广东省韶关市2021届新高考数学模拟试题(3)含解析

广东省韶关市2021届新高考数学模拟试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若直线不平行于平面，且，则（ ）
A ．内所有直线与异面
B ．内只存在有限条直线与共面
C ．内存在唯一的直线与平行
D ．内存在无数条直线与相交 【答案】D 【解析】 【分析】
通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误. 【详解】
根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC 错误，故选D. 【点睛】
本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.
2．如图，ABC V 中260A B ∠=∠=︒，点D 在BC 上，30BAD ∠=︒，将ABD △沿AD 旋转得到三棱锥
B AD
C '-，分别记B A '，B
D '与平面ADC 所成角为α，β，则α，β的大小关系是（ ）
A ．2αβα<≤
B ．23αβα≤≤
C ．2βα≤，23αβα<≤两种情况都存在
D ．存在某一位置使得3a β> 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意作出垂线段，表示出所要求得α、β角，分别表示出其正弦值进行比较大小，从而判断出角的
大小，即可得答案． 【详解】
由题可得过点B 作BE AD ⊥交AD 于点E ，过B ′作CD 的垂线，垂足为O ，则易得B AO α=∠'，
B DO β=∠'．
设1CD =，则有2BD AD ==，1DE =，3BE =
∴可得23AB AB '==，2B D BD '==．
sin ,sin OB OB AB DB αβ''
=
=''
Q ， sin 3sin βαα∴=>，βα∴>；
Q 3]OB '∈，∴1
sin [0,]2
α∈； Q 2sin 22sin cos 2sin 1sin αααα==-，
21[3,2]sin α-，∴sin 23sin ααβ=…，
2αβ∴…．
综上可得，2αβα<…． 故选：A ． 【点睛】
本题考查空间直线与平面所成的角的大小关系，考查三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
3．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<，
所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.
4．已知双曲线22
221(0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且
直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =u u u v u u u v
，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
4
B ．
C D 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出直线l 的方程为y 222ab a b =
-（x ﹣c ），与y ＝±b
a
x 联立，可得A ，B 的纵坐标，利用2AF FB =u u u r u u u r ，
求出a ，b 的关系，即可求出该双曲线的离心率． 【详解】
双曲线22
22x y a b
-=1（a ＞b ＞0）的渐近线方程为y ＝±b a x ，
∵直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍， ∴k l 22
2ab
a b
=
-， ∴直线l 的方程为y 22
2ab
a b =-（x ﹣c ），
与y ＝±b a x 联立，可得y 2223abc a b =--或y 22
2abc
a b =+，
∵2AF FB =u u u r u u u r ，
∴
222abc a b =+2•22
23abc
a b
-，
∴a 3=b ， ∴c ＝2b ， ∴e 23
3
c a =
=
． 故选B ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．
5．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米 B ．63厘米
C ．69厘米
D ．76厘米
【答案】B 【解析】 【分析】
由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可. 【详解】
因为弧长比较短的情况下分成6等分，
所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203
π
π⨯=≈63(厘米). 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.
6．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =
（ ） A ．19 B ．20
C ．21
D ．22
【答案】A 【解析】
试题分析：设公差为234331111,3152552(2)(516)d a a a a a a d a d a a d ++==⇒=+=⇒=-⇒+++
2(72)(321)81272202d d d d d =-+=⇒+-=⇒=或11
2
d =-
（舍），故选A.
考点：等差数列及其性质.
7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2 B ．
3
2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+
54
2
⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知数列{}n a 的首项1(0)a a a =≠，且+1n n a ka t =+，其中k ，t R ∈，*n N ∈，下列叙述正确的是（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则一定有1k =
B ．若{}n a 是等比数列，则一定有0t =
C ．若{}n a 不是等差数列，则一定有 1k ≠
D ．若{}n a 不是等比数列，则一定有0t ≠
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可. 【详解】
A ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等差数列，但是此时1k =不成立，故本说法不正确；
B ：当0,k t a ==时，+1n a a =，显然符合{}n a 是等比数列，但是此时0t =不成立，故本说法不正确；
C ：当1k =时，因此有+1n n n n a a ka t a t -=+-==常数，因此{}n a 是等差数列，因此当{}n a 不是等差数列时，一定有1k ≠，故本说法正确；
D ：当 0t a =≠时，若0k =时，显然数列{}n a 是等比数列，故本说法不正确. 故选：C 【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.
