12.5.2全等三角形的判定
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
12.5《全等三角形的判定》教案
《全等三角形的判定》教案教学目标1．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．2．掌握三角形全等的判定条件．3．经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维．4．通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神．教学重难点三角形全等条件的探索过程，掌握三角形全等的判定条件．教学过程一、复习引入带领学生复习全等三角形的定义及其性质，从而得出结论：全等三角形三条边对应相等，三个角分别对应相等．反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全等．二、提出问题根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一定需要六个条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分，是否也能保证两个三角形全等呢？组织学生进行讨论交流，经过学生逐步分析，各种情况逐渐明朗，进行交流予以汇总归纳．三、传授新知探究1：请每个同学使用量角器和刻度尺画一个三角形ABC，使它满足AB=70mm，∠A =60°，∠B=80°.然后每个同学把△ABC剪下来，并与邻座同学的三角形互相叠放在一起，它们互相重合吗？我们发现它们能彼此重合在一起，也就是说，它们是全等三角形.由此总结出：有两个和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简记为：角边角或ASA）.例1、已知：如教材84页图12-27，AC∥BD，AB交CD于点O，且AC=BD.求证：△AOC≌△A′B′C′.类似的，我们可以总结出：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简记为边角边或SAS）.例2、已知：如教材85页图12-29，AC=AD，AB平分∠CAD.求证：（1）△CAB≌△DAB；（2）∠C=∠D.探究2：先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA，把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？让学生充分交流后，在教师的引导下画出个△A′B′C′，并通过比较得出结论：三边对应相等的两个三角形全等．(简记为“边边边”或“SSS”)．例3、如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△A BD≌△ACD．让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程．要求学生参照前面的例子，完成教材87页的交流，教师巡视给予指导．不难推导出：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简记为：“角角边”或“AAS”)．例4、如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD．求证BC=AD．例5、已知：如教材89页图12-35，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC.求证：（1）AB=CD；（2）∠B=∠D.课堂小结这节课你学到了什么，请同学们总结出如何判定两个三角形全等的方法．。
12.2 三角形全等的判定(第一课时SSS)(解析版)
八年级数学上分层优化堂堂清十二章 三角形12.2三角形全等的判定第一课时（解析版）学习目标：1.经历实验探究的过程，直观发现三边相等的两个三角形全等。
会用直规作图法作“一条线段等于已知线段，一个角等于已知角”，提高动手操作能力。
知道这样作图的理由。
2.能利用“SSS ”进行有关的计算或证明。
发展逻辑推理能力、计算能力和空间观念。
老师对你说：知识点1 全等三角形的判定1：边边边（SSS ）文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形： 符号：在ABC D 与'''A B C D 中，()'''''''''=ìï=\D @D íï=îAB A B AC A C ABC A B C SSS BC B C 证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中；③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论.注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.（2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.知识点2 用尺规作一个角等于已知角已知：∠AOB ．求作： ∠A ′O ′B ′=∠AOB ．作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C 、D；C'B'A'C BA（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C ′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D ′；（4）过点D ′画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′=∠AOB ．知识点3 运用边边边定理证明和计算运用“SSS ”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。
初中数学_三角形全等的判定(2)教学设计学情分析教材分析课后反思
12.2.2三角形全等的判定（SAS）教学设计一、学习目标在本课的教学中，不仅要让学生学会“边角边”这一全等三角形的识别方法，更主要地是要让学生掌握研究问题的方法，初步领悟分类讨论的数学思想. 从而激发学生学习数学的兴趣.为此，我确立如下：1.知识与能力：(1)学生在教师引导下，积极主动地经历探索三角形全等的条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程(2)掌握三角形全等的“边角边”的判定方法，能用三角形的全等解决一些实际问题。
2.过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会分析问题的方法，积累数学活动的经验，3.情感与态度：通过“边角边公理”的获得和使用，培养学生严密的逻辑思维品质以及勇于探索、团结协作的精神。
二、学习重点根据本节课的内容和地位，重点确定为：“边角边公理”的内容及应用学习难点发现、验证并归纳边角边公理内容，运用此结论解决实际问题。
三、教法分析鉴于教材特点及初二学生思维依赖于具体直观形象的特点，采用实验发现法，将有利于学生更好地理解与应用数学，获得成功的体验，增强学好数学的信心。
本节课主要采用实验发现法，同时以直观演示教学法、观察法、探究法为辅。
在教法上，尽可能地组织学生自主地通过观察、实验等数学活动，探究三角形全等的特征，通过对数学问题情境、数学活动情境等设计，调动学生学习数学的积极性。
运用多媒体直观演示，化静为动，使学生始终处于主动探索问题的积极状态中，使数学学习变得有趣、有效、自信、成功。
学法指导本节课主要是“边边边”这一基本事实的发现，故我在课堂教学中将尽量为学生提供“做中学”的时空，让学生进行小组合作学习，在“做”的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法，遵循“教是为了不教”的原则，让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理。
四、教学过程设计（一）创设情境，引入新知1.由生活中遇到的全等问题情境自然引入。
2．画一画如果两个三角形的两边和一角分别对应相等，那么会有几种情况。
12.2全等三角形的判定
12.1全等三角形12.2全等三角形的判定学习目标1.理解全等三角形和全等三角形的概念，掌握全等三角形对应边、对应角的概念。
2.会确定全等三角形的对应边和对应角，会用全等三角形的性质解决问题。
3.会用全等三角形的判定定理判定两个三角形全等。
4.能灵活运用所学的判定方法，判定两个三角形全等，进而解决线段和角的相等问题。
考点关注1.利用全等三角形的性质，求线段的长或角的度数。
2.利用全等三角形全等的判定方法判定三角形全等。
3.利用三角形全等和全等三角形的性质，证明线段或角相等。
知识点1 全等三角形的有关概念(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两组对应角所夹的边是对应边；(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两组对应边所夹的角是对应角；(3)两个全等三角形中的一对最长边（最大角）是对应边（对应角），—对最短边（最小角）是对应边（对应角）；(4)两个全等三角形有公共边时，公共边是对应边；(5)两个全等三角形有公共角时，公共角是对应角；(6)两个全等三角形有对顶角时，对顶角是对应角.知识点2 全等三角形的性质【特别提醒】1.由全等三角形的性质可得到全等三角形的面积和周长相等，但周长和面积相等的三角形不一定全等.2.全等三角形的性质是证明线段或角相等的重要方法，在运用这个性质时，关键是结合图形或根据全等三角形的记法灵活地找到对应边或对应角，要牢牢抓住“对应”二字.练习1：如图12-1所示，已知△ACF≌△DBE，且点A，B，C，D在同一条直线∠A=50°，∠F=40°.(1)求△DBE各内角的度数；(2)若AD=16，BC=10，求AB的长图12 - 11.判定两个三角形全等常用的思路方法如下表。
