精选-中考数学总复习第三单元函数及其图像第15课时二次函数与一元二次方程及不等式课件

1. [2018·滨州] 如图 15-1,若二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
图像的对称轴为直线 x=1,与 y 轴交于点 C,与 x 轴交 于点 A,点 B(-1,0).则①二次函数的最大值为 a+b+c; ②a-b+c<0;③b2-4ac<0;④当 y>0 时,-1<x<3.其中正确
的个数是 ( )
第 15 课时 二次函数与一元二次方程及不等式
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考点聚焦
考点一 二次函数与一元二次方程
1. 如果抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴有公共点,公共点的横坐标为 x0,那么当 x=x0 时,函数值是 0,因此 x=x0 就是方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根.
所以不等式-x2+bx+c<0 的解集为 x<-1 或 x>5.
故答案为 x<-1 或 x>5.
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图 15-4 11
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题组二 易错题
【失分点】
不理解与坐标轴的交点和与 x 轴的交点的区别;忽略 了二次函数 y=ax2+bx+c 的隐含条件 a≠0;忽略二次函数 y=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有交点的前提是 b2-4ac≥0. 6. 抛物线 y=2x2-2 2x+1 与坐标轴的交点个数是 ( )
a
b
c
字母的符号
a>0 a<0 b=0 ab>0(b 与 a 同号) ab<0(b 与 a 异号) c=0 c>0 c<0
图像的特征
开口向① 上
开口向② 下
对称轴为③ y
轴
对称轴在 y 轴左侧
对称轴在 y 轴右侧
经过④ 原点
与 y 轴正半轴相交
与 y 轴负半轴相交
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b2-4ac
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2. 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与 x 轴的公共点的关系有三种:没有公共点,有一个公共点,有两个公共点,这对应着一元
二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的三种情况:没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不相等的实数根.上述关系如下表所
示:
判别式 Δ=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图像
ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0(a>0)的解集
x<x1 或 x>x2 x1<x<x2
x≠-2������������ 无解
一切实数 无解
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对点演练
题组一 必会题
A.1 B.2
C.3
D.4
[答案] B [解析] 由图像可知,当 x=1 时,函数取到最大值, 最大值为:a+b+c,故①正确;因为抛物线经过点 B(-1,0),所以当 x=-1 时,y=a-b+c=0,故②错误;因 为该函数图像与 x 轴有两个交点 A,B,所以 b2-4ac>0,故③错误;因为点 A 与点 B 关于直线 x=1 对称,所以 A(3,0),根据图像可知,当 y>0 时,-1<x<3,故④正确.故选 B.
抛物线与 x 轴的交点个数 判别式 Δ=b2-4ac 的符号 方程的实数根的个数
2个
Δ>0
两个不相等的实数根
1个
Δ=0
两个相等的实数根
0个
Δ<0
没有实数根
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考点二 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像特征与a,b,c及判别式b2-4ac的符号之间的关系
项目 字母
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考点三 二次函数与不等式
设抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)与 x 轴的交点为(x1,0),(x2,0),x1<x2.若 a>0,则当 x<x1 或 x>x2 时,y>0;当 x1<x<x2 时,y<0.若 a<0,则当 x<x1
或 x>x2 时,y<0;当 x1<x<x2 时,y>0.以 a>0 为例,如下表所示:
b2-4ac=0 b2-4ac>0 b2-4ac<0
特殊关系
（续表）
与 x 轴有唯一交点(顶点) 与 x 轴有两个不同交点 与 x 轴没有交点 当 x=1 时,y=a+b+c 当 x=-1 时,y=a-b+c 若 a+b+c>0,则当 x=1 时,y>0 若 a-b+c>0,则当 x=-1 时,y>0
则不等式 a(x-2)2+b(x-2)+c<0 的解集为
.
图 15-3
[答案] x<3 或 x>5 [解析] 由函数图像可知,当 x<1 或 x>3 时,函数 y=ax2+bx+c 的图像在 x 轴的下方, ∴函数 y=a(x-2)2+b(x-2)+c 的图像与 x 轴的交点的横 坐标分别为 3,5, ∴不等式 a(x-2)2+b(x-2)+c<0 的解集为 x<3 或 x>5. 故答案为:x<3 或 x>5.
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图 15-1 精选中小学课件
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2. [2018·镇江] 已知二次函数 y=x2-4x+k 的图像的顶点在 x 轴下方,
则实数 k 的取值范围是
.
[答案] k<4 [解析] ∵二次函数 y=x2-4x+k 的图像 的顶点在 x 轴下方, ∴二次函数 y=x2-4x+k 的图像与 x 轴 有两个公共点. ∴b2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0. 解得 k<4.
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3. [2018·孝感] 如图 15-2,抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点
坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),则关于 x 的方程 ax2=bx+c 的解
是
.
[答案] x1=-2,x2=1
图 15-2
[解析] ∵抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),
∴
������ ������
= =
������������2, ������������ +
������ 的解为
������1 = -2, ������1 = 4,
������2 ������2
= =
11,.即方程
ax2=bx+c
的解是
x1=-2,x2=1.Biblioteka 最新精选中小学课件9
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4. 若二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图 15-3 所示,
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5. 二次函数 y=-x2+bx+c 的部分图像如图 15-4 所示,由图
像可知,不等式-x2+bx+c<0 的解集为
.
[答案] x<-1 或 x>5
[解析] 抛物线的对称轴为直线 x=2,
而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(5,0),
所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为(-1,0),