9．二项式
5
2
x
x
⎫
-
⎪
⎝⎭
的展开式中，常数项为（）
A．80
-B．80 C．160
-D．160
【答案】A
【解析】
【分析】
求出二项式
5
2
x
x
⎫
-
⎪
⎝⎭
的展开式的通式，再令x的次数为零，可得结果.
【详解】
解：二项式
5
2
x
x
⎫
-
⎪
⎝⎭
展开式的通式为()()
55
2
252
155
12
r r
r
r r
r r r
r
T C x C x
x
--
-+
-
+
=-=-
⎪
⎝⎭
，
令
5
20
2
r
r
-
-+=，解得1
r=，
则常数项为()1145
1280
C
-=-.
故选：A.
【点睛】
本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题.
10．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（）．
A．6B．4C．23D．2
【答案】A
【解析】
【分析】
作出其直观图，然后结合数据根据勾股定定理计算每一条棱长即可.
【详解】
根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且2AD AB ==，4BC =，
PA ⊥平面ABCD ，且2PA =，
∴22222PB =
+=222222PD =+=，22CD =2242026PC PA AC =+=+= ∴这个四棱锥中最长棱的长度是26 故选A ． 【点睛】
本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，正确还原直观图是解题关键，属于基础题． 11．已知函数()x a
f x x e
-=+，()()ln 24a x
g x x e
-=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使
()()003f x g x -=成立，则实数a 的值为（ ）
A ．ln21--
B ．1ln2-+
C ．ln 2-
D ．ln 2
【答案】A 【解析】
令f （x ）﹣g （x ）=x+e x ﹣a ﹣1n （x+1）+4e a ﹣x ， 令y=x ﹣ln （x+1），y′=1﹣
12x +=1
2
x x ++， 故y=x ﹣ln （x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y 有最小值﹣1﹣0=﹣1，
而e x ﹣a +4e a ﹣x ≥4，（当且仅当e x ﹣a =4e a ﹣x ，即x=a+ln1时，等号成立）； 故f （x ）﹣g （x ）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A ．
12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b
-=>>的一条渐近线经过圆22:240E x y x y ++-=的圆心，则双
曲线C 的离心率为（ ） A 5 B ．5C 2
D ．2
【答案】B 【解析】
【分析】
求出圆心，代入渐近线方程，找到a b 、的关系，即可求解. 【详解】 解：()1,2E -，
()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>一条渐近线b y x a =- ()21b
a
=-⨯-，2a b =
()2
22222+b ,2,c a c a a e ==+=故选：B 【点睛】
利用a b 、的关系求双曲线的离心率，是基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 厖
恒成立，则a 的取值范围是___________. 【答案】[1,)-+∞ 【解析】 【分析】
求导得到()x
f x e a '=+，讨论10a +…
和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =…，不符合，排除，得到答案。

【详解】
因为()1x f x e ax =+-，所以()x
f x e a '=+，因为0x …
，所以()1f x a '+…. 当10a +…
，即1a ≥-时，()0f x '…，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =…，故1a ≥-符合题意；
当10a +<，即1a <-时，因为()x
f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯
一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=.
令()0f x '<，得00x x <…，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =…，故1a <-不符合题意.综上，a 的取值范围是[1,)-+∞. 故答案为：[1,)-+∞. 【点睛】
本题考查了不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题是解题的关键.
