深圳麒麟实验学校数学有理数单元测试与练习(word解析版)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）
1．如图，已知数轴上有A、B两点(点A在点B的左侧)，且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒.
（1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是________；
（2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是________个长度单位；
（3）当点A表示的数是－3时，用含t的代数式表示点P表示的数；
（4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值.
【答案】（1）-4
（2）6
（3）解：当点A为-3时，点P表示的数是-3+2t；
（4）解：当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（8−2t），
解得，t＝，
当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t−8），
解得，t＝8，
∴当t＝或8秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍.
【解析】【解答】解：（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，
则|a|＋|b|＝8，又|a|＝|b|，
∴|a|＝4，
∴a＝−4，
则点A表示的数是−4；
（ 2 ）∵P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，
∴当t＝3秒时，点A与点P之间的距离为6个单位长度；
【分析】（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，两点间的距离是8及互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，到原点的距离相等即可判断得出答案；
（2）根据路程等于速度乘以时间即可得出答案；
（3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数；
（4）分当点P在线段AB上时，AP=2t，BP=（8-2t），根据AP＝2PB 列出方程，求解即可；当点P在线段AB的延长线上时，AP=2t，BP=（2t-8），根据 AP＝2PB 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案.
2．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.
（1）当a＝﹣2，b＝6时，线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）
（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.
①当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值；
②当a＝﹣2，且AM＝3BM时，小安演算发现代数式3b﹣4m是一个定值.
老师点评：你的演算发现还不完整!
请通过演算解释：为什么“小安的演算发现”是不完整的？
【答案】（1）2
（2）解：①当m＝2，b＞2时，点M在点A，B之间，
∵AM＝2BM，
∴m﹣a＝2（b﹣m），
∴2﹣a＝2（b﹣2），
∴a+2b＝6，
∴a+2b+20＝6+20＝26；
②小安只考虑了一种情况，故老师点评“小安的演算发现”是不完整的.
当点M在点A，B之间时，a＝﹣2，
∵AM＝3BM，
∴m+2＝3（b﹣m），
∴m+2＝3b﹣3m，
∴3b﹣4m＝2，
∴代数式3b﹣4m是一个定值.
当点M在点B右侧时，
∵AM＝3BM，
∴m+2＝3（m﹣b），
∴m+2＝3m﹣3b，
∴2m﹣3b＝2，
∴代数式2m﹣3b也是一个定值.
【解析】【解答】解：（1）由题意得出，线段AB的中点对应的数是2，
故答案为：2.
【分析】（1）首先根据数轴的性质，即可得出中点对应的数值；（2）①首先判定点M 在点A，B之间，然后根据等式列出关系式，即可得解；②根据题意，分两种情况进行求解：点M在点A，B之间和点M在点B右侧时，通过列出等式，即可判定.
3．已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别为﹣36，﹣12，12；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设运动时间为t秒
（1）若点P到A点的距离是到点B距离的2倍，求点P的对应数；
（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点Q开始运动后第几秒时，P、Q 两点之间的距离为4？请说明理由.
【答案】（1）解：当P在A、B之间，PA+PB＝AB，因为点P到A点的距离是到点B距离
的2倍，所以PA＝2PB，
故2PB+PB＝AB，
代数可得PB＝8，
故P点对应数为﹣12﹣8＝﹣20；
当P在B、C之间，PA﹣PB＝AB，
所以2PB﹣PB＝AB，
故PB＝AB＝24，
故P点对应数为﹣12+24＝12，与点C重合.
（2）解：分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度.PA﹣QA＝4，设时间为t1， AB+t1×1﹣3t1＝4，故24+t1×1﹣3t1＝4，则t1＝10；
第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度.QA﹣PA＝4，设时间为t2，
3t2﹣(t2+AB)＝4，
故3t2﹣(t2+24)＝4，
则t2＝14；
第三种情况：当Q从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度.设时间为t3，
3t3+t3+4+AB＝2AC，
故3t3+t3+4+24＝2×48，
则t3＝17；
第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.设时间为t4，
3t4+t4+AB＝2AC+4，
故3t4+t4+24＝2×48+4，
则t4＝19.
【解析】【分析】(1)P从A运动到C，存在两种情况：1.P在A、B之间2.P在B、C之间，后计算发现此点与C重合；(2)分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度. 第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度. 第三种情况：当Q 从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度，第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.
4．同学们，我们都知道：|5-2|表示5与2的差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）|﹣4+6|=________；|﹣2﹣4|=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x+2|+|x-1|=3成立；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，求|a+4|+|a﹣6|的值；
（4）当a=________时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是________；
（5）当a=________时，|a﹣1|+|a+2|+|a﹣3|+|a+4|+|a﹣5|+…+|a+2n|+|a﹣(2n+1)|的值最小，最小值是________.
【答案】（1）2；6
（2）解：此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，故当-2≤x≤1的时候即可满足条件，又因为x是整数，所以x的值可以为：-2，-1,0,1.
（3）解：∵数轴上表示数a的点位于﹣4与6之间，∴a+4＞0，a﹣6＜0，∴|a+4|+|a﹣6|=a+4-a+6=10;
（4）1；9
（5）1；2n2+3n
【解析】【解答】（1）|﹣4+6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，当a=1的时候，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|=|1﹣1|+|1+5|+|1﹣4|=9；
(5)|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1
当a=1时
原式=3+2+5+4+……+（2n+1）+2n
=2+3+4+5+……+2n+（2n+1）
=
= 2n2+3n
故：答案为1， 2n2+3n ．
【分析】（1）由于绝对值符号具有括号的作用，先按有理数的加减法法则算出绝对值符号里面的，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可；
（2）此题可以理解为数轴上一点到-2,1的距离的和是3，由于1到-2 的距离就是3,，从而找出1到-2 的整数即可；
（3）根据有理数的加减法法则，首先判断出a+4＞0，a﹣6＜0，再根据绝对值的意义去掉绝对值符号合并同类项即可；
（4）此题可以理解为数轴上一点到1，-5,4的距离的和最小，根据两点之间线段最短，故当a表示的数是介于4和-5之间的数1的时候，即可使其值最小，然后将a=1代入再根据绝对值的意义化简即可；
（5）|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）| 表示的是a到1，-2，3，-4，5，……-2n,2n+1的距离和，故要使，|a-1|+|a+2|+|a-3|+|a+4|+|a-5|+…+|a+2n|+|a-（2n+1）|的值最小，则a=1，把a=1代入根据绝对值的意义即可求出答案。

