2020年辽宁省本溪市中考数学三模拟试题(附带详细解析)

……外……………○……_
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_班级：__
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内
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…
…
…○
…
…
绝密★启用前 2020年辽宁省本溪市中考数学三模拟试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．4的平方根是（ ） A ．2 B ．±2 C D ． 2．下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．下列运算正确的是（ ） A ．23222()()ab ab ab -÷=- B ．2325a a a += C ．22(2)(2)2a b a b a b +-=- D ．222(2)4a b a b +=+ 4．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．在一次知识竞赛中，学校为获得一等奖和二等奖共30名学生购买奖品，共花费528元，其中一等奖奖品每件20元，二等奖奖品每件16元，求获得一等奖和二等奖的学生各有多少名，设获得一等奖的学生有x 名，二等奖的学生有y 名，根据题意可列方程组
………○……※※请※………○……为（ ） A ．528201630x y x y +=⎧⎨+=⎩ B ．302016528x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．305282016x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ D ．528302016x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 6．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩x 及其方差2S 如表所示．如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
7．用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（ ）
A ．29
B ．1
2 C ．5
9 D ．2
3
8．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 为AD 边中点，OE 的长等于4，则菱形ABCD 的周长为（ ）
……外…………○…………装………订…………○……………○……学校:
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_姓名：___
_
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_考号：_
_____
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○
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…
…
…
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…
…
…
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…
…
…
○
…
…………○…… A ．16 B ．20 C ．24 D ．32 9．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13
，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（ ） A ．（3，2） B ．（3，1） C ．（2，2） D ．（4，2） 10．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E ，G 同时从点A 出发，分别以每秒12个单位的速度在射线AB ，AC 上运动，设运动时间为x 秒，以点A 为顶点的正方形AEFG 与等腰直角三角形ABC 重叠部分的面积为y ，则大致能反映y 与x 之间的函数关系的图象为（ ） A ． B ． C ． D ． 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明
…………装………………○…………线※请※※不※※要※※在※※※※题※※ …………装………………○…………线11．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m 的颗粒物，将0.0000025用科学计数法表示为________________. 12．因式分解：﹣2x 2y+12xy ﹣18y=______． 13．如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝56°，∠C ＝27°则∠E 的度数为__________．
14．已知数据：﹣1，4，2，﹣2，x 的众数是2，那么这组数据的平均数为_____． 15．关于x 的一元二次方程（k-1）x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______．
16．如图，已知在Rt △OAC 中，∠OCA=90°，O 为坐标原点，直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=k
x （k ＞0）在第一象限的图象经过OA 的中点B ，交AC 于点D ，
连接OD ．若∠A=∠COD ，则直线OA 的解析式为______．
17．在△ABC 中，AB=6，AC=5，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，若△ADE 与△ABC 相似，且S △ADE ：S 四边形BCED =4：21，则AD=______．
18． 已知∠BAC=36°，△A 1B 1A 2，△A 2B 2A 3，△A 3B 3A 4，…，△A n B n A n+1都是顶角为36°的等腰三角形，即∠A 1B 1A 2=∠A 2B 2A 3=∠A 3B 3A 4=…=∠A n B n A n+1=36°，点A 1，A 2，A 3，…，A n 在射线AC 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在射线AB 上，若A 1A 2=1，则线段A 2018A 2019的长为______．
○…………订………………○……班级：__
___
_
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_
_考号：_
__○
…
…
…
…
