数学模型及求解

1995年B 题天车与冶炼炉的作业调度
确定天台的车数-----层次分析法
对采用三台、四台、五台天车都能满足工艺要求的情况下，要确定选取哪一种情况为最优方案时，可以运用层次分析法，将决策问题分解为三个层次：目标层，准则层和方案层。

运用1~9尺度分别写出准则层对目标层（即A 矩阵）及及方案层对准则层的判断矩阵（1B ，2B ,3B ,4B ,5B 矩阵）：
A=1144311334111134321111
14331121
13
4
⎡
⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，1B =125113211153
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦，2B =1
113813
13831
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
3B =134********⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，4B =1241122114⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦1　2，5B =138113311183⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
用对应于A 最大特征根（即作λ）的特征向量（归一化后）作为权向量w ，即w
满足
Aw= λw (1)， 根据PERRON 定理，利用数值计算中的幂法求取λ和w ，程序见附录。

利用CI=
1
n
n λ--对每个判断矩阵进行一致性检验，查找相应除数的平均随机一致
性指标RI ，当阶数n=3时，RI=0.52,n=5时，RI=1.12。

并利用CR=C I R I
求得一致
性比例CR ，当CR>0.1时，说明判断矩阵不合实际，应进行重新判断直到CR<0.1时通过检验，当每一判断矩阵都断过一致性检验时，得到如下表所示值，然后进行组合权向量的计算，结果如下表所示。

从上表中可以看出各判断矩阵均通过一致性检验，并可得到
()
B ϖ
=(0.34727,0.33210,0.11764,0.08291,0.12009)T
,
令W=[()1
B ϖ，()2
B ϖ
，()3
B ϖ
，()4
B ϖ
，()5
B ϖ
]，可得第三层对第一层的排序向量，
其中，31ω=（0.43296,0.26041,0.30662）,此向量中权重最大的一项就是我们所要寻找的最优项，即调用三台天车为最佳。

参考文献：
《天台与炼冶炉的作业调度》 邱玉平，干斌，谭小术
附录：
求解λ和w
A=[1 1 4 4 3;1 1 3 3 4;1/4 1/3 1 3 1/2;1/4 1/3 1/3 1 1;1/3 1/4 2 1 1]; [C,D]=schur(A); >> C C =
0.6733 0.2293 -0.3163 0.5202 -0.3514 0.6439 -0.1821 0.5944 -0.4403 -0.0718 0.2281 -0.5190 -0.7015 -0.4171 0.1121 0.1607 -0.4543 0.1706 0.5449 0.6646 0.2329 0.6622 -0.1598 -0.2543 0.6458
>> D D =
5.3040 -1.9315 -3.1883 -0.3172 7.0559 0 -0.1226 -0.9454 -0.8752 -0.5949 0 1.6782 -0.1226 -0.9284 -0.4307 0 0 0 -0.0977 -0.2218 0 0 0 0 0.0390 >>
A=[1 1 4 4 3;1 1 3 3 4;1/4 1/3 1 3 1/2;1/4 1/3 1/3 1 1;1/3 1/4 2 1 1]; >> [P,J]=eig(A); >> P
P =
Columns 1 through 4
0.6733 0.0504 + 0.3034i 0.0504 - 0.3034i 0.9556
0.6439 0.6588 0.6588 -0.2608
0.2281 -0.4427 - 0.1644i -0.4427 + 0.1644i -0.0634
0.1607 0.1541 - 0.2196i 0.1541 + 0.2196i -0.0102
0.2329 0.0189 + 0.4196i 0.0189 - 0.4196i -0.1211 Column 5
0.4895
-0.8585
-0.0710
0.0604
0.1212
>> J
J =
Columns 1 through 4
5.3040 0 0 0
0 -0.1226 + 1.2596i 0 0
0 0 -0.1226 - 1.2596i 0
0 0 0 0.0390
0 0 0 0 Column 5
-0.0977
1996B 节水洗衣机的设计
非线性规划
符号说明：
D ：洗涤前加入的洗涤剂重量，相当于有害物重量。

