2023-2024学年江苏省淮安市高中高二下册期中数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年江苏省淮安市高中高二下册期中数学
模拟试题
一、单选题
1．已知,,A B C 三点不共线，O 是平面ABC 外任意一点，若由1153
OP OA OB OC λ=++
确定
的一点P 与,,A B C 三点共面，则λ等于（）A ．2
3
-
B ．
23
C ．
715
D ．715
-
【正确答案】C
【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案.【详解】由P 与,,A B C 三点共面以及1153
OP OA OB OC λ=++
，
可得，11
153
λ++=，所以715λ=.
故选：C.
2．若33
2A 10A n n =，则n =（
）
A ．1
B ．6
C ．7
D ．8
【正确答案】D
【分析】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案.【详解】由已知，3n ≥.
因为()()()()3
2A 221224211n n n n n n n =--=--，
()()3A 12n n n n =--.
则由33
2A 10A n n =可得，()()()()42111012n n n n n n --=--，
整理可得42510n n -=-，解得8n =.故选：D.
3．已知21,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，设向量122a e e =+
，1232b e e =-+ ，则a 与b 的
夹角为（
）
A ．1π
3
B ．1π
6
C ．2π
3
D ．5π
6
【正确答案】C
【分析】由已知求出1212
e e ⋅= ，根据数量积的运算求出22,,a b a b ⋅ 的值，进而根据数量积的
定义，即可得出答案.
【详解】由已知可得，12121
cos602
e e e e ⋅=⋅︒= ，
所以()
22
121222214127244a e e e e e e =+=++=++=⋅ ，
()
2
2
12
1212221294673294b e e e e e e =-+=+⋅-=+-= ，
()()
12121122221726222
2326a b e e e e e e e e ++=-+⋅+=⋅=+-+=--⋅
，
所以=
a
b = 所以，712cos ,2a b a b a b
-⋅==- ，所以，2π
,3
a b = .
故选：C.
4．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（
）
A ．192
B ．420
C ．210
D ．72
【正确答案】D
【分析】分为,B D 同色，且,A C 同色；,B D 同色，而,A C 不同色；,A C 同色，而,B D 不同色三种情况，分别计算，根据分类加法计数原理，求和即可得出答案.【详解】由题意知，S 与,,,A B C D 任意一点均不同色.
只用3种颜色，即,B D 同色，且,A C 同色，此时不同染色方法的种数为3
4A 24=；
用4种颜色，此时可能,B D 同色，而,A C 不同色或,A C 同色，而,B D 不同色.
若,B D 同色，而,A C 不同色，此时不同染色方法的种数为4
4A 24=；
若,A C 同色，而,B D 不同色，此时不同染色方法的种数为4
4A 24=.
根据分类加法计数原理原理可得，不同染色方法的种数为24242472++=.故选：D.
5．设,x y 是实数，已知三点()1,5,2A -，()2,4,1B ，(),3,2C x y +在同一条直线上，那么x y +=
（
）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【正确答案】D
【分析】求出()1,1,3AB =- ，()1,2,4AC x y =--+ .进而根据三点共线得出AC AB λ=
，即可
列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得()1,1,3AB =- ，()1,2,4AC x y =--+
.因为,,A B C 三点共线，所以存在唯一实数λ，使得AC AB λ=
，
所以1243x y λλλ
-=⎧⎪-=-⎨⎪+=⎩
，解得232x y λ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩，所以5x y +=.
故选：D.
6．
已知在n
的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56:3，则展开式中
系数的绝对值最大的是第（）项
A ．6
B ．8
C ．9
D ．11
【正确答案】B
【分析】写出n
展开式的通项公式，由已知可得出42
16C 564C 3n
n
=，解得10n =.进而写出展开式中系数的绝对值的表达式，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，n
展开式的通项公式为
()526
1C 2C r
n r
n r
r r
r r n
n T x
--+⎛=⋅
-=-⋅⋅ ⎝
，0,1,2,,r n = .
