完整版精讲精练全等三角形证明判定方法分类总结 培优
八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析)
八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120° , AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B f C为顶点的三角形是等腰三角形，则P, A（P, A两点不重合）两点间的最短距离为____________ c m .【答案】1OJJ-1O【解析】解：连接3D,在菱形A3CD中，T Z ABC=120° , AB=BC=AD=CD=10 , :. Z A=Z C=60° ,二△ ABD , △ BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边8C为底，则3C垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了"直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短"，即当点P与点D重合时，必最小，最小值^4=10 ；②若以边P3为底，ZPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧3D （除点8外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为lOjJ-10 ；③若以边PC为底，ZPBC为顶角，以点3为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点&与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，必最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，必的最小值为10>/3-10 （cm）.故答案为：10x/I—10 .点睹：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.2.在等腰△遊中，肋丄肚交直线％于点以若妙丄万G则△磁的顶角的度数为【答案】30。
或150。
或90°【解析】试题分析：分两种情况：①3C为腰，②BC为底，根据直角三角形30。
角所对的直角边等于斜边的一半判断岀ZACD=3O°,然后分AD在^ABC内部和外部两种情况求解即可.解：①BC为腰，VAD丄 BC 于点D t AD= - BC f2:.ZACD二30。
全等三角形问题培优
全等三角形问题培优在初中数学学习中，全等三角形是一个很重要的概念。
全等三角形指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们常常要运用全等三角形的性质。
本文将从这一角度出发，介绍全等三角形问题的培优方法。
一、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们可以利用全等三角形的性质来简化计算过程和证明过程。
1. 边边边（SSS）全等条件：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2. 边角边（SAS）全等条件：如果两个三角形的一个边和其夹角分别相等，并且另一边也相等，则这两个三角形全等。
3. 角边角（ASA）全等条件：如果两个三角形的两个角和夹在两个角之间的边分别相等，则这两个三角形全等。
利用这些全等条件，我们可以在解决问题过程中找到相应的全等三角形，从而得出答案。
二、全等三角形的应用1. 边长和角度比较在问题中，经常会出现两个或多个三角形的边长或内角需要进行比较的情况。
利用全等三角形的性质，我们不需要逐一计算每个边长或者每个内角的数值，只需要通过观察边长和角度的关系，找到全等三角形，就可以简化计算过程。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF的三个内角分别相等，我们可以得出这两个三角形全等。
如果已知三角形ABC的一条边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为b，那么我们就可以直接得出三角形DEF的边长与a的比较结果。
2. 证明问题在几何证明中，全等三角形是常常被用到的工具。
通过找到一个或多个全等三角形，我们可以得到所求证的结论。
例如，我们需要证明两条线段相等，可以通过构造两个全等三角形，使得所求线段等于全等三角形中的某条边。
然后，利用全等三角形的性质，我们可以得到所求线段等于另一条边，从而得到所需要证明的结论。
3. 问题求解在解决具体问题时，全等三角形也是一个很有用的工具。
通过观察问题中的几何关系，我们可以找到并利用全等三角形来简化问题的求解过程。
全等三角形证明判定方法分类总结【范本模板】
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质:（1）全等图形的形状和大小都相同,对应边相等，对应角相等 （2)全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1）表示方法:两个三角形全等用符号“≌”来表示,读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2)符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同,“="表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．(4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】例1．如图,ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，=∠BAC 且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠,求EDF∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE,BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆（2)AB//DE ，BC//EF例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证:（1)AB DE ⊥；(2）BD 平分ABC ∠【巩固练习】1．下面给出四个结论:①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同;②若两个图形的形状相同,则它们一定是全等图形;③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形;④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同,其中正确的是（ )A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点,如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为( ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆,AD=8，BE=2,则AE 等于（ ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是( ） A 、AC=BC ，AD=CE,BD=BE B 、AD=BD,AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE,AC=DC,BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D、点E 和点F 分别是对应点,则AB=，=∠A,AE= ,CE= ,AB//，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．7．如图，ABC ∆≌AED ∆,若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8．如图，若AB=AC,BE=CD ，AE=AD ，则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆,︒=∠90C ，则下列说法错误的是( ）D第3题图第4题图第5题图B第6题图第7题图第8题图第9题题图A 、互余与F C ∠∠B 、互补与FC ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠ 10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC,求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一)作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆,AC=7cm ，AB=5cm 。
