极限中的同向思维与逆向思维

数学的抽象具有合理性， 运用特定的思维方法就可 以把抽象具体化． 结合实践教学 ， 本文分析了极限中
所蕴 涵的两种 思维方 法 ， 即同 向思 维与逆 向思维 方法 ， 为学生 学好极 限这一 重要 内容提供 方法 论基础．
１ 极 限 中的 同 向思维
同向思维 的主要 特征就 是思维 在原先 的方 向上 的继 续 ， 或者 说 同向思 维 的主 要 目的就是 为 了对 已有 的 结果进 行推广 和发展 ， 按照 这一说 法 ， 限概念 的给 出是 同 向思维运 用 的体 现． 极
例 １求 ｌ ｉ ｍ
‘ ‘。 ’ ‘’ ’一 ’Ｙ√ ＋Ｙ
ｉ ｎ
，
解 。
丝
、
＝
，
ｉ ｍ
… 、
—
（ｙ （０ ／ ＋ｙ （ｙ （ｏ、 ＋ ｘ） ｔ） ／ ， ，ｙ、 一 ２ ） １ ／ ， ， 一
…
＝１ 当 －０时， １ ｙ ） （ ＋ （ ＋ ） ～
的概念．
数列 是一 个 以正整数 ｎ为 自变量 的特 殊 函数 ， 若把 正整数 ｎ 换成 实数 ， 限又该 如何 定义 ？ 极 运用 同 向思
维方法把问题由特殊过渡到一般 ， 接着分析数列函数与一般函数的区别 ： 在数列函数中正整数 ｎ 是一离散变 量， 变化趋势只能是 ｎ ＋。 ， 一 。 而一般函数中的实数 是稠密的， 就有如下的变化趋势
由 一尺 锤， 取其 万 不竭” 象出 列： 寺， …， … “ 之 日 半， 世 抽 数 寺， 寺，
由此 引人 数列极 限 的概 念 ， 用数轴 ， 利 描点 ， 概念 中“ 意” “ 使 任 、 给定 ” “ 限接 近 ” “ 在 ” “ 向 ”等 、无 、存 、趋 较抽象 的术语更 直 观 、 形象 、 具体 ， 而使 学 生 由浅入 深 ， 从 由具 体 到抽 象 再 到具 体 循序 渐 进 地 掌握 数 列极 限
念， 探索了各概念及某些定理所蕴 涵的思维方法．
关 键 词 ： 限 ； 向思 维 ； 向思 维 极 同 逆
中图 分 类号 ： ２ １４ ０ １． 文 献标 识码 ： Ａ
极 限是初 等数学 向高 等数学过 渡 的关 键 内容 ， 是 微积 分 的 基础 ， 以说 微 积分 就 是 运用 极 限 方法 研 也 可 究 函数 的一 门学 问． 限 问题 的解 决是学 好 高等 数学 的关键 ， 限概 念 因其 高 度 的抽 象 性 而难 以让 学生 充 极 极 分理解 和掌握 ， 不少学 者就 如何 学好 极限这 部分 内容 作 了大 量 的分 析研 究． 献 … 讨 论 了如 何 克服 极 限概 文 念 的抽 象性这 一教学 难点 ； 文献 则从 教材 、 法 、 和教学 四个 方面研 究 了函数极 限的教 学工作 ． 教 学法
．
解 ｌ ｉ ｍ
（ （ ｘ ＝，０＝＋ ４ 一． ０ ｙ ‰， ￣ ＋＝÷ ）， （叶）２ ／ 斗 一） ０ （ ｙｏ ）
极限的概念虽然叙述繁长 ， 符号很多且反映量的变化错综复杂 ， 通过几节课 的学习 ， 使学生明白极限就 是描述 自变量的变化过程 中， 函数值相应的变化趋势． 在同向思维的作用下 ， 问题 由繁到简 ， 由难到易， 逐一
Ｖ １９ Ｎ ． ｏ ， ｏ５ ． Ｏｃ ． １ ｔ ２ ０ ．０
极限中的同向思维 与逆 向思维
穆扬眉 ， 王寒梅
（ 商丘师范学院数学系 ， 河南 ， 商丘 ，７０ ０ ４６０ ）
摘 要 ： 限是高等数学的重要 内容 ， 极 也是一个难点 ， 掌握极 限是学好 高等数学 的关 键． 文分析 了极限 的概 本
在掌 握一元 函数极 限概 念的基 础上 ， 元 函数 的极 限也 易如 反撑． 元 函数 的 自变量 只有 一 个 ， 义域 二 一 定
是数轴上 的点 ， 如果 自变量换成 二个 、 三个 ， 一元 函数 过 渡 到多 元 函数 ， 明极 限 概念 不 同之 处 还是 在定 义 点 域的不 同 ， 对邻 域 的描 述不 同 ， 让学 生 自己类似分 析就可 掌握 多元 函数极 限的概念． 不但 如此 ， 虽高 等数学课本 中对 多元 函数极 限的求解 涉及 不多 ， 学 习过一 元 函数 极 限 的求 解之 后 ， 但 同 向思维 ， 类比多元 函数极限的求解也可灵活掌握． 比如利用等价无穷小量代换求极限和约去零 因式法求极 限是一元 函数求 极 限的两个重 要方 法 ， 此类 方法 同样也适 用于二 元 函数．
２１ ００年第 ５期 商丘职业技术学 院学报 第 ９ 总第 ５ 期 ） Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｈ Ｎ ＱＵＶ Ｃ ＴＯ Ａ Ｎ Ｅ Ｈ ＩＡ Ｏ Ｌ Ｇ 卷（ ０ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ａ Ｇ Ｉ Ｏ Ａ ＩＮ ＬＡ ＤＴ Ｃ ＮＣ ＬＣ ＬＥ Ｅ Ｓ
文 章 编 号 ：６ １— １７ ２ １ ）５— ０ ０— ２ １７ ８２ （０ ０ ０ ０ ２ ０
得到解 决．
２ 极 限 中 的逆 向思 维
逆 向思维 与 同向思维 相对 立 ， 向思维 是 指 与原 先 思 维 相 反方 向 的思 考 与研 究 』尽 管 两 者 的思 维 方 逆 ．
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收稿 日期 ： １ — ５ ２ ２ ０ ０ —４ ０
作者简介 ： 穆扬眉 （９ ２ ） ， １８ 一 女 河南商丘人 ， 商丘师范学 院助教 ， 主要从事小波分析研究。
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Hale Waihona Puke 穆扬 眉 ， 王寒梅 ： 极限 中的同向思维与逆向思维
第 ５期
例 ２求
ｌ ２－ ￣ｘ ｉ ｍ ／ ｙ＋４
叶 ，＿ ，－ ｉ ＋＋∞ ，－ ｏ ＋ ＋ ，＿ ＋＋∞ ， 一∞
对 的不 同变化 趋势 ， 出极 限相应 的定义． 给 这样 就拓 宽 了学 生分 析 问题 ， 决 问题 的思路 ， 解 培养 了他们
严密 的逻辑思 维能力 ， 很好 的完成 了一元 函数极 限的教 学．