2,y2）,且x1≠x2,y1≠y2,若PQ为某个等腰三角形的腰,且该等腰三角形的底边与x轴平行,则称该等腰三角形为点P,Q的“相关等腰三角形”、下图为点P,Q的“相关等腰三角形”的示意图、
（1）已知点A的坐标为（0,1）,点B的坐标为,则点A,B的“相关等腰三角形”的顶角为120°；
（2）若点C的坐标为,点D在直线y=4上,且C,D的“相关等腰三角
形”为等边三角形,求直线CD的表达式；
（3）⊙O的半径为,点N在双曲线y=﹣上、若在⊙O上存在一点M,使
得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,直接写出点N的横坐标x N 的取值范围、
【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；
（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；
（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,推出直线MN与x轴的夹角为45°,可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b,当直线与⊙O相切于点M时,求出直线MN的解析式,利用方程组求出点N的坐标,观察图象即可解决问题、
【解答】解:（1）如图1中,
∵A的坐标为（0,1）,点B的坐标为,
∴点A,B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（,0）或（﹣2,1）,
∵tan∠BAO==,
∴∠BAO=∠CAO=60°,
∴∠BAC=∠ABC′=120°,
故答案为120、
（2）如图2中,设直线y=4交y轴于F（0,4）,
∵C（0,）,
∴CF=3,
∵且C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形,
∴∠CDF=∠CD′F=60°,
∴DF=FD′=3•tan30°=3,
∴D（3,4）,D′（﹣3,4）,
∴直线CD的解析式为y=x+,或y=﹣x+、
（3）如图3中,
∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形,
∴直线MN与x轴的夹角为45°,
可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b,
当直线与⊙O相切于点M时,易知b=±2,
∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2,
由,解得或,
∴N（﹣1,3）,N′（3,1）,
由解得或,
∴N1（﹣3,1）,N2（1,﹣3）,
观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为:﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3、
【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考压轴题、。