培优专题03 证明三角形全等的基本思路-解析版
∴ VACE ≌ VDCE
∴ AE = DE ，
∴S△ACE：S△ACD＝1：2，
同理可得，S△ABE：S△ABD＝1：2，
∵S△ABC＝12 cm2 ，
∴阴影部分的面积为
S△ACE＋S△ABE＝
1 2
S△ABC＝
1 2
×12＝6 cm2 ．
故答案为 6．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形面积的等积变换，解题关键是明确三角形的中
（
）
A．DF∥ AC
B．∠A=∠D
C．CF=BE
D．AC=DF
【答案】D
【分析】直接利用三角形全等判定条件逐一进行判断即可．
【详解】A. 由 DF∥AC 可得∠ACB＝∠DFE，由 AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因 AB=DE，利用 AAS
可得△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B. 由 AB∥DE，可得∠ABC＝∠DEF，又因∠A＝∠D，AB＝DE，利用 ASA 可得△ABC≌△DEF，故本选项
B．0.8cm
C．4.2cm
D．1.5cm
【答案】B
【分析】根据 BE ^ CE ， AD ^ CE 得 ÐE = ÐADC ，则 ÐCAD + ÐACD = 90° ，再由 ÐACB = 90° ，得
ÐBCE + ÐACD = 90° ，则∠BCE = ∠CAD，从而证出 DBCE≌DCAD ，进而得出 BE 的长．
ìBD = CD ïíÐADB = ÐEDC ， ïî AD = DE
\DABD≌DECD(SAS) ， \CE = AB = 3 ， 在 DACE 中， CE - AC < AE < CE + AC ，
第四讲培优 全等三角形的性质及判定
第三讲全等三角形的性质及判定【知识要点】1、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。
2、三角形全等的判定方法：①SSS ②SAS ③ASA ④AAS ⑤HL（直角三角形）不要自己造三角形全等方法，一般三角形只有SSS、SAS、ASA、AAS、别无他法，特别在运用SAS时，一定记住是两边夹角，而如果是两边及一边对角，则两个三角形不一定全等，更没有“角角角”。
3、HL只适合直角三角形，不适合一般三角形。
【例题解析】例1 已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．(SSS，角平分线的性质，辅助线)例2 ．如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．求证：AE∥BC．1.如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD 与BE相交于点F．（1）求证：△ABE≌△CAD；（SAS）（2）求∠BFD的度数．2.已知：如图Rt△ABC与Rt△DCE都是等腰直角三角形，求证：△ACE≌△BCD变式如上图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，且不与A、B两点重合，AE⊥AB，AE=BD，连接DE、DC．求证：△ACE≌△BCD（SAS）例3已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF (ASA)如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE=BF． (ASA)例4.已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC=CE，∠ACD=∠B．求证：△ABC≌△CDE ( AAS )同类练习1.如图，AD∥BC，∠A=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AD于点E，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，求证：AB=FC．2. 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE．请完整说明为何△ABC与△DEC全等的理由（AAS）【拓展训练】1.如图△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点。
2024年湘教版八年级上册数学期末培优训练第6招全等三角形判定的三种类型
∴△ BDF ≌△ CEF (AAS).
∴ BF ＝ CF ， DF ＝ EF .
∴ BF ＋ EF ＝ CF ＋ DF ，即 BE ＝ CD .
∠＝∠，
在△ ABE 和△ ACD 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ABE ≌△ ACD (AAS).
∴ AB ＝ AC . ∴△ ABC 是等腰三角形.
定出全等三角形.本题图中没有三角形，只有连接 AC ，
将∠ B 和∠ D 分别放在两个三角形中，通过三边对应相等
证明两个三角形全等来证明∠ B 和∠ D 相等.
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典例剖析
证明：如图，连接 AC .
＝，
在△ ABC 和△ ADC 中，ቐ＝，
＝，
∴△ ABC ≌△ ADC (SSS).∴∠ B ＝∠ D .
个三角形已经具备的条件，然后以其为基础，结合已知的
其他条件，分析推导得出需要的条件.
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典例剖析
如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ AD ， CB ＝ CD . 求
证：∠ B ＝∠ D .
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典例剖析
判定三角形全等时，需要三对相等的对应边或角
(至少有一对对应边)，因此我们可以先根据题目的条件确
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分类训练
已知一边一角型
方法1一次全等型
1. 如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边上一点，连接 AD ，过点
B 作 BE ⊥ AD 于点 E ，过点 C 作 CF ⊥ AD 交 AD 的延长
线于点 F ，且 BE ＝ CF .
求证： AD 是△ ABC 的中线.
返回
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分类训练
∴△ ACB ≌△ ACD .