14．设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若()(2)P c P c ξξ>=<+，则c 的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】 由题得
2
22
c c ++=，解不等式得解. 【详解】
因为()(2)P c P c ξξ>=<+， 所以
2
22
c c ++=， 所以c=1. 故答案为1 【点睛】
本题主要考查正态分布的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 15
．函数()f x =
_____________. 【答案】1|05x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩
⎭
【解析】 【分析】
由题意可得，20210x
lg x
⎧>⎪⎪⎨⎪-⎪⎩…，解不等式可求．
【详解】
解：由题意可得，2
0210x
lg x
⎧>⎪⎪⎨⎪-⎪⎩…，
解可得，105
x <…
， 故答案为1|05x x ⎧
⎫<⎨⎬⎩
⎭…．
【点睛】
本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题． 16．复数2(1i
z i i
=
+为虚数单位）的虚部为__________．
【答案】1 【解析】 试题分析：
，即虚部为1，故填：1.
考点：复数的代数运算
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列{}n a 满足：对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++. （1）若23692a a a a +++=，求18a 的值； （2）若{}n a 是等比数列，求{}n a 的通项公式；
（3）设k *∈N ，3k ≥，求证：若123,,,k k k a a a +++⋅⋅⋅成等差数列，则12,,,k a a a ⋅⋅⋅也成等差数列. 【答案】（1）3；（2）2n a =-；（3）见解析. 【解析】 【分析】
（1）依据下标的关系，有18292a a a =++，18362a a a =++，两式相加，即可求出18a ；（2）依据等比数列的通项公式知，求出首项和公比即可。

利用关系式2uv u v a a a =++，列出方程，可以解出首项和公比；（3）利用等差数列的定义，即可证出。

【详解】
（1）因为对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++，所以18292a a a =++，18362a a a =++，两式相加，
182********a a a a a =++++=+=，解得18=3a ；
（2）设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，因为对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++， 所以有2122a a a =++，解得12a =-，又616232=2a a a a a =++++ ，
即有1623=a a a a ++，化简得，523
1q q q +=+，即()()
2311=0q q --，
1q ∴=或1q =-，因为4222a a a =++，化简得3210q q -+=，所以 1q =
故2n a =-。

（3）因为对任意,u v *∈N ，都有2uv u v a a a =++，所以有
1112(1)213131(1)12222
k k k k k k k k k k a a a a
a a a a a a a a ++++++++=++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩L （） ，123,,,k k k a a a +++⋅⋅⋅成等差数列，设公差为d ， 212(1)1(1)k k a a a a k d ++-=-=+，323(1)2(1)(1)k k a a a a k d ++-=-=+，L ， 1(1)(1)(1)(1)k k k k k k a a a a k d -+-+-=-=+，由等差数列的定义知， 12,,,k a a a ⋅⋅⋅也成等差数列。

【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的定义以及赋值法的应用，意在考查学生的逻辑推理，数学建模，综合运用数列知识的能力。

18．已知数列{}n a 的通项1
*2()n n a n -=∈N ，数列{}n b 为等比数列，且n b ，n a ，1n b +成等差数列.
（1）求数列{}n b 的通项；
（2）设21log n n n c b a +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .
【答案】（1）()*23
n n b n =∈N ；（2）()
1*
1(1)223n n S n n +⎡⎤=⨯-⋅+∈⎣⎦N . 【解析】 【分析】
（1）根据n b ，n a ，1n b +成等差数列以及{}n b 为等比数列，通过直接对n 进行赋值计算出{}n b 的首项和公比，即可求解出{}n b 的通项公式；
（2）{}n c 的通项公式符合等差乘以等比的形式，采用错位相减法进行求和. 【详解】
（1）Q 数列{}n b 为等比数列，且n b ，n a ，1n b +成等差数列.
122n n n n b b a +∴+==
设数列{}n b 的公比为q ，
122324b b b b +=⎧∴⎨+=⎩，()()111214b q b q q ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得1232b q ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
()
1*22233
n
n n b n N -∴=⨯=∈
（2）()
*212log 3
n
n n n c b a n n N +=⋅=⨯∈Q
()123111111
12223212233333n n n S n n -∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯L ，
()234111111
212223212233333n n n S n n +∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯-⨯+⨯⨯L ，
12311111111
12121212122333333
n n n n S n -+∴-=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯L
()
12121123123
n
n n +⨯-=⨯-⨯⨯-， ()111223
n n +⎡⎤=⨯-⋅-⎣⎦， ()()
1*
11223
n n S n n N +⎡⎤∴=⨯-⋅+∈⎣⎦. 【点睛】
本题考查等差、等比数列的综合以及错位相减法求和的应用，难度一般.判断是否适合使用错位相减法，可根据数列的通项公式是否符合等差乘以等比的形式来判断.