G 衣
：在衣物中吸附的洗涤剂重量与衣物重量的百分比，它与衣物的材料有关 G
水
：在水中的洗涤剂重量与水重量的百分比，即浓度
α：G G
α=
衣水
W ：要洗的衣物的重量
t:洗涤的轮数 （t=1,2,3……）
t
D ：第t 轮洗涤后剩余的洗涤剂的含量（t=1,2,3……）
t
V
：第t 轮的加水量 （t=1,2,3……）
模型假设：
1、第一轮漂洗后，水与衣物中的残留洗涤剂以及洗涤剂与衣物脏物结合物的重量之各，与洗衣开始加入的洗涤剂重量接近。

故可简单的用洗涤剂来代替有害物。

2、设在每轮漂洗后，洗涤剂（有害物）在水中和衣物的分配可达到平衡（即充分漂洗）。

3、G G
α=
衣水
在每一轮洗涤过程中均保持不变，即与残留洗涤剂多少无关。

模型建立与求解：
在第一轮洗涤中，用量为V1的水洗涤后，剩余洗涤剂量为D1，则随水排出的洗涤剂量为D0-D1，因此有：
G G
α=
衣水
1
11
W
D
D
V D
-
=
(1)
由此得到101
(
)W W D D V
α=+
据此可推出在第t 轮后，剩余洗涤剂量为：
01
(
)t
t
i i
W W D
D V
α==
+∏
(2)
把衣物中剩余的洗涤剂量与衣物重量之比作为衡量放牧洗涤效果的的标准。

令0t
W
D
C =
，则在一定的洗涤条件下，建立最佳的洗涤轮数与每轮加水量，用
最少的水达到满意的洗涤效果的数学模型，就是要求解（3）~（5）式中的t 和i
V （i=1,…t ）.
1
m in
i
i
i V
==∑ (3)
01
(
)t
i i
W W W
D V C
α=+≤
∏
(4)
min
max
V
V
V
≤≤ (5)
(5)中m in
V
和max
V
分别表示最小加水量和最大加水量。

要求解上述模型，先证明一个定理。

定理：在总水量一定的条件下，平均分配每次加水量，实现的洗涤效果最好。

证明：由算术平均数与几何平均数的关系得：
1
2
...n
C n n
x
x
x +
+=
≥
其中等号成立条件是12
...n
x x
x
===
，即有当12
...n
C x x
x
+++
=（C 为常
数），12
...n
x x
x
=
==
时，乘积12...n x x x 为最大。

对于t 次洗涤的效果，它只与1
(
)t
i i
W W V
α=+∏有关，而1
i
i
i V
=∑为定值，所以
1)
(i
i
i W V
α=+∑也为定值。

由上述结论，只有当12...t
V V V
===时，
1
)(i
i
i W V α=+∑为最大，从而01
()
t
i i
W W
D V
α=+∏最小，0C 也为最小。

定理得证。

这样，为达到最节省水的目的，每次加水量都必须相同，设为0
V
，则有
(
)
t
W
W D W V
C α≤
+，当每次加水量最为最小量m in
V
时，所需要的轮数为最
多，设为m ax
T
，代入，得：
m ax
T
=m in
(
)
log W W W
V
C
D
α
+∙= (6)
同理，当每次加水量都为最大量m ax
V
时（一般为加满水）所需要的轮数最
少，记为m in
T ，则m in
T =m ax
(
)
log W W W
V
C
D
α
+∙=……(7) 因为m ax T 和m in
T
都是整数，当用（6）（7）式解得的m in T
和m ax
T
不为整数
时，m a x
T
要取整加1，
m in
T
要取整减1。

通过计算机遍历t
（t=min
T
,m in
T +1,…m ax
T
）值,得到最优的T 值和每次的加水量T
V。

参考文献：
《节水洗衣机的设计》 韩春生 杨黎明 苟林
2006A 题：组合投资的收益和风险问题
问题二：概率模型 蒙特卡罗算法法
在前面的问题中二十年各组数据用MATLAB 软件作出数据分布规律图，发现数据的分布近似呈正态分布，然后用MATLAB 软件的jbtest()函数对数据的分析，我们发现无论是单个项目还是一些项目的组合的数据确实呈现出正态分布的规律，因此我们用概率模型来解决该问题。

