最新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测卷(包含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知复数z 满足2
||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆
B ．线段
C ．2个点
D ．2个圆
2．设()(
)
2
2
25322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 对应的点在实轴的下方
D ．z 一定为实数
3．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知复数1322
z i =--，则z z +=（ ） A ．1322i -
- B ．1322
i -
+ C ．
1322
i + D ．
1322
i - 5．已知复数，是z 的共轭复数，则=
A ．
B ．
C ．1
D ．2
6．已知z 是纯虚数，2
1z i
＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i
B ．i
C ．－i
D ．－2i
7．下列命题中,正确的命题是（ ） A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z > B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立 C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =
D ．22
1212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =
8．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；
②复数1z i =-对应的点在第四象限；
③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；
④若22
1223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9．在复平面内，复数20181
2z i i
=++对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
10．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ）
A 1
B
C ．3
D ．2
11．已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么
3132+z z z z --的最小值为（ ）
A
．2
B ．
C ．2
D ． 12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
二、填空题
13．若复数z 满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 14．复数
3
1+i i 1i
+-的值是______. 15．若复数72ai
z i
+=
-的实部为3，其中a 是实数，i 是虚数单位，则2z 的虚部为______. 16．已知复数342i
z i
-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限.
17．已知复数()2a i
z a R i
+=
∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 18．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2
2
12z z +=________.
19．已知i 是虚数单位，则复数21i
z i
-=+的共轭复数是_______. 20．给出下列四种说法： ①-2i 是虚数，但不是纯虚数；
②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==； ④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确说法的为 __________．
三、解答题
21．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈． （1）若123x x -=，求实数p 的值； （2）若123x x +=，求实数p 的值． 22．已知复数1z 满足：111z i z =++. （1）求1z ；
（2）若复数()()2
2111z a a z a R =-+-∈，且2z 是纯虚数，求a 的值.
23．已知12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满足方程()122195z i z i +-=+，
求2212
z z +. 24．已知z 是纯虚数，并使得
2
1z i
+∈-R ，求z 25．（1）已知()2
32z z z i i ++=-，求复数z ； （2）已知复数z 满足2
z z
-
为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 26．设12cos ,1sin z x i z i x =+=+（x 为实数且0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，i 是虚数单位），求函数()2
12f x z z =-的值域.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【详解】
因为2
||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)
因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.
2．C
解析：C 【分析】
根据()2
222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定. 【详解】
()2
222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误；
z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下
方，所以C 正确；
21
3,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误；
21
,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C 【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
3．C
解析：C 【分析】
根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】
若复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20
,10x x x ⎧->⎨
->⎩
解得1x >，故“1x >”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象
限”的充要条件. 故选C. 【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．
4．C
解析：C 【解析】
分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得13
2z z i +=
+，从而求得结果. 详解：根据1322z i =-
-，可得13
22
z i =-+，且13144z =
+=，所以有1313
122z z i i +=-++=+，故选C.
点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.
5．A
解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.
【详解】
，
，
，
故答案为：A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
6．D
解析：D 【分析】
根据复数的运算，化简得到21
[(2)(2)]12
z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】
设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝
＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．
∵
∈R ，
∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i. 故选D. 【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
7．C
解析：C 【分析】
A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；
B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z z
z ⋅=是否成立；
C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；
D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确. 【详解】
A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；
B ．当0z =时，0z z ==，所以2
0z z z ⋅==，所以此时2||z z z ⋅=成立，故错误；
C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；
D ．当12,1z i z ==时，22
12110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误.
故选：C. 【点睛】
本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子
集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2
z z z ⋅=.
8．A
解析：A 【解析】
对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若(
)(
)
2
2
132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2
2
12230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.
9．C
解析：C 【解析】 因为201812z i i =
++()()22231122555i i i i i i --=
+=-=--+- ，复数201812z i i
=++对应的点的坐标为3
1,5
5⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，故复数20181
2z i i
=
++对应的点位于第三象限,故选C. 10．A
解析：A 【分析】
根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果. 【详解】
因为|||i |1z x y =+==，所以2
2
1x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：2
2
1x y +=上的点；
又|12i ||(1)(2)i |z x y +-=++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，
所以min |12i |z +-为||1OA r -=， 故选：A ． 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题.
11．A
解析：A 【分析】
先求出复数123,,z z z 对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解.
【详解】
1421, z i +-=表示1z 的轨迹是以A (4,2)-为圆心，以1为半径的圆； 2 41, z i -=表示2z 的轨迹是以B (0,4)为圆心，以1为半径的圆； 331z z i -=-，表示3z 的轨迹是直线y x =，如图所示：
3132+z z z z --表示直线y x =上的点C 到圆A 和圆B 上的点的距离，
先作出点B (0,4)关于直线y x =的对称点D (4,0)，连接AD , 与直线y x =交于点C .
3132+z z z z --的最小值为2||||||2(44)222172CE CF AD +=-=++=. 故选：A 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到动点处于何位置时，3132+z z z z --取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平.
12．A
解析：A 【分析】
根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得5
1212z i i
==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.
故选:A. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
二、填空题
13．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案
1
【分析】
设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径
的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)
B 的距离，数形结合即可得到答案. 【详解】
设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上
的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，
2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，
故min 11PB AB =-==1.
所以2z i +-1.
1 【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.