2.全等三角形的图形有以下几种模型。
(1)平移全等型。
(2)对称全等型。
(3)旋转全等型。
3.在寻找证明两个三角形全等的条件时，应注意图形中的隐含条件:①公共边或公共角相等；②对顶角相等.练习2：如图12 - 5所示，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E=∠F = 90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE = CF；③△ACN≌△ABM；④CD = DN.其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个图12-5题型1 利用全等三角形证明角或线段相等例1：如图12 - 6所示，已知AC=AE，AD=AB，∠ACB =∠DAB=90°，AE⫽CB，AC，DE交于点F.(1)求证∠DAC=∠B；(2)猜想线段AF，BC的关系.图12-6题型2 证明线段的和差关系例2：如图12 - 7所示，已知AC⫽BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB+AC+B D.图12 - 7题型3 动态几何问题例3：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⏊MN于点D，BE ⏊MN于点E.(1)当直线MN绕点C旋转到如图12 - 9(1)所示的位置时，求证DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到如图12 - 9(2)所示的位置时，求证DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到如图12 - 9(3)所示的位置时，线段DE，AD，BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明。
专题12.2 三角形全等的判定(解析版)
专题12.2 三角形全等的判定全等三角形的判定定理（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等.（2）边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.（3）角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用两个直角三角形）【例题1】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【答案】D．【解析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．∵AB=AC，∠A为公共角，A．如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B．如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C．如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D．如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．【点拨】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【例题2】如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF＝BE．求证：AF＝CE．【答案】见解析。
【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△BCE中，，∴△ADF≌△BCE（SAS），∴AF＝CE．【点拨】由SAS证明△ADF≌△BCE，即可得出AF＝CE．【例题3】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．【答案】见解析。
12.2 三角形全等的判定(解析版)
12.2 三角形全等的判定1.理解和掌握边边边、边角边的方法判断三角形全等；2.理解和掌握角边角和角角边的方法判断三角形全等；3.理解和掌握直角三角形的判定方法。
一、判定方法一：边边边（SSS ）1.边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边“或“SSS “)。
2.书写格式①先写出所要判定的两个三角形。
②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出。
③得出结论：两个三角形全等。
如下图，在△ABC 和 △A ′B ′C ′中，∵AB =A ′B ′,BC =B ′C ′,AC =A ′C ′,∴△ABC≅△A ′B ′C ′(SSS ).书写判定两个三角形全等的条件：在书写全等的过程中，等号左边表示同一个三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量。
如上图，等号左边表示△ABC 的量，等号右边表示 △A ′B ′C ′的量。
3.作一个角等于已知角已知：∠AOB 。
求作： ∠A ′O ′B ′,使 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .作法：如上图所示，①以点O 为圆心、任意长为半径画弧，分别交 OA ，OB 于点 C ，D 。
②画一条射线( O ′A ′,以点 O ′为圆心、OC 长为半径画弧，交( O ′A ′于点 C ′.③以点C ′为圆心、CD 长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点 D ′.④过点。
D ′画射线 O ′B ′,则 ∠A ′O ′B ′=∠AOB .题型一 利用SSS 直接证明三角形全等如图，已知AC DB =，要用“SSS ”判定ABC DCB @V V ，则只需添加一个适当的条件是_____．【答案】AB DC=【分析】根据全等三角形的判定：三边对应相等的两个三角形全等，即可．【详解】∵全等三角形的判定“SSS ”：三边对应相等的两个三角形全等，∴当ABC V 和DCB △中，AC DB BC BC AB DC =ìï=íï=î，∴()SSS ABC DCB @V V ，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定()SSS ：三边对应相等的两个三角形全等．1．如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB @V V ，根据“SSS ”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】AB DC=【分析】要使ABC DCB @V V ，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC V 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =ìï=íï=î，∴()ABC DCB SSS @△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．2．如图，AB DC =，若要用“SSS ”证明ABC DCB △△≌，需要补充一个条件，这个条件是__________．【答案】AC BD=【分析】由图形可知BC 为公共边，则可再加一组边相等，可求得答案．【详解】解：∵AB DC =，BC CB =，∴可补充AC DB =，在ABC V 和DCB V 中，AB DC BC CB AC DB =ìï=íï=î，∴ABC V ≌()SSS DCB V ；故答案为：AC DB =．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．题型二 全等三角形的性质与SSS 综合如图，点E 、点F 在BD 上，且AB CD =，BF DE =，AE CF =，求证：AB CD ∥．【分析】根据全等三角形的判定得出ABE CDF △≌△，推出B D Ð=Ð，利用平行线的判定解答即可．【详解】证明：∵BF DE =，∴BE DF =，在ABE V 和CDF V 中，AB DC AE CF BE DF =ìï=íï=î，∴()SSS ABE CDF V V ≌，∴B D Ð=Ð，∴AB CD ∥．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．1．已知：如图，RPQ D 中，RP RQ =，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分PRQ Ð．【分析】先根据M 为PQ 的中点得出PM QM =，再由SSS 定理得出PRM QRM V V ≌，由全等三角形的性质即可得出结论．【详解】证明：M Q 为PQ 的中点（已知），PM QM \=，在RPM △和RQM V 中，RP RQ PM QM RM RM =ìï=íï=î，(SSS)RPM RQM \V V ≌，PRM QRM \Ð=Ð（两三角形全等，对应角相等）即RM 平分PRQ Ð．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键．2．已知如图，四边形ABCD 中，AB BC =，AD CD =，求证：A C Ð=Ð．【分析】连接BD ，已知两边对应相等，加之一个公共边BD ，则可利用SSS 判定ABD CBD ≌△△，根据全等三角形的对应角相等即可证得．【详解】证明：连接BD ，AB CB =Q ，BD BD =，AD CD =，SSS ABD CBD \≌（）V V ．A C \Ð=Ð．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的理解及运用，常用的判定方法有SSS ，SAS ，ASA ，HL 等．