四川省绵阳市江油中学高一数学下学期期末模拟试卷(含解析)

2014-2015学年四川省绵阳市江油中学高一（下）期末数学模拟试卷
一．选择题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分，每小题只有一个选项符合题目要求，请将正确答案填在答题栏内）
1．已知点M（1，2），N（1，1），则直线MN的倾斜角是（）
A．90°B．45°C．135°D．不存在
2．直线a，b，c及平面α，β，γ，下列命题正确的是（）
A．若a⊂α，b⊂α，c⊥a，c⊥b则c⊥α B．若b⊂α，a∥b则a∥α
C．若a∥α，α∩β=b则a∥b D．若a⊥α，b⊥α则a∥b
3．如果直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么系数a=（）
A．﹣3 B．﹣6 C．D．
4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（）
A． 7 B． 6 C． 5 D． 3
5．如图，在长方体中，AB=AD=2，CC1=，则二面角C1﹣BD﹣C的大小为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
6．在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，] B．D．B．D．
故选C
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．
7．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
考点：异面直线及其所成的角．
分析：求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．本题采用几何法较为简单：连接A1B，则有A1B∥CD1，则∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，由余弦定理可知cos∠A1BE的大小．
解答：解：如图连接A1B，则有A1B∥CD1，
∠A1BE就是异面直线BE与CD1所成角，
设AB=1，
则A1E=AE=1，∴BE=，A1B=．
由余弦定理可知：cos∠A1BE=．
故选C．
点评：本题主要考查了异面直线所成的角，考查空间想象能力和思维能力．
8．已知{a n}是等比数列，a3，a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣sinα=0的两根，且（a3+a8）2=2a
2a9+6，则锐角α的值为（）
A．B．C．D．
考点：数列与函数的综合；等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件推导出a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣2，由（a3+a8）2=2a2a9+6，能求出锐角α的值．
解答：解：∵{a n}是等比数列，a3和a8是关于x的方程x2﹣2xsinα﹣2=0的两根，
∴a3+a8=2sinα，a3•a8=a2a9=﹣sinα，
∵（a3+a8）2=2a2a9+6，
∴4sin2α=﹣2+6，
即sinα=，或sinα=﹣（舍），
∴锐角α的值为．
故选：C．
点评：本题考查锐角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．
9．锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）
A．B．C．
D．
考点：正弦定理；二倍角的正弦．
专题：计算题；解三角形．
分析：由题意可得 0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正
弦定理求得=2cosA，解得所求．
解答：解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，
∴＜3A＜π．
∴＜A＜，
∴＜cosA＜．由正弦定理可得==2cosA，∴＜2cosA＜，
故选 B．
点评：本题考查正弦定理，二倍角的正弦公式，判断＜A＜，是解题的关键和难点．
10．在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，M是斜边BC的中点，则向量在向量方向上的投影是（）
A． 1 B．﹣1 C．D．
考点：平面向量数量积的含义与物理意义．
分析：建立直角坐标系，写出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标；利用向量数量积的几何意义求出投影．
解答：解：以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴建立直角坐标系
A（0，0），B（4，0），C（0，2），M（2，1），则
，
所以在方向上的投影是
=
故选D．
点评：本题考查向量坐标的求法、利用向量数量积的几何意义求一个向量在另一个向量上的投影．
11．在△ABC中，若•=1，•=﹣2，则||的值为（）
A． 1 B． 3 C．D．
考点：平面向量数量积的运算；向量的模．
专题：计算题．
分析：根据=，则2==（），将条件数据代入即可求出所求．
解答：解：=
∴2==（）
=﹣
=1﹣（﹣2）
=3
∴=
故选D．
点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，以及向量的数量积的计算，属于中档题．12．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列，则（）A． S6=S3B． S6=﹣2S3C． S6=S3D． S6=2S3
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：计算题．
分析：先由S3，S9，S6成等差数列，找到q3=﹣再代入S6就可得到结论．
解答：解：由题得q≠1，又因为
2s9=s3+s6⇒2=+⇒q3=﹣或q3=1（舍）．
所以s6==（1+q3）s3=s3．
故选C．
点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力．是基础题．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填在题中横线上）．
13．已知的夹角为，以为邻边作平行四边形，则此平行四
边形的两条对角线中较长的一条的长度为．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量加法的平行四边形法则便可知道较长的一条对角线长度应是，根据条件能求出，从而得出||．
解答：解：平行四边形的两条对角线中较长的一条的长度为
||===．
故答案为：2．
点评：考查向量加法的平行四边形法则，向量长度的求法：，以及数量积的计算公式．
14．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则a= ．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：立体几何．
分析：该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．
解答：解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2，
底边上的高为a的等腰三角形，
所以有．
故答案为：
点评：本小题考查三视图、三棱柱的体积，基础题．本试题考查了简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．
15．己知两个等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对任意的n∈N*，都有=，
则+的值为．
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的性质和求和公式可得原式=，代值计算可得．