5．对于有理数，定义一种新运算“ ”，观察下列各式：
，，
.
（1）计算： ________， ________.
（2）若，则 ________ (填入“ ”或“ ”).
（3）若有理数，在数轴上的对应点如图所示且，求
的值.
【答案】（1）19；
（2）
（3）解：由数轴可得，
，，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
.
【解析】
【解答】（1），
；
（2）∵，，，
∴
，
或
综上可知，
【分析】（1）根据定义计算即可；
（2）分别根据定义计算a b和b a，判断是否相等；
（3）由定义计算得到|a+b|=5，再根据数轴上点的位置关系判断a+b<0，再计算[（a+b）（a+b）][a+b]
6．已知多项式，次数是b，3a与b互为相反数，在数轴上，点A 表示数a，点B表示数b.
（1）数轴上A、B之间的距离记作，定义：设点C在数轴上对应的数为x，当时，直接写出x的值.
（2）有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照如此规律不断地左右运动，当运动了2019次时，求点P所对应的有理数.
（3）若小蚂蚁甲从点A处以1个单位长度秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点B处以2单位长度秒的速度也向左运动，一同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t. 【答案】（1）解：由多项式的次数是6可知，又3a和b互为相反数，故 .
当C在A左侧时，，
，；
在A和B之间时，，
点C不存在；
点C在B点右侧时，，
，
；
故答案为：或8.
（2）解：依题意得：
.
点P对应的有理数为 .
（3）解：甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即时，此时，，
，
解得，；
甲向左运动，乙向右运动时，即时，
此时，，
依题意得，，
解得， .
答：甲、乙两小蚂蚁到原点的距离相等时经历的时间是秒或8秒
【解析】【分析】（1）根据题意可得a＝−2，b＝6；然后分当C在A左侧时，在A和B之间时，点C在B点右侧时，三种情况用x表示出|CA|和|CB|的长度，利用“|CA|＋|CB|＝12”列出方程即可求出答案；
（2）向左运动记为负，向右运动记为正，由点P所表示的数依次加上每次运动的距离列出算式，进而根据有理数加减法法则算出答案；
（3）分甲、乙两小蚂蚁均向左运动，即时，甲向左运动，乙向右运动时，即时两种情况，根据到原点距离相等列出方程求解即可．
7．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别是-3、1、5。

动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿A→B→A匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动．设点P的运动时间为t(s)。

（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为________。

（2）当t=1时，求点P、Q之间的距离。

（3）当点P在A→B上运动时，用含t的代数式表示点P、Q之间的距离。

（4）当点P、Q到点C的距离相等时，直接写出t的值。

【答案】（1）3
（2）解：当t=1时，AP=4，CQ=1，PQ=1
所以点P、Q之间的距离是1
（3）解：点P在A→B上运动，且相遇时，4t=4+t，t= ，
当0≤1≤ 时，PQ=4-3t
当<1≤2时，PQ=3t-4
（4）解：t= ，t= ，t= ，t=4
【解析】【分析】先表示出运动t（s）点P经过的路程为4t，点Q经过的路程为t；P到
达点B和终点A所用的时间分别为2（s）、4（s），点Q到达点B所用的时间为4（s）。

（1）P到达点B用2（s），此时CQ=2，故可求；
（2）当t=1时，求出线段AP、CQ，故可求PQ；
（3）先由AP=AC+CQ求出点P、Q相遇时的时间，然后分0≤t≤和≤t≤2两种情况求解即可；
（4）利用PC=PQ列出方程求解即可。