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…
…………○…… 三、解答题 19．先化简，再求值：232111x x x x x -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭，其中（π-2019）0-11()2- 20．某市旅游景区有A ，B ，C ，D ，E 等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2018年春节期间旅游情况统计图（如图），根据图中信息解答下列问题： （1）2018年春节期间，该市A ，B ，C ，D ，E 这五个景点共接待游客 万人，扇形统计图中E 景点所对应的圆心角的度数是 ，并补全条形统计图． （2）甲，乙两个旅行团在A ，B ，D 三个景点中随机选择一个，这两个旅行团选中同一景点的概率是 ． 21．某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元. (1)第一批饮料进货单价多少元？ (2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？ 22．如图，某塔观光层的最外沿点E 为蹦极项目的起跳点，已知点E 离塔的中轴线AB 的距离OE 为10米，塔高AB 为123米(AB 垂直地面BC)，在地面C 处测得点E 的仰角α＝45°，从点C 沿CB 方向前行40米到达D 点，在D 处测得塔尖A 的仰角β＝60°，求点E 离地面的高度EF.(结果精确到1≈1.4
○…………外订…………○…………○……内※※答※※题※※ ○…………内订…………○…………○…… 23． 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，且∠AED=45°． （1）判断CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 半径为4cm ，AE=6cm ，求∠ADE 的正切值．
24．某保健品厂每天生产A ，B 两种品牌的保健品共600瓶，A ，B 两种产品每瓶的成本和售价如下表，设每天生产A 产品x 瓶，生产这两种产品每天共获利y 元．
（1）请求出y 关于x 的函数关系；
（2）该厂每天生产的A ，B 两种产品被某经销商全部订购，厂家对B 产品不变，对A 产品进行让利，每瓶利润降低100x
元，厂家如何生产可使每天获利最大？最大利润是多
少？
25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=α，点D 在边AC 上（不与点A ，C 重合）连接BD ，点K 为线段BD 的中点，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结CK ，EK ，CE ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90°）
………订…………○…：__
___
_
___
_
_考号：_
_____
__
___
…
…
…
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…
…
…
○
…
（1）如图1，若α=45°，则△ECK 的形状为______； （2）在（1）的条件下，若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D ，E ，B 三点共线，点K 为线段BD 的中点，如图2所示，求证：BE-AE=2CK ； （3）若△ADE 绕点A 旋转至图3位置时，使得D ，E ，B 三点共线，点K 仍为线段BD 的中点，请你直接写出BE ，AE ，CK 三者之间的数量关系（用含α的三角函数表示）． 26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2-83x+c 交x 轴于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（1，0），交y
轴于点C ． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知点P 为抛物线上一点，直线PC 与x 轴交于点Q ，使得PQ=54CQ ，求P 点坐标； （3）若点M 是抛物线对称轴上一点，点N 是平面内一点，是否存在以A ，C ，M ，N 为顶点的矩形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．B
【解析】
【分析】
根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】
解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故选：B．
【点睛】
本题考查平方根．题目比较简单，解题的关键是熟记定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．B
【解析】
【分析】
【详解】
解：根据从上边看得到的图形是俯视图，可得
A的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选B．
【点睛】
本题考查简单组合体的三视图．
3．A
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：A ．23222()()ab ab ab -÷=-，正确；
B ．325a a a +=，故错误；
C ．22(2)(2)4a b a b a b +-=-，故错误；
D ．222(2)44a b a b ab +=++，故错误．
故选A ．
考点：1．平方差公式；2．合并同类项；3．同底数幂的除法；4．完全平方公式．
4．C
【解析】
【分析】
根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
A 、是轴对称图形，故本选项错误；
B 、是轴对称图形，故本选项错误；
C 、不是轴对称图形，故本选项正确;
D 、是轴对称图形，故本选项错误．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5．B
【解析】
【分析】
【详解】
解：由获得一等奖的学生有x 名，二等奖的学生有y 名，
根据“一等奖和二等奖共30名学生”，“一等奖和二等奖共花费528元，”列出方程组得： 302016528
x y x y +⎧⎨+⎩＝＝
6．B
【解析】
【分析】
从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．
【详解】
解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，选择乙，
故选B．
7．C
【解析】
【分析】
将第一个转盘中的红色划分为圆心角为120度的两部分，将第二个转盘中的蓝色划分为圆心角为120度的两部分，可列树状图表示出所有等可能结果，再求概率即可.
