山东、湖北高考冲刺模拟考试数学（理）试题（一）含答案

齐鲁名校教科研协作体
山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟试卷（一）
数学（理科）试题
命题：湖北随州一中(刘丽) 审题：山东临沂一中 山东临朐一中 山东沂水一中
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.(原创，容易)已知全集1=|
0,A={1,2,4},5x U x N CuA x +⎧⎫
∈≤=⎨⎬-⎩⎭
则（ ） A.{3} B.{0，3，5} C.{3，5} D.{0，3} [答案]D
[解析]全集U={0，1，2，3，4}，则CuA={0，3} [考点]分式不等式及集合运算.
2.(原创，容易)已知i 为虚数单位，现有下面四个命题
p 1：复数z 1=a +bi 与z 2=－a +bi ，（a ，b R ∈）在复平面内对应的点关于实轴对称； p 2：若复数z 满足(1-i )z =1+i ，则z 为纯虚数； p 3：若复数z 1，z 2满意z 1z 2R ∈，则z 2=1z ； p 4：若复数z 满足z 2+1=0，则z ＝±i .
其中的真命题为（ ）
A.p 1，p 4
B.p 2，p 4
C.p 1，p 3
D.p 2，p 3 [答案]B
[解析]对于p 1：z 1与z 2关于虚轴对称，所以p 错误；对于p 2：由(1－i)z=1+i ⇒z=
11i
i i
+=-，则z 为纯虚数，所以p 2正确；对于p 3：若z 1=2，z 2=3，则z 1z 2=6，满足z 1z 2R ∈，而它们实部不相等，不是共轭复数，所以p 3不正确；p 4正确. [考点]复数与命题真假的综合.
3.(原创，容易)已知2
:2,:,10p a q x R x ax p q >∀∈++≥是假命题,则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案]A
[解析] 2
:,10q x R x ax q ∀∈++≥∃∈是假命题,则非:x R,使210x ax ++<是真命题，
24022,a a a p q =->⇔<->或则是的充分不必要条件.
[考点]二次不等式及充分、必要条件.
4.(原创，容易)在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N （80，σ2
）
(σ>0)，若ξ在(70，90)内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（ ） A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2 [答案]B
[解析]由题意可得1
(070)(90100)(10.8)0.12
P p ξξ≤≤=≤≤=⨯-=. [考点]正态分布.
5.(原创，容易)某几何体的三视图是网络纸上图中粗线画出的部分，已知小正方形的边长为1，则该几何体中棱长的最大值为（ ） 51013[答案]C
[解析]由三视图可得该几何体是一个四面体，可以将其放入棱长分别为1，2，3的
长方体中，该四面体的棱长是长方体的各面的对角线，长度分别是51013，则最13[考点]三视图还原.
6.(原创，容易)要使右边的程序框图输出的
S=2cos 3
99
2cos32cos99,πππ++⋅⋅⋅+则判断框内（空白框内）可填入（ ） A.99n < B.100n < C.99n ≥ D.100n ≥ [答案]B
[解析]要得到题中的输出结果，则1,3,,99n =⋅⋅⋅均满足判断框内的条件，101n =不满足判断框内的条件，故空白框内可填入100.n < [考点]程序框图.
7.(原创，中档)已知等差数列{}n a 的第6项是二项式62
()x y x
-
+展开式的常数项，则210a a +=（ ）
A.160
B.－160
C.320
D.－320 [答案]D [解析]二项式62()x y x -
+展开式的常数项是由3个x 和3个2
x
-相乘得到的，所以常数项为 333
3632()160,C x C x
⋅⋅⋅-=-所以6160a =-，由等差数列的性质可得21062a a a +==－320.
[考点]二项式定理及等差数列的性质. 8.(原创，中档)将函数sin()3
y x π
=-的图象按以下次序变换：①纵坐标不变，横坐标变为原
来的2倍，②向右平移
3
π
个单位，得到函数()y f x =的图象，则函数()'()f x y f x =在区间[0,2]
π上的对称中心为（ ）
A.(,0),(2,0)ππ
B.(,0)π
C.(0,0),(,0)π
D.(0,0),(,0),(2,0)ππ [答案]D
[解析]1
11()sin()'()cos().2
2222
f x x f x x π
π
=-
⇒=-故
()12tan()'()22f x x f x π=-，令122x π
- =(1)(),2
k x k k Z ππ⇒=+∈故k 所有可能的取值为－1，0，1，故所求对称中心为（0，0），（π，0），（2π，0）.