所以，第5项的系数为()4
442C 16C n n -⋅=，第3项的系数为()2
22
2C 4C n n -⋅=，
由题意知，42
16C 564C 3
n
n =，整理可得，25500n n --=，
解得10n =或5n =-（舍去），所以10n =，()556
1
10
2C r r
r
r T
x
-
+=-⋅⋅.
设第1s +项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为()10102C 2C s
s s s
-⋅=⋅，
则有11
10101110102C 2C 2C 2C s s s s s s s s ++--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即()()()()()()1
110!10!22!10!1!9!10!10!22!10!1!11!s s s s s s s s s s s s +-⎧⋅≥⋅⎪-+-⎪
⎨⎪⋅≥⋅
⎪---⎩
，整理可得319322s s ≥⎧⎨≤⎩
，所以1922
33s ≤≤.
又*s ∈N ，所以7s =，所以展开式中系数的绝对值最大的是第8项.故选：B.
7．已知21,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量12e e +
在向量1e 上的投影向量的模为（
）
A ．
3
2
B ．2
C ．
23
D ．4
【正确答案】A
【分析】根据数量积的定义求得121
2
e e ⋅= ，进而得出()
121e e e +⋅ 的值，然后根据投影向量即
可得出答案.
【详解】由已知可得，12121
cos602
e e e e ⋅=⋅︒= ，
所以，()
212111213122
e e e e e e +⋅=+⋅=+
= ，所以，向量12e e + 在向量1e 上的投影向量的模为
()
1211113
2
e e e e e e +⋅⋅= .故选：A.8．若2023
220230122023(32)x a a x a x a x +=++++ ，则1352023a a a a ++++ 被12整除的余数为
（
）
A ．0
B ．3
C ．5
D ．8
【正确答案】B
【分析】分别赋值1x =以及=1x -，可推得2023135202351
2
a a a a +++++=
.然后将()
1011
202355241=⨯+展开，即可得出
1352023a a a a ++++ ()01011110101010
1
1011101110115C 24C 24C 2432
⨯⋅+⋅++⋅=
+
，观察即可得出答案.
【详解】令1x =，由已知可得，2023
01220235a a a a =++++ .
令=1x -，由已知可得，()
2023
012202220231a a a a a -=-+++- .
两式作差可得，()021352023
23251a a a a ++=+++ ，
所以，2023135202351
2
a a a a +++++=
.因为()
()
1011
1011
202325555241=⨯=⨯+()
0101101101011010110101011
0101110111011101110115C 241C 241C 241C 241=⨯⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅ ()
01011110101010110111011101110111011
5C 24C 24C 24C =⨯⋅+⋅++⋅+ ()0101111010101011011101110115C 24C 24C 245
=⨯⋅+⋅++⋅+ ，所以，
20231352023
512
a a a a +++++= ()0
1011
1101010101
1011101110115C 24
C 24C 246
2
⨯⋅+⋅++⋅+=
()01011110101010
1
1011101110115C 24C 24C 2432
⨯⋅+⋅++⋅=
+
，
显然
()01011110101010
1
1011101110115C 24C 24C 242
⨯⋅+⋅++⋅ 可以被12整除，
所以，余数为3.故选：B.
二、多选题
9．下列命题中是真命题的为（
）
A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+
B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b
共面
C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB
=+
D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+
，则点,,,P M A B 四点共面
【正确答案】BD
【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B 、D 项正确；若,a b
共线，
则A 结论不恒成立；若,,M A B 三点共线，则C 项结论不恒成立.【详解】对于A 项，如果,a b 共线，则xa yb + 只能表示与a
共线的向量.若p 与,a b
不共线，则不能表示，故A 项错误；
对于B 项，根据平面向量基本定理知，若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+ ，则p 与,a b
共
面，故B 项正确；
对于C 项，如果,,M A B 三点共线，则不论,x y 取何值，xMA yMB + 只能表示与MA
共线的
向量.若点P 不在,,M A B 所在的直线上，则无法表示，故C 项错误；
对于D 项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+
，则
,,MP MA MB uuu r uuu r uuu r
共面，所以点,,,P M A B 四点共面，故D 项正确.