全等三角形证明培优题【精】整理版
全等三⾓形证明培优题【精】整理版模块⼀：基本辅助线1.如图，已知AC=BD,AD⊥AC,BC⊥BD，求证：AD=BC.2.如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点，（1）求证：AF⊥CD.（2）在你连接BE后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）3.如图，∠B=∠E,∠C=∠D,BC=DE,M为CD中点，求证：AM⊥CD.4.如图，平⾯上有⼀边长为2的正⽅形ABCD，O为对⾓线的交点，正⽅形OEFG的顶点与O 重合，OE、OG分别与正⽅形ABCD的边交于M、N两点．①如图（1），当OE⊥AB时，四边形OMBN的⾯积为___；②如图（2），当正⽅形OEFG绕点O旋转时，四边形OMBN的⾯积会发⽣变化吗？试证明你的结论．5.如图所⽰，在△ABC中，AB=AC，在AB上取⼀点E，在AC延长线上取⼀点F，使BE=CF，EF交BC于G.求证：EG=FG。
6.如图，在△ABC中，AB=AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．（1）若∠A=50°，∠D=30°，求∠GEF的度数；（2）若BD=CE，求证：FG =BF+CG．模块⼆：母⼦型1已知：如图，点C为线段AB上⼀点，△ACM, △CBN都是等边三⾓形，AN交MC于点E，BM交CN于点F.(1)求证：AN=BM;(2)求证：△CEF为等边三⾓形2.如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF。
求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF。
3.如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正⽅形，显然图中有AG=CE，AG⊥CE；（1）当正⽅形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG=CE是否成⽴？若成⽴，请给出证明；若不成⽴，请说明理由；（2）当正⽅形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H，交AD于M．①求证：AG⊥CH；4.如图，已知△ABD、△AEC都是等边三⾓形，AF⊥CD于点F，AH⊥BE于点H,问：（1）BE 与CD有何数量关系？为什么？（2）AF、AH有何数量关系？为什么？5.已知：如图①所⽰，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在⼀条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三⾓形；（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针⽅向旋转180°，其他条件不变，得到图②所⽰的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成⽴；（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6.（2009?丰台区⼀模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐⾓，点D为射线BC上⼀点，连接AD，以AD为⼀边且在AD的右侧作正⽅形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为______，线段CF、BD的数量关系为______；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成⽴，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐⾓，点D在线段BC上，当∠ACB满⾜什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．模块三倍长中线（1）倍长中线（2）倍长类中线1.已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，求证：AB=AC．2.已知，如图△ABC 中，AC>AB,AM 是BC 边上的中线，求证：21（AC-AB ）＜AM ＜21(AB+AC)．3. 如图所⽰，已知△ABC 中，AD 平分∠BAC,E,F 分别在BD,AD 上，DE=CD,EF=AC,求证:EF//AB.4.如图，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF 求证：BE+CF ＞EF ．5. 证明：直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边上的⼀半。
全等三角形经典题型汇集(培优专练)
；
（2）如图 2，当点 E，F 分别在 CB，DC 的延长线上，CF＝2 时，求△CEF 的周长；
拓展提升：
如图 3，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点 B 作 BD⊥BC，连接 AD，在 BC 的延长线上取一 点 E，使∠EDA＝30°，连接 AE，当 BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段 CE 的长度．
7．阅读下面材料：
小炎遇到这样一个问题：如图 1，点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 BC，CD 上，∠EAF=45°，连结 EF，则 EF=BE+DF， 试说明理由．
小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将 这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平 移的方法，最后发现线段 AB，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE 绕着 点 A 逆时针旋转 90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图 2）．
2.阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点 E 在 AC 上，BE 交 AD 于点 F，AE＝EF．求 证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据 SAS 可证得△ADC≌△GDB，再利用 AE ＝EF 可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
3.如图，分别以 ABC 的边向外作正方形 ABFG 和 ACDE，连接 EG，若 O 为 EG 的中点，
求证：（1） AO 1 BC ；（2） AO BC ． 2
4．如图所示，已知 ⶠࢼ 中， 平分 ⶠ ࢼ， 、 分别在 ⶠ 、 上．
ࢼ，
ࢼ．求证： ∥ ⶠ．
5．如图所示， ⶠ ࢼ
全等三角形判定的方法(培优)
全等三角形判定（考试重点）姓名： 班级： 分数： 1．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，证明：AE ∥CF 。
2、已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，证明：AB ∥CD 。
3、已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，证明：AF =CE 。