题型三 作一个角等于已知角如图：(1)在A Ð的内部利用尺规作CED A Ð=Ð（不写作法，保留作图痕迹）(2)判断直线DE AB 与的位置关系【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法在；A Ð的内部作CED A Ð=Ð，即可求解．（2）根据图形及平行线的判定定理可直接得到答案．【详解】（1）解：如图所示，在A Ð的内部作CED A Ð=Ð， 则CED Ð即为所求；（2）∵CED A ÐÐ＝，∴DE AB ∥．故答案为：DE AB ∥．【点睛】本题主要考查角的尺规作图及平行线的判定，熟练掌握基本作图以及平行线的判定定理是解题的关键．1．如图，已知Ðb 和线段a ，求作ABC V ，使B b Ð=Ð，2,AB a BC a==【分析】先画射线BP ，以B 为圆心，a 为半径画弧，与射线BP 交于点D ，再画DA a =，再以b 的顶点为圆心，a 为半径画弧，交b 的两边分别为E ，F ，再以D 为圆心，EF 为半径画弧，交前弧于C ，再连接AC ，从而可得答案．【详解】解：如图，ABC V 即为所求；【点睛】本题考查的是作三角形，作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，熟练掌握基本作图是解本题的关键．2．已知a Ð．求作CAB a Ð=Ð．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【分析】按照作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可．【详解】解：如图，CAB Ð为所作．【点睛】本题主要考查了作与已知角相等的角的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键．二、判定方法二：边角边（SAS ）1.边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边“或“SAS “)。
全等三角形的判定方法
全等三角形的判定方法全等三角形是指具有相等的对应角度和对应边长的两个三角形。
在几何学中，判断两个三角形是否全等是一个重要的问题。
本文将介绍三种常用的全等三角形的判定方法。
一、SSS判定法SSS全称为边边边，是指若两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
二、SAS判定法SAS全称为边角边，是指若两个三角形的两个相邻的边和夹角分别相等，则这两个三角形全等。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若AB=DE，∠BAC=∠EDF，BC=EF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
三、ASA判定法ASA全称为角边角，是指若两个三角形的两个夹角和夹边分别相等，则这两个三角形全等。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF，若∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF，AC=DF，则可以判定三角形ABC与三角形DEF全等。
需要注意的是，在使用ASA判定法时，需要确保给出的两个夹边的夹角是连续的。
综上所述，SSS、SAS和ASA是常用的全等三角形的判定方法。
根据问题的具体情况，我们可以选择适合的方法进行判定。
除了以上三种方法，还有一种特殊情况下的全等三角形判定法——等腰三角形的判定法。
四、等腰三角形的判定法等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
判断一个三角形是否为等腰三角形有以下两种方法：1. 判断两边是否相等：如果一个三角形的两边相等，则它是一个等腰三角形。
2. 判断两角是否相等：如果一个三角形的两角相等，则它是一个等腰三角形。
通过以上方法可以判断一个三角形是否为等腰三角形。
综上所述，全等三角形的判定方法主要有SSS、SAS、ASA以及等腰三角形的判定法。
根据具体情况选择不同的判定方法，可以准确判断给定的三角形是否全等。
在实际问题中，全等三角形的判定方法是非常有用的，可以帮助我们解决各种问题。
12-2-5 三角形全等的判定HL(原卷版)
12.2.5三角形全等的判定HL用HL判定三角形全等概念题型一：判定使用HL证明全等【例题1】（2020·广东期末）如图，OD AB⊥于D，OP AC⊥于P，且OD OP=，则AOD与AOP 全等的理由是()A．SSS B．ASA C．SSA D．HL【点睛】本题考查三角形全等的判定方法HL.根据已知结合图形，找到已经有的条件，然后结合判定方法选择条件是正确解答本题的关键．特别注意题目要求利用HL判定全等,需要的是两个直角三角形的斜边和一直角边对应相等.变式训练【变式1-1】（2021·四川期末）如图，AB BD⊥，CD BD⊥，AD BC=，则能直接判断Rt RtABD CDB△△≌的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS知识点管理归类探究在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”【变式1-2】（2021·全国八年级）如图，AB BC ⊥，CD BC ⊥，AC BD =，则能证明ABC DCB ≅的判定法是( )A ．SASB ．AASC ．SSSD ．HL【变式1-3】（2020·东莞市东莞中学初中部八年级期中）如图，CE AB ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为点E ，F ，且CE DF =，AC BD =，那么Rt Rt AEC BFD △≌△的理由是（ ）．A ．HLB ．SSSC ．SASD ．AAS题型二：通过添加条件利用SSS ，判定三角形全等【例题2】（2020·河南期末）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，要使ABD ACD △≌△，若根据“HL ”判定，还需要加条件__________【点睛】本题考查选条件补齐使用HL 证明三角形全等.注意要两个直角三角形+斜边+一直角边. 变式训练【变式2-1】（2020·东莞期中）如图，已知AB⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定⊥ABC ⊥⊥DBE ，则需要添加的一个条件是__________．【变式2-2】（2021·江苏期末）结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt ABC ∆和Rt DEF ∆中，90C F ∠=∠=︒，AC DF =，_______Rt ABC Rt DEF ∴∆≅∆．【变式2-3】（2020·永善县墨翰中学八年级月考）如图，要用“HL ”判定Rt ABC 和Rt A B C '''全等的条件是（ ）A ．AC AC ''=，BCBC ''= B ．A A '∠=∠，AB A B ''=C ．AC AC ''=，AB A B ''=D ．B B '∠=∠，BC B C ''= 题型三：直接利用SSS 证明三角形全等【例题3】（2020·沭阳县修远中学七年级期末）已知：BE⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：⊥BEC⊥⊥DAE【点睛】HL 证明全等需要两个直角三角形+两个条件，在此类简单的证明题中往往题目中给出两个明显的条件，第三个条件可能隐藏在公共边或者线段的和差得到；此外还可能需要寻找题目中已知条件或者图形中隐含条件通过等量代换达到证明全等的目的.变式训练【变式3-1】（2021·湖北武汉市·八年级期中）如图，已知AB ＝CD ，CE ＝BF ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，求证：CD ⊥AB ．【变式3-2】（2020·云南红河哈尼族彝族自治州·九年级学业考试）已知：如图，AB=CD ，DE⊥AC ，BF⊥AC ，E ，F 是垂足，AE=CF ．求证：⊥ABF⊥⊥CDE【变式3-3】（2020·荣县留佳初级中学校八年级期中）已知：如图，DE⊥AC ，BF⊥AC ，AD=BC ，DE=BF ，求证：AD⊥BCHL 证明全等的应用题型四：全等三角形性质与HL 判定的综合运用【例题4】（2021·全国八年级专题练习）如图，Rt ABC 与Rt DEF △的顶点A ，F ，C ，D 共线，AB 与EF 交于点G ，BC 与DE 相交于点H ，90B E ∠=∠=︒，AF CD =，AB DE =．（1）求证：Rt ABC Rt DEF ≌；（2）若1GF =，求线段HC 的长．【点睛】方法总结:证明线段相等或角相等可以通过证明三角形全等而得到，所以可以根据题目给出的已知条件，考虑证明三角形全等，还需要什么条件这些条件怎样可以得到.由对应边角相等的条件边得到三角形全等，这是全等三角形的判定;由三角形全等得到对应的边角相等，这是全等三角形的性质.变式训练【变式4-1】 （2019·江苏苏州市·七年级期末）已知:如图，AB BC ⊥，CD DA ⊥，AB CD =．求证:OB OD =．【变式4-2】（2019·河南开封市·八年级月考）在ABC 中，,90AB CB ABC ︒=∠=，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE CF =.（1）求证：Rt ABE Rt CBF ≅△△（2）若30EAB ︒∠=，求BFC ∠度数.【变式4-3】（2020·贵州省施秉县第二中学八年级期末）如图所示，C 、D 分别位于路段A 、B 两点的正北处与正南处，现有两车分别从E 、F 两处出发，以相同的速度直线行驶，相同时间后分别到达C 、D 两地，休整一段时间后又以原来的速度直线行驶，最终同时到达A 、B 两点，那么CE 与DF 平行吗？