1041线段的垂直平分线

线 段
性质
证明线段相等
的
垂
互
直
逆
平
定
分
理 尺规作图
线
判定
判断点在直线上
悟到的东西纳入到自己的认知结构中去.
已知 ：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且 AC=BC， P是MN上的任意一点.
M P
新知一
求证 ：PA=PB.
分析：要想证明PA=PB，只需证明△PCA ≌ △PCB.
A
C
B
证明
: ∵ MN⊥AB， ∴ ∠PCA= ∠PCB=90 °
在△PCA 和△PCB中
AC=BC ∠PCA= ∠PCB=90 °
如果一个点在线段的垂直平分线上， 那么这个点到这条线段的两端点的距离相等.
P
逆命题： 如果一个点到一条线段两端点的距离相等 ， 那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
A
B
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
新知二
方法一：过点P作直线MN⊥AB，垂 足为点C.
方法二：取AB的中点C，连接PC.
10.4 线段的垂直平分线
初二数学组
情景引入
小丽在A处，小美在B处，她们两人在做抢礼物的游戏. 请问：礼物放在何处游戏才公平？
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等.
A
B
性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
题设
结论
如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端点的距离相等.
M P
方法一：过点P作直线MN⊥AB，垂 足为点C.
AC=BC
A
C
B
证明：过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C. Rt在△PCA 和Rt △PCB中
∴ △PCA ≌ △PCB(HL) ∴AC=BC(全等三角形的对应边相等）
N
PA=PB
∴直线MN是AB的垂直平分线
PC=PC
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
EF是AB的垂直平分线 MN是AC的垂直平分线
AO=BO AO=CO
AO=BO=CO
点拨： 寻找基本图形， 构造基本图形.
A
E
1
2
M
F
N
C
O
悟到的东西纳入到自己的认知结构中去.
新知二
性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
题设
结论
逆命题：
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
PC=PC
∴ △PCA ≌ △PCB(SAS)
N
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等）.
严格性之于数学家，犹如道德之于人.
新知一
பைடு நூலகம்
所有
文字
的点
性质定理 :
线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端
点的距离相等.
A
图形 M
P
C
符号
∵ MN⊥AB AC=BC
∴ PA=PB B
作用
证明线段相等常 用的依据
M P
N
请找出图中相等的线段，相等的角，特殊三角形.
A
C
B
AC=BC ∠A= ∠B
等腰△ABP
∠APC= ∠BPC Rt △ACP
AP=BP ∠ACP= ∠BCP Rt △BCP N
练一练
如图， △ABC中，EF是AB的垂直平分线，垂足为E，交BC于F. MN是AC的垂直平分线，垂足为M，交BC于N.
（1）若BF=7,则AF= 7 .
若∠B=40 °,则∠AFC= 80 °. 若BC=15，AC=9，则△AFC的周长= 24 .
(2)若BC=15，则△AFN的周长= 15 .
若∠BAC=100 °,则∠FAN= 20 °.
B
(3)若EF与MN交于点O，连接OB，OC， △AFN的周长为6， △OBC的周长为16，则OB= 5 .
P A
性质
点P在AB的垂直平分线上.
PA=PB
B
判定
悟到的东西纳入到自己的认知结构中去.
例1 已知：如图， 在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明： ∵AB=AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在
这条线段的垂直平分线上）.
方法二：取AB的中点C，连接PC.
PC⊥AB
方法三：作∠APB的平分线PC，交 AB于C.
AC=BC 且PC⊥AB
新知二
文字
图形
符号
作用
判定定理：到线
P
段两个端点距离
相等的点在这条
线段的垂直平分
线上.
A
∵PA=PB ∴点P在AB 的垂直平分 线上.
B
判断点在直线 上（或者直线 经过点）常用 的依据.
AC=BC PC⊥AB
M P
方法三：作∠APB的平分线PC，交 AB于C.
A
AC=BC 且PC⊥AB
C
B
N
伟大的科学家牛顿以自身的经历告诉人们：“没有大胆的猜想就做不出伟大的发现.” 猜想不仅是一种思想，更是解决问题的一种方法.
新知二
判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
已知：如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：∵AM=BM, ∴点M在线段AB的垂直平分线上（到线段两个端点距
离相等的点在这条线段的垂直平分线上）. ∵AN=BN, ∴点N在线段AB的垂直平分线上（到线段两个端点距 离相等的点在这条线段的垂直平分线上）.
∴直线MN是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线).
P120——121
Pl
课堂小节
∵OB=OC,
B
∴点O在线段BC的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在
这条线段的垂直平分线上）.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
新知二
A O
C
数学的真谛就在于不断寻求用越来越简单的方法证明定理和解决数学问题.
做一做： （1）用尺规作出线段AB（如图）的垂直平分线.
A
B
（2）请你就尺规作图线段AB的垂直平分线的方法的正 确性给出证明.