黑龙江省哈尔滨名校2025届高考数学一模试卷含解析

黑龙江省哈尔滨名校2025届高考数学一模试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222
267x y x y x +-++-+的最小值等于（ ）
A
．5
B
．7
C
-
D
．9-2．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )
A ．
3
B ．
2
C ．
3
D ．
2
3．设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则z x y =+的取值范围是（ ）
A ．[]5,3-
B ．[]2,3
C ．[)2,+∞
D ．(],3-∞
4．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近
线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）
A 1
B
1
C
2
D 2
5．已知双曲线22
221x y C a b
-=：的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )
A
B
C
D ．6．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．
3
4
B ．
43
C ．-
43
D ．-
34
7．函数y =2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．(
)
2
5
23(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23
B ．17
C ．20
D ．63
9．如图示，三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，且2PA PB AB ===，3PC =，
则PC 与面PAB 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
13
B 6
C 3
D 2 10．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*
N n ∈，若202021
1
n n k a a
-==∑，
则k =( ) A ．2020
B ．4038
C ．4039
D ．4040
11．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．命题“(0,1),ln x
x e x -∀∈>”的否定是（ ）
A ．(0,1),ln x x e x -∀∈≤
B ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈>
C ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈< D ．0
00(0,1),ln x x e
x -∃∈≤
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若函数()ln f x ax x =+（a ∈R ）的图象与直线31y x =-相切，则a =______.
14．如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
15．在三棱锥P ABC -中，三条侧棱PA PB PC 、、两两垂直，1,4PB PA PA PC =++=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积的最小值为________.
16．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于
2
3
且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<）.在以O 为极点，x 轴
正半轴为极轴的极坐标中，曲线C ：4cos ρθ=. （1）当4
π
α
=
时，求C 与l 的交点的极坐标； （2）直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 中点为(1,1)M ，求||AB 的值. 18．（12分）设函数()121f x x x a =++-+． （1）当1a =时，解不等式()6f x ≤； （2）设1
2
a <-
，且当21a x ≤<-时，不等式()26f x x ≤+有解，求实数a 的取值范围．
19．（12分）{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，如{}
max 3,1010=，己知函数{}
2
()max 1,2ln f x x x =-，
2221()max ln ,242g x x x x a x a a ⎧⎫⎛
⎫=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
.
（1）设2
1()()3(1)2h x f x x x ⎛
⎫=--
- ⎪⎝⎭
，求函数()h x 在(]0,1上的零点个数； （2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得3
()42
g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.
20．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨
=⎩
（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 224πρθ⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
. （1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若射线02πθαα⎛⎫
=<< ⎪⎝
⎭
与曲线C 交于点A （不同于极点O ）
，与直线l 交于点B ，求||
||
OA OB 的最大值. 21．（12分）已知在中，角
的对边分别为
,且
.
（1）求的值； （2）若
,求
的取值范围.
22．（10分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l 小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为14，16
，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为12，2
3，且两人健
身时间都不会超过3小时.
（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量ξ（单位：元），求ξ的分布列与数学期望()E ξ；
（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】
因为实数x ，y 满足2212
x
y +，
设x θ=
，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-+
2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->恒成立，
222222|2||67|sin cos 89962x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--，
故则2222|2||67|x y x y x +-++-+的最小值等于9-故选：D ． 【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 2、D 【解析】
将AO 、EC 用AB 、AC 表示，再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅中计算即可. 【详解】
由0OA OB OC ++=，知O 为ABC ∆的重心，
所以211
()323
AO AB AC =
⨯+=()AB AC +，又2AE EB =， 所以2
3
EC AC AE AC AB =-=-，93()AO EC AB AC ⋅=+⋅2()3AC AB -
2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅，所以22
23AB AC =，||322||
AB AC λ=
==.
