1.7.1定积分在几何中的应用

1.7.1定积分在几何中的应用
一、选择题
1、由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )
A.112
B.14
C.13
D.712
2、若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3 (c >0)围成图形的面积是23，则c 等于( )
A.13
B.12 C ．1 D.23
3、由曲线y ＝x 3、直线x ＝－2、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积是( ) A ．ʃ2－2x 3d x B ．|ʃ2－2x 3d x |
C ．ʃ2－2|x 3|d x
D ．ʃ20x 3d x ＋ʃ0－2x 3d x
4、由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积为( )
A.154
B.174
C.12
ln2 D ．2ln2
5、如图，阴影部分面积为(
)
A ．ʃc a [f (x )－g (x )]d x
B ．ʃc a [g (x )－f (x )]d x ＋ʃb c [f (x )－g (x )]d x
C ．ʃc a [f (x )－g (x )]d x ＋ʃb c [g (x )－f (x )]d x
D ．ʃb c [g (x )－f (x )]d x
6、将由y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π，y ＝0所围图形的面积写成定积分形式为( )
A ．ʃπ0cos x d x
B ．
20π
⎰cos x d x ＋|2
ππ⎰cos x d x | C ．ʃπ02sin x d x
D ．ʃπ02|cos x |d x
二、填空题
7、设函数f (x )的原函数F (x )是以T 为周期的周期函数，若ʃT a f (x )d x ＝μ，则ʃα＋T T f (x )d x ＝________.
8、直线x ＝k 平分由y ＝x 2，y ＝0，x ＝1所围图形的面积，则k 的值为________．
9、由曲线y＝x2＋4与直线y＝5x，x＝0，x＝4所围成平面图形的面积是________．
三、解答题
10、在曲线y＝x2 (x≥0)上的某点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为1
12.求切点A的坐标以及切线方程．
11、
如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．
12、计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成的图形的面积．
以下是答案
一、选择题
1、A [由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为ʃ10(x 2－x 3)d x ＝⎝⎛⎭
⎫13x 3－14x 4|10 ＝13－14＝112
.]
2、B [由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x 2y ＝cx 3，得x ＝0或x ＝1c (c >0)． 则围成图形的面积S ＝
10c ⎰(x 2－cx 3)d x ＝23
， 可求得c ＝12
.] 3、C
4、D [所求面积212⎰1x d x
＝ln x |212
＝ln 2－ln 12＝2ln 2.]
5、B
6、B [定积分可正，可负，但不论图形在x 轴上方还是在x 轴下方面积都是正数，故选B.]
二、填空题
7、－μ
解析 ʃa ＋T T f (x )d x ＝F (x )|a ＋T T
＝F (a ＋T )－F (T )＝F (a )－F (T )＝－μ.
8、34
2
解析 作平面图形，如右图所示．
由题意，得ʃk 0x 2d x ＝12
ʃ10x 2d x 即13x 3|k 0＝16
x 3|10.
∴13k 3＝16，k ＝342
. 9、19
3
解析
由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋4y ＝5x ， 得x ＝1或x ＝4.
所求面积为S ＝ʃ10(x 2＋4－5x )d x ＋ʃ41(5x －x 2－4)d x
＝⎝⎛⎭⎫13
x 3＋4x －52x 2|10＋ ⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－4x |41＝193.
三、解答题
10、解
由题意可设切点A
的坐标为(x 0，x 20)，则切线方程为y ＝2x 0x －x 20，可得切线与x 轴的交点 坐标为⎝⎛⎭⎫x 02，0.画出草图，可得曲线y ＝x 2，直线y ＝2x 0x －x 20与x 轴所围图形如图所示． 故S ＝S 1＋S 2
＝0
2
0x ⎰
x 2d x ＋()000
02200222x x x x x dx x x x dx --⎰⎰ ＝13x 3|020x ＋13x 3|002x x －(x 0x 2－x 20x )|002x x ＝x 3012＝112
，解得x 0＝1，所以切点坐标为A (1,1)， 所求切线方程为y ＝2x －1.
11、解 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积
S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝
⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22－13x 310＝16.
又⎩
⎪⎨⎪⎧ y ＝x －x 2，y ＝kx ， 由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以， S 2＝ʃ1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k 0 ＝16(1－k )3.
又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，
于是k ＝1－312＝1－34
2.
12、
解 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋3，
y ＝x 2－2x ＋3，
解得x ＝0或x ＝3.
∴S ＝ʃ30(x ＋3)d x －ʃ30(x 2－2x ＋3)d x
＝ʃ30[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x
＝ʃ30(－x 2＋3x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－1
3x 3＋32x 2|30＝9
2.
∴所围成的图形的面积为9
2.。