故选：BD.
10．我国古代著名的数学著作中，
《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（
）
A ．1
2
4
564C C A B ．5
651
A C C ．124
564
C A A
D ．25
65
C A 【正确答案】AD
先选出一个人分得两本书，剩余四人各分得一本书，再利用分步乘法计数原理相乘即得结果.【详解】依题意，6本书分给5名数学爱好者，其中一人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书，方法一：分三步完成，
第一步：选择一个人，有1
5C 种选法；第二步：为这个人选两本书，有2
6C 种选法；
第三步:剩余四人各分得一本书，有4
4A 种选法.
故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为124
564C C A ，故A 正确；方法二：分两步完成，
第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2+1+1+1+1”的五组，有2
6C 种选法；第二步：将五组分配给五个人，有5
5A 种选法.
故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为2
5
65C A ，故D 正确.故选：AD.
11．设,,,x a b y b c z c a =+=+=+
且{}
,,a b c 是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为
空间一个基底的向量组有（）
A ．{},,a b x
B ．
{},,x y z
C ．
{
}
,,b c z
D ．{
}
,,x y a b c
++ 【正确答案】BCD
【分析】令1,,a AB b AA c AD ===
，并以它们为邻边作平行六面体，再确定,,x y z ，a b c
++r r r 对应的线段，判断线段是否共面，即可判断各组向量是否可作为基底.
【详解】如图所示，令1,,a AB b AA c AD === ，则11,,x AB y AD z AC === ，又1a b c AC ++=
，
由A 、B 1、C 、D 1四点不共面知：向量,,x y z
不共面，同理,,b c z 和,,x y a b c ++
也不共面.
故选：BCD
12．对于二项式3*
1()()n x n N x
+∈，以下判断正确的有（
）
A ．存在n N *∈，展开式中有常数项
B ．对任意n N *∈，展开式中没有常数项
C ．对任意n N *∈，展开式中没有x 的一次项
D ．存在n N *∈，展开式中有x 的一次项【正确答案】AD
【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．【详解】设二项式3*
1()()n x n N x
+∈展开式的通项公式为1r T +，
则33411=()(r n r r r n r
r n n T C x C x x
--+=，
不妨令4n =，则3r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误；令3n =，则2r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确．故选：AD
三、填空题
13．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且6AB AP ==，
2,60,,AD BAD BAP DAP E F =∠=∠=∠= 分别为,PB PC 上的点，且2PE EB =
，,PF FC EF ==
__________.
【分析】根据给定条件选定基底向量,,AB AD AP ，并表示出EF
，再利用向量运算即可得解.【详解】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，连接AC ，如图，2PE EB =
，PF FC = ，
则
1111()3232
EF EB BA AP PF PB AB AP PC PB AB AP AC AP =+++=-++=-++- 111111()()(3)326266
AB AP AB AP AB AD AP AB AD AP AB AD AP =--+++-=-++=-++
，又6AB AP ==，2AD =，60BAD BAP DAP ∠=∠=∠=︒，则62cos 606AB AD AP AD ⋅=⋅=⨯⨯= ，66cos 6018AB AP ⋅=⨯⨯=
，
因此，
||EF ==
.
故答案为14．已知
n 的展开式中所有项的二项式系数之和为1024，则
34(1)(1)(1)n x x x -+-++- 的展开式中2x 项的系数为__________.
【正确答案】164
【分析】由已知求出10n =.进而得出()1n
x -的展开式中含有2x 的项为22
3C n T x =⋅，然后根据
二项式系数的性质求解222
3410C C C +++ ，即可得出答案.【详解】由已知可得，21024n =，所以10n =.