【详解】
解：如图，
根据题意画树状图如下：
由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果，
那么可配成紫色的概率是5
9
；
故选：C．
【点睛】
本题考查了随机事件的概率，灵活的利用树状图或列表法求概率是解题的关键.
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可知AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可知AD＝2OE＝8，进而求得菱形的周长.
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，
∵E为AD边中点，
∴OE是Rt△AOD的斜边中线，
∴AD＝2OE＝8，
∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，还涉及了直角三角形斜边中线定理，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
9．A
【解析】
【详解】
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1
3
，
∴AD
BG
=1
3
，
∵BG=6，
∴AD=BC=2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴OA
OB
=1
3
，
∴
2OA
OA
+
=1
3
，
解得：OA=1，∴OB=3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选A．
10．B
【解析】
【分析】
分0＜x≤4、4＜x≤8、x＞8三个时间段求出函数解析式即可确定其图象. 【详解】
解：①当0＜x≤4时，y=1
4
x2，
②当4＜x≤8时，y=1
2
×4×4-2×
1
2
×（4-
1
2
x）2=
1
4
-x2+4x-8，
③当x＞8时，y=8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了动点问题中有关图形面积的函数图象，灵活的表示出图形的面积与动点运动时间的函数关系是解题的关键.
11．2.5×10-6
【解析】
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
0.0000025=2.5×10-6，
故答案为2.5×10-6．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．﹣2y（x﹣3）2
【解析】
【分析】
【详解】
原式=﹣2y（x2﹣6x+9）=﹣2y（x﹣3）2．
故答案为﹣2y（x﹣3）2．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
13．29°
【解析】
【分析】
【详解】
因为AB∥CD，∠A＝56°
所以∠DFE＝∠A＝56°，
又因为∠DFE＝∠C+∠E，∠C＝27°
所以∠E=∠DFE-∠C=56°-27°=29°，
故答案为29°．
考点：1．平行线的性质；2．三角形的外角性质．
14．1．
【解析】
试题分析：数据：﹣1，4，2，﹣2，x的众数是2，即的2次数最多；即x=2．则其平均数为：（﹣1+4+2﹣2+2）÷5=1．故答案为1．
考点：1．众数；2．算术平均数．
15．k＜2且k≠1
【解析】
试题解析：∵关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k-1≠0且△=（-2）2-4（k-1）＞0，
解得：k ＜2且k≠1．
考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义．
16．y=2x ．
【解析】
【分析】
设OC=a ，由点D 在y=k x
上可表示出CD 长，由两组对应角分别相等的两个三角形相似可得△OCD ∽△ACO ，由相似三角形对应线段成比例的性质可得AC ，由中点的定义表示出B 点坐标，根据点B 在反比例函数图象上可得a ，k 的关系，用a 表示出点B 坐标，再代入直线OA 的解析式y=mx 求解即可.
【详解】
解：设OC=a ，
∵点D 在y=
k x （k ＞0）上， ∴CD=k a
， ∵∠A=∠COD ，∠ACO=∠OCD ，
∴△OCD ∽△ACO ， ∴OC CD =AC OC
， ∴AC=2OC CD =3a k
， ∴点A （a ，3
a k
）， ∵点B 是OA 的中点，
∴点B 的坐标为（2a ，3
2a k
）， ∵点B 在反比例函数图象上，
∴k=2a •32a k =4
4a k
， ∴a 4=4k 2，
解得a 2=2k ，
∴点B 的坐标为（2
a ，a ）， 设直线OA 的解析式为y=mx ，
则m•2
a =a ， 解得m=2，
所以，直线OA 的解析式为y=2x ．
故答案为：y=2x ．
【点睛】
本题综合考查了一次函数与反比例函数的综合，同时涉及的相似三角形的判定与性质，灵活的表示反比例函数图象上的点是解题的关键.