1.对各项目独立投资情况下的预测：
Stept1：根据已知数据求得前二十年中各项目i 第j 年投资利润率x i j
,
由MATLAB 软件中正态分布最大似然估计函数[(,)
x i j ,i σ]=normfit(i x ,alpha)
求得其期望值(,
)
x i j 及其标准差i σ。

然后给出其概率密度分布函数：
2
2
((,))
2()i
x x i j f x σ--
=
Stept2：由于预测数据必然满足期望值为ij x 及其标准差为i σ的分布，所以可以肯定在未来的5年内预测值不应该偏离该期望和标准差。

因此，我们运用蒙特卡罗方法的思想（随机生成大量的模拟数据，这里是满足一定条件下生成的），
由Matlab 函数'
ij x =normrnd （ij x ，i σ，1，5）随机生成得到满足已知20年数据的期望值ij x 和标准差i σ的一批预测数据组。

Stept3：从Step2中选择优良的那一组，作为对未来五年项目i 第j 年利润率的预测值。

表2中给出了8个项目的各年已知数据，这里仅仅用项目1来说明概率模型求解的过程。

用MATLAB 统计工具箱 jbtest 函数,格式为:
[h ，p]= jbtest(ingredients)
其中 ingredients 各个项目的到期利润率组成的一个单列向量，h 取值为0或1，如果取0表示满足正态分布，否则不满足或者偏离很大,p 是[0，1]范围内的一个数，p 越大说明越可以接受为正态分布。

首先，调用jbtest 函数得到：[h ，p]=[0，0.9167]，这说明特别满足正态分布规律。

然后，用normfit 函数求出[(,1)x i ,1σ]=[0.6378，0.6356]，这说明项目1的到期利润率的概率密度分布函数为：
2
(0.637)0.808
()x f x --
=
接着，用normrnd 函数随机生成一大批满足上述概率密度函数的预测数组。

从数据可以发现其实每一组都是很良好的数据，这里只是列出了其中的四组：（每一行就为我们对未来五年的预测数据）：
0.1673 0.1817 0.1119 0.1358 0.1185 0.1439 0.1012 0.1591 0.1617 0.1823 0.0865 0.1477 0.1369 0.1727 0.1381 0.1543 0.1290 0.1519 0.2156 0.1074⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
最后，我们可以从中挑选出认为与前20年数据更一致的数据作为项目1的未来的预测数据：[0.1793，0.1593，0.1312，0.1157，0.1845，0.1845]
同样的道理，可以求出其它各年的数据（参见表2）。

2.对部分项目同时投资情况下的预测：
Step1：与求解独立投资情况下的方法一样，我们先对各个组合投资到期利润率进行正态分布的分析，发现都符合正态分布规律。

Step2：对于只有两项同时投资的情况，用项目i 的ij x 与项目k 的kj x 之间的协方差cov in 来表示二者之间的相互影响程度。

我们用Matlab 软件中的cov 函数求出各对组合投资项目的协方差'
ij x ，'kj x ，由于协方差反映了项目组合投资两个的关系，所以可以用此作为我们判断预测数据是否满足组合投资规律的一个法则。

Step3：要使得预测值'kj x 满足其与'
ij x 的协方差'cov ik 与前二十年的协方差相等或近似相等，问题的关键是从一系列的'kj x 中找到一组满足这个条件的'kj x ，我们先生成组合投资项目中各个项目单独的预测数据（跟单独生成的方法一样），然后在以协方差相等或近似相等为目标去寻找出良好的预测数据。

解决这一问，我们用Matlab 编程进行查找。

Step4：对于有三项目同时投资的情况，用项目i 的ij x 与项目k 的kj x 之间的协方差cov ik 及项目i 的ij x 与项目n 的kj x 之间的协方差cov in 来共同表示三者之间相互影响的程度。

与Step 1同理得到'ij x 、一系列'kj x 、一系列'
n j x ，我们也要使得'cov ik ≈
cov ik
，并且'cov in ≈cov in ，因此只要各找到一组分别满足这两个等
式的'
kj x 、'
n j x 便可得到预测对三个项目投资的预测数据。

