新人教版九年级数学第24章同步练习题及答案全套24.4弧长和扇形面积(第一课时)

24.4弧长和扇形面积(第一课时)
◆随堂检测
1．钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是( )
A.10
3
cm
π
B.
20
3
cm
π
C.
25
3
cm
π
D.
50
3
cm
π
2.如果圆柱的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是( )
A.102
cm B.102
πcm C.202
cm D.202
πcm
3．小明要制作一个圆锥模型，其侧面是由一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形纸板制成的，还需用一个圆形的纸板做底面，那么这块圆形纸板得直径为多少？
4.在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示.
(1)这头牛吃草的最大活动区域有多大?
(2)如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大?
◆典例分析
如图，A是半径为12cm的圆O上的一点，点B是OA延长线上的一点，且AB=OA，点P从A出发，以2/
cm s
π
的速度沿圆周逆时针运动，当点P运动的时间为2s时，判断直线BP与圆O的位置关系，并说明理由.
分析:这是一道运动类型的综合题目,首先要根据条件(时间为2s)画出相应的图形,判断直线BP与圆O相切,然后再利用判定定理进行证
j
A
P
B
O
明.
30B ∠= 所以90OPB ∠= 所以 直线BP 与圆O 相切
解:直线BP 与圆O 相切.理由如下: 连接BP,OP,PA.∵PA
l =124180
180
rn n
πππ=
=,∴60n =,即60O ∠=.
∵因为A0=PO,∴△APO 为等边三角形，∴60OPA ∠=,OA=PA. ∵OA=AB ，OA=PA ，∴AB=PA.∴APB ABP ∠=∠， ∵60APB ABP ∠+∠=，∴30APB ABP ∠=∠=, ∴306090OPB OPA APB ∠=∠+∠=+=. ∴所以BP 为圆O 的切线.
◆课下作业
●拓展提高
1.已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是( ) A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π
2.已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面圆上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如图(10)所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图是( )
3．如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的弧EF 上，OA=3,∠1=∠2,则扇形OEF 的面积为____________.
4.图中的粗线CD 表示某条公路的一段，其中AmB 是一段圆弧，AC 、BD 是线段，且AC 、BD 分别与圆弧AmB 相切于点A 、B ，线段AB ＝180m ，∠ABD ＝150°．
(1)画出圆弧AmB 的圆心O ； (2)求A 到B 这段弧形公路的长．
5.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． (1)求∠AOC 的度数；
(2)在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；
(3)如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按逆时针方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．
●体验中考
1.(2021年，河池)如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若60APB =∠，⊙O 的半径为3，则阴影部分的面积为___________.
2.(2021年,台州市)如图，三角板ABC 中，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，6=BC ．
三角板绕直角顶点C 逆时针旋转，当点A 的对应点'
A 落在A
B 边的起始位置上时即停止转动，则B 点转
A P
B
O
过的路径长为__________.
参考答案: ◆随堂检测 1.B. 弧长是
=⨯1805240π203
cm π
.
2.D. 圆柱侧面展开图图是矩形，面积为2π×2×5＝20π.
3.解:
2409
180
d ππ⨯=，解得:12d =.
4.解:(1)2
2
525()m ππ=. (2)
22
55()36072
n n m ππ=. ◆课下作业 ●拓展提高 1.B. 2.D. 3.3π.
B '
A '
C
A
B
4.解:(1)如图，过A 作AO⊥AC，过B 作BO⊥BD，AO 与BO 相交于O ，O 即圆心． (2)∵AO、BO 都是圆弧AmB 的半径，O 是其圆心， ∴∠OBA＝∠OAB＝150°-90°＝60°． ∴△AOB为等边三角形．∴AO＝BO ＝AB ＝180． ∴π60180
60π180
AB ⨯⨯=
=(m)．
∴A 到B 这段弧形公路的长为60πm ．
5．解:(1)∵在△ACO 中，60OAC ∠=，OC =OA, ∴△ACO 是等边三角形,∴∠AOC =60° (2)∵CP 与⊙O 相切，OC 是半径．
∴CP⊥OC ,∴∠P =90°-∠AOC =30°∴PO =2CO =8.
(3)如图2，①作点C 关于直径AB 的对称点1M ，连结1AM ，OM 1 ． 易得1M AO CAO S S ∆∆=，160AOM ∠=.∴14π4
60π1803
AM =
⨯=. ∴当点M 运动到1M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为4
π3
． ②过点1M 作12M M ∥AB 交⊙O 于点2M ，连结2AM ，2OM ， 易得2M AO CAO S S =△△．∴112260AOM M OM BOM ∠=∠=∠=, ∴24π82π33AM =
⨯=或24π8120π1803
AM =⨯=. ∴当点M 运动到2M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为8
π3
． ③过点C 作3CM ∥AB 交⊙O 于点3M ，连结3AM ，3OM ，易得3M AO CAO S S =△△ ∴360BOM ∠=， ∴234π16240π1803AM M =
⨯=或238π16
2π33
AM M =⨯=. ∴当点M 运动到3M 时，MAO CAO S S =△△，此时点M 经过的弧长为16
π3
． ④当点M 运动到C 时，M 与C 重合，MAO CAO S S =△△， 此时点M 经过的弧长为
4π20300π1803⨯=或16π4π20
π333
+=．。