[考点]三角函数的图象变换及正切函数的对称中心.
9.(原创，中档)已知点P 是双曲线C ：22
124
y x -=的一条渐近线上一点，F 1、F 2是双曲线的下焦点和上焦点，且以F 1F 2为直径的圆经过点P ，则点P 到y 轴的距离为（ ） A.
14 B.1
2
C.1
D.2 [答案]D
[解析]不妨设点P 在渐近线2
y x =
上，设00(2,),P y 又12(0,6),6)F F -，
由以F 1F 2
为直径的圆经过点P ，得120000
(2,6)(26)PF PF y y ⋅=--⋅-=20360y -=，
解得02y =±P 到y 02|2y =. [考点]双曲线的几何性质
10.(原创，中档)已知O 是平面上的一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若动点P 满足
(
),(0,),||sin ||sin AB AC
OP OA AB B AC C
λλ=++∈+∞则点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
A.内心
B.外心
C.重心
D.垂心 [答案]C
[解析]在△ABC 中，由正弦定理得
||||
,||sin ||sin ,sin sin AB AC AB B AC C k BC C B
===设边上的中点为D ，由已知可得2(
),(),AB AC OP OA AP AB AC AD k k k k
λλλ-=+=+=即故P 点的轨迹在三角形的中线上，则P 点轨迹一定通过三角形的重心. [考点]平面向量的加减法的几何运算及向量共线的应用.
11.(原创，难)设直线43y x =-与椭圆22
:
12516
x y E +=交于A 、B 两点，过A 、B 两点的圆与E 交于另两点C 、D ，则直线CD 的斜率为（ ） A.－
14 B.－2 C.1
4
D.－4 [答案]D
[解析]本题来源于教材选修4-4中第38页例4，如图所示，AB 、CD 是中心为点O 的椭圆的两条相交弦，交点为P ，两弦AB 、CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，则||PA ||||||PB PC PD ⋅=⋅. [考点]直线与圆、椭圆的综合
12.(改编，难)若函数2
()ln ln x f x ax x x x
=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是
( ) A.1(1,
)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1
e e e --- [答案]A
[解析]由题意可得ln ,(0,)ln x x
a x x x x
=
-∈+∞-有3个不同解，令
ln (),ln x x
g x x x x x
=
-∈-
2222
1ln 1ln ln (1ln )(2ln )
(0,),'(),(ln )(ln )x x x x x x g x x x x x x x ----+∞=
-=--则当(0,)x ∈+∞时，令
2ln y x x =-，则1211'2,(0,),'0,2x y x y y x x -=-=∈<当递减；
当1
(,),'0,2
x y y ∈+∞>递增，则min 1
1ln
1ln 20,(0,)2
y x =-=+>∈+∞则当时，恒有2ln 0.'()0,x x g x ->=令得1x =或,(0,1),'()0,()x e x g x g x =∈<且时递减；(1,),'()0,()x e g x g x ∈>时递增；
(,)x e ∈+∞时，'()0,()g x g x <递减，则()g x 的极小值为(1)1,()g g x =的极大值为
1(),1e g e e e =
--结合函数图象可得实数a 的取值范围是1(1,)1e e e
--. [考点]函数的零点与导数的综合应用.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. (原创，容易)设命题
2:,4,n p n N n p ∃∈>⌝则为 .
[答案]2
,4n
n N n ∀∈≤.
[解析]特称命题的否定是全称命题. [考点]全（特）称命题的否定.
14.(原创，容易)直线sin 30()x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是 . [答案]3[
,
]44ππ
[解析]若sin 0α=，则直线的倾斜角为90°；若sin 0α≠，则直线的斜率k ＝
1
(,1][1,),sin α-
∈-∞-+∞设直线的倾斜角为θ，则tan (,1][1,)θ∈-∞-+∞，故θ∈ [,)42ππ3(,]24ππ，综上可得直线的倾斜角的取值范围是3[,]44ππ. [考点]直线的倾斜角与斜率的关系.
15.(原创，中档)设实数,x y 满足250,20,220,x
x y
x y x y y ++-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩
则的最小值是 .