8．阅读下列材料：
1×2＝（1×2×3－0×1×2），
2×3＝（2×3×4－1×2×3），
3×4＝（3×4×5－2×3×4），
由以上三个等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4＝ ×3×4×5＝20．
读完以上材料，请你计算下列各题：
（1）1×2＋2×3＋3×4＋…＋10×11（写出过程）；
（2）1×2＋2×3＋3×4＋…＋ n×（ n＋1）＝________；
（3）1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋…＋7×8×9＝________．
【答案】（1）解：1×2+2×3+3×4+…+10×11，
= ×（1×2×3-0×1×2）+ ×（2×3×4-1×2×3）+ ×（3×4×5-2×3×4）+…+ ×（10×11×12-9×10×11），
= ×（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+…+10×11×12-9×10×11），
= ×10×11×12，
=440；
（2） n（n+1）（n+2）
（3）1260
【解析】【解答】解：（2）∵1×2+2×3+3×4= ×3×4×5，
∴1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）= n（n+1）（n+2）；（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+7×8×9=
×7×8×9×10=1260．
故答案为：
n（n+1）（n+2）；1260．
【分析】（1）根据题目信息列出算式，然后提取，进行计算即可得解；（2）观察不难发现，两个连续的自然数的积等于这两个数与后面的数的积减去与前面的数的积的
，然后列出算式进行计算即可得解；（3）根据（2）的规律类比列式进行计算即可得解．
9．第1个等式：1- = ×
第2个等式：(1- )(1- )= ×
第3个等式：(1- )(1- )(1- )= ×
第4个等式：(1- )(1- )(1- )(1- )= ×
第5个等式：(1- )(1- )(1- )(1- )(1- )= ×
······
（1）写出第6个等式；
（2）写出第n个等式(用含n的等式表示),并予以证明．
【答案】（1）第6个等式：(1- )(1- )(1- )(1- )(1- )(1- )= ×
（2）第n个等式：(1- )(1- )(1- )……(1- )[1- ]= ×
证明：(1- )(1- )(1- )……(1- )[1- ]
＝
＝
＝ ×
【解析】【分析】根据已知条件得到每个括号内第二个分数分母的变化规律，进而得出答
案．
10．阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得
将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：根据材料，设M= ①，
∴将等式两边同时乘以3，则3M= ②，
由② ①，得：，
∴；
∴ .
（2）解：根据材料，设N= ③，
∴将等式两边同时乘以5，④，
由④ ③，得：，
∴；
∴ .
【解析】【分析】（1）设M= ，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=
，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.
11．已知数轴上的两点A、B所表示的数分别是a和b,O为数轴上的原点，如果有理数a,b 满足
（1）求a和b的值；
（2）若点P是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点P恰巧到达线段AB的三等分点？
（3）若点C是线段AB的中点，点M以每秒3个单位长度的速度从点C开始向右运动，同时点P以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点N以每秒4个单位长度的速度从点B开始向左运动，点P与点M之间的距离表示为PM，点P与点N之间的距离表示为PN，是否存在某一时刻使得PM+PN=12？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：a=-8，b=22；
（2）解：5t=10时，t=2；5t=20时，t=4；
（3）解：存在
理由：设运动的时间为x秒，
点C对应的数为7，
点P对应的数为−8＋5x，
点M对应的数为 7＋3x，
点N对应的数为22−4x，
则PM＝|（−8＋5x）−（7＋3x）|＝|−15＋2x|，PN＝|（−8＋5x）−（22−4x）|＝|−30＋9x|．
由PM＋PN＝12得|−15＋2x|＋|−30＋9x|＝12．
①当0＜x≤ 时，15−2x＋30−9x=12，解得：x=3 ，
此时P对应的数为-8+5x=7；
②当＜x≤ 时，15−2x-30+9x=12，解得：x= 且＜≤ ，
此时P对应的数为-8+5x= ；
③当＜x时，-15+2x-30+9x=12，解得：x= 且＜，舍去；
综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得PM＋PN＝12，
此时点P对应的数为 7或 .
【解析】【分析】（1）根据绝对值以及偶次方的非负性得出a，b的值；（2）根据点P 运动的速度、结合AP：BP＝1：2或AP：BP＝2：1找出点P的运动时间，设点Q的运动速度为x单位长度/秒，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，解之即
可得出结论；（3）分三种情况：①0＜x≤ ；② ＜x≤ ；③ ＜x时. 结合两点间的距离公式列出相应的方程进行解答即可．
12．如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推
（1）阴影部分的面积是多少？
（2）受此启发，你能求出1+ 的值吗？
【答案】（1）解：部分①的面积为：，
部分②的面积为：，
…
以此类推，部分的面积，
∴阴影部分面积为或；
（2）解：由图可得，原式=1+1− ＝2− ＝1 ．
【解析】【分析】（1）由图可得，部分①的面积为：，部分②的面积为：
，…，部分的面积; ，据此规律解答即可．（2）由图可得，1+ + + +…+ 的值，即为两个正方形的面积减去一个部分⑦的面积．。