2023届天津市滨海新区塘沽第一中学高三上学期线上统练摸底考试数学试题(word版)

塘沽一中2023届高三线上统练摸底考试
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}0,1,2,3,4,5U =，{}2,4,5A =，{}0,2,4B =，则U A
B =（ ） A ．{}2,4 B ．{}2,5
C ．{}5
D ．{}0,2,4,5
2．已知x ∈R ，“320x x ->”是“13x +>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数
B ．平均数
C ．方差
D ．极差 4．已知函数||1()ln ||x f x x x
-=，其图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．已知32a =，ln 2b =，0.32c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a b c >>
B ．c b a >>
C ．b c a >>
D ．c a b >>
6．已知抛物线()21:80C y ax a =>，直线l 倾斜角是45︒且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛物线1C 截得的线
段长是16，双曲线22
222:1x y C a b
-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，则直线l 与y 轴的交点P 到双曲线2C 的一条渐近线的距离是
A ．2 B
C
D ．1
7．以△ABC 为底的两个正三棱锥-P ABC 和Q ABC - 内接于同一个球，并且正三棱锥-P ABC 的侧面与底面ABC 所成的角为45，记正三棱锥-P ABC 和正三棱锥Q ABC - 的体积分别为1V 和2V ，则12V V =（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15
8．已知正实数x ，y ，z 满足236x y z ==，则不正确的是（ ）
A ．111x y z
+= B ．236x y z >> C ．236x y z >> D ．24xy z >
9．设函数()f x =sin （5x ωπ+
）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点
②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点
③()f x 在（0,10
π）单调递增 ④ω的取值范围是[
1229510，) 其中所有正确结论的编号是
A ．①④
B ．②③
C ．①②③
D ．①③④
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题，共105分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
10．已知复数()()()13i 1i 12i z +-=
-，则z =___________. 11．若2n x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的二项式系数和为32，则展开式中3x 的系数为_________. 12．设20a b >>，那么()
412a b a b +- 的最小值是___________. 13．已知A 袋内有大小相同的1个红球和3个白球，B 袋内有大小相同的2个红球和4个白球.现从A ､B 两个袋内各任取2个球，则恰好有1个红球的概率为___________；记取出的4个球中红球的个数为随机变量X ，则X 的数学期望为___________.
14．已知函数()2,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩
，()()2g x x x =-，则()()2f g =______，若方程()()()0f g x g x m +-=的所有实根之和为4，则实数m 的取值范围是______.
15．如图，在ABC 中，AB a =，AC b =，
D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，且2A
E EB =.若BP xa yb =+，则x y +=___________；若3AB =，4AC =，π3
BAC ∠=，则BP ED ⋅=___________.
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC
的面积为12,cos 4
b c A -==-． (1) 求a 和sin C 的值；
(2) 求cos(2)6
A π+的值． 17．如图，在四棱锥P -ABCD 中，
P A ⊥平而ABCD ，AC AD AB BC BCA ∠⊥⊥=，，602AP AD AC ===，，E 为CD 的中点，M 在AB 上，且2AM MB =
(1)求证：EM ∥平面P AD ；
(2)求平面P AD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；
(3)点F 是线段PD 上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF 与AC 所成角为45°，求AF 的长.
18．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E
的四个顶点为顶点的四边形面积为 （1）求椭圆E 的方程；
（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．
19．已知数列{}n a 中，11a =，1133n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数
. （1）求证：数列232n a ⎧-⎫⎨⎬是等比数列
.
（2）记n S 是数列{}n a 的前n 项和：
①求2n S ；
②求满足0n S >的所有正整数n .
20．已知函数1()(1)ln f x ax a x x
=--+，R a ∈. (1)若0a =，求()y f x =的单调区间.
(2)若1a ≥，且()1f x >在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求a 的范围； (3)若1e
>a ，判断函数()()1g x x f x a =++⎡⎤⎣⎦的零点的个数.