4、已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，证明：BM =ME 。
ACBDEFBADC EF BAC M EFBD5、点C 是AB 的中点，CD ∥BE ，且CD =BE ，证明：∠D =∠E 。
6、在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，证明：⊿BHD ≌⊿ACD 。
7已知AD =AE ，∠B =∠C ，证明：AC =AB 。
8、已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，CE =DF ，AE =BF ，证明：⊿CEB ≌⊿DF A 。
ABCE HD ADEBCBACDEFD A ECB 129、如图：在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N 。
求证：MN=AM+BN 。
10、已知，AC ⊥CE ，AC =CE ， ∠ABC =∠DEC =900，求证：BD =AB +ED 。
11、已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，求证：BE =CF 。
12、已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，求证：ABD ≌⊿ACE 。
NMCBAABCDEABCD FEADEBC12【知识点梳理】知识点一：全等三角形的概念——能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.知识点二：全等三角形的性质.（1）全等三角形的对应边相等. （2）全等三角形的对应角相等.知识点三：判定两个三角形全等的方法.（1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）知识点四：寻找全等三形对应边、对应角的规律.①全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.②全等三角形对应边所对的角是对应角，两个对应边所夹的角是对应角.③有公共边的，公共边一定是对应边. ④有公共角的，公共角一定是对应角.⑤有对顶角的，对顶角是对应角.⑥全等三角形中的最大边（角）是对应边（角），最小边（角）是对应边（角）.知识点五：找全等三角形的方法.（1）一般来说，要证明相等的两条线段（或两个角），可以从结论出发，看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中.（常用的办法）（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等.（3）可以从已知条件和结论综合考虑，看它们能否一同确定哪两个三角形全等.（4）如无法证证明全等时，可考虑作辅助线的方法，构造成全等三角形.知识点六：角平分线的性质及判定.（1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上.（3）三角形三个内角平分线性质：三角形三条角平分线交于一点，且到三角形三边距离相等.知识点七：证明线段相等的方法.（重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（2）证明两个三角形全等，则对应边相等（3）借助中间线段相等.知识点八：证明角相等的方法.（重点）（1）对顶角相等；（2）同角或等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和.。
第3讲 直角三角形全等的性质与判定(培优)
1．如图1，CD AB ⊥于D ，BE AC ⊥于E ，BE 与CD 交于O ，OB OC =，则图中全等的直角三角形共有()A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2.如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，点D 是AC 上一点，将ABD ∆沿线段BD 翻折，使得点A 落在A '处，若28A BC '∠=︒，则(CBD ∠=)A ．15︒B ．16︒C ．18︒D ．20︒3.已知如图3，//AD BC ，AB BC ⊥，CD DE ⊥，CD ED =，2AD =，3BC =，则ADE ∆的面积为()A ．1B ．2C ．5D ．无法确定4.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图4所示的方式放置，其中一个锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一条直线上，若AB ＝，则CD 的长为（）A ．﹣1B ．C ．﹣1D ．5.如图5，ABC ∆的角平分线CD 、BE 相交于F ，90A ∠=︒，//EG BC ，且CG EG ⊥于G ，下列结论：①2CEG DCB ∠=∠；②12DFB CGE ∠=∠；③ADC GCD ∠=∠；④CA 平分BCG ∠．其中正确的结论是()A ．③④B ．①②④C ．①②③D ．①②③④6.如图6，ABC ∆中，10AB AC ==，210BC =，点D 是AB 上一点，连接CD ，将BCD ∆沿CD 翻折得到△B CD '，若B D AC '⊥于点E ，则E 到CD 的距离为()A ．6B ．8C ．455D ．6557.如图7，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，62B ∠=︒，D 、E 分别在AB 、AC 上，将ADE ∆沿DE 折叠得FDE ∆，且满足//EF AB ，则1∠=．8.如图8，已知∠AOB ＝45°，点P 在OA 边上，OP ＝8cm ，点M 、N 在边OB 上，PM ＝PN ，若MN ＝2cm ，则ON 的长为．9.如图9，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，CA ＝CB ＝6，CE ＝CD ，△ACB 的顶点A 在△ECD 的斜边DE 上，若AE ：AD ＝1：2，则两个三角形重叠部分的面积为．10.如图10，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为ABC ∆外一点，连接AD ，BD ，CD ，发现4AD =，2CD =且45ADC ∠=︒，则BD =．11.如图11，在等腰三角形ABC 中，4AC BC ==，30A ∠=︒，点D 为AC 的中点，点E 为边AB 上一个动点，连接DE ，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点F 处．当直线EF 与直线AC 垂直时，则AE 的长为．12.如图12，ABC ∆中60CAB ∠=︒，AD 平分CAB ∠交BC 于点D ，6AC AB +=，当ABD ∆为直角三角形时，线段AD 的值为．13.小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，A 、B 、D 三点在同一直线上，//EF AD ，90CAB EDF ∠=∠=︒，45C ∠=︒，60E ∠=︒，量得8DE =．（1）试求点F 到AD 的距离．（2）试求BD 的长．14.如图，在ABC ∆中，AC AB >，以点A 为圆心、AB 长为半径的弧交BC 于点D ，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥，垂足为点E ．（1）若10AB =，2DE =，求ABD ∆的面积；（2）若125AC =，20AD =，410CD =，求ABC ∆的面积．15.如图1，点A 、D 在y 轴正半轴上，点B 、C 分别在x 轴上，CD 平分ACB ∠与y 轴交于D 点，90CAO BDO ∠=︒-∠．（1）求证：AC BC =；（2）如图2，点C 的坐标为(4,0)，点E 为AC 上一点，且DEA DBO ∠=∠，求BC EC +的长．16.在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：2AB AN AM +=．17.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，10AB =，点D 是射线CB 上的一个动点，ADE ∆是等边三角形，点F 是AB 的中点，连接EF ．（1）如图，当点D 在线段CB 上时，①求证：AEF ADC ∆≅∆；②连接BE ，设线段CD x =，线段BE y =，求y 关于x 的函数解析式及取值范围；（2）当15DAB ∠=︒时，求ADE ∆的面积．。