为什么？题型五：角平分线与HL 的综合【例题5】（2019·江苏南通市·南通第一初中七年级月考）如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，且PD ＝PE ，则⊥APD 与⊥APE 全等的理由是（ ）A ．SASB ．AAAC ．SSSD ．HL【点睛】此题型考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质与判定，熟练掌握HL 全等三角形的判定和性质是解题的关键．注意灵活使用角平分线上的点到角两边距离相等.变式训练【变式5-1】（2019·浙江台州市·八年级期末）用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）A ．HLB ．SSS B ．C ．SASD ．ASA 【变式5-2】（2020·吉林市亚桥第一九年制学校八年级期中）如图，四边形ABCD 中，90D ∠=︒，AB AC =，BEAC ⊥于点E ，=AE AD ．求证：AC 平分DAB ∠．3.（2018·郴州市第五中学八年级期末）如图，AC平分⊥BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD的延长线于F，且BC=DC．求证：BE=DF．【真题1】（2014·江苏南京市）（问题提出）学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在⊥ABC和⊥DEF中，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E，然后，对⊥B进行分类，可分为“⊥B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．（深入探究）第一种情况：当⊥B是直角时，⊥ABC⊥⊥DEF．（1）如图⊥，在⊥ABC和⊥DEF，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E=90°，根据，可以知道Rt⊥ABC⊥Rt⊥DEF．第二种情况：当⊥B是钝角时，⊥ABC⊥⊥DEF．（2）如图⊥，在⊥ABC和⊥DEF，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E，且⊥B、⊥E都是钝角，求证：⊥ABC⊥⊥DEF．第三种情况：当⊥B是锐角时，⊥ABC和⊥DEF不一定全等．（3）在⊥ABC和⊥DEF，AC=DF，BC=EF，⊥B=⊥E，且⊥B、⊥E都是锐角，请你用尺规在图⊥中作出⊥DEF，使⊥DEF和⊥ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）⊥B还要满足什么条件，就可以使⊥ABC⊥⊥DEF？请直接写出结论：在⊥ABC和⊥DEF中，AC=DF，链接中考BC=EF，⊥B=⊥E，且⊥B、⊥E都是锐角，若，则⊥ABC⊥⊥DEF．【拓展1】（2019·辽宁大连市·八年级月考）阅读下面材料，完成（1）-（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图，⊥ABD和⊥ACE中，AB＝AD，AC＝AE，⊥DAB＝⊥CAE＝α，连接DC、BE交于点F，过A作AG⊥DC于点G，探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现线段BE与线段DC相等．”小伟：“通过观察发现，⊥AFE与α存在某种数量关系．”老师：“通过构造全等三角形，从而可以探究出线段FG、FE、FC之间的数量关系．”（1）求证：BE＝CD；（2）求⊥AFE的度数（用含α的式子表示）；（3）探究线段FG、FE、FC之间的数量关系，并证明．【拓展2】（2020·湖北黄石市·黄石八中八年级期中）如图1，AB=12，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=8．点P在线段AB上以每秒2个单位的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由B点向点D运动．它们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=2时，⊥ACP与⊥BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图2，将图1中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“⊥CAB=⊥DBA=60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为每秒x个单位，是否存在实数x，使得⊥ACP与⊥BPQ全等？若存在，求出相应的x,t的值；若不存在，满分冲刺请说明理由．。
12.2三角形全等的判定(一)(SSS、SAS)(原卷版)
八年级上册数学《第十二章 全等三角形》1.2.2 三角形全等的判定（一）“边边边”与“边角边”◆利用“SSS ”判定两个三角形全等文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”.几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB =DE BC =EF CA =FD∴△ABC ≌△DEF (SSS).◆利用“SAS ”判定两个三角形全等1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”.2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB =DE ∠B =∠E BC =EF∴△ABC ≌△DEF (SSS).3、方法：（1）已知两边，可以找“夹角”；（2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边【注意】1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.【例题1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，EB ＝EC ，则由“SSS ”可以判定（ ）A．△ABE≌△ACE B．△ABD≌△ACDC．△BDE≌△CDE D．以上答案都不对【变式1-1】如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证明△ACE≌△BDF，需添加的一个条件可以是（ ）A．AB＝BC B．DC＝BC C．AB＝CD D．以上都不对【变式1-2】下列四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（ ）A．B．C ．D ．【变式1-3】如图，已知点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AC ＝EF ，AD ＝FB ，要使△ABC ≌△FDE ，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．AC ∥EFB ．∠E ＝∠C C ．∠ABC ＝∠FDED ．AB ＝DF【变式1-4】如图，已知∠1＝∠2，若用“SAS ”证明△BDA ≌△ACB ，还需加上条件（ ）A ．AD ＝BCB ．BD ＝AC C ．∠D ＝∠C D ．OA ＝OB【例题2】如图，已知点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且AB ＝AE ，AC ＝AD ，BD ＝CE ．求证：△ABC ≌△AED．【变式2-1】（2023•云南）如图，C是BD的中点，AB＝ED，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．【变式2-2】如图，AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC，△ABC和△DEF全等吗？请说明理由．【变式2-3】（2023•永善县三模）如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．【例题3】11．（2018秋•庆云县校级月考）请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A ′O ′B ′＝∠AOB 的依据是 ．【变式3-1】小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB ．求作：∠A ′O ′B ′，使∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．作法：（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）画一条射线O ′A ′，以点O ′为圆心，OC 长为半径画弧，交O ′A ′于点C ′；（3）以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D ′；（4）过点D '画射线O ′B ′，则∠A ′O ′B ′＝∠AOB ．小聪作法正确的理由是（ ）A ．由SSS 可得△O ′C ′D′≌△OCD ，进而可证∠A ′O ′B ′＝∠AOBB ．由SAS 可得△O ′C ′D ′≌△OCD ，进而可证∠A ′O ′B ′＝∠AOBC ．由ASA 可得△O ′C ′D ′≌△OCD ，进而可证∠A ′O ′B ′＝∠AOBD ．由“等边对等角”可得∠A ′O ′B ′＝∠AOB【变式3-2】（2023春•白银期中）已知∠AOB ，点C 是OB 边上的一点．用尺规作图画出经过点C 与OA 平行的直线．