1．C 2．D 3．A 4．A 5．B 6．D 7．C 8．B 9．D 10．2 11．10
-12．16
13．
7
15
7
6
14． 1 1
m<
15．
1
3
-
4
3
16．（1）8
a=，sin C=2
17．(1)证明见解析
(2)
7
【分析】
(1)通过向量证明线线平行，再证明线面平行即可；
(2)分别求出相关平面的法向量后，再运用夹角公式计算即可；
(3)根据已知条件求出点F的坐标，再计算长度即可.
【详解】
（1）由题意，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则3(0,0,0),(0,2,0),(,0),(2A C B M (0,0,2),(1,1,0),(2,0,0)P E D . (1)3(1,0,0),(0,2,0),3
EM AC =--= 则0EM AC ⋅=，
所以AC EM ⊥，又AC AD ⊥，
所以//EM AD ，
又EM ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ,
所以EM ∥平面P AD.
（2）33(0,2,2),(,2)22
PC PB =-=--. 设平面PBC 的法向量为
(,,)n x y z =，
则有220030202y z PC n PB n x y z -=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=+-=⎩⎪⎩，可取3,1,1)3(n -=， 由题意，平面PAD 的一个法向量可取(0,1,0)m =，
设平面P
AD 与平面PBC 所成锐二面角为θ
， 则cos |cos ,|7m n θ=〈〉=
=， 所以平面P AD 与平面PBC . （3）设000(,,)F x y z ，PF PD λ=(01)λ<<，
即000(,,2)(2,0,2)x y z λ-=-，
可得(2,0,22)F λλ-，
所以(21,1,22)EF λλ=---,又(0,2,0)AC =，
由题意有
|cos ,|EF AC 〈〉=
=解得12λ=
或1λ=（舍） 所以(1,0,1)F ，
所以||AF 18．（1）22
154
x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃． 【分析】
（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.
（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求.
【详解】
（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，
因为四个顶点围成的四边形的面积为1222
a b ⨯⨯=，即a = 故椭圆的标准方程为：22
154
x y +=. （2）
设()()1122,,,B x y C x y ，
因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，
故直线112:2y AB y x x +=-，令=3y -，则112M x x y =-+，同理222
N x x y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩
可得()224530250k x kx +-+=， 故()
22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >. 又1212223025,4545k x x x x k k
+==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22
M N x x PM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222
503024545=5253011114545k k kx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++ 故515k ≤即3k ≤，
综上，31k -≤<-或13k <≤.
19．（1）证明见详解；
（2）①()2213123n
n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭；②满足0n S >的所有正整数有1和2. 【解析】
（1）设232n n b a =-，推导出113n n b b +=，由此能证明数列232n a ⎧-⎫⎨⎬⎩
⎭是等比数列； （2）①推导出12311263n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭
1123n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，由()2211213n n a a n -=+-，得()2123321n n a a n -=-- 111156232n n -⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭，1212111233n n n n a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
1692693n n n ⎛⎫-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭，从而()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++；
②：由①的求和式子由此能求出满足S n ＞0的所有正整数n 的值．
【详解】
（1）设232
n n b a =-， 因为()2122122133213223322n n n n n n a n a b b a a +++++--
==--
()()22136213232n n a n n a -++-=- 2211132332
n n a a -==-， 所以数列232n a ⎧-⎫⎨⎬⎩
⎭是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. （2）①由（1）得12311263n n n b a -⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭ 1123n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 即2113232
n n a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由()2211213n n a a n -=+-， 得()2123321n n a a n -=-- 111156232
n n -⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭， 所以1212111233n n n n a a --⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 1692693n n n ⎛⎫-+=-⋅-+ ⎪⎝⎭， ()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
21112333n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++⋅⋅⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()6129n n -++⋅⋅⋅++ 111332113
n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⋅- ()1692n n n +-⋅+ 211363n n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ()213123n n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
， ②显然当*n ∈N 时，{}2n S 单调递减，
又当1n =时，2703
S =>， 当2n =时，4809
S =-<，所以当2n ≥时，20n S <； 2122n n n S S a -=- 231536232n
n n ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭， 同理，当且仅当1n =时，210n S ->，
综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2.