17．2或125
． 【解析】
【分析】
由△ADE 与△ABC 相似可分∠AED 对应∠B 和∠ADE 对应∠B 两种情况，由相似三角形的面积比等于相似比的平方可确定其相似比，根据相似比可得AD 长.
【详解】
解：如图，
∵S △ADE ：S 四边形BCED =4：21，
∴S △ADE ：S △ABC =4：25，
∴△ADE 与△ABC 相似比为2：5，
①若∠AED 对应∠B 时， 则AD AC =25
， ∵AC=5，
∴AD=2；
②当∠ADE 对应∠B 时，则
AD AB =25， ∵AB=6，
∴AD=125
； 故答案为：2或
125． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，灵活利用相似三角形的对应线段成比例，相似三角形的面积比等于相似比这两个性质是解题的关键，解题过程中注意分类讨论.
18
．2017⎝⎭
【解析】
【分析】 先证明△A 2B 1A 1∽△A 2AB 1，设AA 1=A 1B 1=B 1A 2=x ，则有2112A B A A =221
AA A B ，从而可求出x 的值，同理可得A 2A 3的长，A 3A 4的长，…，根据规律可得出结果．
【详解】
解：∵∠A=∠A 1B 1A 2=36°，A 1B 1=A 2B 1，
∴∠AA 2B 1=∠B 1A 1A 2=72°，
∴∠A=∠AB 1A 1=36°，
∴AA 1=A 1B 1=B 1A 2，△A 2B 1A 1∽△A 2AB 1，
设AA 1=A 1B 1=B 1A 2=x ， ∴2112A B A A =221
AA A B ， ∴1x =1x x
+， 解得
x=12
（舍去负根）， 同理可得：AA 2=A 2B 2=B 2A 3
， 设A 2A 3=y ，
∵△A 3B 2A 2∽△A 3AB 2， ∴3223A B A A =332
AA A B ，
∴12y +
12
y +， 解得：
y=12，即A 2A 3
=12
， 同理可得：A 3A 4=
（12
）2，… ∴A 2018A 2019的长=
）2017，
故答案为：201712⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．
【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，解一元二次方程，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法．
19．11x +
，4
． 【解析】
【分析】
先将分式的分子分母因式分解，同时计算括号内的减法，再将除法转化为乘法约分即可，根据二次根式的化简以及零指数幂和负指数幂计算出x 的值代入求解.
【详解】 解：232111x x x x x -+⎛⎫÷- ⎪-⎝⎭
=()()2(1)11x x x x -+-÷1x x
-
=()()2(1)11x x x x -+-•1
x x - =11
x +，
当+（π-2019）0-11()
2--1时，原式． 【点睛】 本题主要考查了分式的化简求值，涉及了二次根式的化简、零指数幂和负指数幂，灵活的运用分式的加减乘除混合运算法则进行化简是解题的关键.
20．（1）50，43.2°，补图见解析；（2）
13． 【解析】
【分析】
（1）由A 景点的人数以及百分比进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；再根据扇
形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；根据B 景点接待游客数补全条
形统计图；
（2）根据甲、乙两个旅行团在A 、B 、D 三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．
【详解】
解：（1）该市景点共接待游客数为：15÷30%=50（万人），
E 景点所对应的圆心角的度数是：636043.250
o o ⨯
= B 景点人数为：50×24%=12（万人），
补全条形统计图如下：
故答案是：50,43.2o .
（2）画树状图可得：
∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，
∴同时选择去同一个景点的概率=3193
=. 21．（1）第一批饮料进货单价为8元.(2) 销售单价至少为11元.
【解析】
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进行求解即可；
（2）设销售单价为m 元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得.
【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x 元，则：1600600032
x x ⨯
=+ 解得：8x =
经检验：8x =是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元.
（2）设销售单价为m 元，则： ()()8200106001200m m -⋅+-⋅≥，
化简得：()()2861012m m -+-≥，
解得：11m ≥，
答：销售单价至少为11元.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关键.