故选：D 【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题. 3、C 【解析】
首先绘制出可行域，再绘制出目标函数，根据可行域范围求出目标函数中z 的取值范围. 【详解】
由题知x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，可行域如下图所示，
可知目标函数在点()2,0A 处取得最小值， 故目标函数的最小值为2z x y =+=， 故z x y =+的取值范围是[)2,+∞. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题，属于基础题. 4、D 【解析】
由双曲线的方程22
221x y a b
-=的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C 的渐近线上的一点，
且,P Q 都位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF =⋅=， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥,
点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(,)Q a b ，2(,0)F c ， 设11(,)P x y ，则11112(,)(,)x a y b c x y --=--， 解得1122,33a c b x y +=
=，即22(,)33
a c b
P +，
代入双曲线的方程可得22
(2)1
144
a c a +-=，解得2c e a ==，故选D ． 点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)． 5、B 【解析】
由于直线的斜率k 3=,所以一条渐近线的斜率为13k '=-，即13b a =，所以e ==，选B. 6、A 【解析】
分析：计算2z a i =-，由z 1()2z 3a 44a 3i =++-，是实数得4a 30-=，从而得解. 详解：复数z 1=3+4i,z 2=a+i,
2z a i =-.
所以z 1()()()2z 34i a i 3a 44a 3i =+-=++-，是实数， 所以4a 30-=，即3a 4
=. 故选A.
点睛：本题主要考查了复数共轭的概念，属于基础题. 7、D 【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π
(,π)2
上的符号，即可判断选择.
详解：令()2sin 2x
f x x =， 因为,()2
sin 2()2sin 2()x
x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x
f x x =为奇函数，排除选项A,B;
因为π
(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 8、B 【解析】
根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【详解】
5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则
①()2
23x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：0055
5(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()2
23x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：1155
5(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③(
)
2
23x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：2255
51240C x x ⋅⋅⋅=；
综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【点睛】
本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识. 9、A 【解析】
首先找出PC 与面PAB 所成角，根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值. 【详解】
由题知ABC 是等腰直角三角形且90ACB ∠=︒，ABP △是等边三角形，
设AB 中点为O ，连接PO ，CO ，可知6
PO =，22CO =，
同时易知AB PO ⊥，AB CO ⊥，
所以AB ⊥面POC ，故POC ∠即为PC 与面PAB 所成角，
有22222
cos 2PO CO PC POC PO CO +-∠==
⋅， 故1
sin 1cos 3
POC POC ∠=-∠=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算，属于基础题. 10、D 【解析】
计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案. 【详解】
11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，
202021
134039457403967403940401
............n n a
a a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，
故4040k =. 故选：D . 【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11、B 【解析】
设数列的公差为,0d d ≠.由12513a a a ++=，125,,a a a 成等比数列，列关于1,a d 的方程组，即求公差d . 【详解】
设数列的公差为,0d d ≠，
125113,3513a a a a d ++=∴+=①.
125,,a a a 成等比数列，()()2
1114a d a a d ∴+=+②，
解①②可得2d =. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题. 12、D 【解析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可. 【详解】
全称命题的否定是特称命题，所以命题“(0,1)x ∀∈,ln x e x ->”的否定是：0(0,1)x ∃∈，0
0ln x e x -≤．
故选D ． 【点睛】
本题考查全称命题的否定,难度容易.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2 【解析】
设切点()00,A x y 由已知可得00
00001()3()ln 31
f x a x f x ax x x ⎧'=+=⎪
⎨⎪=+=-⎩
,即可解得所求. 【详解】