【变式3-3】如图，以△ABC 的顶点A 为圆心，以BC 长为半径作弧，再以顶点C 为圆心，以AB 长为半径作弧，两弧交于点D ；连接AD 、CD ，若∠B ＝56°，则∠ADC 的大小为 度．【例题4】（2023•官渡区一模）如图，点A ，B ，C ，D 在同一直线上，AF ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DB ．求证：△ABF ≌△DCE．【变式4-1】（2023•从化区二模）为了制作燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，证明：△ABC≌△AED．【变式4-2】（2023•祥云县模拟）已知：如图，点F、C在线段BE上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝EC，求证：△ABC≌△DEF．【变式4-3】（2023•乾安县四模）已知：如图，BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE，求证：△ABE≌△DBC．【变式4-4】（2023•宁江区二模）如图，△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，满足CD ＝AB ，过点C 作CE ∥AB 且CE ＝BC ，连接DE 并延长，分别交AC 、AB 于点F 、G ，求证：△ABC ≌△DCE ．【变式4-5】（2023•五华区校级模拟）如图，已知AB ∥DE ，AB ＝DE ，AF ＝DC ．求证：△ABC ≌△DEF ．【例题5】如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，∠B ＝∠C ，若BE ＝4，则CD ＝ ．【变式5-1】（2022春•成华区期末）如图，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 是AC 的中点，过点A 作直线BD 的垂线交BC 的延长线于点E ，若BC ＝4，则CE 的长为 ．【变式5-2】茗茗用同种材料制成的金属框架如图所示，已知∠B ＝∠E ，AB ＝DE ，BF ＝EC ，其中△ABC 的周长为24cm ，CF ＝3cm ，则制成整个金属框架所需这种材料的长度为 cm ．【变式5-3】（2023•青海一模）在△ABC 中，D 是BC 边的中点，若AB ＝9，AC ＝5，则△ABC 的中线AD 长的取值范围是（ ）A ．5＜AD ＜9B ．4＜AD ＜9C ．2＜AD ＜14D ．2＜AD ＜7【例题6】如图，已知OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝50°，∠D＝35°，则∠OBC ＝（ ）A．95°B．120°C．50°D．105°【变式6-1】（2022春•福山区期中）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝76°，求∠BAC的度数．【变式6-2】（2023春•青羊区期末）如图在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DBE；（2）若∠A＝100°，∠C＝40°，求∠DEC的度数．【变式6-3】（2022秋•湟中区校级期末）如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为AC中点，连接DE 并延长至点F，使得EF＝ED，连CF．（1）求证：CF∥AB（2）若∠ABC＝50°，连接BE，BE平分∠ABC，AC平分∠BCF，求∠A的度数．【例题7】（2022秋•甘井子区校级月考）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，BF ＝CE，试判断AB和DE的关系，并说明理由．【变式7-1】（2023春•罗湖区校级期末）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，AB∥DE，连接BC，BF，CE．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BC∥EF．【变式7-2】（2023春•萍乡期末）如图，已知：AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，那么AC与CE 有什么关系？写出你的猜想并说明理由．【变式7-3】如图，在△ABC中，D为AB的中点，F为BC上一点，DF∥AC，延长FD至E，且DE＝DF，联结AE、AF．（1）求证：∠E＝∠C；（2）如果DF平分∠AFB，求证：AC⊥AB．【例题8】如图，AC ＝DC ，BC ＝EC ，请你添加一个适当的条件： ，使得△ABC ≌△DEC ．【变式8-1】如图，已知在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠E ，BF ＝CE ，点B 、F 、C 、E 在同一条直线上，若使△ABC ≌△DEF ，则还需添加的一个条件是 （只填一个即可）．【变式8-2】如图，AB ＝AE ，AC＝AD，要使△ABC ≌△AED ，应添加一个条件是 ．【变式8-3】问题：如图，在△ABC 和△DEF 中，B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，若 ．求证：△ABC ≌△DEF ．在①AC ＝DF ，②∠ABC ＝∠DEF ，③BE ＝CF 这三个条件中选择其中两个，补充在上面的问题中，并完成解答．【例题9】（2022春•包头期末）如图，已知点A ，C 在线段BD 两侧，AB ＝AD ，CB ＝CD ，线段AC ，BD 相交A 于点O ．下列结论：①∠ABC ＝∠ADC ；②AC ⊥BD ；③AC 平分∠BAD ；④OB ＝OD ．其中正确的是 （填写所有正确结论的序号）．【变式9-1】（2023•禅城区校级一模）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线，（1）证明：△ABD≌△ACE；（2）证明：∠3＝∠1+∠2．【变式9-2】（2022春•沙坪坝区校级期中）如图，点C在线段AB上，AD∥BE，AC＝BE，AD＝BC，CF 平分∠DCE．求证：△DCF≌△ECF【变式9-3】（2023春•浦东新区校级期末）如图，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，AD∥BC．（1）△ADE与△ACB是否全等？说明理由；（2）如果∠B＝30°，∠D＝40°，求∠BAE的度数．【变式9-4】（2022秋•自流井区校级期末）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2，AD、BC相交于点F．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB∥DE，AE＝3，DE＝4，求△ACF的周长．【变式9-5】如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF．（1）若点E、F运动至如图（1）所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；（2）若点E、F运动至如图（2）所示的位置，仍有AF＝CE，则△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？（3）若点E、F不重合，则AD和CB平行吗？请说明理由．。
12.2全等三角形的判定(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与全等三角形判定相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过折叠、拼接等操作，演示全等三角形判定方法的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“全等三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
12.2全等三角形的判定（教案）
一、教学内容
《12.2全等三角形的判定》
（1）了解全等三角形的定义及性质；
（2）掌握SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种全等三角形的判定方法；
（3）能够运用全等三角形的判定方法解决实际问题；
（4）通过实际操作，培养学生的观察能力和空间想象能力。
二、核心素养目标
《12.2全等三角形的判定》
举例：设计一些综合性的练习题，让学生在解决问题中运用全等三角形的判定方法。
2.教学难点
（1）判定方法的区分与应用：学生容易混淆五种判定方法，需要教师引导学生区分并学会选择合适的判定方法。
举例：对比分析SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法之间的区别和联系，通过典型例题强化学生区分与应用能力。
（2）实际问题的转化：将实际问题转化为全等三角形的判定问题，这是学生难以突破的难点。
三角形全等的判定2(知识讲解)-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)