22．点E 离地面的高度EF 约为100米．
【解析】
【分析】
在直角△ABD 中，利用∠ADB 的正切值求得BD 的长，从而根据CF=DF+CD 求出CF 的长
度，然后根据直角△CEF 的三角函数求出EF 的长．
【详解】
在直角△ABD 中，BD=123tan tan 60AB β︒
==，则DF=BD ﹣﹣10（米），
（米），
则在直角△CEF 中，（米）．
答：点E 离地面的高度EF 约为100米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题
23．（1）CD 与⊙O 相切，理由见解析；（2）
7
【解析】
【分析】
（1）连接OD ，首先根据圆周角定理求出∠AOD=90°，然后利用平行四边形的性质得到AB ∥DC ，利用平行线的性质即可得出结论；
（2）连接BE ，则∠ADE=∠ABE ，由AB 是⊙O 的直径得到∠AEB=90°，而AB=2×4=8（cm ）．在
Rt △ABE 中，根据勾股定理求出BE 的长，再利用三角函数的定义即可求解．
【详解】
解：（1）CD 与⊙O 相切．
理由如下：连接OD ．
则∠AOD=2∠AED=2×45°=90°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥DC ，
∴∠CDO=∠AOD=90°．
∴OD ⊥CD ，
∴CD 与⊙O 相切；
（2）连接BE ，则∠ADE=∠ABE ．
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，AB=2×4=8（cm ）．
在Rt △ABE 中，
由勾股定理得，==cm ）,
∴tan ∠ABE=
AE BE ==．
∴∠ADE ． 【点睛】
本题主要考查了切线的判定，三角函数的定义，圆周角定理的推论，平行四边形的性质以及勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
24．（1）y 关于x 的函数关系为：y ＝5x +9000；（2）每天生产A 产品250件，B 产品350件获利最大，最大利润为9625元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意，即可得y 关于x 的函数关系式为：y ＝（70﹣50）x +（50﹣35）（600﹣x ），然后化简即可求得答案；
（2）首先表示出获利与x 之间的关系进而得出函数最值．
【详解】
（1）由题意得：
y ＝（70﹣50）x +（50﹣35）（600﹣x ）
＝5x +9000
∴y 关于x 的函数关系为：y ＝5x +9000；
（2）由题意得：
y ＝（70﹣50﹣
100x ）x +（50﹣35）（600﹣x ） ＝﹣1100
（x ﹣250）2+9625 ∵﹣1100
＜0 ∴当x ＝250时，y 有最大值9625
∴每天生产A 产品250件，B 产品350件获利最大，最大利润为9625元．
【点睛】
此题考查一次函数的应用，解题关键在于理解题意列出方程.
25．（1）△ECK 是等腰直角三角形；（2）见解析； （3）BE-AE•tanα=2CK ．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC ，∠EKC =90°即可；
（2）在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BF 于Q ，结合等腰直角三角形的性质利用SAS 可证△AEC ≌△BGC ，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG 是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG ，等量代换可得结论.
（3）在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BE 于Q ，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG ，由tanα的表示可得
BC AC =BG AE
，易证△CAE ∽△CBG ，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.
