(完整版)新人教版初二数学下册第十七章勾股定理知识点总结
八(下)第17章勾股定理知识总结
例 2. 如图，一根树在离地面 9 米处断裂，树的顶部落在离底部 12 米处.树折断之前有多少米？
例 9.如果ΔABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a +b +c +50=6a+8b+10c，判断ΔABC 的形状。
2
2
2
例 3.如图，每个小方格都是边长为 1 的正方形，求图中格点四边形 ABCD 的面积和周长。
C D
要完成这件事情所走的最短路程是多少？
小河 北 东 B 小屋
B
E
A
牧童A
例 15.如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。 知识点 10：勾股定理在实际中的应用 例 20. 如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在北偏西 30 ，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测得 灯塔 M 在北偏西 45 ，问该货轮到达灯塔正东方向 D 处时，货轮与灯塔 M 的距离是多少？
知识点 6：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个 叫做它的逆命题。 知识点 2：等面积法求直角三角形斜边上的高 直角三角形斜边上的高：
h ab c 【注：a,b 为两条直角边，c 为斜边】
0
知识点 7：利用勾股定理建立方程 例 12. 小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多 1 米，然后将绳子下端拉直，使 它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部 5 米，你能帮它计算一下旗杆的高度．
2 2 2
13 的点。
新人教版八年级数学下册第十七章勾股定理小结与复习1
针对训练
4.下列各组数中，是勾股数的为（ C ） A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，9
5.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有__(2_)_(_4_) __．
例5 B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60° 方向以每小时8 n mile的速度前进，乙船沿南偏东 某个角度以每小时15 n mile的速度前进，2 h后，甲 船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 n mile，你知 道乙船是沿哪个方向航行的吗？ 解：甲船航行的距离为BM= 16（n mile）, 乙船航行的距离为BP= 30（n mile）． ∵162+302=1156，342=1156, ∴BM2+BP2=MP2, ∴△MBP为直角三角形，∴∠MBP=90° , ∴乙船是沿着南偏东30°方向航行的．
c a2 b2 , a c2 b2 ,b c2 a2
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
A
c
如果三角形的三边长a，b，c满足 b
a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形. C a B
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
解：如图，过半圆直径的中点O，作直径的垂线交下底边 于点D，取点C，使CD＝1.4米，过C作OD的平行线交半圆直 径于B点，交半圆于A点. 在Rt△ABO中，由题意知OA＝2米，DC＝OB＝1.4米， 所以AB2＝22－1.42＝2.04. 因为4－2.6＝1.4，1.42＝1.96， 2.04＞1.96， 所以卡车可以通过． 答：卡车可以通过，但要小心．
人教初中数学第十七章勾股定理知识点
人教版初中数学第十七章勾股定理知识点————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝勾股定理的证明： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等bacbac cabcabcbaHG F EDCBAa bccbaED CBA例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．错解由勾股定理，得c=22a b +=2243+=5诊断 这里默认了∠C 为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b ＞a 时，∠B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B 为直角时，c=22b a -=2243-=7例、已知Rt △ABC 中，∠B=RT ∠，a=2，c=22，求b. 错解 由勾股定理，得B=22c a -=22(22)(2)-=6诊断 这里错在盲目地套用勾股定理“a 2＋b 2=c 2”．殊不知，只有当∠C=Rt ∠时，a 2＋b 2=c 2才能成立，而当∠B=Rt ∠时，则勾股定理的表达式应为a 2＋c 2=b 2．正确解答 ∵∠B=Rt ∠， 由勾股定理知a 2＋c 2=b 2．∴b=22c a +=22(22)(2)+=10例、若直角三角形的两条边长为6cm 、8cm ，则第三边长为________． 错解 设第三边长为xcm ．由勾股定理，得x 2=62＋82．x=2268+=3664+=10即第三边长为10cm ．诊断 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法 设第三边长为xcm ． 若第三边长为斜边，由勾股定理，得x=2268+=3664+=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得x=2286-=28=27(cm)因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=233AD.又RT △ABC 的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=332+，AB=412(6+23)=6233+，BC=512(6+23)=15536+又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=336232315536++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=233AD∴MD=222(3)3AD AD =33AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ．∴∠B=30°，AC=12BC ，AB=32BC∴AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD ， ∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC 中，a ∶b ∶c=9∶15∶12， 试判定△ABC 是不是直角三角形．错解 依题意，设a=9k ，b=15k ，c=12k(k ＞0)． ∵a 2＋b 2=(9k)2＋(15k)2=306k 2，c2=(12k)2=144k 2， ∴a 2＋b 2≠c 2．∴△ABC 不是直角三角形．诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法 由题意知b 是最长边．设a=9k ，b=15k ，c=12k(k ＞0)． ∵a 2＋c 2=(9k)2＋(12k)2=81k 2＋144k 2=225k 2． b2=(15k)2=225k 2，∴a 2＋c 2=b 2． ∴△ABC 是直角三角形．例、已知在△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是中线，AE 是高．求证：AB 2－AC 2=2BC·DE 错证 如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.，正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。
