高考数学压轴专题人教版备战高考《平面向量》基础测试题含答案解析

高中数学《平面向量》复习知识点
一、选择题
1．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu r =2，则△ABC 的面积为（ ）
A B ．32 C ．D ．【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出B 的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca 的值，然后求解三角形的面积．
【详解】
在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2﹣3b 2＝2ac ，
可得cosB 222123a c b ac +-==，则sinB 3= BA u u u r ⋅BC =u u u r 2，可得cacosB ＝2，则ac ＝6，
∴△ABC 的面积为：
11622acsinB =⨯=． 故选C ．
【点睛】
本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．
2．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 【答案】C
【解析】
【分析】 设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为
cos =4BD α-u u u r ，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==， 向量BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-， 设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ， 则cos =4BD α-u u u r
，
∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC BA AC BA AC BA AC
θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u ur r u ， 故夹角为120°，
故选：C .
【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
3．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r 方向上的投影为( )
A ．165-
B ．165
C ．1613-
D ．1613
【答案】C
【解析】
【分析】 先计算出16a b r r ⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b
⋅r r r 可得 【详解】 ()4,3a =r Q ，()5,12b =-r ，
4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r ， 则向量a r 在b r 方向上的投影为1613a b b
⋅-=r r r ， 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r 的夹角为θ，向量a r 在b r
方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b
⋅r r r
4．在ABC V 中，D 为边AC 上的点，若2133
BD BA BC =+u u u r u u u r u u u r ，AD DC λ=u u u v u u u v ，则λ=（ ）
A ．13
B ．12
C ．3
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】 根据2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ，将,AD DC u u u r u u u r 都用基底()
BA BC u u u r u u u r ，表示，再根据AD DC λ=u u u v u u u v 求解. 【详解】 因为2133
BD BA BC =+u u u v u u u v u u u v ， 所以1122,+3333AD BD BA BA BC DC BC BD BA BC =-=-+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 因为AD DC λ=u u u v u u u v ， 所以λ=
12
， 故选：B
【点睛】 本题主要考查平面向量的基本定理和共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
5．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）
A ．2
B ．32
C ．1
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 由1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r ，然后套用公式向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||
AF BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r ，即可得到本题答案. 【详解】
因为点E 为BC 的中点，所以1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又因为EF BC ⊥， 所以()
22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||AF BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r . 故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，
主要考查学生的转化求解能力.
6．已知向量(1,2)a =v ，(3,4)b =-v ，则a v 在b v 方向上的投影为
A
B
C ．1 D
【答案】C
【解析】
【分析】 根据a v 在b v
方向上的投影定义求解.
【详解】 a v 在b v 方向上的投影为(1,2)(3,4)381(3,4)5a b b
⋅⋅--+===-r r r ， 选C.
【点睛】
本题考查a v 在b v
方向上的投影定义，考查基本求解能力. 7．已知平面向量,,a b c r r r 满足()()
2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=r r r r r r r r ，则b c -r r 的最小值为（ ）
A
．2 B
．2C
．2-
D
．12
【答案】A
【解析】
【分析】 根据题意，易知a r 与b r 的夹角为60︒
，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ，由()()
21a c b c -⋅-=r r r r
，可得221202x y x +-+=
，所以原问题等价于，圆221202
x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.
【详解】 因为2a b a b ==⋅=r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为60︒
，设(=1a r ，()20b =，r ，(),c x y =r ， 因为()()
21a c b c -⋅-=r r r r
，所以221202
x y x +-+=， 又
b c -=r r
所以原问题等价于，圆221202
x y x +-+
=上一动点与点()20，之间距离的最小值，
又圆22
1202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆
221202x y x +-+
=上一动点距离的最小值为
=. 故选：A.
【点睛】
本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．
8．在ABC V 中，D 、P 分别为BC 、AD 的中点，且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）
A ．13-
B ．13
C ．12-
D ．12 【答案】C
【解析】
【分析】
由向量的加减法运算，求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，列式分别求出λ和μ，即可求得λμ+.
【详解】
解：已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点，
由向量的加减法运算，
得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
， 2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，
则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩
， 则12
λμ+=-. 故选：C.
【点睛】
本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.
9．在ABC V 中，AD AB ⊥，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，则AC AD ⋅u u u r u u u r 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】C
【解析】
【分析】
由题意转化(3)AC AD AB BD AD ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，利用数量积的分配律即得解. 【详解】
AD AB ⊥Q ，3,BC BD =u u u r u u u r ||1AD =u u u r ，
()(3)AC AD AB BC AD AB BD AD ∴⋅=+⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
2333AB AD BD AD AD =⋅+⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
故选：C
【点睛】
本题考查了平面向量基本定理和向量数量积综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.
10．已知椭圆C ：2
212x y +=的右焦点为F ，直线l ：2x =，点∈A l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若3FA FB =u u u v u u u v ，则AF u u u v ＝( )
A 2
B ．2
C 3
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 设点()2,A n ，()00,B x y ，易知F (1,0)，根据3FA FB =u u u v u u u v ，得043x =，013
y n =，根据点B 在椭圆上，求得n=1，进而可求得2AF =u u u v
【详解】
根据题意作图：
设点()2,A n ，()00,B x y ．
由椭圆C ：2
212
x y += ，知22a =，21b =，21c =， 即1c =，所以右焦点F (1,0)．
由3FA FB =u u u v u u u v ，得()()001,31,n x y =-．
所以()0131x =-，且03n y =. 所以043x =，013
y n =. 将x 0，y 0代入2
212
x y +=， 得22
1411233n ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.解得21n =， 所以()2212112AF n u u u v =-+=+=
故选A
【点睛】
本题考查了椭圆的简单性质，考查了向量的模的求法，考查了向量在解析几何中的应用；正确表达出各点的坐标是解答本题的关键.