()
1n
x -的展开式的通项为
()()1C 11C r
r
r n r r
r r n n T x x -+=⋅⋅-=-⋅，0,1,2,,r n = ，2n ≥，且*n ∈N ，展开式中含有2x 的项为223C n T x =⋅，
所以，34(1)(1)(1)n x x x -+-++- 的展开式中2x 项的系数为
2223410C C C +++ 32222334102C C C C C =++++- 32223
4410211C C C C C 1
=+++-=- 11109
11646
⨯⨯=
-=.故答案为.164
15．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AC BC ==，14AA =，90ACB ∠=︒，,,D E F 分别为1,,AC AA AB 的中点.则点1B 到平面DEF 的距离为__________.
【分析】以以点C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面DEF 的
法向量n
以及1B D ，然后求出1B D 在n 上的投影向量的模，即可得出答案.
【详解】因为，90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥.又由直三棱柱的性质，可知1CC ⊥平面ABC
.
如图，以点C 为坐标原点，分别以1,,CA CB CC 所在的直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0C ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()10,0,4C ，()12,0,4A ，()10,2,4B ，()1,0,0D ，()2,0,2E ，()1,1,0F ，
所以，()1,0,2DE = ，()0,1,0DF = ，()11,2,4B D =--
.
设(),,n x y z =
是平面DEF 的一个法向量，
则00DE n DF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即200x z y +=⎧⎨=⎩，
取1z =-，则()2,0,1n =-
是平面DEF 的一个法向量.
因为，1B D 在n 方向上投影向量的模为
15B D n n
⋅=
，
所以，点1B 到平面DEF 的距离为
5
.故答案为.
5
四、双空题
16．对任意实数x 有()323
01232(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a =__________；
0123a a a a +++=__________.
【正确答案】627
【分析】将()3322x x ⎡⎤=+-⎣⎦展开，即可得出各项的系数，然后得出答案.
【详解】因为()3322x x ⎡⎤=+-⎣⎦，
将该式展开可得，
()()()()()
30123303122130333322C 22C 22C 22C 22x x x x x x ⎡⎤=+-=⋅-+⋅-+⋅-+⋅-⎣⎦()()()23
8122622x x x =+-+-+-.
所以，26a =，01238126127a a a a +++=+++=.
故6；27.五、解答题
17．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为102，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知()123012321n n n x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+（n N *∈），若()21n x -的展开式中，______.（1）求n 的值；
（2）求123n a a a a +++⋅⋅⋅+的值.
【正确答案】（1）10；（2）1031
-【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出；
（2）令0x =和=1x -可求出.
【详解】（1）选择条件①，
若()21n x -的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则52
n =，10n ∴=；
选择条件②，
若()21n
x -的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则37n n C C =，10n ∴=；
选择条件②，
若()21n
x -的展开式中所有二项式系数的和为102，则1022n =，10n ∴=；
（2）由（1）知10n =，则()10
1231001231021x a a x a x a x a x -=++++⋅⋅⋅+，
令0x =，得01a =，
令=1x -，则100123101012331a a a a a a a a a +=-+-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅++=+，101231031a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-.
本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.
18．如图，四棱锥S ABCD -
倍，P 为侧棱SD 的中点，试用向量法解决下面的问题．
（1）求证：AC SD ⊥；
（2）若2BC =，求线段BP 的长．
【正确答案】（1）证明见解析；（2【分析】由题设已知可构建底面中心O 为坐标原点，OB ，OC ，OS 的方向分别为x 轴、y
轴、z 轴的正方向的空间直角坐标系，确定,,,,S D C B P 坐标，（1）应用向量的数量积坐标公
式有0OC SD ⋅= ，即可证AC SD ⊥；（2）用坐标表示BP ，求模即为线段BP 的长；
【详解】连接BD ，交AC 于点O ，由题意知SO ⊥平面ABCD ．以O 为坐标原点，OB ，OC ，
OS 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．
（1）设底面边长为a ，则高62SO =，于是6)2S a ，2(,0,0)2D a -，2,02C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以2,02OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，26(,0,)22SD a a = ，所以0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥，即AC SD ⊥．
（2）因为2BC =，所以(2,0,0)B ，6)S ，(2,0,0)D -.由中点坐标公式，可得26(22
P ，所以326()22BP = ，所以222326()0()622
BP =-++= ，即线段BP 6．本题考查了应用空间向量证明垂直及求线段长度，根据几何体的性质构建合适的空间坐标系，并得到点坐标，应用向量垂直的坐标公式证垂直，由向量的模求线段长度.19．有4名男生，3名女生，共7个人从左至右站成一排，在下列情况下，各有多少种不同的站法.