【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的证明，考查满足数列的前n 项和的正整数的最大值的求法，解题的关键
是根据等比数列的通项公式得出()2211213n n a a n -=+-，()2123321n n a a n -=-- 111156232
n n -⎛⎫=-⋅-+ ⎪⎝⎭，考查等比数列、分组求和法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想． 20．(1)()f x 的单调减区间为()0,1，()f x 的单调增区间为()1,+∞.
(2)()2,+∞ (3)1e
>a 时，()g x 的零点个数为1
【分析】
对于（1），求导即可得单调区间；
对于（2），()1f x >在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立等价于()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值大于1； 对于（3），判断出()g x 单调性，后由零点存在性定理可得答案.
【详解】
（1）当0a =时，()1ln f x x x
=--，()0,x ∈+∞. 则()22111x f x x x x -'=-=，由0f x ，得01x <<；由()0f x '<，
得1x >.故()f x 的单调递增区间为()0,1，()f x 的单调递减区间为()1,+∞.
（2）()1f x >在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值大于1 ()()()2222111111a x x ax a x a a f x a x x x x
⎛⎫-- ⎪-+++⎝⎭'=+-==， ①当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，得()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，故 ()12min 1e e e f x f ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭
，又e 2.7>， 则112272027
e .e .-+<-+<，即1a =不合题意. ②当1a >时，11a
<，由0f x ，得10x a <<或1x >； 由()0f x '<，得
11x a <<. 故()f x 在()101,，,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.
i 当11e a
≥，即e a ≥时，()()111min f x f a ==->. ii 当11e a <，即e a <时，()()1min 1min ,e f x f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩
⎭， 由题有()1111e 11e e
f a a f a ⎧=->⎪⎨⎛⎫=-++> ⎪⎪⎝⎭⎩22e e 1a a >⎧⎪⇒⎨>⎪+⎩， 又()222213221723201111
e e e e .e e e e ------==<<++++，
则2e a <<.
综上a 的范围为()2,+∞
（3）由题()()()2111ln g x ax a x x a x =-+++-，()0,x ∈+∞.
则()()21ln g x ax a x '=-+，设()()21ln m x ax a x =-+， 则()()
()
1212a ax a m x a x x +-+'=-=，当()0m x '>，得12a x a
+>； 当()0m x '<，得102a x a +<<，故()()m x g x '=在102,a a ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭上单调递减， 在12,a a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.则()()111122ln a a g x g a a a ⎛⎫⎛⎫++''≥=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又1e >a ，则111122222e e a a a +=+<+<，故()11102ln a a a ⎛⎫++-> ⎪⎝
⎭. 则()g x 在()0,∞+上单调递增.注意到()521035211162ln 1e e e a g a a a a
+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 设()()326e ln h a a a =-+，则()32e h a a
'=-， 由()0h a '<，得320e a <<；由()0h a '>，得3
2e a >. 则()h a 在320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在32,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 则()322220ln e h a h ⎛⎫≥=-> ⎪⎝⎭
，得()0h a >恒成立 3326261ln e ln e a a a a
+⇒>+⇒
<，又11e e a a >⇒<， 则()5210352721111162ln 11e e e e e a a g a a a a a ++⎛⎫=++-<+- ⎪⎝⎭
72272111111110e e e e e e
a =++-<++-<，又()120g a =>， 故5211,e x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使()0g x =，即1e >a 时，()g x 有唯一零点·. 【点睛】
关键点点睛：本题涉及恒成立问题及求含参函数零点个数，难度较大.
（1）问较为基础，（2）问难点在于e a <时，不清楚()1f 与1e f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
大小， 采用()1111e 11e e
f a a f a ⎧=->⎪⎨⎛⎫=-++> ⎪⎪⎝⎭⎩
可避免讨论，（3）问难点在于零点所在区间的寻找.。