初中数学几何模型(八)特殊四边形一半模型

初中数学几何模型（八）特殊四边形一半模型
1、已知：在□ABCD中，点E在CD上，连接
AE、BE，则S△ABE=12S¨ ABCD。

2、已知：在□ABCD中，点O在□ABCD内，
连接OA、OB、OC、OD，则
S△OAB+S△OCD=S△OAD+S△OBC=1
S¨ ABCD。

2
3、拓展：经过中心对称图形对称中心的直线
将原图形面积平分，被分成的两个图形全等。

典型例题：
1、四边形EFGH的顶点在矩形ABCD的边上，
EQ⊥CD于点Q，HP⊥BC于点P，EQ与HP交于点O，且
AB=8,BC=10,PF=4,GQ=3,求四边形EFGH的面积。

解：过点G作GM⊥HP于点M，过点F作FN⊥GM于点N,FN交EQ于点R。

⊥EQ⊥CD，HP⊥BC，四边形ABCD是矩形，⊥⊥MOR=90°。

⊥GM⊥HP，FN⊥GM，⊥⊥OMN=90°，⊥MNR=90°。

⊥四边形OMNR是矩形。

S矩形OMBR=3×4=12。

∴S
矩形AEOH +S
矩形BFRER
+S
矩形CGNF
+S
矩形DHMG
=S
矩形ABCD -S
矩形OMNR
=8×10-12=68，
∴S△EOH+S△ERF+S△FNG+S△HMG=1
2
×68=34，（一半模型）
∴S
四边形EFGH
=34+12=46（平方单位）。

2、在矩形ABCD中，点E在边AD上，CE与BD交于点F，△ABE的面积为18，△DEF的面积为6，则△BEF的面积为__________。

解：由特殊四边形一半模型，可得：
S△ABD=S△ABE+S△DEF+S△BEF=1
2S
矩形ABCD。

S△BCE=S△BCF+S△BEF=1
2S
矩形ABCD。

∴S△BCF=S△ABE+S△DEF=18+6=24。

由蝴蝶定理，可得：
S△BEF×S△CDF=S△BCF+S△DEF=24×6=144
∴S△BEF=S△CDF=12。

（如果把“矩形ABCD”变成”平行四边形ABCD “，方法是否相同呢？）
3、已知：在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，AC与BE交于点O，S△BOC=20cm², S△COE=10cm²，求阴影部分的面积。

解：连接AE。

由蝴蝶定理，可得：
S△AOE= S△BOC=20cm²,
由蝴蝶定理，可得：
S△AOB•S△COE=S△BOC•S△AOE
∴10×S△AOB=20×20=400（cm²），∴S△AOB=40（cm²），
由特殊四边形一半模型，可得：
S△ABE=S△AOB+S△AOE=S△BOC+S△COE+S△ADE
=1 2S
平行四边形ABCD
=40+20=60（cm²）。

∴S△ADE=60-20-10=30（cm²），
∴S
阴影
=S△AOE+S△ADE=20+30=50（cm²）。

4、如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFGG的面积___________。

略解：连接AE。

在正方形ABCD中，点E在BC边上，根据一半模型，
S△AED=1
2S
正方形ABCD
；
在矩形EDFG中，点A在FG边上，根据一半模型，S△AED=1
2S
矩形EDFG
；
∴S
矩形EDFG =S
正方形ABCD
=4×4=16。

5、如图，四边形ABCD是梯形，四边形ABFD是平行四边形，四边形CDEF是正方形，四边形AGHF是矩形，且AD=14cm，BC=22cm。

求（1）平行四边形ABFD的面积；（2）阴影部分的总面积。

略解：（1）∵四边形ABFD是平行四边形，∴BF=AD=14cm，∵四边形CDEF是正方形，∴EF⊥BF，
∴EF=CF=BC-BF=22-14=8（cm）
∴S
平行四边形ABFD
=BF×EF=14×8=112（cm²）
（2）∵四边形ABFD是平行四边形，
∴S△ABF=1
2S
平行四边形ABFD
；
∵四边形AGHF是矩形，点B在GH边上，
∴S△ABF=S
阴影总=1
2
S
矩形AGHF
；
∴S
阴影总=1
2
S
平行四边形ABFD
=1
2
×112=56（cm²）。

6、如图，点E是平行四边形ABCD内部一个点，AF//BE，DF//CE，连接AE、DE。

（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设平行四边形ABCD的面积为16cm2，求四边形AEDF的面积。

（1）证明：延长BE交AD于点G，延长CE交AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，
∴AD//BC，∴∠6=∠5，∠3=∠2；
∵AF//BE，∴∠4=∠5，∴∠4=∠6，
∵DF//CE，∴∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴△BCE≌△ADF。

（2）∵△BCE≌△ADF，∴S△BCE=S△ADF；∵S
四边形AEDF
=S△ADF+S△ADE，
∴S
四边形AEDF
=S△BCE+S△ADE，
∵点E是平行四边形ABCD内部一个点，
∴S△BCE+S△ADE=1
2S
平行四边形ABCD
，
∴S
四边形AEDF =1
2
S
平行四边形ABCD
，
∵平行四边形ABCD的面积为16cm2，∴S
四边形AEDF
=8cm2。