14．0【分析】先利用复数的除法运算计算再计算相加即得解【详解】【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生数学运算能力属于基础题
解析：0 【分析】
先利用复数的除法运算计算1+i
1i
-，再计算3 i ，相加即得解. 【详解】
()()()
2
3
1i 1i 2i i i i 01i 1i 1i 2+++=-=-=--+. 【点睛】
本题考查了复数的四则运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题.
15．6【分析】化简复数实部为3求出a 进而求出【详解】解：由题意知的虚部为6故答案为：6【点睛】本题考查复数的基础知识和含参复数的运算属于基础题
解析：6 【分析】
化简复数，实部为3,求出a ，进而求出2z .
【详解】 解：7(7)(2)2(2)(2)ai ai i z i i i +++=
=--+(14)(72)1472555a a i a a
i -++-+==+. 由题意知
1435
a
-=，1a ∴=-， 3z i ∴=+，286z i ∴=+， 2z ∴的虚部为6. 故答案为：6. 【点睛】
本题考查复数的基础知识和含参复数的运算，属于基础题.
16．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识
解析：一 【分析】
化简得到2z i =+，得到复数对应象限. 【详解】
()()()
34525
22222i i z i i i i i -+=
===+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1）， 故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故答案为：一. 【点睛】
本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.
17．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的
解析：12
-
【分析】
先利用复数的乘除法运算化简复数为()()11
21255
z a a i =++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解. 【详解】 因为复数()()()()()()211
21222255
a i i a i z a a i i i i +-+=
==++-++-， 又因为复数z 是纯虚数，
所以
()()11
210,2055
a a +=-≠， 解得1
2
a =-
， 所以a 的值为12
-. 故答案为：12
- 【点睛】
本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
18．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100
【解析】 【分析】
设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2
2
12z z +的值.
【详解】
设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，
又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==，
所以2
2
2
2
2
12
1212100z z OM OM M M =+=+=.
故答案为：100. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
19．【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简求出复数z 进而求得其共轭复数从而求得结果详解：因为所以故答案是点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题在解题的过程中需要对复数
解析：13
22
i +
【解析】
分析：利用复数代数形式的乘除运算法则化简，求出复数z ，进而求得其共轭复数，从而求得结果.
详解：因为2(2)(1)13131(1)(1)222i i i i z i i i i ----=
===-++-， 所以1322
z i =+，故答案是1322i +. 点睛：该题考查的是有关复数的除法运算以及共轭复数的概念与求解问题，在解题的过程中，需要对复数的除法运算法则灵活掌握，以及共轭复数满足的条件是实部相等，虚部互为相反数.
20．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共
解析：③.
【解析】
分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.
详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；
②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；
③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；
④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.
点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
三、解答题
21．（1）52p =
或2-；（2）2p =-或94． 【分析】
（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，2212
1212()4x x x x x x -=+-，则可求
出实数p 的值；
（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.
【详解】
解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ， 则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，
22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，
52
p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤
时， ()()22
22121212121212222x x x x x x x x x x x x +=++=+-+， 1229p p ∴-+=，则2p =-，
②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >
时， 由123x x +=，12x x =，得132x =
， 由韦达定理可得2194p x ==
， 综上所述，2p =-或
94
. 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.
22．（1）1z i =-；（2）1a =-.
【分析】
（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，将已知条件化简后可得1z ；
（2）将2z 化简整理，令实部为0，可得a 的值.
【详解】
（1）设1,(,)z a bi a b R =+∈，
1(1)(1)i a bi a b i =+++=+++，
100,,11b a b a +=⎧=⎧∴∴⎨=-=+⎩
∴1z i =-.
（2）由（1）得221(1)(),z a a i a =---∈R
由2z 是纯虚数得：21010a a ⎧-=⎨-≠⎩
， 1a ∴=-.
【点睛】
本题主要考查复数的有关概念及四则运算等基本知识.考查概念识记､运算化简能力，属于基础题.
23．-190
【分析】
根据12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，可知12,z z 互为共轭复数，由此设出12
,z z 的表达式，代入()122195z i z i +-=+，由此求得12,z z ，进而求得2212z z +的值.
【详解】
由于12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以12,z z 互为共轭复数，设
12,,(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈，代入()122195z i z i +-=+得
()()()2195a bi i a bi i ++--=+，化简得()395a b b a i i -+-=+，所以
395
a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得7,12a b ==.所以()()2222122249144190z z a b +=-=-=-. 【点睛】
本小题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的概念，考查复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题.
24．-2i
【分析】
设()z bi b R =∈，代入
21z i +-进行化简，根据21z i +-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z .
【详解】
设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()
()212221112bi i b b i bi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.
【点睛】
本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题.
25．（1）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.
【分析】
（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；
（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z
-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .
【详解】
（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，
根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩
，解得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩
1z =-； （2）设复数(),z a bi a b R =+∈， 则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭
， 由题意可得2220a a a b -
=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=
1=，
所以有()()
()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.
【点睛】
本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题
.
26．3⎡⎤-⎣⎦
【分析】
求出()f
x 的解析式后利用辅助角公式化简得到()34f x x π⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
，由x 的范围结合正弦函数的性质可得()f x 的值域.
【详解】 ()()()()22
212cos 11sin 32cos sin f x z z x x x x =-=-+-=
-+ 34x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥
⎣⎦，故sin 124x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭
， 所以()
f x 的值域为3⎡⎤-⎣⎦.
【点睛】
本题考查复数的模的计算以及三角函数的值域的求法，此类问题属于中档题.。