(1)男生､女生各站在一起；
(2)男生必须站在一起；
(3)男生互不相邻，且女生也互不相邻.
(4)最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，则有多少种不同的站法？
【正确答案】(1)288
(2)576
(3)144
(4)1320
【分析】（1）先排男生，再排女生，考虑男女生位置，即可根据分步计数原理得出答案；（2）捆绑法：将男生看为一个整体，与女生排列，即可得出答案；
（3）插空法：先排男生，女生插空，即可得出答案；
（4）分为某生甲站在最左端，某生乙甲站在最左端，分别计算，相加即可得出答案.
【详解】（1）男生必须站在一起，即把4名男生全排列，有4
4A 种排法，女生必须站在一起，即把3名女生全排列，有种33A 排法，
全体男生、女生各看作一个元素全排列有22A 种排法，
由分步乘法计数原理知共有432432A A A 2462288⋅⋅=⨯⨯=（种）排法.（2）把所有男生看作一个元素，与3名女生组成4个元素全排列，
故有4444A A 576⋅=（种）不同的排法.
（3）先排男生有44A 种排法，
然后让女生插空，有3
3A 种排法，
所以共有4343A A 144=（种）不同的排法.（4）若最左端站某生甲，余下6名同学全排列共有66A 720=种排法；
若最左端站某生乙，
则应先排某生甲，有1
5A 种排法，
剩余5名同学全排列共有55A 种排法，
由分步计数原理知共有1555A A 600⋅=种排法.根据分类加法计数原理可得，共有7206001320+=种.
20．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.
(1)若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ；
(2)若PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，求PC 与平面PBD 的所成角的余弦值.
【正确答案】(1)证明见解析
35
【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF .先证明四边形ADFE 是平行四边形，即可得出//DF AE ，然后即可证明线面平行；
（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，即可得出60PBA ∠=︒.然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面PBD 的法向量，根据向量求得PC 与平面PBD 的所成角的正弦值，进而求得余弦值.
【详解】（1）如图1，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，
,E F 分别为,PB PC 的中点，
∴//EF BC ，且122
EF BC ==.//AD BC 且2AD =，
//EF AD ∴且2EF AD ==，
∴四边形ADFE 是平行四边形，
//DF AE ∴.
AE ⊄ 平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，
∴//AE 平面PCD .
（2）若O 是AB 中点，取CD 中点为G ，连结OG .
,O G 分别是,AB CD 的中点，
∴//OG BC .
AB BC ⊥，
∴OG AB ⊥.
由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2PA PB AD ===，4BC =.
PA PB =，
∴PO AB ⊥.
由侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD ，
P ∴在平面ABCD 的投影在直线AB 上.
又PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，
PB ∴与底面ABCD 所成角的平面角60PBA ∠=︒，
∴PAB 为等边三角形，2AB PA ==.
以O 为原点，分别以,,OB OG OP 所在的直线为,,x y z 轴，如图2
建空间直角坐标系，则()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0D -
，(P ，
则(BP =-
，(1,2,PD =-
，(1,4,PC = .设平面PBD 的法向量(),,n x y z =r ，
则00n BP n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即020
x x y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，
取x =
)n = ，
∴cos ,n PC n PC n PC
⋅==r uu u r r uu u r r uu u r .设PC 与平面PBD 的所成角为θ，
则sin cos ,35
n PC θ== . π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，∴cos 0
θ≥
∴cos θ=
PC ∴与平面PBD 的夹角的余弦值为35
.21．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数.