1998B 题 约束最优路线的模拟退火解法
问题分析及模型的建立
因为是分组巡视（不妨设分N 组），要直接确定一个组巡视哪些地点是困难的。

由于将各组巡视的路线连接起来可看成一条N 次相继从县城出发又回到县城的路线，这样，多组巡视就化成了单组巡视。

经分析，我们认为前3问及第4问计算部分都是组合规划中的约束优化问题，均属以模型
()
()()n
j x g
m i x h st x f j
i ,,2,1,0,,2,1,0.
min ⋯=≥
⋯==
（I ）
为基础的约束最优路线模型。

下面根据各问的要求，分别对4个问题进行具体讨论。

对于问题1，如果选取总路程最短的所有巡视路线中最均衡的，一般这一路线仍会很不均衡。

故除了要总路程短，另需“均衡”提出一定的要求，即组间巡视路线的长度差不大于某给定值L 。

还有路线能够分成3次从县城O 出发再回到O 、各组经过地点的并集为所有顶点的集合只之约束。

模型如下：
()
A
P
L
f f N
n st f f F n
i i
=≤-=-+≤≤ 1min max min
max
.min λ
(II)
其中F 为巡视总路程，N 为要求的分组数（本问N=3），n 是优化过程中路线的实际分组数，f max 和f min 分别为n 组中最长和最短组的巡视路程，P i 为第i 组巡视地点的集合，A 是所有顶点的集合。

约束条件(f max -f min )≤L 用来保证各组路程基本均衡，目标函数中加入λ(f max -f min )是为了使各组的路程尽可能均衡，这是一个约束多目标规划。

权重λ的取值应远小于目标函数中F 的权系数1，否则会因离散问题函数值的跳跃现象而导致优化困难。

这里，我们取λ=1/L 。

对问题2和3，因在原图中不是任意两顶点间均有边，故在多组巡视时可能存在二组以上经过的公共点，从而使顶点赋权遇到如下困难：若先赋点权，则这些公共点的权会被重复计算；而若在优化过程中赋点权，则又有公共点究竟应该由哪次（组）巡视的问题。

对此，我们采用Dijkstra 法算出任意两点间的最短路程并除以速度V 转化为时间，并用其作为两顶点间边的权构造一新图。

第三个约束条件保证了每点至少经过一次，而这时若路线中含除县城外的重复地点将至少增加1个小时（除县城为0外，其它点权为1或2小时），因而能保证优化结果中不出现县城以外的重复点。

经分析，我们认为这两问同属分组数和路线双重优化问题，具体模型如下：
A
P TMAX
f N n st F
n
i i =≤=≤≤U
1max .min
(III)
其中N 、n 、A 、P i 与模型（II ）相同，F 为各组巡视时间之和， f max 为n 组中时间最长组的巡视时间，TMAX 是巡视允许的最长时间。

对问题2，TMAX=24；对问题3，因人员足够多，故每个地点可由一组单独巡视，因此完成巡视的最短时间是这些单点巡视的最佳路线中花时间最长的组对应的巡视时间，其值TMAX 由程序计算确定。

对最少分组数的优化，模型中没有体现，我们是通过主程序与辅助控制函数协同工作来实现该目的的，即在优化过程中，若路线调整发现最短与次短组的时间之和不大于TMAX ，且满足约束，则记录该路线后返回，并由主程序将分组数减1后重新优化，如果重新优化找不到满足约束的可行路线，则认为找到了最优解；而若优化函数没有找到满足约束的可行路线，主程序则将分组数加1后进行下一轮优化。

我们用m 和M 分别表示求解时尝试的最小和最大分组数，对问题2，取m=4，M=8，而对问题3，m=20，M=35。

对于问题4，其最佳路线是指在分组数N 已确定的情况下，巡视时间最长的组所对应的时间尽量短的路线。

下面给出其模型，各参数的含义同模型（III ），关于T 、t 和V 对路线的影响，我们将在结果与分析部分给出。

A
P N
n st f n
i i ==≤≤U
1max .
min (IV)
三、模型的求解
(一）算法选择
由以上分析可知，本题的所有问题都可视为“在一定约束下，从一点出发再回到该点的最优路线寻求问题”。

如问题1可看成有约束的“一般旅行推销员”问题，但即使是无约束的“旅行推销员”问题，也尚未找到解这类问题最优解的多项式算法[3]，对本题n=53这种情形，无论是“分枝与界限法”[4]还是动态规划[5]等方法，想得到最优解一般是不可能的，只能用近似算法。