设()00,A x y ，因为()1f x a x '=+，所以0
13a x +=，即0031ax x =-，又000ln y ax x =+，0031y x =-.所以0ln 0x =，
即01x =，2a =. 故答案为:2. 【点睛】
本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易. 14、1 【解析】
由题意得正三棱柱底面边长6，高为3，由此能求出所得正三棱柱的体积． 【详解】
如图，作AO BC ⊥，交BC 于O ，2212663AO =-=， 由题意得正三棱柱底面边长6EF =，高为3h =
，
∴所得正三棱柱的体积为：
1
66sin 603272
DEF V S h ∆=⋅=⨯⨯⨯︒⨯=．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量． 15、14π 【解析】
设PA x =，可表示出,PB PC ，由三棱锥性质得这三条棱长的平方和等于外接球直径的平方，从而半径的最小值，得外接球表面积． 【详解】
设PA x =则1,4PC x PC x =+=-，由,,PA PB PC 两两垂直知三棱锥P ABC -的三条棱,,PA PB PC 的棱长的平方和等于其外接球的直径的平方．记外接球半径为r ， ∴()()22
222143617r x x x x x =
+++-=-+当1x =时，2
min min
14
14214,=41422r r S ⎛⎫==π=π ⎪ ⎪⎝⎭
表．
故答案为：14π． 【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是掌握三棱锥的性质：三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球的直径的平方等于这三条侧棱的平方和． 16、①②③ 【解析】
由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【详解】
函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26
ln 2ln 4ln
ln(1)44x f x x x x x
+=+--==-+--， 6
14u x
=-+
-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确； 22
116662'()2482(1)993
f x x x x x x =
+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确； 2116
'()2428
f x x x x x =
+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的
极小值点，④错误． 故答案为：①②③. 【点睛】
本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）(0,0)，4π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
；（2）【解析】
（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
（ρ∈R ），再对ρ分三种情况考虑；
（2）利用直线参数方程参数的几何意义，求弦长即可得到答案. 【详解】
（1）依题意可知，直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
（ρ∈R ），
当0ρ>时，联立,4
4cos ,πθρθ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
解得交点4π⎛
⎫ ⎪⎝⎭， 当0ρ=时，经检验(0,0)满足两方程，（易漏解之处忽略0ρ=的情况） 当0ρ<时，无交点；
综上，曲线C 与直线l 的点极坐标为(0,0)
，4π⎛⎫
⎪⎝
⎭
， （2）把直线l 的参数方程代入曲线C ，得2
2(sin cos )20t t αα+--=，
可知120t t +=，122t t ⋅=-， 所以
12||AB t t =-==【点睛】
本题考查直线与曲线交点的极坐标、利用参数方程参数的几何意义求弦长，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 18、（1）[2,3]-；（2）12,2⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
. 【解析】
（1）通过分类讨论去掉绝对值符号，进而解不等式组求得结果；
（2）将不等式整理为3a x --≤，根据能成立思想可知max 3a x --≤，由此构造不等式求得结果. 【详解】
（1）当1a =时，()6f x ≤可化为125x x ++-≤，
21,2123,1212,1x x x x x x x ->⎧⎪
++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩
∴由2215x x >⎧⎨-≤⎩，解得23x <≤；由1235x -≤≤⎧⎨≤⎩，解得12x -≤≤；由1125
x x <-⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤<-．
综上所述：所以原不等式的解集为[]2,3-． （2）
21a x ≤<-，()26f x x ≤+，12126x x a x ∴--+-+≤+，3a x ∴--≤，
()26f x x ≤+有解，31a ∴--<-，即2a >-，
又21a <-，12
a ∴<-
， ∴实数a 的取值范围是12,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭．
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解、根据不等式有解求解参数范围的问题；关键是明确对于不等式能成立的问题，通过分离变量的方式将问题转化为所求参数与函数最值之间的比较问题. 19、（1）个；（1）存在，ln 21
(,2]4
-. 【解析】 试题分析：（1）设，对其求导，及最小值，从而得到
的解析式，进一步求值域即可；（1）分别对
和
两种情况进行讨论，得到
的解析式，进一步构造
，通过求导得到最值，得到满足条件
的的范围．
试题解析：（1）设()()()()2211212ln ,2x x F x x x F x x x x
-='+=---
=
，．．．．．．．．．．．．．1分 令()0F x '>，得()1,x F x >递增；令()0F x '<，得()01,x F x <<递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∴()()min 10F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴()2
1f x x =-．．．．．．．．．．．．．3分
设()()2
1312G x x x ⎛
⎫=-
- ⎪⎝⎭
