2021年广东省中考数学解答题压轴题练习及答案 (93)

2021年广东省中考数学解答题压轴题练习
1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，且OM＝6cm，∠OMN＝30°，等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴的正半轴上，点A恰好落在线段MN上，如图2，将等边△ABC从图1的位置沿x轴正方向以1cm/s的速度平移，边AB、AC分别与线段MN交于点E、F，在△ABC平移的同时，点P 从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，当点P达到点C时，点P 停止运动，△ABC也随之停止平移．设△ABC平移时间为t（s），△PEF的面积为S（cm2）．（1）求等边△ABC的边长；
（2）当点P在线段BA上运动时，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）点P沿折线B→A→C运动的过程中，是否在某一时刻，使△PEF为等腰三角形？若存在，求出此时t值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据，∠OMN＝30°和△ABC为等边三角形，求证△OAM为直角三角形，然后即可得出答案．
（2）根据OM＝6cm，∠OMN＝30°，利用勾股定理求出MN和ON的长，再根据△OMN ∽△BEM，利用其对应边成比例求出BE、PE，然后利用三角形面积公式即可求得答案．（3）△PEF为等腰三角形，求出t的值，如果在0＜t＜3这个范围内就存在，否则就不存在．
【解答】解：（1）∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM＝6cm，∠OMN＝30°，
∴∠ONM＝60°，
∵△ABC为等边三角形
∴∠AOC＝60°，∠NOA＝30°
∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，
∴OA＝OM＝×6＝3cm．
（2）∵OM＝6cm，∠OMN＝30°，
∴ON＝2，MN＝4．
∵△OMN∽△BEM，
∴＝，
∴＝，
BE＝，
当点P在BE上时，
PE＝BE﹣PB＝﹣2t＝，
∵∠A＝60°，∠AFE＝30°，
∴EF＝AE＝（3﹣BE）＝（3﹣）＝t，
∴△PEF的面积S＝×EF×PE＝×t×，
即S＝＝﹣（0＜t＜）；当点P在AE上时，PE＝PB﹣BE＝2t﹣＝，
∵∠A＝60°，∠AFE＝30°，
∴EF＝AE＝（3﹣BE）＝（3﹣）＝t，
∴△PEF的面积S＝×EF×PE＝×t×，
即S＝＝（＜t≤）；
（3）存在，有4种情况：
①当点P在线段AB上时，
点P在AB上运动的时间为s，
∵△PEF为等腰三角形，∠PEF＝90°，
∴PE＝EF，
∵∠A＝60°，∠AFE＝30°，
∴EF＝AE＝（3﹣BE）＝（3﹣）＝t，
∴＝t或＝t，
解得t＝或＞（故舍去），
②当点P在AF上时，
若PE＝PF时，点P为EF的垂直平分线与AC的交点，
此时P为直角三角形PEF斜边AF的中点，
∴PF＝AP＝2t﹣3，
∵点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿折线B→A→C运动，
∴0＜t＜3，
在直角三角形中，cos30°＝＝＝，
解得：t＝2，
若FE＝FP，
AF＝＝＝t，
则t﹣（2t﹣3）＝t，
解得：t＝12﹣6；
③当PE＝EF，P在AF上时无解，
④当P点在CF上时，AP＝2t﹣3，AF＝t，则PF＝AP﹣AF＝t﹣3＝EF，所以t﹣3＝t，解得t＝12+6＞3，不合题意，舍去．
综上，存在t值为或12﹣6或2时，△PEF为等腰三角形．。