河北省沧州市沧县中学高三数学理测试题含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
是一个符合题目要求的
1. 等差数列前项和, ,则使的最小的为（）
A．10 B． 11 C． 12 D． 13
参考答案：
B
2. 当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值范围是
（）
A. B. C.
D.
参考答案：
考点：函数与方程.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:
1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
3. 函数满足，且，则与的大小关系
是( )
A. B.
C. >
D.与有关不确定
参考答案：
A
4. 已知直线⊥平面，直线平面，下列命题正确的是（）
①∥②∥③∥④∥
A．①②B．③④
C．②④D．①③
参考答案：
C
①有可能相交，所以错误。

②正确。

③当时，由或，不一定有，错误。

④正确，所以选C.
5. 已知集合A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1}，则A∩B=（）
A．{﹣2，﹣1，1，2} B．{﹣2，﹣1，1} C．{1} D．{1，2}
参考答案：
D
【考点】交集及其运算．
【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，1，2}，B={x|lgx≤1=lg10}={x|0＜x≤10}，
∴A∩B={1，2}，
故选：D．
6. 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：
按如此规律下去，则（）
A.501
B.502
C.503
D.504
参考答案：
C
7. 设，那么（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
略
8. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）
A．B．C．2 D．2参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求得三角形三个顶点的坐标，代入三角形面积公式得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
不等式组表示的平面区域是一个三角形内部（包括边界）．
其中三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（1，），O（0，0），
∴．
故选：B．
9. 已知向量，，则下列向量中与垂直的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
10. 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.
以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个( )
A.116
B.128
C.215
D.98 参考答案：
A
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给定函数①y＝，②y＝，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是________．
参考答案：
②③
12. 如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型（称为“Dandelin双球”）；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图
中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离,截面分别与球O1，球O2切于点E，F，（E，F是截口椭圆的焦点），则此椭圆的离心率等于______．
参考答案：
【分析】
利用已知条件和几何关系找出圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为的余弦值，即可得出椭圆离心率。

【详解】如图，圆锥面与其内切球，分别相切与B,A，连接则，，过作垂直于，连接，交于点C
设圆锥母线与轴的夹角为，截面与轴的夹角为
在中，，
∵△EO2C≌△FO1C
解得即
则椭圆的离心率【点睛】“双球模型”椭圆离心率等于截面与轴的交角的余弦与圆锥母线与轴的夹角的余弦
之比，即。

13. 如图所示，若在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________________.
参考答案：
【考点】定积分，几何概型．
由图可知正方形关于直线对称，又与图象也关于直线对称，如下图，则
，正方形面积为，则概率为
【点评】：遇到较难的指数或对数函数问题，可以先联系反函数，被积函数为对数函数时不好求，可根据图象特征等价转化为指数函数．
14. 若双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，则正数a 的值为．
参考答案：
2
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】双曲线x 2﹣ay 2=1的方程化为标准方程，利用双曲线
x 2﹣ay 2=1的离心率为，建立方程，
即可求出正数a 的值．
【解答】解：双曲线x 2﹣
ay 2=1的方程可化为x2﹣=1，得c2=1+，
因为双曲线x2﹣ay2=1的离心率为，
所以e2=1+=（）2，
解得a=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，确定双曲线的几何量是关键．
15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离
是 .
参考答案：
1
16. 已知不等式恒成立，则k的取值范围是______.
参考答案：
【分析】
设，，不等式恒成立，转化为函数的图像不在直线
的下方，求出的单调区间以及极值、最值，作出函数的图像，用
数形结合方法，即可求出的取值范围；或分离出参数，构造新函数，转化为与新函数的最值的
大小关系.
【详解】直线l:是斜率为且过点的直线，
时单调递减；
时，单调递增.
，
当
所以时，不符合条件
所以时，符合条件
时，若，则
所以只需再考虑的情况：
法一：
如图示设时直线l与相切，
则当且仅当时符合条件.
设直线l与相切于点，
则,
,
所以
注
递增，且.
法二：时：
在上单调递增，又
时，
【点睛】本题考查导数的应用，考查函数的单调区间、极值最值，考查等价转换、数形结合、分类讨论等数学思想，是一道综合题.
17. 若四面体的三视图如右图所示，则该四面体的外接球表面积为_____．
参考答案：
试题分析：该几何体如图所示，放在长方体中更直观．则，，.
考点：几何体的表面积.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
设．
(I)若a>0，讨论的单调性；
(Ⅱ)x =1时，有极值，证明：当∈[0，]时，
参考答案：
略
19. 定义域为的奇函数满足，
且当时，．
（Ⅰ）求在上的解析式；
（Ⅱ）当取何值时，方程在上有解？
参考答案：
略
20. (本小题满分16分)
已知椭圆的左顶点为，左右焦点为，点是椭圆上一点，
，且的三边构成公差为1的等差数列．
( I )求椭圆的离心率；
( II)若，求椭圆方程；(III)若，点在第一象限，且的外接圆与以椭圆长轴为直径的圆只有一个公共点，求点的坐标﹒
参考答案：
略
21. 如图，已知抛物线，点是x 轴上的一点，经过点P 且斜率为1的直线与抛物线
相交于A,B 两点.当点P 在x 轴上时，求证线段AB 的中点在一条直线上；若(O 为坐标原
点)，求a 的值.
参考答案： 解：（1）设
，，
中点为．则
，
又，， 所以
，从而
．
故，线段的中点在直线
上．
（2）直线：， 由
．
，
．
若，则，即
．
解得：
．
略
22. （本小题满分13分）如图，椭圆的离心率为
，
、
分别为其短
轴的一个端点和左焦点，且．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的左、右顶点为，，过定点的直线与椭圆C 交于不同的两点，
，
直线，交于点，证明点在一条定直线上．
参考答案：
（1）;（2）见解析
【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系H5 H8
解析：（1）由已知，，，且，，，
因此椭圆C的方程………………………4分
（2）由题意，设直线：，，，
联立得，则
，①………………………8分
设直线：，：，
联立两直线方程，消去得②………………………10分又，，并不妨设，在x轴上方，则，
代入②中，并整理得：
将①代入，并化简得，解得，因此直线，交于点在定直线上．………………………13分
【思路点拨】（1）根据已知条件计算出基本量，然后写出标准方程；（2）由题意，设直线：，，，联立组成方程组，结合根与系数的关系以及直线和，消元后即可证明。