第7章 图

'第7章 图图是较树更为复杂的一种非线性的数据结构。

在树中一个结点有且仅有一个双亲结点，但可以有0个或多个孩子。

因此树是一种有层次的非线性数据结构。

但本章的图中，结点之间的关系是任意的，无明显的层次关系，而这种较复杂的图却是现实世界中大量存在的。

因此图的应用更为广泛，在计算机科学、物理、化学、语言学、逻辑学、通信工程等诸多领域的许多问题都可以用图来表示。

7.1 图的基本概念 一、图的定义 图（Graph ）：是由一个非空的顶点集合和一个描述顶点之间关系的集合组成。

关系的集合也就是边（或弧）的集合。

即：Graph=（V ，E ）图又分为有向图和无向图。

如图：上述(a)为无向图，(b)为有向图 其中：(a)表示为：Graph=(V ,E) V={a,b,c,d,e} E={(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(d,e)} 用一对圆括号括起的无序对(a,b) 表示该边为无向边。

(edge). （b ）表示为：Graph=(V ,E) V={a,b,c,d,e} E={<a,b>，<a,c>，<a,d>，<b,c>，<b,d>，<d,e>} 用一对尖括号括起的有序对<a,b>表示一条弧（arc ），a 为弧尾（或起始点），b 为弧头（或终端点）。

二、图的基本术语 1. 邻接与关联在无向图中若存在一条边e=(a ，b)，则称a ，b 相互邻接，e 与a ，b 关联。

在有向图中若存在一条弧<a ，b>，则称a 邻接于b ，b 邻接于a ，弧与a ，b 相关联。

2. 度、入度和出度度： 对针无向图，一个顶点v 所连接边的个数称为该顶点的度。

记作TD(v) TD(a)=3 TD(b)=3入度：在有向图中，以顶点v 为弧头的弧的个数为v 的入度，记作ID(v)，而以顶点v 为弧尾的弧的个数为顶点v 的出度，记作OD(v)。

顶点的度为入度与出度之和。

如上述有向图中。

ID(a)=0 OD(a)=3 TD(a)=0+3=3a ab c d e (a)无向图 (b)有向图 (b)有向图ID(b)=1 OD(b)=2 TD(b)=1+2=3 3. 有向完全图和无向完全图无向完全图：无向图中任意两个顶点之间均有边相连的图。

它具有n(n-1)/2条边。

（这是因为，每个顶点均与其余n-1个顶点有边相连，共有n 个顶点，所以有n(n-1)条边，但每条边被计算了两次，故图中边的个数为n(n-1)/2）) 有向完全图：一个有向图中任意两个顶点之间均有方向相反的两个弧连接的图。

共有n(n-1)条弧。

4. 子图设有两个图G=（V ，E ）和G'=(V',E') ,若E E V V ⊆⊆','且，则称G '为G 的子图。

如：5. 路径与路径的长度路径： 在无向图G 中。

若有顶点序列：q im i i p v v v v v ,,......,,21使得),)...(,(),,(211q im i i i p v v v v v v 均属于E(G), 则称顶点v p 到v q 存在一条路径。

若G 为有向中图，则路径也是有向的。

路径长度：一条路径上边（或弧）的数目。

如上图中 ：a,b,d,e 为一条长为3的从a 到e 的路径。

6.简单路径和简单回路简单路径：若一条路径上的顶点序列均不重复，则为一条简单路径。

简单回路：若起点和终点相同，路径中再无重复顶点，则路径为简单回路（环）。

7. 连通图和连通分图（对无向图）连通图：在无向图中，若从顶点vi 到vj 有路径，则称vi 和vj 连通。

如果图G中任意两顶点均是连通的，则图G 为连通图。

极大连通子图：指一个子图是连通的，若向该图中再加入原图的任何一个顶点，则该图就不连通了。

连通分量：一个无向图G 的极大连通子图为G 的连通分量，可见连通图的连通分量仅有一个。

而非连通图的连通分量可有多个。

如右图： 该图的连通分量就是它自己。

而图则有两个连通分量：abcda bc d e图GG 的子图G ’a bc d ea b c d ef g f gabc8.强连通图及强连通分量（对有向图） 强连通图：有向图中任意两顶点vi 、vj 之间者存在着vi 到vj 和vj 到vi 的路径，则称此图为强连通图。