，结合()f x 与()G x 在(]0,1上图象可知，这两个函数的图象在(]0,1上有两个交点，即()h x 在(]0,1上零点的个数为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
（或由方程()()f x G x =在(]0,1上有两根可得） （1）假设存在实数()2,a ∈-+∞，使得()3
42
g x x a <
+对()2,x a ∈++∞恒成立， 则2223
ln 42
{
1324422x x x a x a x a a x a
+<
+⎛
⎫-+-++<+ ⎪⎝
⎭，对()2,x a ∈++∞恒成立，
即()()
21
ln 42{20
x x a
x x a -<+->，对()2,x a ∈++∞恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
①设()()1112ln ,222x H x x x H x x x
'-=-
=-=，
令()0H x '>，得()02,x H x <<递增；令()0H x '<，得()2,x H x >递减， ∴()()max 2ln 21H x h ==-，
当022a <+<即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 214a ->
，∵0a <，∴4ln 21,04a -⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
． 故当ln 21,04a -⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 当22a +≥即0a ≥时，()H x 在()2,a ++∞上递减，∴()()()1
2ln 212
H x H a a a <+=+-
-． ∵()111ln 210222
a a a '
⎛⎫+--=-≤ ⎪+⎝⎭，∴()()20ln 210H a H +≤=-<， 故当0a ≥时，1
ln 42
x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ②若()(
)2
20x x a
+->对()2,x a ∈++∞恒成立，则2
2a a
+≥，∴[]1,2a ∈-．．．．．．．．．．．11分
由①及②得，ln 21,24a -⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
． 故存在实数()2,a ∈-+∞，使得()3
42
g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立， 且a 的取值范围为ln 21,24-⎛⎤
⎥⎝⎦
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 考点：导数应用.
【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题；利用导数来判断函数的单调性，进一步求最值；属于难题．本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.
20、（1）1C ：2cos ρθ=，直线l ：4x y +=；（2）14
． 【解析】
（1）由消参法把参数方程化为普通方程，再由公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
进行直角坐标方程与极坐标方程的互化；
（2）由极径的定义可直接把θα=代入曲线C 和直线l 的极坐标方程，求出极径12,ρρ，把比值OA OB
化为α的三角函
数，从而可得最大值、 【详解】
（1）消去参数ϕ可得曲线C 的普通方程是22(1)1x y -+=，即22
20x y x +-=，代入cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩得2
2cos ρρθ=，
即2cos ρθ=，∴曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=； 由sin()224
ρθπ
+=，化为直角坐标方程为4x y +=．
（2）设12(,),(,)B ραρα，则12cos ρα=，
222sin()
4
ρπα=
+，
12cos sin()42
OA OB π
ααρρ+==2
sin cos cos 111sin 2cos 22444ααααα+=++21sin(2)444πα=++，
当8πα=时，OA OB 取得最大值为124
+．
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，掌握公式cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩
可轻松自如进
行极坐标方程与直角坐标方程的互化． 21、（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将
转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据
求出角的值，
根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将
转化为
，又因
为角的值已经得到，所以将
转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也
可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出
的最大值，当然，此时还要注意到三角形
两边之和大于第三边这一条件. 试题解析：（1）由，
应用余弦定理，可得
化简得则
（2）
即
所以
法一.,
则
=
=
=
又
法二
因为由余弦定理
得，
又因为，当且仅当时“”成立.
所以
又由三边关系定理可知
综上
考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.
22、（1）见解析，40元（2）6000元
【解析】
（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可
（2）根据（1）结果求均值.
【详解】
解：（1）由题设知 可能取值为0，20，40，60，80，则
()111
4624
Pξ==⨯=；
()12111
20
43624
Pξ==⨯+⨯=；
()1112115
40
46236412
Pξ==⨯+⨯+⨯=；()11121
60
26434
Pξ==⨯+⨯=；
()111
80
4624
Pξ==⨯=.
故ξ的分布列为：
所以数学期望()
1 020******** 24412424
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）
（2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：
1 403006000
2
⨯⨯=（元）
【点睛】
考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.。