培优第10讲 三角形全等(1)
E
2 A 3 1
B
F
C
3、翻折型
A E B C D
B
A
C
D
A
2 3 1
DABC Fra bibliotek EB
C
3. 已知：如图， △ABC和△CDB中， AB=DC,AC=DB，说明： ∠ABD= ∠ DCA A 解：在△ABC和△DCB中 AB=DC( 已知 ) AC=DB( 已知 )
B
D
BC=CB( 公共边 ) △ABC≌△DCB（SSS）
练习：如图，已知△ＡＢＣ≌△AＤＥ，ＢＣ的延 长线交ＡＤ于点Ｇ，∠ＡＣＢ＝１２５°， ∠ＣＡＤ＝６０°，∠ＡＤＥ＝２５°，求 Ｄ ∠ＡＧＢ的度数. 解：∵△ABC≌△ＡDE, ∴∠AＤＥ=∠ＡＢＣ， Ｆ Ｃ Ｂ ∠DAE＝∠BAC（ ）， Ｇ 又∵∠ＡＤＥ＝２５°， Ｅ ∴∠ＡＢＣ=２５°， Ａ ∴在△ＡＢＣ中， ∴在△ AGB 中， ∵∠ACB=1２５° ∠AGB=180°∴∠BAC＝180°-（∠ACB+∠ABCE） ∠BAG-∠ABG， ＝180°-125°-25°＝30°， =180°-120°∴∠DAE＝30°， 25° 又∵∠CAD=60°， =35°。 即∠BAG=30°+60°+30°=120°
知识点3、三角形全等的相关应用
1、利用全等三角形的性质求线段长
练习：如图，已知A、D、E 在同一条直线上，且 △BAD≌△ACE，试说明： BD=CE+DE。 B
A D E C
解：∵△BAD≌△ACE, ∴AE=BD， AD=CE（ 全等三角形的对应边相等 ）， 又∵AE=AD+DE ∴AE=CE+DE ∴BD=CE+DE（ 等量代换 ）.
全等三角形证明判定方法分类总结
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等，记作ABC ∆≌DEF ∆（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． （4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”． 【典型例题】例1．如图，ABC ∆≌ADC ∆，点B 与点D 是对应点，=∠BAC 且︒=∠20B ，1=∆ABC S ，求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数ACD ∆的面积．例2．如图，ABC ∆≌DEF ∆，cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠，求EDF∠的度数及CF 的长．例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ∆≌DEF ∆（2）AB//DE ，BC//EF例5．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；（2）BD 平分ABC ∠【巩固练习】1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）A 、①④B 、①②C 、②③D 、③④2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒80 4．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F分别是对应点，则AB= ，=∠A，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ． 7．如图，ABC ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，=∠D ，=∠DAC ．8．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则ABE ∆ ACD ∆，所以=∠AEB ，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ）互余与F C ∠∠互补与F C ∠∠互余与E A ∠∠互余与D B ∠∠D第4题图第5题图B第6题图第7题图第8题图第9题题图10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2．如图，ABC ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，则ACD ∠的度数为（ ）A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒623．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，ABE ∆≌ACD ∆，︒=∠︒=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ，求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠AEAD CAB CDEACDFA C E FDE全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。
精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结-培优
11．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ， 求证：CAD BAE ∠=∠2．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（2）AB//DE ，BC//EF3．如图，在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥（2）BD 平分∠1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是 A 、①④ B 、①② C 、②③ D 、③④ 2．如图，ABD ∆≌CDB ∆，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中不正确的是A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3．如图，ABC ∆≌BAD ∆，A 和B 以及C和D分别是对应点，如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804．如图，ABC ∆≌DEF ∆，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ）A 、6B 、5C 、4D 、35．