专题12.5 三角形全等的判定2（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 特别说明：如图，如果∠A ＝∠，AB ＝，∠B ＝∠，则△ABC ≌△.要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边” 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 特别说明：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：'A ''A B 'B '''A BC2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】 类型一、全等三角形的判定3——“角边角”1． 如图，已知在ABC 中，AC BC AD ==，CDE B ∠=∠，求证：ADE BCD △≌△．【分析】证明ADE BCD ∠=∠，为三角形的全等提供条件即可．证明：ADE CDE B BCD ∠+∠=∠+∠，CDE B∠=∠，ADE BCD ∴∠=∠，AC BC =，A B ∴∠=∠，在ADE 和BCD △中A B AD BCADE BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，ADE ∴≌BCD △(ASA) ．【点拨】本题考查了ASA 证明三角形的全等，抓住题目的特点，补充全等需要的条件是解题的关键．举一反三：【变式】 如图，已知：≌AEC=≌ADB ，AD=AE ．BD 与CE 相等吗？为什么？【答案】BD CE =，理由见解析；【分析】根据三角形全等即可得到结果．解答：BD CE =，理由如下：在≌AEC 和≌ADB 中，A A AD AEADB AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ≌ADB AEC ≅，≌BD CE =．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确证明是解题的关键．类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、 如图，已知DE ≌AB ，≌DAE ＝≌B ，DE ＝2，AE ＝4，C 为AE 的中点．求证：≌ABC ≌≌EAD ．【分析】根据中点的定义，再根据AAS 证明≌ABC ≌≌EAD 解答即可．证明：≌C 为AE 的中点，AE ＝4，DE ＝2，≌AC ＝12AE ＝2＝DE ， 又≌DE≌AB ，≌≌BAC ＝≌E ，在≌ABC 和≌EAD 中，B DAE BAC E AC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，≌≌ABC≌≌EAD （AAS ）．【点拨】此题考查全等三角形的判定，关键是根据AAS 证明≌ABC≌≌EAD 解答． 举一反三：【变式1】 将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点 A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =， 5DE =．求ACE △的面积．【答案】32【分析】根据AAS 即可证明ACD CBE ≌，根据全等三角形的对应边相等，得出 3CD BE ==， AD CE =，所而 358CE CD DE =+=+=，从而求出AD 的长，则可得到ACE △的面积．解：≌AD CE ⊥， BE CE ⊥， ≌90ADC CEB ∠=∠=︒，≌90ACB ∠=︒，≌90ACD CBE ECB ∠=∠=︒-∠，在ACD △与CBE △中，ADC CEBACD CBE AC BC≌ACD CBE ≌(AAS) ≌ 3CD BE ==， AD CE =，≌ 358CE CD DE =+=+=，≌ 8AD =．ACE 11883222S CE AD △．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】、 如图，在ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足为E 、F ，求证：DE DF =．【分析】根据等腰三角形的性质得到B C ∠=∠，根据D 为BC 的中点，得到BD CD =，再根据DE AB ⊥，DF AC ⊥，得到90BED CFD ∠=∠=，利用全等三角形的性质和判定即可证明DEDF =． 解：AB AC =，∴B C ∠=∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴90BED CFD ∠=∠=，D 为BC 的中点，∴BD CD =，在BED 与CFD △中BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BED ≌CFD △()AAS ，≌DE DF =．【点拨】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的性质和判定，找到全等的条件是解题的类型三、添加条件构造三角形全等3．如图，已知∠B ＝∠DEC ，AB ＝DE ，要推得∠ABC ∠∠DEC ；（1）若以“SAS ”为依据，还缺条件______________；（2）若以“ASA ”为依据，还缺条件__________________；（3）若以“AAS ”为依据，还缺条件_____________________；【答案】BC=EC ≌A=≌EDC ≌ACB=≌DCE (或≌ACD=≌BCE)【解析】根据三角形全等的判定方法，和题目中所给的条件，依次去判断添加哪一个条件；现有的条件是，≌B ＝≌DEC ，AB ＝DE ，如以“SAS”为依据，还缺边相等，找边即可；若以“ASA”为依据，还缺角相等，找角即可；以“AAS”为依据，也是缺角相等，找角即可． 解答：≌≌B=≌DEC ，AB=DE≌（1）要利用SAS ，则还缺少一边即：BC=EC（2）要利用ASA ，则缺少一角即：≌A=≌EDC（3）要利用AAS ，则缺少一角即：≌ACB=≌DCE ．故填BC=EC ，≌A=≌EDC ，≌ACB=≌DCE ．点睛：本题属开放型的题目，解答关键是明白SAS 、ASA 、AAS的含义，据已知，缺什么条件，找什么条件，直接或间接的都可以．答案不唯一是本题的特点．要根据已知条件的位置选择方法．【变式1】如图，点C ，F 在线段BE 上，BF=EC ，∠1=∠2，请你添加一个条件，使∠ABC∠∠DEF ，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【答案】AC=DF(答案不唯一)，理由见解析【分析】先求出BC=EF ，添加条件AC=DF ，根据SAS 推出两三角形全等即可． 解答：添加AC=DF ．证明：≌BF=EC ，≌BF ﹣CF=EC ﹣CF ，≌BC=EF ，在≌ABC 和≌DEF 中12AC DF BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，≌≌ABC≌≌DEF （SAS ）．考点：全等三角形的判定．【变式2】如图，点D ，C 分别在线段AB ，AE 上，ED 与BC 相交于O 点，已知AB ＝AE ，请添加一个条件（不添加辅助线）使∠ABC ∠∠AED ，并说明理由．【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．解：根据SAS 可以条件AC ＝AD ，根据ASA 可以条件≌B ＝≌C ，根据AAS可以条件≌ACB＝≌ADC．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3】如图，在∠AEC和∠DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：∠AE∠DF，∠AB＝CD，∠CE＝BF.(1)请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写形式：“如果∠，∠，那么∠”)；(2)选择(1)中你写出的一个命题，说明它正确的理由．解：(1)命题1：如果①，②，那么③；命题2：如果①，③，那么②(2)命题1的证明：∵①AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵②AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB，在△AEC和△DFB中，∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，AC＝DB，∴△AEC≌△DFB(AAS)，∴CE＝BF③(全等三角形对应边相等)；命题2的证明：∵①AE∥DF，∴∠A＝∠D，在△AEC和△DFB中，∵∠E＝∠F，∠A＝∠D，③CE＝BF，∴△AEC≌△DFB(AAS)，∴AC＝DB(全等三角形对应边相等)，则AC－BC＝DB－BC，即AB＝CD②.注：命题“如果②，③，那么①”是假命题．类型四、全等三角形判定的综合训练4 如图（1），已知ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =；AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E ．（1）求证：BD DE CE =+；（2）若直线AE 绕A 点旋转到图（2）位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请给予证明．（3）若直线AE 绕A 点旋转到图（3）位置时（BD CE >），其余条件不变，问BD 与DE ，CE 的数量关系如何？请直接写出结果，不需证明；（4）根据以上的讨论，请用简洁的语言表达直线AE 在不同位置时BD 与DE ，CE 的位置关系．【答案】（1）见解析；（2）BD DE CE =-，见解析；（3）BD DE CE =-；（4）当B ，C 在AE 的同测时，BD DE CE =-；当B ，C 在AE 的异侧时，若BD CE >，则BD DE CE =+，若BD CE <，则BD CE DE =-【分析】（1）在直角三角形中，由题中条件可得≌ABD=EAC ，又有AB=AC ，则有一个角及斜边相等，则可判定≌BAD≌≌AEC ，由三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；（2）由题中条件同样可得出≌BAD≌≌AEC ，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系； （3）同（2）的方法即可得出结论．