强连通分量：有向图的极大强连通子图为此有向图的强连通分量。

如：9.权和网权：在一个图中，每条边上标上具有某种意义的数值，该数值称为该边的权。

网：边上带权的图称为网或带权图。

网可分为有向网和无向网。

7.2 图的存储结构一、邻接矩阵邻接矩阵（Adjacency Matrix ）是表示顶点之间相邻关系的矩阵。

若G 有n 个顶点。

顶点序号依次为1,2,3,4,5...n ，则 G 的邻接矩阵为：⎩⎨⎧><><=vj vi vj vi vj vi vj vi j i A ,),(G ,0,,G ,1]][[或弧中不存在边若）或弧中存在边（若若G 是网，则G 的邻接矩阵为：⎩⎨⎧><><=大权值为网中不存在的虚设最或弧中不存在边若且其上的值为）或弧中存在边（若X ,,),(G ,,,,G ,]][[MA vj vi vj vi MAX weightvj vi vj vi weight j i A如：其邻接矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0100010011000110110101110而如图所示的无向网的邻接矩阵为：强连通图 非强连通图及 ce 三个强连通分量abcd e⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∞∞∞∞∞∞∞26810257673857410734说明：（1） 对于无向图和无向网，邻接矩阵是对称的。

（2） 邻接矩阵可以方便查寻图中任一边及边上的权。

（3） 可以方便查寻任一顶点的度。

对于无向图项点的度就是该顶点这一行（或这一列）上非0（或非MAX ）的元素个数。

对有向图，顶点的入度为该行上非0或非MAX 的元素个数。

顶点的出度为该列上非0或MAX 的元素个数。

用C 描述的邻接矩阵： #define MAXLEN 10 struct vertex { int num; /*用于描述顶点的信息，此处用整数*/ ...... };typedef struct { struct vertex vexs[MAXLEN]; /*图中顶点数组*/ int edges[MAXLEN][MAXLEN]; /*二维数组，表示顶点相邻关系，即图中的边*/ int n,e; /*图中顶点和边的数目*/ } MGraph;创建一个图的邻接矩阵的程序如下：（见：创建图的邻接矩阵.c ）//该程序创建的是无向图的邻接矩阵，程序要求提供顶点个数及边数 //还要求输入每条边的信息即起始和终止的顶点的下标值#include <stdio.h> #define MAXLEN 10 struct vertex { int num; /*用于描述顶点的信息，此处用整数*/ };typedef struct {struct vertex vexs[MAXLEN]; /*图中顶点数组*/int edges[MAXLEN][MAXLEN]; /*二维数组，表示顶点相邻关系，即图中的边*/ int n,e; /*图中顶点和边的数目*/ } MGraph;abcde43107 5 2678void createcost(MGraph *g){int i,j,k,v1,v2;printf("图的顶点数和边数分别为：%d %d\n",g->n,g->e);for(i=0;i<g->n;i++)for(j=0;j<g->n;j++)g->edges[i][j]=0;for(k=0;k<g->e;k++){printf("v1,v2= ");scanf("%d,%d",&v1,&v2);g->edges[v1-1][v2-1]=1;//无向图时以下两条都要执行g->edges[v2-1][v1-1]=1;//有向图时不执行本条语句}}void main(){MGraph g;int i,j;g.n=3;g.e=3;for(i=0;i<g.n;i++)g.vexs[i].num=i+1;createcost(&g);printf("图的顶点为：\n");for(i=0;i<g.n;i++)printf("%3d",g.vexs[i].num);printf("\n");printf("图的邻接矩阵为：\n");for(i=0;i<g.n;i++){ for(j=0;j<g.n;j++)printf("%3d",g.edges[i][j]);printf("\n");}}二、邻接表邻接表（Adjacency List）是图的另一种链式存储结构。