【详解】
（1）解：结论：△ECK 是等腰直角三角形．
理由：如图1中，
∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，
∴CA=CB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵DK=KB，
∴EK=KB=DK=1
2 BD，
∴∠KEB=∠KBE，
∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，
∴CK=KB=KD=1
2 BD，
∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，
∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，
∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，
∴△ECK是等腰直角三角形．
（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．
∵∠α=45°，DE⊥AE，
∴∠AED=90°，∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=BG ，
∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵AC=BC ，
∴△AEC ≌△BGC （SAS ），
∴CE=CG ，∠5=∠BCG ，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∴△ECG 是等腰直角三角形，
∵KD=KB ，DE=BG ，
∴KE=KG ，
∴CK=EK=KG ，
∴BE-AE= BE-BG=EG=EK+KG =2CK ．
（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK ．
理由：如图3中，在BD 上截取BG=DE ，连接CG ，设AC 交BE 于Q ．
DE AE ⊥Q ，∠ACB=90°
， 90,90CAE EQA CBG CQB ︒︒∴∠+∠=∠+∠=
EQA CQB ∠=∠Q
∴∠CAE=∠CBG，
在Rt △ACB 中，tanα=
BC AC ， 在Rt △ADE 中，tanα=
DE AE =BG AE ， ∴BC AC =BG AE ，tan DE AE α=g
∴△CAE ∽△CBG ，
∴∠ACE=∠BCG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∵KD=KB，DE=BG，
∴KE=KG，
∴EG=2CK，
∵BE-BG=EG=2CK，
∴BE-DE=2CK，
∴BE-AE•tanα=2CK．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.
26．（1）y=-4
3
x2-
8
3
x+4；（2）P点坐标（-
3
2
，5）或（-
1
2
，5）或
，-5）或
，
-5）；
（3）存在以A、C、M、N为顶点的矩形，点N的坐标为：（2，5
2
）或（-4，
3
4
）或（-2，
）或（-2，
）．
【解析】【分析】
（1）把点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）代入y=ax2-8
3
x+c求解即可；
（2）设P（m，-4
3
m2-
8
3
m+4），作PH⊥x轴于H，由平行可得△QCO∽△QPH，由相似三
角形对应线段成比例可得m值，代入求点P坐标即可；
（3）设点M的坐标为（-1，m），可求得AM、AC、CM长，分AC为边或AC为对角线两种情况由勾股定理可得m值，易知点M坐标，由全等三角形的性质确定N点坐标即可. 【详解】
解：（1）把点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）代入y=ax2-8
3
x+c得
980
8
3
a c
a c
++=
⎧
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
，
解得：
4
3
4
a
c
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴该抛物线的解析式为y=-4
3
x2-
8
3
x+4；
（2）∵点P为抛物线上一点，
∴设P（m，-4
3
m2-
8
3
m+4），作PH⊥x轴于H，
∴PH∥OC，
∴△QCO∽△QPH，
∴PQ
CQ
=
PH
OC
=
5
4
，
∴
2
48
4
33
4
m m
--+
=±
5
4
，
解得：m1=-3
2
，m2=-
1
2
，m3
，m4
，
∴P点坐标（-3
2
，5）或（-
1
2
，5
，-5
，-5）；
（3）∵抛物线y=-4
3
x2-
8
3
x+4的对称轴为x=-1，
设点M的坐标为（-1，m），
∵点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，4），
∴
，
分AC为边或AC为对角线两种情况考虑：
①当AC为边时，有AC2+AM2=CM2或AC2+CM2=AM2，即25+m2+4=m2-8m+17或25+m2-8m+17=m2+4，
解得：m1=-11
8
或m2=
19
4
，
∴点M的坐标为（-1，-11
8
）或（-1，
19
4
）；
如图2，分别过M或N作y轴或x轴的垂线，
由全等三角形的性质得，N点的坐标为：（2，5
2
）或（-4，
3
4
）；
②当AC为对角线时，有AM2+CM2=AC2，即m2+4+m2-8m+17=25，
解得：m3，m4，
∴点M的坐标为（-1，）或（-1，）．
如图3，分别过M或N作y轴或x轴的垂线，
由全等三角形的性质得，N点的坐标为（-2，）或（-2，）
综上所述：存在以A、C、M、N为顶点的矩形，点N的坐标为：（2，5
2
）或（-4，
3
4
）或
（-2，）或（-2，）．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的综合题，涉及了二次函数解析式，二次函数的图像与性质、二次函数图像上的点坐标、矩形的性质、勾股定理、解二元一次方程，涉及知识面较广，难度较大，灵活的表示二次函数图像上的点坐标及线段长，利用勾股定理及二元一次方程求解是解题的关键.。