11．如图，两个全等的直角边长分别为3AD AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+等于（ ）
A．
323
3
-+
B．
32
3
3
+
C．31
-D．31
+
【答案】B
【解析】
【分析】
建立坐标系，求出D点坐标，从而得出λ，μ的值．
【详解】
解：1
AC=
Q，3
AB=，30
ABC
∴∠=︒，60
ACB
∠=︒，以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则
13
,1
2
D
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
．
()3,0
AB=
u u u r
，()
0,1
AC=
uu u r
，
∴
13
,1
2
AD
⎛⎫
=+
⎪
⎪
⎝⎭
u u u r
．
Q AD AB AC
λμ
=+
u u u r u u u r u u u r
，
∴
1
3
2
3
1
2
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，∴
3
3
1
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
23
1
λμ
∴+=+．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．
12．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
【解析】
【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.
【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则
22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤， 所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r 的最大值为6
故选：C
【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
13．已知ABC V 为直角三角形，,6,82C BC AC π
===，点P 为ABC V 所在平面内一
点，则()PC PA PB ⋅+u u u r u u u r u u u r 的最小值为（ ）
A ．252-
B ．8-
C ．172-
D ．1758
- 【答案】A
【解析】
【分析】 根据,2C π
=以C 点建系, 设(,)P x y ,则22325()=2(2)222PC PA PB x y ⎛⎫⋅+-+-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ,即当
3=2=2
x y ，时,取得最小值. 【详解】
如图建系，(0,0), (8,0), (0,6)C A B ,
设(,)P x y ，(8,)PA x y =--u u u r ，(,6)PB x y =--u u u r ，
则22()(,)(82,62)2826PC PA PB x y x y x x y y ⋅+=--⋅--=-+-u u u r u u u r u u u r
2
2325252(2)2222x y ⎛⎫=-+--≥- ⎪⎝⎭. 故选:A.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标表示及其应用,根据所求关系式运用几何意义是解题的关键,属于中档题.
14．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r ，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )
A ．[0,2]
B ．[0,2]
C ．[0,4]
D ．[0,8] 【答案】D
【解析】
【分析】
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解．
【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，
以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r 分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则
(2,0),(0,2)A B ，
依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动， 设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r ，
由圆心到直线22x y t +=的距离2222222t d +-=
≤+，可得[0,8]t ∈. 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．
15．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等边三角形 【答案】A
【解析】
【分析】
利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.
【详解】 由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()
0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=
，故ABC ∆为直角三角形.
故选：A.
【点睛】 本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.
16．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求
出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()()2220031x x +=-解得01x =-
()
1,3E ∴-
()4,3C Q ，()5,0D CD ∴所在直线的方程为353y x =-+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设()
,353M x x -+ (),353AM x x ∴=-+u u u u r
()1,343E x M x -=--u u u r
()()()
3433531AM ME x x x x --∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-
242660x x =-+-
23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134
x =时()max 714
AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
17．已知,A B 是圆22:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ）
A
．8+B
．8-C ．12 D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 由题意1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则22521151133226
32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
18．已知向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r 的起点均为原点，而终点依次对应点A ，B ，线段AB 边上的点P ，若OP AB ⊥u u u r u u u r ，OP xa yb =+u u u r r r ，则x ，y 的值分别为（ ）
A ．
15，45
B ．43，13-
C ．45，15
D ．13-，43 【答案】C
【解析】
【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ，5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ，根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线，列出方程组，即可求解.
【详解】 由题意，向量5(,0)2a =r ，(0,5)b =r ，所以5(,5)2
OP xa yb x y =+=u u u r r r ， 又由5(,5)2
AB b a =-=-u u u r r r ， 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ，所以252504OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ，可得4x y =，
又由,,A B P 三点共线，所以1x y +=，
联立方程组41
x y x y =⎧⎨
+=⎩，解得41,55x y ==. 故选：C .
【点睛】
本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用，着重考查了运算与求解能力. 19．已知向量()1,3a =-v ，()3,b m =v ，若a b ⊥v v ，则
2a b +v v 等于（ ）
A ．10
B ．16
C ．
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 先利用向量垂直的坐标表示求出实数m 的值，得出向量b r 的坐标，并计算出向量2a b +r r ，最后利用向量模的坐标运算得出结果．
【详解】 ()1,3a =-r Q ，()3,b m =r ，a b ⊥r r ，则1330a b m ⋅=⨯-=r r ，得1m =，()3,1b ∴=r ，
则()()()221,33,15,5a b +=-+=-r r ，因此，2a b +==r r C.
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示以及向量模的坐标运算，意在考查学生对这些公式的理解掌握情况，考查运算求解能力，属于中等题．
20．在四边形ABCD 中,若12
DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( ) A ．平行四边形 B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．菱形 【答案】C
【解析】
由12DC AB =u u u r u u u r 知DC ∥AB ,且|DC|=12
|AB|,因此四边形ABCD 是梯形.又因为|AD u u u r |=|BC uuu r |,所以四边形ABCD 是等腰梯形.
选C。