19．某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为()01p p <<，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：min ），得到下面的频数表：
以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长. （1）试估计p 的值；
（2）设X 表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目. ①求X 的数学期望()E X 和方差()D X ； ②若随机变量Z 满足Z =
，则认为()0,1Z N :.假设当49005000X <≤时，灯光展处于最佳
灯光亮度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）. 附：
①某盏灯在某一时刻亮灯的概率p 等于亮灯时长与灯光展总时长的商；
②若()0,1Z N :，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=，
3309().973P X μσμσ-<≤+=.
【答案】（1）
1
2
（2）①()5000E X =，()2500D X =,②72 【解析】 【分析】
（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以150（2.5个小时），即可得到p 的估计值；
（2）①利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；
②先根据条件计算出Z 的取值范围，然后根据()0,1Z N :并结合正态分布概率的对称性，求解出Z 在满足取值范围下对应的概率. 【详解】
（1）平均时间为550.1650.2750.4850.2950.175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟） ∴751
1502
p =
= （2）①∵110000,2X B ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭:，
∴1()1000050002E X np ==⨯
=，11
()(1)10000250022
D X np p =-=⨯⨯= ②∵49005000X <<，5000
50X Z -=
=，∴(2,0]Z ∈-
∵()0,1Z N :，0μ=，1σ= ∴11
(20)(22)0.95450.4772522
P Z P Z μσμσ-<≤=
-<≤+=⨯= ∴1500.4772571.587572⨯=≈ 即最佳时间长度为72分钟. 【点睛】
本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果(),X B n p :，则()()(),1E X np D X np p ==-；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.
20．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”. （1）当1
2
p q ==
时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13
p =
，2
3q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，
，的概率.
【答案】（1）见解析，0（2）80
2187
【解析】 【分析】
（1）3S ξ=即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；
（2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又0(1,2,3,4)i S i ≥=,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解. 【详解】
解:（1）ξ的取值可能为3-,1-,1,3,又因为12
p q ==
, 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,3
11(3)28
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 2
23113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭,2
23113
(1)228
P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,
所以ξ的分布列为：
所以()(3)(1)308888
E ξ=-⨯
+-⨯++⨯= （2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题, 又已知0(1,2,3,4)i S i ≥=,第一题答对,
若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；
若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，
此时的概率为()
5
3
33
6587
12308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
（或802187）. 【点睛】
本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想. 21．已知0a >，函数()|||26|f x x a x =++-有最小值7. （1）求a 的值；
（2）设,0m n >，4m n a +=，求证：119
18
m n +≥+. 【答案】（1）4a =.（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）由绝对值三解不等式可得()3|3|f x a x ≥++-，所以当3x =时，min ()37f x a =+=，即可求出参数的值；
（2）由44m n +=，可得4(1)8m n ++=，再利用基本不等式求出111
m n ++的最小值，即可得证； 【详解】 解：
（1）∵()|||26|f x x a x =++-|||3||3|x a x x =++-+-|()(3)||3|x a x x ≥+--+-
3|3|a x =++-，
∴当3x =时，min ()37f x a =+=，解得4a =. （2）∵44m n +=，∴4(1)8m n ++=，
∴
[]111114(1)118m n m n m n ⎛⎫+=+++⨯ ⎪++⎝⎭14(1)95818
n m m n +⎛⎫=++≥ ⎪+⎝⎭， 当且仅当4(1)1n m m n +=+，即8
3m =，13
n =时，等号成立.