[答案]
18
[解析]不等式组对应的可行域如图，令1,(3,1)y
u u x
=+
则在点处取得最小值，min 14
1,33
u =+=在点（1，2）处取得最大值，max 123,u =+=故u 的取值范
围是3
411[,3],[32
816
∈u
则() [考点]求线性约束条件下目标函数的最值.
16.(改编，难)已知G 为△ABC 的重心，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，满足,AG x AM y AN =+其中3
1.,4
x y AM AB +==若则△ABC 和△AMN 的面积之比为 . [答案]
209
[解析]连接AG 并延长交BC 于D ，此时D 为BC 的中点，故12
(),23AD AB AC AG AD =
+= 1(3
AB =),
AC +设
3
,,
4
AN AC AM AB λ==因为所以3
4
AG xAM y AN xAB y AC λ=+=
+. 所以31343
,1,1
53x x y y λλ⎧=⎪⎪+==⎨⎪=⎪⎩
又因为解得，则||||4520339||||S ABC AB AC S AMN AM AN ⋅==⨯=⋅.
[考点]平面向量的综合应用
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本题满分12分)
(原创，容易)在等差数列510{}0,10.n a a a ==中, （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列10
1
{}()
2
n a n n b b +=满足，求数列{}n nb 的前n 项和S n .
解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，则1(1),n a a n d =+-由5100,10,a a ==得方程组
111
40,8910,2a d a a d d +==-⎧⎧⎨
⎨+==⎩⎩，
解得，……………………4分 所以8(1)2210.n a n n =-+-⨯=-…………………………6分
（Ⅱ) 由(I)得，2101011()(),24
4n n n n n
n
b nb -+===
所以………………8分 1211,444n n n
S =++⋅⋅⋅+ ①
231111,4444
n n n
S +=++⋅⋅⋅+ ②
①－②，得121111(1)
31114
434444444
n n n n n n n S ++-=++⋅⋅⋅+-=-， 所以434
994
n n
n S +=-⋅……………………………………………………12分 [考点]等差数列基本量运算、数列求和.
18.(本题满分12分)
（原创，中档）如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ⊥平面PCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是梯形，AB ∥DC ，AB=AD=PD=1，CD=2AB ，Q 为棱PC 上一点.
(Ⅰ)若点Q 是PC 的中点，证明：B Q ∥平面PAD ；
(Ⅱ),PQ PC λ=试确定λ的值使得二面角Q -BD-P 为60°. 解析：
(Ⅰ)证明：取PD 的中点M ，连接AM ，M Q ， Q PC 点是的中点， ∴M Q ∥CD ，1
.2
MQ CD =
…………………………………………1分 又AB ∥CD ，1
,2
AB CD QM =
则∥AB ，QM ＝AB ， 则四边形ABQM 是平行四边形.BQ ∴∥AM.……………………3分 又AM ⊂平面PAD ，BQ ⊄平面PAD ，BQ ∴∥平面PAD.……4分
（Ⅱ）解：由题意可得DA ，DC ，DP 两两垂直，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，1，1)，C(0，2，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0).……………… 5分
令000000(,,),(,,1),(0,2,1).Q x y z PQ x y z PC =-=-则
000,(,,1)(0,2,1),PQ PC x y z λλ=∴-=-
(0,2,1).Q λλ∴-……………………………………… 7分
又易证BC ⊥平面PBD ，(1,1,0).PBD ∴=-是平面的一个法向量n 设平面QBD 的法向量为(,,),x y z =m
,0,0,22(1)0,.0,1x y DB x y y z z y DQ λλλλ=-⎧⎧⋅=+=⎧⎪⎪
⎨⎨⎨+-==⋅=⎩⎪⎪⎩-⎩
则有即解得m m
令21,(1,1,
).1
y λ
λ==--则m …………………………………………………9分 60Q BD P --二面角为，
2
||
1|cos ,|,||||
2
222(
)1
λλ⋅∴<>=
=
=⋅+-m n m n m n 解得3 6.λ=……………………………………………11分
Q 在棱PC 上，01,3 6.λλ<<∴=………………………………12分
[考点]线面平行证明及二面角计算 19.（本题满分12分）
（原创 ，中档）《民法总则》（以下简称《民法总则》）自10月1日起施行。

作为民法典的开篇之作，《民法总则》与每个人的一生息息相关.某地区为了调研本地区人们对该法律的了解情况，随机抽取50人，他们的年龄都在区间[25，85]上，年龄的频率分布及了解《民法总则》的人数如下表：
年龄 [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75) [75，85)
频数 5 5 10 15 5 10 了解《民法总则》 1