如图，要使ACD ∆≌BCE ∆，则下列条件能满足的是（ ）A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BEB 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BDC 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC6．如图，ABE ∆≌DCF ∆，点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若AE 与BC 的关系DF AFD 第4第5题图2是 ．7．如图，A B C ∆≌AED ∆，若=∠︒=∠︒=∠︒=∠B A C C E A B B 则,45,30,40=DAC． 8．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则A B E ∆ACD ∆，所以=∠AEB，=∠BAE ，=∠BAD ．9．如图，ABC ∆≌DEF ∆，︒=∠90C ，则下列说法错误的是（ ） A、互余与F C ∠∠B 、互补与FC ∠∠C、互余与E A ∠∠D 、互余与D B ∠∠10．如图，ACF ∆≌DBE ∆，cmCD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠，求D ∠的度数及BC 的长．11．如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆全等三角形（一）作业1．如图，ABC ∆≌CDA ∆，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ）A 、7cmB 、5cmC 、8cmD 、无法确定2．如图，A B C ∆≌DCE ∆，︒=∠︒=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一） ︒38 C 、︒1103．如图，A B C ∆≌DEF ∆，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．4．如图，A B E ∆≌ACD ∆，D第7题图 第8题图 第9题题图ADE3︒=∠︒=∠25,100B A ，求B DC ∠的度数．5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠FE5全等三角形（二）【知识要点】定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示如图，在ABC ∆和DEF ∆中，ABC EF BC E B DE AB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。
全等三角形证明判定方式分类总结
全等三角形证明判定方式分类总结全等三角形是指具有完全相同形状和大小的三角形。
在几何学中，判定两个三角形是否全等是一种重要而基础的推理方法。
全等三角形的证明判定方式主要有三种：SSS全等定理、SAS全等定理和ASA全等定理。
接下来我将分别介绍这三种定理的内容及具体应用。
1.SSS全等定理SSS全等定理是指当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
SSS全等定理的证明方法主要是通过边的长度作为条件来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的三条边的长度分别相等时，可以直接通过SSS全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的三边分别等于3cm、4cm、5cm时，即可判定这两个三角形全等。
2.SAS全等定理SAS全等定理是指当两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的一条边、夹角和另一条边分别相等，则这两个三角形全等。
SAS全等定理的证明方法主要是通过一条边、夹角和另一条边的关系来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的一个夹角和两条边分别相等时，可以直接通过SAS全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的一个夹角为60度，两个边分别等于4cm和6cm时，即可判定这两个三角形全等。
3.ASA全等定理ASA全等定理是指当两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等时，这两个三角形就全等。
具体表述为：如果两个三角形的一条角、边和另一条角分别相等，则这两个三角形全等。
ASA全等定理的证明方法主要是通过一条角、边和另一条角的关系来判断两个三角形是否全等。
在实际问题中，当已知两个三角形的一个角和两条边分别相等时，可以直接通过ASA全等定理来判定这两个三角形是否全等。
例如，当已知两个三角形的一个角为30度，两个边分别等于5cm和7cm时，即可判定这两个三角形全等。
全等三角形经典培优题型(含答案)
全等三角形的提高拓展训练全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．全等三角形证明经典题1已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD2已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC4已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA5已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E 在AD上。
2017八上培优第7讲 全等三角形的判定(一)
A DBC EF 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS【知识要点】1．求证三角形全等的方法（判定定理）：①SAS ；②ASA ；③AAS ；④SSS ；⑤HL ； 需要三个边角关系；其中至少有一个是边；2．“SAS ”定理：有两边及夹角对应相等的两个三角形全等；①求证全等的格式：（）如②利用全等进行几何证明的三大环节：预备证明、“全等五行”、全等应用；③“边边角”不能证明两个三角形全等；3．三角形全等的的应用：①证明线段相等；②证明角相等；4．注意不需要预备证明而直接利用的隐藏条件：公共边、公共角、对顶角.【新知讲授】“SAS ”公理的运用例1、已知：如图，C 为AB 的中点，CD ∥BE ，CD=BE ，求证：∠D=∠E.巩固练习1.如图，点E 、A 、C 在同一条直线上，AB ∥CD ，AB=CE ，AC=CD ，求证：BC=DE.2.已知：如图，AB=AC ，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：∠B=∠C.例2.已知：如图，AB=CD ，∠ABC=∠DCB ，求证：∠ABD=∠ACD.巩固练习： 1.已知：如图，AB ∥CD ，AB=CD ，AE=DF ，求证：CE ∥BF.2．已知：如图，AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证：∠DEB=∠2.例3.如图，BD 、CE 为△ABC 的两条中线，延长BD 到G ，使BD=DG ，延长CE 到F ，使CE=EF.（1）求证：AF=AG ；（2）试问：F 、A 、G 三点是否在同一直线线？证明你的结论.巩固练习：1.已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，CD ⊥BD 于点D ，AB=CD ，BE=DF ，求证：∠EAF=∠ECF.2.