（4）利用（1）（2）（3）即可得出结论．解：（1）≌BD≌AE ，CE≌AE≌≌ADB=≌CEA=90°≌≌ABD+≌BAD=90°又≌≌BAC=90°≌≌EAC+≌BAD=90° ≌≌ABD=≌CAE 在≌ABD 与≌ACE 中 ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌≌ABD≌≌ACE ≌BD=AE ，AD=EC ， ≌BD=DE+CE （2）≌BD≌AE ，CE≌AE ∴∠ADB=∠CEA=90° ∴∠ABD+∠BAD=90° 又∵∠BAC=90° ∴∠EAC+∠BAD=90° ∴∠ABD=∠CAE 在△ABD 与△ACE 中ADB CEA ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌≌ABD≌≌ACE ≌BD=AE ，AD=EC ≌BD=DE -CE ，（3）≌≌BAC=90°， ≌≌BAD+≌EAC=90°， 又≌BD≌AE ，CE≌AE ， ≌≌BDA=≌AEC=90°， ≌BAD+≌ABD=90°， ≌≌ABD=≌EAC ， 在≌ABD 与≌CAE 中，BDA AEC ABD EAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩≌≌ABD≌≌CAE ，≌BD=AE ，AD=CE ，≌DE=AD+AE=BD+CE ，≌BD=DE -CE ．（4）归纳：由（1）（2）（3）可知：当B ，C 在AE 的同侧时，若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD> CE,则BD= DE +CE,若BD< CE,则BD= CE - DE.【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形全等的判定方法，余角的性质，线段的和差，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．举一反三：【变式】 如图1，≌ABC 中，AB ＝AC ，≌BAC ＝90°，点D 是线段BC 上一个动点，点F 在线段AB 上，且≌FDB ＝12≌ACB ，BE ≌DF ．垂足E 在DF 的延长线上．（1）如图2，当点D 与点C 重合时，试探究线段BE 和DF 的数量关系．并证明你的结论； （2）若点D 不与点B ，C 重合，试探究线段BE 和DF 的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）BE ＝12FD ．证明见解析；（2）BE ＝12FD ，证明见解析． 【分析】（1）首先延长CA 与BE 交于点G ，根据≌FDB=12≌ACB ，BE≌DE ，判断出BE=EG=12BG ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌ABG≌≌ACF ，即可判断出BG=CF=FD ，再根据BE=12BG ，可得BE=12FD ，据此判断即可． （2）首先过点D 作DG≌AC ，与AB 交于H ，与BE 的延长线交于G ，根据DG≌AC ，≌BAC=90°，判断出≌BDE=≌EDG ；然后根据全等三角形的判定方法，判断出≌DEB≌≌DEG，即可判断出BE=EG=12BG ；最后根据全等三角形的判定方法，判断出≌BGH≌≌DFH ，即可判断出BG=FD ，所以BE=12FD ，据此判断即可． 解：（1）如图，延长CA 与BE 交于点G ，≌≌FDB ＝12≌ACB ， ≌≌EDG ＝12≌ACB ， ≌≌BDE ＝≌EDG ，即CE 是≌BCG 的平分线，又≌BE≌DE ，≌BE ＝EG ＝12BG ， ≌≌BED ＝≌BAD ＝90°，≌BFE ＝≌CFA ，≌≌EBF ＝≌ACF ，即≌ABG ＝≌ACF ，在≌ABG 和≌ACF 中，90ABG ACF AB AC BAG CAF ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ≌≌ABG≌≌ACF （ASA ），≌BG ＝CF ＝FD ，又≌BE ＝12BG ， ≌BE ＝12FD ． （2）BE ＝12FD ， 理由如下：如图，过点D 作DG≌AC ，与AB 交于H ，与BE 的延长线交于G ，，≌DG≌AC ，≌BAC ＝90°，≌≌BDG ＝≌C ，≌BHD ＝≌BHG ＝≌BAC ＝90°，又≌≌BDE ＝12≌ACB ， ≌≌EDG ＝≌BDG ﹣≌BDE ＝≌C ﹣12≌C ＝12≌C ， ≌≌BDE ＝≌EDG ，在≌DEB 和≌DEG 中，90BDE EDG DE DE DEB DEG ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩， ≌≌DEB≌≌DEG （ASA ），≌BE ＝EG ＝12BG ， ≌AB ＝AC ，≌BAC ＝90°，≌≌ABC ＝≌ACB ＝≌GDB ，≌HB ＝HD ，≌≌BED ＝≌BHD ＝90°，≌BFE ＝≌DFH ，≌≌EBF ＝≌HDF ，即≌HBG ＝≌HDF ，在≌BGH 和≌DFH 中，HBG HDF HB HDBHG DHF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ≌≌BGH≌≌DFH （ASA ），≌BG ＝FD ，又≌BE ＝BG ，≌BE ＝12FD ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．类型四、全等三角形判定的实际应用5、如图，小颖站在堤岸边的A 处，正对她的S 点停有一艘游艇．她想知道这艘游艇距离她有多远，于是她沿堤岸走到电线杆B 旁，接着再往前走相同的距离，到达C 点．然后她向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时她位于D 点．那么C ，D 两点间的距离就是在A 点处小颖与游艇间的距离．请你用所学的数学知识解释其中的道理．【分析】先根据题目条件证明()SBA DBC ASA △≌△，再由全等三角形的性质即可得到答案；解：根据题意，可知：90A C ∠=∠=︒，AB CB =，SBA DBC ∠=∠．在SBA ∆和DBC △中，A C AB CBSBA DBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩所以()SBA DBC ASA △≌△．所以SA DC =（全等三角形对应边相等）．即,C D 两点间的距离就是在A 点处小颖与游艇间的距离．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图，小明站在乙楼BE 前方的点C 处，恰好看到甲、乙两楼楼顶上的点A 和E 重合为一点，若B 、C 相距30米，C 、D 相距60米，乙楼高BE 为20米，小明身高忽略不计，则甲楼的高AD 是多少米？【答案】甲楼的高AD是40米．【分析】由图可知，EF≌DC，AD≌DC，EB≌BC，证明≌AEF≌≌ECB，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．解：∵EF∥DC，AD⊥DC，EB⊥BC，∴∠AEF=∠C，∠AFE=∠EBC=90°，∵B、C相距30米，C、D相距60米，∴EF=DB=BC=30米，∴△AEF≌△ECB（ASA），∴AF=BE，∵DF=BE，∴AD=2BE=2×20=40（米）．答：甲楼的高AD是40米．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找出证明三角形全等的条件．。
12.2 全等三角形的判定(三)
主动参与，通过画、剪、比较等手段验证新知,在猜想、尝试与反馈中得到提高。教法方面，教师向
学生提供了充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究交流的过程中，真正理解和掌握基本数学
知识和技能，师生共同体验发现的乐趣，形成了积极主动的学习氛围. 3.教学手段：利用计算机辅助教学，增加了知识的趣味性，提高了课堂时效性。
五、教学重点及难点 教学重点：已知两角一边的三角形全等探究．
教学难点：灵活运用三角形全等条件证明．
六、教学过程 教师活动
预设学生活动
设计意图
一 、复习引入：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1) 边边边；边角边
通过复习让学生体会
（1）1、前面我们学习过哪几种判定两个 三角形全等的方法？ （2）记得“边边边”、“边角边”的具体
(2) 三 边 对 应 相 等 的 两 个 三 角 形 全等； 两边和它们的夹角对应相等的两
1.学生独立写出证明过程。
2、如图，要测量河两岸相对的两点 A、B 2、学生独立写出证明过程。
培养学生的逻辑推理 能力、独立思考能力， 会 用 “ASA 或 AAS“ 判 断 三 角 形 全 等，规范地书写证明 过程. 培养学生合 情合理的逻辑推理能 力，语言表达能力， 规范地书写证明过
的距离，可以在 AB 的垂线 BF 上取两点 C、 D，使 BC=CD，再定出 BF 的垂线 DE，使 A， C，E 在一条直线上，这时测得 DE 的长度就 是 AB 的长度，为什么？
③分别以 A/、B/为顶点，A/B/
“ASA”的理解．
C
A
B
ED C'
A'
B'
为一边作∠D A/B/、∠EB/A，使∠ D/AB=∠CAB，∠EB/A/=∠CBA．
12.2三角形全等的判定(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角形全等相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示三角形全等判定方法的基本原理。
2.在实践活动和小组讨论环节，学生们积极参与，课堂氛围良好。但我也观察到，部分学生在讨论过程中过于依赖同伴，缺乏独立思考。为了提高学生的独立思考能力，我计划在后续教学中增加一些个人任务，鼓励学生独立解决问题。
