公式法因式分解 完全平方公式 优质课件
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(2)4x4-16x2y2+16y4
=a2+2·a·3b+(3b)2
=(2x2)2-2·2x2·4y2+(4y2)2
=(a+6b)2
=(2x2-4y2)2
闯关四
(1)–2ab–a2–b2
解：(3)–2ab–a2–b2
分解因式
(2)9–12(a–b)+4(a–b)2
(4)9–12(a–b)+4(a–b)2
＝(x2＋4＋4x)(x2＋4–4x)
＝(x＋2)2(x–2)2
例5 已知:a2+b2+2a–6b+10=0，求a+b的值.
解：∵ a2+b2+2a–6b+10=0
∴ (a2+2a+1)+(b2–6b+9)=0
即(a+1)2+(b–3)2=0
∴a+1=0，b–3=0
∴a=-1，b=3
∴ a+b=2
小结
完全平方式：前平方，后平方，前后两倍在中央.
a2
± 2ab
前2
±2·前·后
+b2 =(a ± b)²
+后2
(前±后)2
闯关一
填一填
1. a²+6a+9= ( a )²+2·( a )·( 3)+( 3 )²=( a + 3 )²
2. a²–8a+16=( a )²– 2·( a ) ·(4 )+( 4 )²=( a – 4 )²
=a(x+y)2
(2)(a+b)2–6(a+b)+9
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·3+32
=(a+b–3)2
闯关六
分解因式
(1)–2a2y2＋12a2y–18a2
解：(1)原式＝–2a2(y2–6y＋9)
＝–2a2(y–3)2
(2)(x2＋4)2–16x2
(2)原式＝(x2＋4)2–(4x)2
∴ b= 32 =9
D. –9
闯关五
求字母的值
如果x2–bx+25是一个完全平方式，那么a的值为
±10
________.
解：∵ x2–bx+25是一个完全平方式
∴ x2–bx+25= x2-bx+52=x2±2×x×5+52
∴ b=±2×5 =±10
例3 分解因式
(1)bx2+2bxy+by2
解: (1)原式=a(x2+2xy+y2)
= –(a2+2ab+b2)
=32–2×3×2(a–b)+［2(a–b)］2
= –(a+b)2
=［3–2(a–b)］2
=(3–2a+2b)2
例2 如果x2–6x+b是一个完全平方式，那么b是( B )
A . 11
B. 9
C. –11
解：∵ x2–6x+b是一个完全平方式
∴ x2–6x+b= x2–2×x×3+b
因式分解
b
a
a
ab
b
b² b
a²
ab a
a
b
a²±2ab+b²=(a±b)²
动手操作
动动手，拼拼看，把下面4个图形拼成一个正方形，
然后求出你拼成的图形的面积，你有什么发现？
a
b b²
b
a²
a
b
ab
a
b
ab
a
b
a
a
ab
b
b² b
a²
ab a
a
b
怎样表示这个大正方形的面积？
b
a
a
ab
a²
a
b
b² b
9
4.已知a–b＝3，则a(a–2b)＋b2的值为____．
5. 把下列多项式因式分解.
(1)a2–6a+9
(2)4(2x+y)2–4(2x+y)+1
解：(1)原式=a2–2·a·3+32=(a–3)2
(2)原式=[2(2x+y)]²– 2·2(2x+y)·1+1²=(4x+2y– 1)2
谈谈你的收获！
ab a
b
a2+2ab+b2 = (a+b)2
完全平方式
我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
想一想：这两个完全平方式有什么特点？
(1)每个多项式有几项？
三项
(2)第一项和第三项有什么特点？ 都是平方的形式
(3)中间项与第一项、第三项有什么关系？
中间项=±2×第一项底数×第三项底数
3. x²+4xy+4y²=( x )²+2·( x ) ·(2y )+( 2y )²=( x + 2y )²
闯关二
下列式子是不是完全平方式？
(1)a2–
✘
(3)b2+2b-1
✔
(4)y2+6y+9
✔
2
(5)x +x+
✔
(6) n2+2n-1
✘
例1 分解因式
(1)16x2+24x+9
达标检测
1.下列多项式，能因式分解的是( B )
A．a2＋2a-1
B．a2–4a＋4
C．x2＋2x
D．a2+b2
2.把多项式4a2b–4ab2–a3分解因式的结果是( B )
A．4ab(a–b)–a3
B．–a(a–2b)2
C．a(4ab–4b2–a2)
D．–a(–4ab＋4b2＋a2)
9
3.若关于x的多项式x2–6x＋b是完全平方式，则b的值为____．
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
= (4x + 3)2
(2)–x2+4xy–4y2
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2)
=–(x–2y)2
闯关三
(1)a2+6ab+9b2
解：(1)a2+6ab+9b2
分解因式
(2)4x4+16x2y2+16y4
=a2+2·a·3b+(3b)2
=(2x2)2-2·2x2·4y2+(4y2)2
=(a+6b)2
=(2x2-4y2)2
闯关四
(1)–2ab–a2–b2
解：(3)–2ab–a2–b2
分解因式
(2)9–12(a–b)+4(a–b)2
(4)9–12(a–b)+4(a–b)2
＝(x2＋4＋4x)(x2＋4–4x)
＝(x＋2)2(x–2)2
例5 已知:a2+b2+2a–6b+10=0，求a+b的值.