已知：如图，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，求证：∠DBE=∠DCE.A B C D E FA B D E FEF 例4.已知：如图，OA=OB ，OC=OD ，求证：∠ACD=∠BDC. （提示：不能用等腰三角形的性质）巩固练习：1.已知：如图，OD=OE ，OA=OB ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.2.已知：如图，AB=CD ，BE=CF ，∠B=∠C ，求证：∠EAF=∠EDF.【课后作业】1．如图，已知点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB=DE ，∠A =∠D，AF=DC ，求证：BC∥EF．2．已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DE ，BE=CD ，试判断△ACE 的形状并说明理由.3. 如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，AE=DF ，AB=DC ，求证：∠ACE=∠DBF.A B E DC AD B CE A D C B 4．已知：如图，OD=OE ，OC 平分∠AOB ，求证：∠A=∠B.5．如图，四边形ABCD 中，AD=BC ，AD ∥BC ，求证：AB=CD ，AB ∥CD.6．如图，已知，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE.（1）求证：BD=CE ；（2）若∠BAC=∠DAE=α，延长BD 交CE 于点P ，则∠BPC 的度数为.（用含α的式子表示）7．如图，C 是线段AB 的中点，CD 平分∠ACE ，CE 平分∠BCD ，CD=CE ．(1)求证：△ACD≌△BCE； (2)若∠D=50°，求∠B 的度数．8．如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，F 、E 分别是AD 及其延长线上的点，请你添加一个条件，使△BDE ≌△CDF (不再添加其它线段)，并能用“SAS ”公理进行证明．（1）你添加的条件是：；（2）证明：。
全等三角形的性质及判定(培优)
全等三角形的性质及判定一： 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等． 全等三角形除了具有上述性质外，还具有以下性质：全等三角形的面积相等；全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应边上的角平分线相等．灵活运用这些性质，可以简捷地证明一些命题，下面以例说明．例1 已知：如图1，ABC A B C '''△≌△，AD A D ''，分别是ABC △和A B C '''△的高. 求证：AD A D ''=．例2 已知：如图3，AB AC AD AE ==，，AB DC ，相交于点M ，AC BE ，相交于点N ，AP DC ⊥于P ，AQ BE ⊥于Q ，且DAB EAC =∠∠．求证：AP AQ =．练一练第1题. 如图，ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=，25B D ∠=∠=，120EAB ∠=，求DFB ∠和DGB ∠的度数．图1 A D C B A 'D ' C ' B 'A E BQPD MN 图2第2题. 如图，已知点C 是线段AB 上的任一点（C 点与A ，B 点不重合）分别以AC ，BC 为边在线段AB 的同侧作等边ACD △和等边BCE △,AE 与CD 相交于M ，BD 与CE 相交于N ．求证：①ACE DCB △≌△，②//MN AB ．第3题. 已知：ABC A B C ''△≌△，ABC △的三边为3m n ，，，A B C ''△的三边为5p q ，，，若ABC △的各边都是整数，则m n p q +++的最大值为多少？第4题. 长为l 的两根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x 的取值范围为（ ） Ａ．64l l x <≤ Ｂ．84ll x <≤ Ｃ．64l l x << Ｄ．84l lx <<二： 在说明线段相等以及角相等的一类问题时，所要说明的两条线段或两个角若不在同一个三角形中一般是考虑添加辅助线来构造全等三角形，如何添加辅助线？方法很多，下面介绍三种主要方法：(一)、平移法例1 如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，以AB 、AC 为边在△ABC 外作等边△ABD 、△ACE ，连接DE 交AB 于F ，试说明：DF ＝FE ．B E DA NM(二)、旋转法例2 如图2，在△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，∠BPC ＝120°，试说明：AP ＝BP ＋PC ．(三)、翻折法例3 如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 点作CE ⊥AB ，垂足为E ，并且1()2AE AB AD =+．试说明：∠ABC ＋∠ADC ＝180°练一练第1题.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 边上一点，F 为BC 延长线上一点，且CE CF =．①求证：BCE DCF △≌△．②若60BEC ∠= ，求EFD ∠的度数．BFECDA第2题 如图1，已知在ABC △中，AD BC ⊥于D ，AD BD =，DC DE =， 求证：1C ∠=∠．第3题 如图2，ABC △中，45ABC ∠=，H 是高AD 和BE 的交点， 求证：BH AC =．三、拓广探索飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．由以上题可知，虽题目纷杂繁多，形式千差万别，但稍加留意，就会发现证明题是定有规律可循的，所以做题时不要陷进题海难以自拔，要多研究一下其中的奥妙．BCE图1D A 1BCH图2D AE。
(完整版)精讲精练：全等三角形证明判定方法分类总结-培优
ACD ，所以 AEB
E ，
BAE
， BAD
．
9．如图， ABC ≌ DEF ， C 90 ，则下列说法错误的是（
）
A 、 C与 F互余
B
、 C与 F互补
.
A 、7cm B 、 5cm C 、 8cm D 、无法确定
C、 A与 E互余
D
、 B与 D 互余
10．如图， ACF ≌ DBE ， E 30 , ACF 110 , AD 9cm,CD 2.5cm，
B
C
【巩固练习】
1．下面给出四个结论： ① 若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同； ② 若两
个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；
③ 若两个图形的面积相等，则它们
一定是全等图形； ④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确
的是（
）
A 、 ①④ B 、 ①② C 、 ②③ D 、 ③④
1．如图，已知 AB=AC， AD=AE， BF=CF，求证： BDF ≌ CEF 。
A
D
E
F
B
C
2．如图，△ ABC，△ BDF为等腰直角三角形。求证： （1） CF=AD；（ 2） CE⊥ AD。 A
FE
C
BD
.
D
1
E
A
5. 如图，已知 AB⊥AC， AD⊥AE， AB=AC， AD=AE， 求证：（ 1）BE=DC，（2） BE⊥ DC.