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文科代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；
(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.
【正确答案】(1)5400
(2)840
(3)3360
(4)360
【分析】（1）分为2女3男和1女4男，两种情况，先选出5人，然后排列即可得出答案；（2）从剩余7人中，选出4人排列，即可得出答案；
（3）先考虑选出某男生的职位，再从剩余7人中，先选出4人排列，即可得出答案；（4）先考虑选出某男生的职位，再从剩余6人中，先选出3人排列，即可得出答案.
【详解】（1）先选后排，5人可以是2女3男，也可以是1女4男，
所以先选有3241535345C C C C +=种方法，后排有55A 120=种方法，
所以共有不同选法451205400⨯=（种）.
（2）先在剩余的7人中选出4人，有47C 35=种选法，然后排列，有44A 24=种方法，根据
分步乘法计数原理，即可得出共有不同选法3524840⨯=（种）.
（3）分步：
第一步，先安排不担任语文科代表的某男生，有14C 4=种方法；
第二步，然后从剩余的7人中选出4人，有47C 35=种选法；
第三步，选出的4人排列，有44A 24=种方法.
根据分步乘法计数原理，共有不同选法435243360⨯⨯=（种）.
（4）第一步，安排某男生，有13C 3=种方法；
第二步，从剩余的6人中选出3人，有36C 20=种选法；
第三步，选出的3人排列，有33A 6=种方法.
根据分步乘法计数原理，共有不同选法32063360⨯⨯=（种）.
22．
如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，E 为CD 中点，90APD ∠=︒，60ADC ∠=︒，已知1PA PD ==.
(1)若PB =AB PE ⊥；
(2)若PC =
P CD A --的平面角的正弦值.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)7
.【分析】（1）由已知可推得ACD 为等边三角形，AE CD ⊥，推得AE AB ⊥.根据勾股定理，可推得AB AP ⊥.即可证明AB ⊥平面APE ，根据线面垂直的性质，即可推得线线垂直；（2）先证明PO ⊥面ABCD .以O 为原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面PCD 和平面ACD 的法向量，即可根据向量方法得出答案.
【详解】（1）连结AE ，
由于E 为CD 中点，且60ADC ∠=︒，
所以，ACD 为等边三角形，故AE CD ⊥.
因为//AB CD ，所以AE AB ⊥.
因为90APD ∠=︒，1AP =，
所以AB AD ===因为
PB =在ABP 中，有222123AB AP BP +=+==，
则AB AP ⊥.
又AE AP A =I ，且AE ⊂平面APE ，AP ⊂平面APE ，
所以AB ⊥平面APE .
又PE ⊂平面APE ，故AB PE ⊥.
（2）取AD 的中点O ，连接,OP OC ，
在APD △中，1PA PD ==，
90APD ∠=︒，O 为AD 中点，
所以122
OP AD ==，OP AD ⊥.在ACD
中，AD DC =，60ADC ∠=︒
，所以OC =
.
又PC =22213222
PO OC PC =+=+=，所以OC PO ⊥.又AD PO ⊥，OC AD O = ，AD ⊂平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，
所以PO ⊥面ABCD .
以O 为原点，分别以,,OC OD OP 所在直线为,,x y z
轴，如图建立空间直角坐标系，
则C ⎫⎪⎪⎝⎭
，0,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
则22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，22CP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
.设平面PCD 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，
则1100n CD n CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即111102202
2x y x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，取11x =
，则(1n = .易知()20,0,1n = 为平面ACD 的一个法向量，
则121212
cos ,7n n n n n n ⋅= .设二面角P CD A --的平面角为θ，
所以，sin 7θ==，所以二面角P CD A --。