2
8
12
4
5
（Ⅰ）填写下面2×2 列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法
总则》政策有差异；
（Ⅱ）若对年龄在[45，55），[65，75）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解《民法总则》的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
解：（Ⅰ）2×2列联表：
………………………………………………………………………2分
22
50(311729) 6.27 6.635,10403218
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯…………………………… 4分
∴没有99%的把握认为以45岁为分界点对了解《民法总则》政策有差异.………………5分
（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，
22
842210584
(0),225C C P x C C ===
21112
8482422
105104
(1),225
C C C C C P x C C +===
11122824242
210535
(2),225
C C C C C P x C C +=== 21
24221052
(3),225
C C P x C C ===…………………………………………………………10分
则X 的分布列为
X 0
1
2
3
P
84225 104
225
35225 2225 所以X 的数学期望是0.2252252255
EX =+++=………………………………12分
[考点]统计案例，超几何分布的分布列与期望. 20.（本题满分12分）
（改编，难）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的一个焦点与抛物线2
3:12E x y =的焦点相同，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线b
y x a
=
相交于P ，Q 两点，且0,3.AP AQ OP OQ ⋅==
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；
（Ⅱ）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率12,,k k k 成等比数列，记以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为S 1、S 2，试探究12S S +的值是否为定值，若是，求出此值；若不是，说明理由.
解：(Ⅰ)如图，设T 为PQ 的中点，连接AT ，则AT ⊥PQ ，
1
0,,||||,2
AP AQ AP AQ AT PQ ⋅=⊥∴=即 3,||||,OP OQ OT PQ ==又所以
||11
,,||22
AT b OT a ∴
=∴=………………………………………………2分 由已知得3c =所以22
4,1,a b ==
∴椭圆C 的方程为2
214x y +=…………………………………… 4分
222||||||,AT OT OA +=
2222
||4||4,||5,||10,55AT AT AT AP γ∴+=∴=
∴== 228
(2).5
x y ∴-+=圆A 的方程为……………………………… 6分
(Ⅱ)设直线l 的方程为1122(0),(,),(,),y kx m m M x y N x y =+≠ 由22222,(4)84(1)01,4y kx m x k x kmx m x y =+⎧⎪+++-=⎨+=⎪⎩得， 212122284(1),.1414km m x x x x k k
--∴+==++ 由题设知，2
2
212121212121212()()(),y y kx m kx m km x x m k k k k x x x x x x ++++====+……………8分 22
2
21228()0,0,14k m km x x m m k -∴++=∴+=+ 210,,4
m k ≠∴=………………………………………………………………10分
则12S S +
222
2121
2(11)444x x x x π+-++-=22212121233()[()2]=162162x x x x x x ππππ++=+-+2222223648(1)[]16(14)142k m m k k ππ--+=++2235[44(1)]1624
m m πππ--+= 故12S S +为定值，该定值为54
π.…………………………………………………12分 [考点]椭圆的标准方程、抛物线的性质、直线与圆的位置关系，圆的几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系.
21.（本题满分12分）
（改编，难）已知函数2()ln ,()().2
a f x x x g x x x a a R ==+-∈ （Ⅰ）若直线(0)()(),x t t y f x y g x A B =>==与曲线和分别交于两点,且曲线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，求a 的取值范围；
（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-在其定义域内有两个不同的极值点12,,x x 且12.
0,x x λ<>已知若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.