选择模拟退火法，是因为它不同于一般的单纯下降法，它具有一定条件下的随机上升过程，有可能从一极小区域跃过波峰到过另一极小区域，因而具有解更接近全局最优解的优点。

(二)计算方法与步骤
1．方法概述 下面介绍模拟退火法函数，主函数部分略。

模拟退火法是一种较新的算法，尚无固定的计算步骤[1]。

我们设计的基本操作包括路线调整、约束条件判断、调整许可预测、内部优化、与已有最佳路线的比较和最佳路线及相关数据的记录等。

路线调整在给定
的工作点集序列上进行，其前部分为当前路线，后部分为剩余点集。

如此设计是因为在许多
问题中某些点在路线中可能出现多次，如“田”字型图的“一般旅行推销员”问题，此时可将每一可能重复的点或所有点以最大可能重复出现的次数置于工作点集中。

路线的调整有5种（所有操作对象都是随机选取的）：交换−路线内两路段（含点）互换；反转−路线中选取一路段反向；删除−路线内一路段移至路线外；插入−路线外一路段插入到路线中；替换−路线内外各取一路段互换。

约束条件判断由用户函数完成；调整允许预测由内部函数完成，它决定是否接受一上升过程；内部优化是仅有交换和反转操作的优化过程，与上层模拟退火法函数基本相同。

2．基本步骤
(1) 由主程序传送工作点集、初始路线终点、记录器数目、温度初值t
、温度下降率FT、温度循环上限maxtk、每个温度的最大循环次数maxk和最多成功次操作次数max_suc、连续温度无改进时结束优化参数K等，并设置寻找可行路线的不成功次数n_suc:=0、最优路线条数
rec_n:=0、优化值fx
:=maxfx、温度循环变量tk:=1，优化连续无改进温度次数same_tn:=0等内部变量初值；
(2) 计算初始路线的目标函数值fx、优化控制函数值fx
1。

若fx
1
<maxfx，则记录路线并
置fx
0:=fx+fx
1
、rec_n:=0；
(3) 如果tk==maxtk或same_tn==K，转步(15)；否则，置循环变量kk:=1，成功操作次数计数器sucn:=0等；
(4) 如果kk==maxk或sucn==max_suc，转步(14)；否则，计算当前路线的优化控制函数
值fx
1、在复制路线上调整路线并计算目标函数值fx和优化控制函数值fx
2
，得到两者的改变
量dfx和dfx
1，置dfx12:=dfx+dfx
1
，kk:=kk+1；
(5) 若fx
2<maxfx，转步(7)；否则，若rec_n>0或rec_n==0且fx
2
>fx
1
，转步(4)；
(6) 执行100次内部优化并更改路线，若某次内部优化后fx
2
<maxfx，则跳出循环转步(7)；否则n_suc:=n_suc+1，当n_suc>30时，转步(15)；其它情况转步(4)；
(7)计算路线的辅助控制函数值fx
3，若fx
3
<=-maxfx，则路线及相关数据记入记录器第
一个位置，转步(15)；否则，用dfx12和t为参数调用预测函数，若返回值为0，即不允许更改路线时转步(4)；
(8)进行若干次内部优化（次数动态调整），更新路线和目标函数值fx，重算优化控制函数值fx
2
，sucn:=sucn+1；
(9)若fx+fx
2>fx
，即比已有的最佳路线差，转步(4)；否则检查是否与记录的路线重复，
若重复则转步(4)；
(10)若fx+fx
2<fx
，则记录器中原最佳路线后移，最佳路线数rec_n:=1，更新优化值
fx
0:=fx+fx
2
，路线及相关数据记入第一个位置，转步(4)；
(11) rec_n:=rec_n+1，并计算记录器中最后一条最优路线的辅助控制函数值fx
4
；
(12)若fx
3<fx
4
，与记录器中各路线的辅助控制函数值比较并据此确定记录器指针，当
前路线插入相应位置，转步(4)；
(13)若记录器没满，则路线及相关参数记在已有最优路线之后；转步(4)；
(14)若tk<maxtk，则tk:=tk+1，t:=FT*t；若fx
比前一温度有改进，则same_tn:=0，否则same_tn:=sam_tn+1；转步(3)；
(15)算法终止。