第17章 勾股定理
第十七章 勾股定理知识点回顾：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 知识点一： 勾股定理 1.勾股定理的定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．(注意：前提条件是直角三角形！！！) 例题：1.在Rt △ABC 中， 90=∠C ，中AC=3，BC=4，则AB=（ ）A.5B.7C.12D.25 2.（常考题）在直角三角形ABC 中，斜边AB =1，222AC BC AB ++的值是（ ） A .2 B .4 C .6 D .8 3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）A.13B.8C.25D.64 4.（易错题）若△ABC 中，AB =13，AC =15，高AD =12，则BC 的长是（ ）A.14B.4C.10或18D.14或4 5.（常考题）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）8.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ） A .4cm B .34cm C . 6cm D . 36cm 9.在直角坐标系中，点P （2，3）到原点的距离是2.勾股定理的图形结合题（难点）例题：1.如图，在△ABC中，三边长a、b、c的大小关系是（）3.（常考题，难）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5cm，则所有正方形A、B、C、D、E、F、G的面积之和为2cm.4.（必考题，难）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。
若大正方形边长是13cm，小正方形边长为7cm，则每个直角三角形较短的一条直角边的长是______cm.（）A.169B.25C.19D.135.（常考题，难）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为第1题第2题第3题第4题第5题6.（常考题）如图，数轴上点A表示的数是.7.8.（必考题）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格点的顶点叫格点，以格点作为顶点分别按下列要求画三角形.(1)使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图①中画出一个即可） (2)使三角形的三边长分别为3，22，5；（在图②中画出一个即可）知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a 、b 、c 满足22b a +=2c ，那么这个三角形是直角三角形。
八年级下册勾股定理知识点归纳
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a a b b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。
②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25，8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：cba HG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baED CBAABC 30°D C BA ADBC 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）； 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：二、经典例题精讲题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222ab c +=题型二：利用勾股定理测量长度例题1 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？例题2 如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.CB DA题型六：关于翻折问题如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.三、勾股定理练习题 （一）、选择题1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）A ：4，5，6B ：1，1：6，8，11 D ：5，12，232、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为( ) A ：26 B ：18 C ：20 D ：213、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为( )A ：3 B ：4 C ：5 D ：74、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝45°,c ＝10，则a 的长为( ) A ：5 B ：10 C： D ：55、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（ ）A 、24cm 2B 、36cm 2C 、48cm 2D 、60cm 26、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）A 、6 B 、7 C 、8 D 、97、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ， 将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ） A 、3cm 2B 、4cm 2C 、6cm 2D 、12cm 28、若△ABC 中，13,15AB cm AC cm ==，高AD=12,则BC 的长为 A 、14 B 、4 C 、14或4 D 、 以上都不对9、 如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是 （ （A ）直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对5010、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A 处。
八年级下册勾股定理知识点归纳
一、基础知识点： １．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形通过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形。
八年级数学下册 第十七章 勾股定理 勾股定理的整理、拓展、归纳辅导 (新版)新人教版
学习资料第十七章、勾股定理一、知识精读（一)、 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五"形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方（二)。
勾股定理的应用。
勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形"的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范。
勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．（三）。
勾股定理的证法。
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．c ba HG FEDC B A b ac b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证（四).勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =,a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题（五)。
第十七章：勾股定理知识点归纳