解答：解：由等差数列的性质和求和公式可得：
+====．
故答案为：．
点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．
16．求函数的最小值为．
考点：函数的最值及其几何意义．
专题：函数的性质及应用．
分析：把两个根号里进行变形，那么f（x）可看作为点C到点A和点B距离之和，利用对称得到最小值即可．
解答：解：函数
=+
=+，
可看作点C（x，0）到点A（1，1）和点B（2，2）的距离之和，
作点A（1，1）关于x轴对称的点A′（1，﹣1），
∴f（x）min=|A'B|==．
故答案为：．
点评：本题考查学生会利用两点间的距离公式求值，会利用对称得到距离之和最小．学生做题时注意数形结合解决问题．
三、解答题（本大题共4个小题，满分40分，解答题应写出必要的文字说明、演算或推理步骤）．
17．已知△OAB的顶点O（0，0）、A（2，0）、B（3，2），OA边上的中线所在直线为l．（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）求点A关于直线l的对称点的坐标．
考点：两条直线的交点坐标；中点坐标公式；直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：计算题．
分析：（I）求出线段OA的中点坐标，利用两点式方程求出l的方程；
（II）设出点A关于直线l的对称点的坐标，通过AA′与对称轴方程的斜率乘积为﹣1，以及AA′的中点在对称轴上，得到方程组，求出对称点的坐标．
解答：解：（I）线段OA的中点为（1，0），
于是中线方程为，
即y=x﹣1；
（II）设对称点为A′（a，b），
则，
解得，
即A′（1，1）．
点评：本题是中档题，考查直线方程的求法，对称点的坐标的求法，考查计算能力．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．
（1）若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，试判断△ABC的形状；
（2）若△ABC的面积S=3，且c=，C=，求a，b的值．
考点：三角形的形状判断；余弦定理的应用．
专题：解三角形．
分析：（1）由诱导公式及三角形的内角和定理得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式，左边利用和差化积公式变形，右边利用二倍角的正弦函数公式化简，变形后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0得到cosA=0或sinA=sinB，由A与B都为三角形的内角，得到A为直角或A=B，即可确定出三角形为直角三角形或等腰三角形；
（2）由sinC及已知的面积，利用三角形面积公式求出ab的值，再由c与cosC的值，利用余弦定理列出关系式，得到关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．
解答：解：（1）∵sinC+sin（B﹣A）=sin2A，且sinC=sin（A+B），
∴sin（B+A）+sin（B﹣A）=sin2A，即2sinBcosA=2sinAcosA，
∴cosA（sinB﹣sinA）=0，
∴cosA=0或sinB=sinA，
∵A与B都为三角形的内角，
∴A=或A=B，
则△ABC为直角三角形或等腰三角形；
（2）∵△ABC的面积为3，c=，C=，
∴absinC=ab=3，即ab=12①，
由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：13=a2+b2﹣ab，即a2+b2=25②，
联立①②解得：a=4，b=3或a=3，b=4．
点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：和差化积公式，二倍角的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥DA，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E、F分别为PC，PD的中点，PA=AD=AB．
（1）证明：EF∥平面PAB；
（2）证明：平面BEF⊥平面PDC；
（3）求BC与平面PDC所成的角．
考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）利用直线与平面平行的判定定理直接证明：EF∥平面PAB；
（2）通过证明BE⊥平面PDC，BE⊂平面BEF，然后证明平面BEF⊥平面PDC；
（3）找出BC与平面PDC所成的角，利用直角三角形求解直线与平面所成角的大小．
解答：证明：（1）如图：因为E，F分别是∴EF∥CD，
又∵CD∥AB，∴EF∥AB，
EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB；
（2）连结AF，∵EF DC，AB，∴EF AB，所以四边形ABSF为平行四边形，
∴BS∥AF，∵PA=AD，F为PD的中点，∴AF⊥PD，∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，∴AF⊥平面PDC，
∴BE⊥平面PDC，∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PDC；
（3）由（2）可知BE⊥平面PDC，
∴∠BCE是BC与平面PDC所成的角．
设AB=1，∵PA=AD=AB，
∴BE=AF=，BC=
在Rt△BEC中，sin∠BCE===，
∴∠BCE=30°，
BC与平面PDC所成的角为30°．
点评：本题考查直线与平面的平行，平面与平面垂直的判断，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*），
且b3=11，b1+b2+…+b9=153．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{c n}的前n项和为T n，求使不等式
对一切n∈N*都成立的最大正整数k的值；
（Ⅲ）设，是否存在m∈N*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）利用a n=S n﹣S n﹣1计算可知数列{a n}的通项公式，通过对b n+2﹣2b n+1+b n=0变形可知b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n即数列{b n}是等差数列，进而计算可得结论；
（Ⅱ）通过裂项可知c n=（﹣），并项相加可知T n=，通过作差可知T n单调递增，通过解不等式即得结论；
（Ⅲ）分m为奇数、偶数两种情况讨论即可．
解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=6；
当n≥2时，．
而a1=6满足上式．∴a n=n+5（n∈N*）．
又b n+2﹣2b n+1+b n=0，即b n+2﹣b n+1=b n+1﹣b n，
∴{b n}是等差数列．设公差为d．
又b3=11，b1+b2+…+b9=153，
∴，解得b1=5，d=3．
∴b n=3n+2…．（4分）
（Ⅱ）由（I）知
，
∴，∵，
∴T n单调递增，．
令，得k＜19，
∴k max=18．…．（8分）
（Ⅲ）结论：存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．
理由如下：
∵，
∴需要对m的奇偶性进行讨论：
（1）当m为奇数时，m+15为偶数．
∴3m+47=5m+25，解得：m=11．
（2）当m为偶数时，m+15为奇数．
∴m+20=15m+10，解得：（舍去）．
综上，存在唯一正整数m=11，使得f（m+15）=5f（m）成立．…（10分）
点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．。