此时若rec_n>0，则找到了最优路线，可从记录器中获取最优和次优路线及相关数据。

3．编程提示
对分组的处理及模型中的变量n、P
i 、f
max
、f
min
、F和下面用到的次短组巡视时间f
min1
均
由分组处理函数完成，因此它是解决分组问题的关键，分组方法是：当自然分组数不大于N 时，取自然分组；否则将最短两组合并，直到组数等于N为止。

与总的设计思想相对应，程序设计应考虑多功能与通用性，以适应起点与终点相同和不同、单组和多组等各种要求。

由于有上升过程，故需一组变量存放当前最佳路线、最优值和路线终点位置等。

记录器参数组可满足人们想获取多条最优路线的要求。

参数maxfx之值为“无穷大”，也是判断约束是否满足的依据，即满足约束时优化控制函数值小于maxfx。

三个用户函数分别为目标函数、优化控制函数和辅助控制函数。

优化控制函数在未找到可行路线时为罚函数（值大于等于maxfx），否则为0或多目标规划中减去实际目标函数值的剩余部分。

辅助控制函数实现两种控制，一是优先记录某种（不影响优化过程的）特性的路线，如优先记录均衡路线等；其二是有些问题仅要求实现一固定目标，如本题最少分组数的寻找，只要两最短组的时间之和不超过要求的时间，它们即应合并成一组，此时继续优化是多余的，应将分组数减1后重新优化。

函数返回值大于或小于等于-maxfx可区分上述两种情况。

另外，定义了一称为优化值的变量，它是目标函数值与优化函数值之和。

程序在没有找到和已有可行路线时的处理不同，前者主要是寻找可行路线，只关心优化控制函数值是否下降，而已有可行路线时的关注点在优化值的改变。

使用优化值而不是目标函数值判断路线的优劣，是因为在许多多目标规中常常只要一个目标的结果，且把其余部分放在优化控制函数中可以仅计算路线改变部分的目标函数值，因而在处理多目标规划时可有更好的性能。

程序设有奇偶两种处理方式，其中偶方式为标准多目规划或只计算路线改变部分得不到目标函数值（如第4问）的情形而设。

设计奇偶方式而非固定参数，可以使程序具有对多个任务的处理能力。

（三）求解
对本题的求解，我们根据各问的要求和约束条件，设计相应的目标函数、优化控制函数和辅助控制函数，用Borland C++ 3.1编程，在多台486、586及PII机上运行通过，解见结果与分析。

对所有问题，编制同一组（三个）用户函数，根据处理方式参数fxmode之值判断处理：对问题1, fxmode＝1；对问题2和3， fxmode＝3；对问题4, fxmode＝2。

目标函数是明显的，现按单问题形式将其它两函数介绍如下：
问题1
优化控制函数为：f = maxfx (r 1+ r 2)+ r 3[ maxfx+1000( f max - f min -L )]； 辅助控制函数为：f = f max - f min ，起优先记录均衡路线的作用。

其中r 1是路线中缺少地点的数目，控制必须巡视每个地点；r 2 =N -n 为要求与实际分组的差值，控制必须分成N 个组，在下面的各问题中r 1、r 2的意义和作用完全相同；而
⎩⎨
⎧>-=其它
，0,1min max 3L
f f r 则用于实现均衡的基本要求。

问题2和3
优化控制函数为：3=f maxfx(r 1+ r 2) + r 3 [maxfx+1000 ( f max -TMAX)]； 辅助控制函数为：=f （1-r 4）( f max - f min ) - r 4 maxfx ； 这里，⎩⎨
⎧>=其它
，0,
1max 3TMAX
f r 控制每组巡视时间不超过要求；
⎩⎨
⎧≤+=其它
，0,11min min 4TMAX f f r 主要用于优化最少分组数。

辅助控制函数在本模型中具双
重功能，一是在优化过程中遇到巡视时间最短的两个组的时间之和不超过要求的时间时返回-maxfx ，使优化函数记录该路线并返回，实现优化分组数的目的；其次是优先记录均衡路线。

问题4
优化控制函数为：3=f maxfx )21(r r +；
辅助控制函数为：=f F ，使最佳路线中总时间短的路线优先记录（F 为总路程）。

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