∴119
18
m n +
≥+. 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．
22．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，2AD AB CD ===，4BC =，M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点，以AC 为折痕将ACD V 折起，使点D 到达点P 位置（P ∉平面ABC ）
．
（1）若H 为直线QN 上任意一点，证明：MH ∥平面ABP ； （2）若直线AB 与直线MN 所成角为
4
π
，求二面角A PC B --的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）21
7
【解析】 【分析】
(1)根据中位线证明平面MNQ P 平面PAB ，即可证明MH ∥平面ABP ；（2）以QM ，QC ，QP 为x ，
y ，z 轴建立空间直角坐标系，找到点的坐标代入公式即可计算二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：连接QM ，
∵M ，N ，Q 分别为BC ，CD ，AC 的中点， ∴QM AB P ，
又∵QM ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ， ∴QM P 平面PAB ， 同理，QN ∥平面PAB ，
∵QM ⊂平面MNQ ，QN ⊂平面MNQ ，QM QN Q =I ， ∴平面MNQ P 平面PAB ， ∵MH ⊂平面MNQ ， ∴MH ∥平面ABP ．
（2）连接PQ ，在ABC V 和ACD V 中，由余弦定理可得，
222222
2cos 2cos AC AB BC AB BC ABC
AC AD CD AD CD ADC ⎧=+-⋅⋅∠⎨=+-⋅⋅∠⎩
，
由ABC ∠与ADC ∠互补，2AD AB CD ===，4BC =，可解得AC = 于是222BC AB AC =+， ∴AB AC ⊥，QM AC ⊥，
∵QM AB P ，直线AB 与直线MN 所成角为4
π， ∴4QMN π
∠=
，又1QM QN ==，
∴2MQN π
∠=，即QM QN ⊥，
∴QM ⊥平面APC ， ∴平面ABC ⊥平面APC ， ∵Q 为AC 中点，PQ AC ⊥， ∴PQ ⊥平面ABC ，
如图所示，分别以QM ，QC ，QP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,B ，C ，
(0,0,1)P ，(2,
3,1)PB =--u u u r
，(0,3,1)PC =-u u u r
．
设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r
，
∴00n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r ，即23030
x y z y z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩． 令1y =，则3x =，3z =
，可得平面PBC 的一个法向量为(3,1,3)n =r
．
又平面APC 的一个法向量为(1,0,0)m =r
，
∴21cos ,||||7
m n m n m n ⋅<>==⋅r r r r
r r
， ∴二面角A PC B --的余弦值为21
7
． 【点睛】
此题考查线面平行，建系通过坐标求二面角等知识点，属于一般性题目.
23．某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数x 与烧开一壶水所用时间y 的一组数据，且作了一定的数据处理（如表），得到了散点图（如图）.
表中21
1i w x =，10
1110i i w w ==∑.
（1）根据散点图判断，y a bx =+与2d
y c x
=+哪一个更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型？（不必说明理由）
（2）根据判断结果和表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
（3）若旋转的弧度数x 与单位时间内煤气输出量t 成正比，那么x 为多少时，烧开一壶水最省煤气？ 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，()33,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最
小二乘估计分别为µ()()
()
1
2
1
n
i
i
i n
i
i v v u u u u β
==--=-∑∑，µµv u α
β=-. 【答案】（1）2d y c x =+更适宜（2）2
20
5y x
=+（3）x 为2时，烧开一壶水最省煤气 【解析】 【分析】
（1）根据散点图是否按直线型分布作答；
（2）根据回归系数公式得出y 关于ω的线性回归方程，再得出y 关于x 的回归方程； （3）利用基本不等式得出煤气用量的最小值及其成立的条件. 【详解】 （1）2
d
y c x =+
更适宜作烧水时间y 关于开关旋钮旋转的弧度数x 的回归方程类型. （2）由公式可得：$()()
()
10
1
10
2
1
16.2
200.81
i
i
i i
i w w y y d
w w ==--==
=-∑∑， $20.6200.785c
y dw =-=-⨯=$， 所以所求回归方程为220
5y x
=+
. （3）设t kx =
，则煤气用量220205520k S yt kx kx k x x ⎛⎫==+=+≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当205k
kx x
=
时取“=”，即2x =时，煤气用量最小. 故x 为2时，烧开一壶水最省煤气. 【点睛】
本题考查拟合模型的选择，回归方程的求解，涉及均值不等式的使用，属综合中档题.。