１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么,变形公式c=22b a +，b=22b c -,a=22a c -２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边。
在 中，则c=22b a +， b=22b c -, a=22a c -， ②已知直角三角形一边，另外两边之间的数量关系利用勾股定理：222c b a =+,列方程求解。
③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a ，b ，c 满足222c b a=+ ，那么这个三角形是直角三角形，最长边所对的角等于90 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；附录资料：不需要的可以自行删除记叙文基础知识（一）记叙文的特点1、概念：以记叙、描写为主要表达方式，以写人记事，写景状物为主要内容的文章。
2、分类：A、按样式分：通讯、回忆录、游记、新闻、参观访问记、民间故事。
B、记叙内容分：写人、叙事、写景、状物。
（二）记叙的要素和人称记叙的要素：时间、地点、人物、事件的起因、经过和结果。
初二下学期数学勾股定理知识点总结
初二下学期数学勾股定理知识点总结
数学勾股定理是初中数学中的一个重要知识点，它是描述直角三角形的边之间的关系的定理。
下面是初二下学期数学勾股定理的知识点总结：
1. 勾股定理的表达方式：
a² + b² = c²
其中，a、b为直角三角形的两个直角边，c为直角三角形的斜边（斜边就是斜边对应的直角三角形的边）。
2. 勾股定理适用的条件：
只适用于直角三角形，即该三角形有一个内角为90度的三个内角的其中一个内角。
3. 勾股定理的推论及性质：
- 斜边是直角边中最长的一边。
- 如果三角形的三个边长满足勾股定理，那么这个三角形一定是直角三角形。
- 两个边的平方和等于第三边的平方，只能成立在直角三角形中。
4. 勾股定理的应用：
- 用勾股定理求直角三角形的边长：当给定两个直角边的边长，可以利用勾股定理求解斜边的边长。
- 判定三角形是否为直角三角形：当给定三角形的三个边长，可以利用勾股定理判断该三角形是否为直角三角形。
以上是初二下学期数学勾股定理的知识点总结，掌握了这些知识点，可以帮助你更好地理解和应用勾股定理。
人教版数学八年级下 第十七章勾股定理知识点总结
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等 例、在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c ．错解由勾股定理，得bacbac cabcab cbaHG F EDCBAa bccbaE D CBA诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，，c= b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得=(cm)因此，第三边的长度是10cm或者例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=233AD.又RT △ABC的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=332+，AB=412(6+23)=6233+，BC=512(6+23)=15536+又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=336232315536++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=233AD ∴MD=222(3)3AD AD -=33AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称． ∴AC=AM ，∴∠AMD=60°=∠C ．∴∠B=30°，AC=12BC ，AB=32BC∴AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n+(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。
最新人教版八年级下学期数学《勾股定理》知识点归纳
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确
定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和
2
2
2
a b 与较长边的平方 c 作比较，若它们
相等时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若
2
a
2
b
2
c ，时，以
a ， b ， c 为三边的三角形是
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
D C
H
E
G
F
b
a
A
c
B
b a
c
a
c
b
b
c
a
c a
b
A aD
cb
c
E
a
B
bC
方法一： 4S
S正方形 EFGH
S正方形 ABCD，4 1 ab (b a) 2 c2 ，
2
化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正 方形的面积．
b) ， S梯形
2S ADE
S ABE
1 2 ab
1 c2 ，化简得证
22
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝
角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形
４. 勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
１．勾股定理 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 ２. 勾股定理的证明
a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 b2 c2
八年级数学下册第17章《勾股定理》知识点与常见题型总结
八年级下册 .勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证． c ba HG FEDCB A方法二：b ac b a cca b c a b四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 a b ccb a E DCB A３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：A B C 30°D CB A AD B CCB D A题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+= ⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解： ⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BC CD AB⋅==D B AC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm 例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21E DCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，Q 12∠=∠，90C ∠=︒∴ 1.5DE CD ==在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=QRt ACD Rt AED ∆≅∆QAC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ． 4D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答： 解：设BN =x ，由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
八年级下数学第17章《勾股定理小结与复习》
AC2 AD2 BC2 BD2 ,
202 25 x2 152 x2,即50x=450，解得x=9.∴BD=9.
