第36课--数列的综合

第36课 数列的综合
基础知识：
1. 数列通项公式的求法
(1)利用n S 与n a 的关系：已知()n n S f a =或()n S f n =
解题步骤：
①利用n S 满足条件p ，写出当2n ≥时，1n S -的表达式；
②利用1(2)n n n a S S n -=-≥，求出n a 或者转化为n a 的递推公式的形式； ③根据11a S =求出1a ，并代入{}n a 的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式或根据1a 和{}n a 的递推公式求出n a .
(2)累加法：型如1()n n a a f n +-=或1()n n a a f n +=+
解题步骤：
①将递推公式写成1()n n a a f n +-=；
②依次写出121,,n n a a a a --⋅⋅⋅-，并将它们累加起来；
③得到1n a a -的值，解出n a ；
④检验1a 是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.
(3)累乘法：型如1()n n
a f n a +=或1()n n a a f n +=⨯ 解题步骤： ①将递推公式写成1()n n
a f n a +=； ②依次写出
211,,n n a a a a -⋅⋅⋅，并将它们累加起来； ③得到1
n a a 的值，解出n a ； ④检验1a 是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.
(4)构造法：型如1n n a pa q +=+（其中,p q 为常数，且(1)0pq p -≠） 解题步骤：
①假设将递推公式改写为()1n n a t p a t ++=+； ②由待定系数法，解得1
q t p =-； ③写出数列1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩
⎭的通项公式； ④写出数列{}n a 通项公式.
2. 数列求和的方法
(1)裂项相消法
解题步骤：
①定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；
②巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式； ③消项求和：即把握消项的规律，准确求和.
(2)错位相减法
解题步骤：
①巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； ②确定等差、等比数列的通项公式；
③构差式：即写出n S 的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差； ④求和：根据差式的特征准确求和.
一、典型例题
1. 已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足258,2,3a a a 成等差数列，则
36
3S S =（ ）. A. 134 B. 1312 C. 94 D. 1112 2. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n +=+，则n a =（ ）. A. 222n n n a -+= B. 222n n n a ++= C. 22n n n a -= D. 22n n n a += 3. 数列1，12+，2122++，，211222n -++++的前n 项和为（ ）.
A. 2n
B. 2n n -
C. 122n n +--
D. 2n n -
二、课堂练习
1. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2*()n S n n =∈N ，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和为n T ，则2017T =（ ）. A. 40344035 B. 20174035 C. 20162017 D. 20172018
2. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且137,,a a a 为等比数列{}n b 的连续三项，则
3445b b b b +=+（ ）. A. 12 B. 4 C. 2
D. 3. 已知数列{}n a 是首项为1的正项数列，且()()2211101,2,3,n n n n n a na a a n +++-+⋅==，则它的通项公式n a =
（ ）. A. 21n B. 1n
C. 2n
D. n 三、课后作业
1. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3629,1S S a ==，则1a =（ ）. A. 12
B.
C. D.2
2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则
66S a =（ ） A. 6332 B. 3116 C. 12364 D. 127128
3. 已知正项数列{}n a
*(1)()2n n n a n ++=∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）. A. n a n = B. 2n a n = C. 2n n a = D. 2
2n n a = 4. 已知数列{}n a 满足111,32n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为（ ）.
A. 21n -
B. 32n -
C. 13n -
D. 1231n -⋅-
5. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（
）. A. 3(1)2n n -++⋅ B. 3(1)2n n ++⋅ C. 1(1)2n n -++⋅ D. 1(1)2n n +-⋅
6. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且1111,2n n n a a S S ++=-=,则n S = __________.。