解：∵ a2+b2+2a–6b+10=0
∴ (a2+2a+1)+(b2–6b+9)=0
即(a+1)2+(b–3)2=0
∴a+1=0，b–3=0
∴a=-1，b=3
∴ a+b=2
小结
完全平方式：前平方，后平方，前后两倍在中央.
a2
± 2ab
前2
±2·前·后
+b2 =(a ± b)²
+后2
(前±后)2
闯关一
填一填
1. a²+6a+9= ( a )²+2·( a )·( 3)+( 3 )²=( a + 3 )²
2. a²–8a+16=( a )²– 2·( a ) ·(4 )+( 4 )²=( a – 4 )²
=a(x+y)2
(2)(a+b)2–6(a+b)+9
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·3+32
=(a+b–3)2
闯关六
分解因式
(1)–2a2y2＋12a2y–18a2
解：(1)原式＝–2a2(y2–6y＋9)
＝–2a2(y–3)2
(2)(x2＋4)2–16x2
(2)原式＝(x2＋4)2–(4x)2
∴ b= 32 =9
D. –9
闯关五
求字母的值
如果x2–bx+25是一个完全平方式，那么a的值为
±10
________.
解：∵ x2–bx+25是一个完全平方式
∴ x2–bx+25= x2-bx+52=x2±2×x×5+52
∴ b=±2×5 =±10
例3 分解因式
(1)bx2+2bxy+by2
解: (1)原式=a(x2+2xy+y2)
= –(a2+2ab+b2)
=32–2×3×2(a–b)+［2(a–b)］2
= –(a+b)2
=［3–2(a–b)］2
=(3–2a+2b)2
例2 如果x2–6x+b是一个完全平方式，那么b是( B )
A . 11
B. 9
C. –11
解：∵ x2–6x+b是一个完全平方式
∴ x2–6x+b= x2–2×x×3+b
因式分解
b
a
a
ab
b
b² b
a²
ab a
a
b
a²±2ab+b²=(a±b)²
动手操作
动动手，拼拼看，把下面4个图形拼成一个正方形，
然后求出你拼成的图形的面积，你有什么发现？
a
b b²
b
a²
a
b
ab
a
b
ab
a
b
a
a
ab
b
b² b
a²
ab a
a
b
怎样表示这个大正方形的面积？
b
a
a
ab
a²
a
b
b² b
9
4.已知a–b＝3，则a(a–2b)＋b2的值为____．
5. 把下列多项式因式分解.
(1)a2–6a+9
(2)4(2x+y)2–4(2x+y)+1
解：(1)原式=a2–2·a·3+32=(a–3)2
(2)原式=[2(2x+y)]²– 2·2(2x+y)·1+1²=(4x+2y– 1)2
谈谈你的收获！
ab a
b
a2+2ab+b2 = (a+b)2
完全平方式
我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
想一想：这两个完全平方式有什么特点？
(1)每个多项式有几项？
三项
(2)第一项和第三项有什么特点？ 都是平方的形式
(3)中间项与第一项、第三项有什么关系？
中间项=±2×第一项底数×第三项底数
3. x²+4xy+4y²=( x )²+2·( x ) ·(2y )+( 2y )²=( x + 2y )²
闯关二
下列式子是不是完全平方式？
(1)a2–
✘
(3)b2+2b-1
✔
(4)y2+6y+9
✔
2
(5)x +x+
✔
(6) n2+2n-1
✘
例1 分解因式
(1)16x2+24x+9
达标检测
1.下列多项式，能因式分解的是( B )
A．a2＋2a-1
B．a2–4a＋4
C．x2＋2x
D．a2+b2
2.把多项式4a2b–4ab2–a3分解因式的结果是( B )
A．4ab(a–b)–a3
B．–a(a–2b)2
C．a(4ab–4b2–a2)
D．–a(–4ab＋4b2＋a2)
9
3.若关于x的多项式x2–6x＋b是完全平方式，则b的值为____．
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
= (4x + 3)2
(2)–x2+4xy–4y2
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2)
=–(x–2y)2
闯关三
(1)a2+6ab+9b2
解：(1)a2+6ab+9b2
分解因式
(2)4x4+16x2y2+16y4