由. 小明的解答：
OA=OB
OD=OC
12
SAS
△ AOD≌ △ BOC
而△ BAD=△ AOD+△ ADB 所以△ ABC≌ △ BAD
D
全等三角形的性质及判定培优辅导
全等三角形的性质及判定（培优）1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的面积相等,全等三角形的周长相等．3、全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS”(4) “角角边”或“AAS”一：判断题1．两边和一角对应相等的两个三角形全等.（）2．两角和一边对应相等的两个三角形全等.（）3．两条直角边对应相等的两个三角形全等.（）4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等.（）5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等. （）6．两个等边三角形全等. （）7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （）8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等.（）9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等.（）10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．（）二、证明题1、已知：AB=DE，AC=DF，BF=EC，求证：∠B=∠E （长沙·中考题）2、已知：OA=OB，AC=BD，∠A=∠B，M为CD中点.求证：OM平分∠AOB （红河·中考题）3、已知AD是⊿ABC的中线，BE⊥AD，CF⊥AD，问BE=CF吗？说明理由。
4.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.5. 如图在ABC∆则DEB∆6、已知∠BAC=∠7、已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC=AD吗？说明理由。
ABCDEFAB CDFEACDB12348、在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？9、已知AD =AE ，BD =CE ，∠1=∠2，问⊿ABD ≌⊿ACE 吗？10、已知∠1=∠2，AC =BD ，E ，F ，A ，B 在同一直线上，问∠3=∠4吗？11．已知如图(1)，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：(1)BD ＝DE ＋CE ；(2)若直线AE 绕A 点旋转到(2)位置时(BD ＜CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予证明．(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时，(BD ＞CE )，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD 、DE 、CE 的关系．12、已知，AC ⊥CE ，AC =CE ， ∠ABC =∠DEC =900，问BD =AB +ED 吗？13.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。
全等三角形证明方法总结-关于全等三角形的证明方法
如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结 为：“延分垂，等腰归”。
5
例题 3：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD 于 D，H 是 BC 中点。 求证：DH= （AB-AC） 提示：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。
成全等三角形
全等
造全等，则 P 是中点
三角形
图中有角平分线，可向两边 图中有角平分线，沿它对折 角平分线加垂线，“三线合 角平分线+平行线，等腰三
作垂线
关系现
一”试试看
角形必呈现
角平分线的常见倒角模型及相关结论 已知△ABC 中，BP，CP 分别为角平分线且交于点 P，探讨∠BPC 与∠A 的关系
角平 分线 倒角 模型
8、线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等
9、两全等三角形的对应边相等
10、等于同一线段的两线段相等
数形结合找条件【规律总结】
■已知两边
找另一边→SSS 找夹角→SAS 找直角→HL
■已知两角
找夹边→ASA 找除夹边外的任一边→AAS
■已知一边一角
找与边相邻的另一角A、OB 作垂线，垂足为 E、F，连接 DE、DF。 则有：DE=DF，△OED≌△OFD。
例题 2：如上右图所示，已知 AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180。
（3）作角平分线的垂线构造等腰三角形。 如下左图所示，从角的一边 OB 上的一点 E 作角平分线 OC 的垂线 EF，使之与角的另一边 OA 相交，则截
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ABC
竺DEF,
A
、6
B
、5C
3 •如图,
BAD的度数为（
B
AD=8, BE=2,贝ij AE等于(
B
第6题图
BCE，则下列条件能满足的是（
A . AC=BC, AD=CE, BD=BE B、AD=BD, AC=CE, BE=BD
C、DC二EC, AC=BC, BE=AD D、AD二BE, AC=DC, BC=EC
（2）BD T'分ABC（角平分线的相关证明及性质）
A
E
D
【巩固练习】
1.下面给出四个结论： ①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两
个图形ห้องสมุดไป่ตู้形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一
定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确
的是（）
A、①④B、①②C、②③D、③④
2.如图，ABD CDB,且AB和CD是对应边，下面四个结论中
不正确的是（）
A、
ABD和CDB的面积相等
A
B、
ABD和CDB的周长相等
B
c
C、
A ABDCCBD
D、
AD//BC且AD=BC
ABCs
BAD , A和B以及C和D分别是对应点，
如果
C
60,
ABD
35,则
A、85
B
、35
C、60
D
、80
4•
如图,ABC竺
DEF
A 50 , BC 9cm, CE 5cm ,求EDF的度数及CF的长.
例4.女口图AB=DE,
BC=EF, AD=CF,求证:
(1)
ABC竺
DEF
(2)
AB//DE,
BC//EF
例5.如图，在ABC中C90,D、E分别为AC、AB±的点，且BE=BC, DE=DC,
求证：（1）DE AB；
4.全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边” 或 “SSS” .
AB
DE
A
如图，在
ABC和DEF中
BC
EF/
/\
AC
DF厶
B
E
ABC竺
DEF
【典型例题】
例1•如图，ABC竺ADC，点B与点D是对应点，
，
BAC26且B20ABC1 ,求
CAD,D,ACD的度数及ACD的面积.
C 90 ,则下列说法错误的是（
全等三角形（一）SSS
【知识要点】
1.全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形.
2.全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等
（2）全等图形的面积相等
3.全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“竺”来表示，读作“全等于”如
ABC与DEF全等，记作ABC竺DEF
（2）符号“竺”的含义：“s”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起 来就是形状相同，大小也相等，这就是全等.
（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫 做对应边，互相重合的角叫做对应角.
（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
6.如图，ABE竺DCF ,点A和点D、点E和点F分别是对应点，则
,AB//
AE BC,则DF与BC的关系是
第9题题图
AED，若B40 ,EAB30 ,C45，则BAC
B DE C
&如图，若AB=AC, BE=CD, AE=AD,则AB—• ACD，所以AEB
弟
第7题图
8题图
BAE
BAD
9.如图,
ABCs DEF ,