3.在教学难点解析部分，我尝试通过举例和比较来帮助学生突破难点。从学生的反馈来看，这种方法效果不错。但我也意识到，对于一些理解能力较弱的学生，可能需要更多的时间和耐心去引导。因此，我决定在课后设立辅导时间，为这部分学生提供额外的帮助。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角形全等在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.能够运用三角形全等的判定方法解决实际问题；
4.了解AAS（Angle-Angle-Side，角角边）判定方法，并了解其适用条件。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下几方面：
1.培养学生的空间观念和几何直观，使其能够通过观察、操作、推理等手段，理解三角形全等的内涵及其判定方法；
京改版八年级数学上册12.5《全等三角形的判定SAS》教学设计
例如：一块三角形的玻璃打碎后，其中两块碎片分别是三角形的两边及夹角，已知这两块碎片的尺寸，求原三角形玻璃的面积。
3.探究思考题：设计1-2道开放性题目，鼓励学生进行探究性学习，通过观察、实验和论证，深入理解SAS判定方法的内涵和几何意义。
在学生小组讨论环节，我会将学生分成若干小组，每组4-6人。我会给每个小组发放讨论题，要求学生在规定时间内完成以下任务：
1.小组成员共同讨论，总结SAS判定方法的要点和注意事项。
2.小组内部相互提问，检验对方对SAS判定方法的掌握程度。
3.每个小组选取一道典型例题，共同分析解题思路，并在黑板上展示解题过程。
2.自主探究，发现新知
给学生发放探究学习任务单，引导学生通过观察、实验、猜想、论证等途径，自主探究全等三角形判定方法SAS。在此过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。
3.合作交流，巩固新知
组织学生进行小组讨论，分享学习心得，互相交流判定全等三角形的方法。通过合作交流，使学生从不同角度理解SAS判定方法，提高学生的运用能力。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计难易适度的习题，让学生独立完成。习题内容包括：
1.基础题：判断两个三角形是否全等，直接运用SAS判定方法。
2.提高题：给出部分条件，让学生补充条件，运用SAS判定方法证明三角形全等。
3.应用题：将SAS判定方法应用于解决实际问题，如计算三角形的面积、周长等。
8.教学延伸，拓展视野
鼓励学生利用课后时间，通过网络、书籍等途径，了解全等三角形在其他领域的应用，如建筑、设计等。拓展学生的知识视野，激发学生的学习兴趣。
三角形全等的判定ppt
定理： 如果两个三角形有两个角和其中一个
角的对边分别对应相等，那么这两个三角形 全等．(简记为AAS或角角边)．F
例4 已知如图，∠C=∠D=90°，AB平分∠CAD. 求证：AC=AD．
证明：∵ AB平分∠CAD ， ∴ ∠1=∠2. 在△CAB 与△DAB 中， ∠C=∠D， ∵ ∠1=∠2， AB =AB ，
∴ △CAB ≌ △DAB ( AAS )．
∴AC=AD(全等三角形对应边相等).
例5 如图，AB∥CD，AE∥CF，BF=DE．试找 出图中其他的相等关系，并给出证明．
解：∵AB∥CD，AE∥CF，
∴∠B=∠D，∠AEB=∠CFD．
A
∵BF=DE， ∴BE=DF．
E
D 在△ABE和△CDF中
∠B=∠D，
一定 (A.A.S)
不一定
一定 (S.S.S)
判定三角形全等至少有一组边．
(1)同学们自己归纳三角形全等的判定方法． (2)掌握三角形全等的判定方法，并且能灵活应用
适当的判定定理进行证明、计算．
12.5 三角形全等的判定
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫全等三角形.
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
B
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
C
E
② BC=EF
⑤ ∠B=∠E
F
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
A
D
B
CE
①AB=DE ② BC=EF
④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E
定理：如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相 等，那么这两个三角形全等． 简记为ASA.(或角边角)．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
个三角形全等的题目，写出已知、求证、证明，并画出图形.
思考
如图，∠ACB=∠DBC，如果再增加一个什么条件，可以判定△ABC≌△DCB？
A
D
B
C
利用全等三角形的性质，我们还可以进一步证明两条线段相等、两个
角相等、两条直线平行及垂直等.
BED CFD， 1 2, BD CD,
∴△BED≌△CFD(AAS)．∴BE＝CF.
△ABC≌△A′B′C′. A A′
B
C
B′
C′
典例精析
例3、已知：如图，△ABC中，AB=AC,D为BC的中点.
求证：AD平分∠BAC. 证明：∵ D为BC的中点， ∴BD=CD.
AB AC， 在△ABD和△ACD中， BD CD, AD AD,
A
∴△ABD≌△ACD（SSS）. ∴∠BAD=∠CAD(全等三角形对应角相 等).
A．BD＝DC，AB＝AC B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD D．∠B＝∠C，BD＝DC
随堂检测
3、已知：如图，已知：AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD
交AD的延长线于点E. 求证：BE＝CF. 证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 在△BED与△CFD中，
典例精析
例5、已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC. 求证：(1)AB=CD；(2)∠B=∠D. 证明：(1)连接AC. ∵ AB∥CD， ∴∠1=∠2. ∵AD∥BC. ∴ ∠3=∠4. 在△CAB和△ACD中， 1 2， AC CA, 3 4, ∴△CAB≌△ACD（ASA）. ∴AB=CD(全等三角形对应边相等). A D
B
D
C
即AD平分∠BAC.
练一练
已知：如图，AB＝AC，BD＝CE，AD＝AE. 求证：△ABE≌△ACD.
证明：∵BD＝CD，
∴BD＋DE＝CE＋ED，即BE＝CD. 在△ABE和△ACD中，
AB AC BE CD AE AD
∴△ABE≌△ACD(SSS)
交流
有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形是否全等？ 如图，在△ABC和△ A′B′C′中，满足∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC= B′C′. △ABC和△ A′B′C′是否全等？请给出证明.
4 2 1
C
3
B
(2)∵△CAB≌△ACD（已证），
∴∠B=∠D(全等三角形对应角相等).
随堂检测
1、如图，△ABC中，AB＝AC，EB＝EC， 则直接由“SS S”可以判定( B ) A．△ABD≌△ACD C．△BDE≌△CDE B．△ABE≌△ACE D．以上答案都不对
2、如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是( D )
A
A′
B 同学们完成证明过程.
C
B′
C′
课堂探究
由此不难推导出又一种判定三角形全等的方法：
定理：有两个角及其一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简记为：角角边
或AAS). 如图，△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′,BC= B′C′, 那么
△ABC≌△A′B′C′.
A
A′
B
12.5.2全等三角形的判定
八年级上册
学习目标
1
理解三角形全等的判定方法“边边边”或“SSS”的条件.
2
理解三角形全等的判定方法“角角边”或“AAS”的条件.
自主学习检测
1、如图，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定（ B ） A、△ABD≌ACD C、△BDE≌△CDE B、△ABE≌△ACE D、以上答案都不对
A E
B
D
C
自主学习检测
2、如图，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E. 求证：BC＝DC.
证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE， 即∠BCA＝∠ECD， 又∵EC＝AC，∠A＝∠E， ∴△ABC≌△EDC(AAS)，
∴BC＝DC
课堂探究
类似的，我们可以总结出： 基本事实：有三边分别相等的两个三角形全等(简记为：边边边或SSS). 如图，△ABC和△A′B′C′中，如果AB= A′B′， AC= A′C′， BC= B′C′, 那么
C
B′
C′
典例精析
例4、已知：如图，∠C=∠D=90°，AB平分∠CAD.求证：AC=AD.
证明：∵ AB平分∠CAD， ∴∠1=∠2. C B
1 2
在△CAB和△DAB中，
C D， 1 2, AB AB,
A
∴△CAB≌△DAB（AAS）. ∴AC=AD(全等三角形对应边相等).