RLC暂态实验

有一个特解，即电路未接通前， uc = 0 ，
duc = 0 。方程（2）的解可分为以下三种情况： dt
图 1 ＲＬＣ 串联电路
1）若 R2〈4L C ，方程的解为
uc = E − E
4L
4L −R
2C
e
−t τ
cos(ωt
+ϕ)
（3）
式中第二项表示一种衰减振动过程，此时系统处于“欠阻尼”状态，阻尼振动波
u cn
−(n−1)T
=e τ
u c1
（11）
式中T ′ 和 ucn 值可根据衰减振动波形图测出，数据记录如表 1 所示。
表 1 数据记录表
n t / ms u / mv u0 / mv ucn = u − u0 / mv x = n −1 ( ) y = ln ucn uc1
1 2 3 4 5 6
= 0 时, uc
=
E，
duc dt
=
0 ，方程的解也可分为三种情况：
1）若 R2 〈4L C ，有解
（7）
uc = E
4LHale Waihona Puke 4L −R2C
e
−t τ
cos(ωt
+ϕ)
2）若 R2〉 4L C ，有解
（8）
uc = E
R
4L 2C −
4L
e
−αt
sh(βt
+
ϕ
)
3）若 R2 = 4L C ，有解
uc
=
E1
+
t τ
e
−t τ
（9） （10）
【实验内容与步骤】 1. 连接电路，将电路上连出的两条线接头分别接于电容器两端，红正黑负； 2. 打开电脑，找到 RLC 串联模拟软件，让 R0 = 0 ，选择充电，将开关打向“2” 让电容器放完电，点击“充电过程”，将开关快速打到“1”；观察欠阻尼振动波形， 测量六个峰值的 t 、 u 、稳定电压 u0 ，计算周期 T = 2π ω ； 4. 测衰减振动的时间常数τ 第 n 个衰减振动的振幅用 ucn 表示，其近似等于该峰值电压与电路稳定时相 应的电压之差的绝对值。从衰减振动的表达式可得
uc = E − E
R
4L 2C −
4L
e
−αt
sh(βt
+
ϕ
)
其解是指数衰减函数。此情况下的振动从开始 uC 最大位移处缓慢逼近平衡位置，完全不可能再
做往复运动了，这种情况称为过阻尼，如图 2
c
曲线 b 所示。式中 α = R , β = 1 R2C −1 。
2L
LC 4L
b
a
3）当 R2 = 4L C ，物体不可能做往复运动， 图 2 阻尼振动波形
形如图 2 曲线 a 所示。曲线描述的是阻尼振动电压随时间变化的曲线，可以看出 这种振动已不是严格意义上的周期振动了，但我们可以类比简谐振动，将两峰间
的时间间隔定义为周期
T = 2π ω
（4）
其中 ω = 1 4L − R2C 是振动角频率，τ = 2L 是时间常数。
LC 4L
R
2）若 R2〉 4L C ，方程解为
RLC 串联电路暂态过程的研究
(注：此实验需要带坐标纸) 【实验目的】 1. 研究 RLC 电路的暂态过程； 2. 能说出常数τ 的概念及其测量方法； 【实验仪器】 计算机、标准电容、标准电感、电阻箱、导线、计算机采集器等。 【实验原理】
如图 1 所示，当开关 S 接至位置 1 时，电源对电容器进行充电，回路方程为
L
di dt
+
iR
+ uc
=E
（1）
将=i d=q d (Cuc ) 带入上式得 dt dt
LC
d 2uc dt 2
+ RC
du c dt
+ uc
=E
（2）
式中，uc 为电容器两端的电压，R 为回路的总
电阻 R = R0 + RL + Rs ，其中 RL 为电感线圈电
阻， RS 为电源内阻， R0 为四钮电阻箱。电路
uc1
τ
达式得到 b 为
b
=
xy − x ⋅ y
x2
−
2
x
进而得到时间常数τ 为
τ =−T b
3. RLC 电路欠阻尼振荡（ R = 0Ω ）的波形在坐标纸上画出。
【数据记录与处理】 1. 求周期 T （逐差法）
T = (t6 − t3 ) + (t5 − t2 ) + (t4 − t1 )
9
2. 应用最小二乘法计算τ ： 首先，对式（11）取对数可得
ln ucn = −(n − 1) T
u c1
τ
其次，令 ln ucn = y ， n −1 = x ， − T = b ，则有 y = bx ，利用最小二乘法求斜率的表
（5）
t
这种情况称为临界阻尼，方程的解为
uc
=
E
1
−
1
+
t τ
e
−t τ
（6）
振动曲线如图 2 曲线 c 所示，从图可知，临界阻尼情况下振动体回到平衡位置最
快。
当上述过程达到稳定之后，再将开关迅速从位置 1 转换至位置 2，电路方程
为
LC
d 2uc dt 2
+
RC
du c dt
+ uc
=0
初始条件为 t