广东省东莞市高三文科数学小综合专题练习立体几何

2012届高三文科数学小综合专题练习——立体几何
东莞高级中学张志峰老师提供
一、选择题
1.若l m n
，，是互不相同的空间直线，αβ
，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是Ａ．若l n
αβαβ
⊂⊂
，，
∥，则l n
∥Ｂ．若l
αβα
⊥⊂
，，则lβ
⊥
Ｃ．若l n m n
⊥⊥
，，则l m
∥Ｄ．若l l
αβ
⊥，∥，则αβ
⊥
2．一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆及其圆心，
那么这个几何体的侧面积
．．．为
A.
4
π
B
.
2
4
πC.
2
2
πD.
1
2
π
3．如右图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是
4．如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（）
A．3 B．
32
2
C．6 D．32
5．如右图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，
过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E
分别是VA，VC的中点，则下列说法错误
．．的是
A．DE⊥平面VBC
B．BC⊥VA
C．DE∥平面ABC
V
O
A
B
C
D
E
D ．面VAB ⊥平面ABC 二、填空题
6．在直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD
满足条件 （凡是能推出．．．．．．该结论的一切条件均可）．．．．．．．．．．．时，有A 1C ⊥B 1D 1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
7．如图, 四面体P-ABC 中, PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=300. 一只蚂蚁从A 点出发沿四面体的表面绕一周, 再回到A 点,问蚂蚁经过的最短路程是 ．
8．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为 .
9．如图，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．
10．在平面上，用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边
1
A 1
B 1
C 1
D A B
C
D
2
2
主视图
左视图
俯视图
长，由勾股定理有：.2
22b a c +=
设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O —LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，s 表示截面面积，那么你类．比．得到的结论是 .
三、解答题
11．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，
高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形． （1）求该几何体的体积V ； （2）求该几何体的侧面积S ．
12．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示.墩的上半部分是正四棱锥
P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图.
（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； （2）求该安全标识墩的体积； （3）证明：直线BD ⊥平面PEG .
a
b
c
O
M
N
L
8
6
13. 如右图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆
的直径，60,45,~ABD BDC ADP BAD ∠=∠=∆∆. （1）求线段PD 的长；
（2）若11PC R =，求三棱锥P-ABC 的体积.
14．如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB ，底面ABCD 为直角梯形，
1
90,.2
ABC BAD PA BC AD ∠=∠=︒==
（1）求证： CD ⊥平面PAC ；
（2）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE//平面PAB ？若存在，
请确定E 点的位置，若不存在，请说明理由.
15．如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上，F 为BB 1中点，且FD ⊥AC 1.
（1）试求1
DC AD
的值；
（2）求点C 1到平面AFC 的距离.
A
B C
D
E
P
F
A
B
C
1
A 1
B 1
C D
F
16．如图，在等腰梯形ABCD 中，上底CD=3，下底AB=4，E 、F 分别为AB 、CD 中点，分别
沿DE 、CE 把△ADE 与△BCE 折起，使A 、B 重合于点P ．
（1）求证：PE ⊥CD ；
（2）若点P 在面CDE 的射影恰好是点F ，求EF 的长.
17．半径为R 的球O 的截面BCD 把球面面积分为两部分，截面圆O 1的面积为12π，2OO 1=R ，
BC 是截面圆O 1的直径，D 是圆O 1上不同于B ，C 的一点，CA 是球O 的一条直径. (1)求证：平面ADC ⊥平面ABD; (2)求三棱锥A －BCD 的体积最大值;
(3)当D 分BC 的两部分的比BD ：DC=1：2时，求D 点到平面ABC 的距离.
A
D
F
C
E
B
D
P
F
E
C
O A B
C
D
O 1
2012届高三文科数学小综合专题练习——立体几何
参考答案
一、选择题 1-5 DDBCD 二、填空题
6.BD AC ⊥
7.22
8.23
9.①②③ 10.2
322212s s s s ++=
三、解答题
11．解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的
四棱锥V -ABCD ；
(1) 由题意可知，()1
864643
V =
⨯⨯⨯= (2) 该四棱锥有两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为
2
2
184422h ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
，
另两个侧面VAB. VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高为
2
226452h ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
因此11
2(64285)4024222
S =⨯⨯+
⨯⨯=+.
12．解：(1)侧视图同正视图,如下图所示.
（２）由题意，该安全标识墩的体积为：
P EFGH ABCD EFGH
V V V --==221
406040203200032000640003
=⨯⨯+⨯=+=()2cm （３）如图,连结EG,HF 及 BD ，EG 与HF 相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO ⊥平面EFGH ，PO HF ∴⊥ 又EG HF ⊥ HF ∴⊥平面PEG 又//BD HF BD ∴⊥平面PEG.
