专题14 几何证明选讲(高考押题)-2016年高考数学(文)考纲解读及热点难点试题演练(解析版)

1．如图，AB 是圆O 的直径，CD 与圆O 相切于点D ，AB ＝8，BC ＝1，则CD ＝________；AD ＝________．
【答案】 3 12105
【解析】 连接OD ，由切割线定理：
CD 2＝BC ·AC ，得CD ＝3，cos ∠AOD ＝－cos ∠DOC ＝－45
，由余弦定理得：AD 2＝AO 2＋DO 2－2AO ·DO cos ∠AOD ，解得AD ＝12105
. 2．如图，PC 、DA 为⊙O 的切线，A 、C 为切点，AB 为⊙O 的直径，若DA ＝2，CD ∶DP ＝1∶2，则AB ＝________．
【答案】 4 3
【解析】
3．点A 、B 、C 都在⊙O 上，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，若AB ＝5，BC ＝3，CD ＝6，则线段AC 的长为________．
【答案】 92
【解析】 由切割线定理，得CD 2＝BD ·AD .
因为CD ＝6，AB ＝5，则36＝BD (BD ＋5)，
即BD 2＋5BD －36＝0，
即(BD ＋9)(BD －4)＝0，所以BD ＝4.
因为∠A ＝∠BCD ，∠D ＝∠D ，所以△ADC ∽△CDB ，
于是AC CB ＝CD BD ，所以AC ＝CD BD ·BC ＝64×3＝92
. 4．已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D .若AD ＝3，BD ＝2，且D 为OC 的中点，则CD ＝______.
【答案】
2
【解析】
5．如图，已知AB ∥EF ∥CD ，若AB ＝4，CD ＝12，则EF ＝________.
【答案】 3
【解析】 ∵AB ∥CD ∥EF ，
∴
AB EF ＝BC CF ，BC BF ＝CD EF ， ∴4EF ＝BC BC －BF ，BC BF ＝12EF
， ∴4(BC －BF )＝12BF ，
∴BC ＝4BF ，
∴BC BF ＝4＝12EF
，∴EF ＝3. 6．△ABC 是⊙O 的内接三角形，P A 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D .若P A ＝PE ，∠ABC ＝60°，PD ＝1，PB ＝9，则P A ＝________；EC ＝________.
【答案】 3 4
【解析】
7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 与⊙O 相切，切点为A ，∠MAB ＝35°，则∠D ＝________.
【答案】 125°
【解析】 连接BD ，由题意知，∠ADB ＝∠MAB ＝35°，∠BDC ＝90°，故∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝125°.
8．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝2AC ＝8，过C 作△ABC 外接⊙O 的切线CD ，BD ⊥CD 于D ，BD 与外接圆交于点E ，则DE ＝________．
【答案】 2
【解析】 连接OC ，由题意得，
∠ACB ＝90°，∠OCB ＝∠ABC ＝30°，
∵OC ⊥CD ，BD ⊥DC ，
∴OC ∥BD ，∴∠DBC ＝30°.
∴DC ＝12
BC ＝23，
BD ＝BC ·sin 60°＝6，
故由切割线定理：
CD 2＝DE ·BD ，得DE ＝2.
9．如图，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ，使得BC ＝2CE ＝2，过E 作圆O 的切线，A 为切点，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为________．
【答案】
3
【解析】
10．AB 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于D ，且AD ＝2BD ，E 为AD 的中点，连接CE 并延长交圆O 于F .若CD ＝2，则AB ＝________，EF ＝________.
【答案】 3 233
【解析】 ∵AB 为圆O 的直径，
∴AC ⊥BC .∵CD ⊥AB 于D ，
∴由射影定理得CD 2＝AD ·BD .
∵AD ＝2BD ，CD ＝2，
∴(2)2＝2BD ·BD ，解得
BD ＝1，∴AD ＝2BD ＝2，
∴AB ＝AD ＋BD ＝2＋1＝3.
在Rt △CDE 中，∵E 为AD 的中点，
∴DE ＝12
AD ＝1，CD ＝2， ∴CE ＝CD 2＋DE 2＝3，
又由相交弦定理得AE ·BE ＝CE ·EF ，
即1×2＝3×EF ，∴EF ＝233
. 11．如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P .
(1)求证：PM 2＝P A ·PC ； (2)若⊙O 的半径为23，OA ＝3OM ，求MN 的长．
【解析】
(2)OM ＝2，在Rt △BOM 中，
BM ＝OB 2＋OM 2＝4.
延长BO 交⊙O 于点D ，连接DN .
由条件易知△BOM ∽△BND ，
于是BO BN ＝BM BD ，即23BN ＝443
， ∴BN ＝6，∴MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.
12.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，连接BF 、AF 并延长交⊙O 于点M 、N .
(1)求证：B 、E 、F 、N 四点共圆；
(2)求证：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2. 【解析】
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