转化思想 例2 有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如 图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1 上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm．求蜘蛛爬行的最 短路径长(π取3). 解：如图,沿AA1剪开,过Q作QM⊥BB1于M,连接QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1=12×2×π×2=6(cm)， 在Rt△QMP中，由勾股定理得
AC= AB2 BC2 = 202 152 =25, ∵AD2+DC2=625=252=AC2， ∴△ADC是直角三角形，且∠D=90°， ∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°， ∴∠DAB+∠BCD=180°， 即∠A+∠C=180°．
考点三 勾股定理与折叠问题
2.勾股数 满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题 如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点一 勾股定理及其应用
例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=20，
BC=15. （1）求AB的长；（2）求BD的长．
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
AB AC2 BC2 202 152 25;
（2）方法一：∵S△ABC=
1AC•BC=
2
1 2
AB•CD，
∴20×15=25CD，∴CD=12．
∴在Rt△BCD中，BD BC2 CD2 152 122 9.
新人教版初二数学下册勾股定理知识点总结
新人教版初二数学下册勾股定理知识点总结首先，命题是一个语句，而不是一个问题或命令；其次，它必须是可以判断真假的，即它的真假性是确定的。
b、定理的概念经过证明被确认正确的命题叫做定理。
勾股定理就是一个著名的定理，它在数学中有着广泛的应用。
c、证明的概念证明是为了证实一个命题的真实性而进行的过程。
在数学中，证明是非常重要的，因为它是确保定理正确性的唯一途径。
勾股定理是指，如果直角三角形的两直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么a的平方加上b的平方等于c的平方。
这个定理的逆定理是，如果三角形的三边长a、b、c满足a的平方加上b的平方等于c的平方，那么这个三角形是直角三角形。
因此，勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
勾股定理还有一个应用，就是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数。
例如，常见的勾股数有3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。
勾股数可以用含字母的代数式表示，例如n的平方减1、2n、n的平方加1（n大于等于2，n为正整数）；2n加1、2n的平方加2n、2n的平方加2n加1（n为正整数）；m的平方减n的平方、2mn、m的平方加n的平方（m大于n，m和n为正整数）。
直角三角形有一些重要的性质，例如，直角三角形的两个锐角互余，即∠C=90°时，∠A加上∠B等于90°；在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
摄影定理是指，在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项。
常用关系式包括，由三角形面积公式可得AB乘CD等于AC乘BC。
判定一个三角形是否是直角三角形，有三种方法：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理是，如果三角形的三边长a、b、c有关系a的平方加上b 的平方等于c的平方，那么这个三角形是直角三角形。
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勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
，那么这个三角形是直角三角形。
a . 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法
b .若222a b
c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；
c .定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222
a c
b +=，那么以a ，b ，
c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时， 称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等
③用含字母的代数式表示n 组勾股数：
221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）
2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
4.直角三角形的性质
（1）、直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°
（2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90° BD AD CD •=2
⇒ AB AD AC •=2
CD ⊥AB AB BD BC •=2
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB •CD=AC •BC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直
角三角形。
8、命题、定理、证明
a 、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子；
（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
b 、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题）
命题
假命题（错误的命题）
9、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。
（2）要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。