2019年高考数学一轮复习精品试题第37讲 直线的倾斜角、斜率及直线方程

第三十七讲 直线的倾斜角、斜率及直线方程
班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________
一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．(2010·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( ) A ．所有的直线都有倾斜角和斜率
B ．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率
C ．直线的倾斜角和斜率有时都不存在
D ．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角
解析：所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率． 答案：B
2．已知两直线的方程分别为l 1：x ＋ay ＋b ＝0，l 2：x ＋cy ＋d ＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则( )
A ．b >0，d <0，a <c
B ．b >0，d <0，a >c
C ．b <0，d >0，a >c
D ．b <0，d >0，a <c
解析：由图象知－1a >－1c >0，－b a <0，－d
c >0，从而c <a <0，b <0，
d >0.
答案：C
3．直线x sin π7＋y cos π
7
＝0的倾斜角是( )
A ．－π
7
B.π7
C.5π
7
D.6π7
解析：由题意得：直线方程为y ＝－tan π
7·x ，
∴k ＝－tan π7＝tan 67π，∵0≤α＜π，∴α＝6
7π.
答案：D
4．直线2x cos α－y －3＝0(α∈⎣⎡⎦⎤
π6，π3)的倾斜角的变化范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3
B.⎣⎡⎦⎤
π4，π3 C.⎣⎡⎭⎫π4，π2
D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3
解析：直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，由于α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤3
2，因此k ＝2cos α∈[]1，3.设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[]1，3，由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎡⎦
⎤π4，π
3.选B. 答案：B
评析：当斜率表达式中含有字母又需求直线的倾斜角的范围时，应先求斜率的范围，再结合正切函数的图象，利用正切函数的单调性来解决倾斜角的取值范围问题．其中必须注意的是：正切函数y ＝tan x 在区间[0，π)上并不是单调的，但它在⎣⎡⎭⎫0，π2上和⎝⎛⎭⎫π2，π上都是递增的．
5．若原点O 和点P (1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a <0或a >2 B ．a ＝0或a ＝2 C ．0<a <2
D ．0≤a ≤2
解析：因为原点O 和点P 位于直线两侧，所以(－a )·(1＋1－a )<0，解得0<a <2.故选C. 答案：C
6．过点(1,3)作直线l ，若l 经过点(a,0)和(0，b )，且a 、b ∈N ＋，则可作出这样的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．多于3
解析：由题意可知l ：x a ＋y b ＝1，∴1a ＋3
b ＝1
∴b ＝
3a a －1＝3(a －1)a －1＋3a －1＝3＋3
a －1
(a ≥2，且a ∈N ＋) ∴a －1为3的正约数，
当a －1＝1时，b ＝6，当a －1＝3时，b ＝4，所以这样的直线有2条，故选B. 答案：B
二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________．
解析：将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－13x ，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y ＝
－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13
. 答案：y ＝－13x ＋13
8．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．
解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，设P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[]－(y －2)2
＋4≤3.
答案：3
9．(2010·苏州月考)若点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于________． 解析：因为A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)三点共线，所以k AB ＝k AC ，即b －00－a ＝－1－01－a ，整理得1a －1
b ＝1，
于是a －b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1a －1b ＝2－b a －a
b
＝2＋⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫－b a ＋⎝⎛⎭⎫－a b ≥2＋2＝4， 即a －b 的最小值等于4. 答案：4
10．直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变动时，所有直线都通过定点________． 解析：将直线方程化为点斜式，得y －1＝k (x －3)，所以直线过定点(3,1)． 答案：(3,1)
评析：将含有参数的直线方程化成点斜式y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则直线必过点(x 0，y 0)
三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
分析：注意截距概念的运用和直线的图象特征．
解：(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然相等．
∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，
∴a－2
a＋1
＝a－2，即a＋1＝1，
∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.
(2)解法一：将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∴
(1)0(1)0
.
2020
a a
a a
>
⎧⎧
⎨⎨
⎩⎩
－＋，－＋＝，
或
－≤，－≤
∴a≤－1.
综上可知a的取值范围是a≤－1.
解法二：将l的方程化为：
(x＋y＋2)＋a(x－1)＝0(a∈R)．
它表示过l1：x＋y＋2＝0与l2：x－1＝0交点(1，－3)的直线系(不包括x＝1)．由图象可知l的斜率－(a＋1)≥0，即a≤－1时，直线l不经过第二象限．
评析：忽略直线l在两坐标轴上截距均为0的情形，直接设出直线的截距式方程进行求解，从而导致错误．每种直线方程的形式均有其适用范围，对于不能由所设直线方程的形式来表达但又符合题意的直线，应注意进行单独考查，并将其加上．
12．过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：y＝x
3＋
10
3，l2：y＝－2x＋8所截得的线段恰好被点M平分，求此直
线方程．
解：解法一：(利用点斜式方程)
过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求方程为y－1＝kx，即y＝kx＋1，它与已知两直线l1、l2
分别交于A 、B 两点，且A 、B 、M 的横坐标分别为x A 、x B 、x M .
联立方程组11102833y kx y kx x y x y ⎧⎧⎪
⎨⎨
⎩⎪⎩
＝＋，
＝＋，与＝－＋，＝＋， 得x A ＝73k －1，x B ＝7
k ＋2
，
又∵M 平分线段AB ，∴x A ＋x B ＝2x M . 即
73k －1＋7k ＋2
＝0，解得k ＝－14.
故所求直线方程为y ＝－1
4x ＋1.
解法二：(利用两点式方程)
设所求直线与l 1、l 2分别交于A 、B 两点，
∵点B 在直线l 2：y ＝－2x ＋8上，故可设B (t,8－2t )， ∵M (0,1)是AB 中点，由中点坐标公式可得 A (－t ，2t －6)，
∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上， ∴－t －3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4. ∴A (－4,2)，B (4,0)．
由两点式方程得y －20－2＝x －(－4)
4－(－4)，
整理得x ＋4y －4＝0即为所求．
13．已知两直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4(0<a <2)与两坐标轴的正半轴围成四边形．当a 为何值时，围成的四边形面积取最小值，并求最小值．
解：两直线l 1：a (x －2)＝2(y －2)， l 2：2(x －2)＝－a 2(y －2)，都过点(2,2)， 如图．
设两直线l 1，l 2的交点为C ，且它们的斜率分别为k 1和k 2，则k 1＝a
2∈(0,1)，
k 2＝－2a
2∈⎝⎛⎭⎫－∞，－12. ∵直线l 1与y 轴的交点A 的坐标为(0,2－a )，直线l 2与x 轴的交点B 的坐标为(2＋a 2,0)． ∴S 四边形OACB ＝S △OAC ＋S △OCB ＝12×(2－a )×2＋1
2×(2＋a 2)×2 ＝a 2
－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154.
∴当a ＝12时，四边形OACB 的面积最小，其值为154.。