13．解：（1）
BD 是圆的直径 ∴ 90BAD ∠= 又 ~ADP BAD ∆∆,
∴AD DP BA AD =,()()
22
2
3
4sin 60431sin 3022R BD AD
DP R BA BD R ⨯
===
=⨯
;
(2 ) 在Rt BCD 中，cos 452CD BD R ==
2222229211PD CD R R R PC +=+== ∴PD CD ⊥ 又90PDA ∠=
∴PD ⊥底面ABCD.
()2
11321231sin 6045222
22224ABC
S
AB BC R R R ⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
三棱锥P ABC -的体积为
23
1
1313133
344
P ABC ABC
V S PD R R R -++=
=
=.
14．解：(1) 由题意不妨设PA=BC=1，AD=2.
AB=1，BC=
1
2
AD ，作CF//AB 交AD 于F ， 由90,ABC BAD ∠=∠=︒易得CD=AC=2 由勾股定理逆定理得AC CD ⊥. 又PA ⊥面ABCD CD ⊂ 面ABCD ，
,,PA CD PA AC A CD ∴⊥⋂=∴⊥面PAC.
又CD ⊂ 面PCD ，∴面PAC ⊥面PCD.
(2)棱PD 上存在点E ，当E 为PD 中点，使CE//面PAB.证明如下： 作EF//AP 交PD 于E ，连接CE.
又CF//AB ，EF//PA ，CF ⋂EF=F ，PA ⋂AB=A ，
∴平面EFC//平面PAB.
又CE 在平面EFC 内，CE//平面PAB ，BC=
1
2
AD ，AF=BC ， ∴F 为AD 的中点，∴E 为PD 中点.
故棱PD 上存在点E ，且E 为PD 中点，使CE//面PAB.
15．解： (1)连AF ，FC 1，
∵三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F 为BB 1中点， ∴Rt △AB F ≌Rt △C 1B 1F ，∴AF =FC 1.
又在△AFC 1中，FD ⊥AC 1，所以D 为AC 1的中点，即
1
DC AD
=1. (2)（运用等体积法．．．．
求解），由题意易得AC ＝2，AF ＝CF ＝5，可求S △ACF ＝2， 1ACC F V - = 1ACC B V - =3222
1
31⨯⋅⋅⨯
=332， 记点C 1到平面AFC 的距离为h ，
1ACC F V - = ACF C V -1 =3
1
S △ACF ×h ， 求得h =3.
故点C 1到平面AFC 的距离为3.
16．解：（1）证明：连结PF ，∵F 、E 分别是等腰梯形上、下两底的中点，∴EF ⊥CD.
又∵AD=BC 即PD=PC 且F 为CD 的中点， ∴PF ⊥CD . 又EF ，PF ⊂面PEF ，EF ∩P F=F ， ∴CD ⊥面PEF. 又PE ⊂面PEF ， ∴PE ⊥CD.
（2）若点P 在面CDE 的射影恰好是点F ，即P F ⊥面CDE 于F ，EF ⊂面CDE ，所以，
P F ⊥EF
设EF= x ，由已知EF 为等腰梯形的高，且PE ⊥CF
∵PE=BE=2
1AB=2 ∴24x PF -= ∵2321==CD CF ∴2
4252
22x CF PF PC -=+= 在
等腰梯形ABCD 中，2
14)21()(22222+=+=-+=x x CF BE EF BC ∵PC=BC ∴2
14242522
+=-x x 解得：3=x ， ∴EF 的长为3.
17．解：（1）连OO 1, 则OO 1⊥面BDC ，△ABC 中，OO 1∥AB ，
∴A B ⊥面BCD .
∵CD 在面BCD 内 ，
∴AB ⊥DC
又由题意知BD ⊥DC 且AB ∩BD=B ，
∴CD ⊥面ABD
∵CD ⊂面ACD ，
∴面ACD ⊥面ABD.
（2）∵12OO R =，1O 圆S =12π， ∴32C O 1=.
在△O 1OC 中 OO 12+O 1C 2 =R 2
∴R=4 OO 1=2
∵AB=2OO 1
∴AB=4
∵AB ⊥面BDC ，
∴要使V A-BCD 取最大，则需S △BCD 取最大.
S △
BCD =12)322(4
141)(41)2(41212222=⨯==+≤⋅=⋅BC CD BD CD BD CD BD （当且仅当CD BD =时取“=”）
∴（S △BCD ）max =12 . ∴1641231
)(max =⨯⨯=-BCD A V .
(3)由（1）可知A B ⊥面BCD.
又∵AB ⊂面ABC ，
∴面ABC ⊥面BCD ，
∵面ABC ∩面BCD=BC ，在平面BDC 中，作D E ⊥BC 于E ，则DE ⊥面ABC ， 又由题设当弧BD ∶弧DC=1∶2时可知 ∠BO 1D=600，∠DO 1C=1200， ∴BD=32，CD=6..
在Rt △BDC 中，由DE BC CD BD ⋅=⋅，可得
263
4632=⋅=⋅=BC CD BD DE ， 故D 点到平面ABC 的距离为2
6. （本小题用等体积法也可以）。