它对图中每个顶点建立一个带头结点的边链表。

它由两部分组成，一是表头结点表，一是边链表。

1.表头结点表：其中，verdata: 是数据域，为顶点名或其它有关信息，firstarc为链域，指向与链表中第一个顶点，即与该顶点邻接的第一个顶点。

2.边链表第i个边链表中的结点依附于顶点vi的边。

边链表的结点结构为：其中adjvex为数据域，存放邻接点信息。

nextarc为指针域，指向下一个与vi对于如下带权的有向网：其邻接表如下：关于邻接表的几点说明：（1）图的邻接矩阵是唯一的，但邻接表并一定，因为邻接表中各接点的链接次序取决于建立邻接表时的算法及输入次序。

（2）对于无向图，结点vi的度就是第i号边链表中的结点个数。

在有向图中，i号边链表中的结点个数只是结点vi的出度，入度需要遍历整个邻接表才能得出。

有时专门建立一个逆向邻接表为了统计顶点的入度。

用C描述的邻接表的存储结构如下：#define MAXLEN 100typedef struct node{int adjvex; /*与vi邻接的顶点的序号*/struct node *next; /*指向下一个与vi邻接的顶点的序号*/}EdgeNode;/*边链表结点*/typedef struct vnode{int vertex; /*数据域，存放某顶点名或其它信息*/EdjeNOde *firstedge; /*指针域，指向与某顶点邻接的第一个顶点*/ }VertexNode; /*表头结点*/typedef VertexNode Adjlist[MAXLEN]; /*表头结点表*/typedef struct{Adjlist adjlist;int n,e;/*图中顶点数及边数*/}ALGraph;/*定义邻接表*/构造图的邻接表程序如下：（见创建图的边链表.c）//以下程序的功能是建立图的邻接表（无向图）#define MAXLEN 100#include <stdlib.h>#include <stdio.h>typedef struct node{int adjvex; //与某顶点邻接的顶点struct node *next; //指向下一个与某顶点邻接的顶点}EdgeNode; //边链表结点typedef struct vnode{int vertex; //数据域，存放某顶点名或其它信息EdgeNode *firstedge; //指针域，指向与某顶点邻接的第一个顶点}VertexNode; //表头结点typedef VertexNode Adjlist[MAXLEN]; //表头结点表,即一个一维数组typedef struct{Adjlist adjlist;int n,e; //图中顶点数及边数}ALGraph; //定义邻接表void createsdjlist( ALGraph *g){EdgeNode *ptr;int k,v1,v2;for(k=1;k<=g->n;k++) //初始化表头数组的指针域为空g->adjlist[k].firstedge=NULL;for(k=1;k<=g->e;k++) //建立邻接表{printf("v1,v2= ");scanf("%d,%d",&v1,&v2); //输入一对边的起、终结点的序号值ptr=(EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));//动态申请一个边链表结点空间ptr->adjvex=v2; //将该边的终点写入数据域ptr->next=g->adjlist[v1].firstedge;//以下两句是将该结点插入到链表头处g->adjlist[v1].firstedge=ptr;//若为有向图，则以下几句不执行ptr=(EdgeNode*)malloc(sizeof(EdgeNode));//动态申请一个边链表结点空间ptr->adjvex=v1; //将该边的终点写入数据域ptr->next=g->adjlist[v2].firstedge;//以下两句是将该结点插入到链表头处g->adjlist[v2].firstedge=ptr;}}void main(){ALGraph g;//定义一个图变量EdgeNode *p;//定义一个边链表结点指针变量int i;printf("图的顶点数n=");scanf("%d",&g.n); //给图的顶点数赋值printf("图中的边数e=");scanf("%d",&g.e); //给图的边数赋值createsdjlist(&g); //调用函数创建邻接表printf("图的邻接表如下：\n");for(i=1;i<=g.n;i++){printf(" %d==>",i); //输出每个结点的序号p=g.adjlist[i].firstedge; //让指针指向该结点的第一个边链表结点while(p) //输出该结点的所有邻接顶点序号即以邻接表的形式输出{printf("----->%d",p->adjvex);p=p->next;}printf("\n");}}7.3 图的遍历图的遍历是指从某个顶点出发，访问图中每一个顶点一遍。