解：（Ⅰ）依题意，函数()f x 的定义域为（0，+∞），'()ln 1,'() 1.f x x g x ax =+=+因为曲
线()y f x =在A 处的切线与()y g x =在B 处的切线相互平行，所以'()'()(0,)f t g t =+∞在有解，即方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解.………………………………………2分
方程ln 0(0,)t at -=+∞在有解转化为函数ln y x y ax ==与函数的图像在(0,)+∞上有交点，
如图，令过原点且与函数ln y x =的图像相切的直线的斜率为k ，只
须0.a k <≤
令切点为000000
ln 1(,ln ),'|,x x x A x x k y k x x ====则又，所以000
ln 1,x x x =解得 01,x e k e ==于是，所以10.a e
<≤……………………………………………………5分 （Ⅱ）2()()()ln (0),'()ln .2
a h x f x g x x x x x a x h x x ax =-=--->=-所以 因为12,()x x h x 为在其定义域内有两个不同的极值点，所以12,ln 0x x x ax -=是方程的两个根，即12112212
ln ln ln ,ln ,.x x x ax x ax a x x -===
-作差得....................................6分 因为120,0,,x x λ><<所以 112121ln ln 1e x x x x λλλλλ+<⋅⇔+<+⇔+<1212121()ax ax a x x a x x λλλλ++=+⇔>+ ⇔121121212212ln ln (1)()1ln x x x x x x x x x x x x λλλλ-+-+>⇔<-++⇔112122(1)(1)ln .x x x x x x λλ+-<+ (8)
分 令12x t x =，则(0,1)t ∈，由题意知，不等式(1)(1)ln (0,1)t t t t λλ
+-<∈+在上恒成立. 令2222(1)(1)1(1)(1)()()ln ,'().()()
t t t t t t t t t t t λλλϕϕλλλ+-+--=-=-=+++则
如果2
1,(0,1),'()0,t t λϕ≥∈>对一切所以()(0,1)t ϕ在上单调递增，又(1)0,ϕ=所以 ()0t ϕ<(0,1)在上恒成立，符合题意.…………………………………………………10分
如果221,(0,)t λλ<∈当时，
2'()0;(,1),t t ϕλ>∈当时2'()0,()(0,)t t ϕϕλ<所以在上单调递增，在2(,1)λ上单调递减，又(1)0,())t ϕϕ=所以在(0,1上不能恒小于0，不符合题意，舍去.
综上所述，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，只须2 1.0,1λλλ≥>≥又所以.……………12分
[考点]导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、最值，不等式恒成立问题.
选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）
22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
（原创，容易）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2(),333,2
x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数 以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2cos ,ρθ=射线 :(0)3OM π
θρ=≥与圆C 交于点O ，P ，与直线l 交于点Q.
（Ⅰ）求直线l 的极坐标方程；
（Ⅱ）求线段PQ 的长度.
解：（Ⅰ）将直线l 333,x y +=…………………………2分 再结合cos x ρθ=，sin y θρ=，得直线l 3cos sin 33,ρθρθ+= 2sin()3 3.3π
ρθ+=即 5分 （Ⅱ）联立2sin()33,3(3,).3(0),3Q πρθππθρ⎧+=⎪⎪⎨⎪=≥⎪⎩
解得……………………………………………7分 联立(0),(1,).332cos ,P πθρπρθ⎧=≥⎪⎨⎪=⎩
解得……………………………………………………… 9分
则线段PQ 的长度为3－1=2.……………………………………………10分
[考点]方程互化，两点间距离的求法.
23.（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】
（原创，容易）已知函数()|1|2||.f x x x =+-
（Ⅰ）求不等式()6;f x ≤-的解集
（Ⅱ）若()f x 的图像与直线y a =围成图形的面积不小于14，求实数a 的取值范围.
解：（Ⅰ）1,1,()|1|2||31,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩
(2)
分
则不等式1,10,0,()61631616,
x x x f x x x x <--≤≤>⎧⎧⎧≤-⎨⎨⎨-≤-+≤--≤-⎩⎩⎩等价于或或 解得57.x x ≤-≥或…………………………………………………………………………………4分
故不等式()6f x ≤-的解集为{|57}.x x x ≤-≥或………………………………………………5分
（Ⅱ）作出函数()f x 的图象，如图.
若()f x 的图象与直线y a =围成的图形是三角形，则当
2a =-时，△ABC 的面积取得最大值14362
⨯⨯=， ()f x ∴的图象与直线y a =围成图形的面积不小于14，该图
形一定是四边形，即 2.a <-…………………………………………………………7分
△ABC 的面积是6，ABED ∴梯形的面积不小于8.………………………………… 8分 4,(1,),(1,),2,AB D a a E a a DE a =+-=-
21(42)(2)1468,12.2
a a a ∴⨯-⨯--≥-=≥……………………………………9分 又2,3,a a <-≤-则
故实数a 的取值范围是(,23].-∞-………………………………………………10分
[考点]绝对值不等式解法，三角形面积的求法.。