求解IP问题的割平面法

cj →
C’ B
XB
b
8
5
x1
x2
5
X2
9/4
0
1
8
X1
15/4
1
0
0
X5
-3/4
0
0
Cj–Zj
0
0
5
X2
0
0
1
8
X1
5100 NhomakorabeaX3
1
0
0
Cj–Zj
0
0
−
3 4
x3
−
1 4
x4
+
x5
=
−
3 4
0
0
0
x3
x4
x5
9/4 -1/4
0
-5/4 1/4
0
-3/4 -1/4
1
-5/4 -3/4
0
0
-1
3
0
2/3
-5/3
1
1/3
-3/4
0
-1/3 -5/3
最优整数解为：X=(5,0,1,0,0) Z=40
➢割平面方程的一般表达式推导：
整数
xi + aij x j = bi
j
正真分数
令：
bi = bi + fi , 0 fi 1; aij = aij + fij , 0 fij 1
在fi最大的一行加割平面 继续迭代（对偶单纯形法）
当前解是 整数吗？
N
Y IP最优解
割平面法
MaxZ = 8x1 + 5x2
9x1x1++x52 x2
6
45

x
j
0,
j
= 1,2且为整数
相应LP问题的标准型
相应LP问题最优单纯形表：
cj →
C’ B
XB
b
8
5
x1
x2
5
X2
9/4
0
1
8
X1
15/4
1
0
Cj–Zj
0
0
MaxZ = 8x1 + 5x2
9x1x1++x52
3.3 求解IP问题的割平面法
❖算法思想
➢由于LP问题的最优解是在可行域的顶点上达到，通过增
加线性约束条件，在几何上叫增加割平面，把LP问题的可
行域切割掉一部分，被切割的这部分不包含任何整数解； ➢通过这样有限次切割，最终使得整数坐标点刚好落在剩 下的可行域的顶点上，而且该顶点恰好是相应IP问题的最 优解。
xi + ( aij + fij )x j = bi + fi
j
fij x j = fi + ( bi − xi − aij x j ) 0
j
j
割平面方程为：
fij x j fi 或 － fij x j －fi
j
j
割平面法
❖算法流程
求解相应LP问题得非整数解
+ x2
x3 +
= x4
6 =
45

x
j
0,
j
= 1,2,3,4
0
0
x3
x4
9/4 -1/4
-5/4 1/4
-5/4 -3/4
x1,x2均不是整数，取出x1所对应的行：
x1,x2均不是整数，取出x1所对应的行：
x1
−
5 4
x3
+
1 4
x4
=
15 4
割
将各系数分解成整数和正真分数之和：
平 面
x1
+ (−2 +
3 4
)
x3
+ (0 +
1 4
)
x4
=
(3 +
3) 4
法
将非基变量系数为正真分数部分留在等式左边：
引 例
3 4
x3
+
1 4
x4
=
3 4
+ (3 −
x1
+ 2x3 )
≥0
则有：
必为0或正整数
3 4
x3
+
1 4
x4

3 4
割平面方程
割平面法 引例
3 4
x3
+
1 4
x4

3 4
加入松弛变量x5，加到原最优表中