勾股定理复习资料

《勾股定理》期末复习资料

一．知识点：

1. 勾股定理及逆定理

①勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 __ 。

直角三角形2+b 2=c 2

(数) （形）公式的变形：（1）c 2

= , c= ;

（2）a 2

= , a= ; （3）b 2

= , b= ;

②勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a ，b ，c 满足 ___ ，那么这个三角形是 __ ．

a 2+

b 2=

c 2

(数直角三角形

注：

（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据； （2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据．

利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤： ①先判断哪条边最大；

②分别用代数法计算 a 2+b 2 和c 2 的值；

③判断a 2+b 2和 c 2 是否相等。 若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 2、勾股数

满足a 2 + b 2= c 2

的三个正整数，称为勾股数。 注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。 常见勾股数如下：

3、互逆命题和互逆定理 互逆命题:两个命题中，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 ．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 ．

互逆定理:一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个 ，称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理.

4、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）

C

5、常见平方数：

121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=

289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=

二．考点剖析

考点1：在直角三角形中，已知两边求第三边 1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做 cm .

2、已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高，AD ＝8，则边BC 的长为（

A ．21

B ．15

C ．9

D ．以上答案都不对 3、已知直角三角形的两边长为6、8，则另一条边长是 。 4、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．

考点2：勾股定理与面积

1、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为

5米，则这个三角形的面积为： 。

3、直线l b 的面积为

4、在直线S 1、S 2等于 。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。

7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。

8、有一块土地形状如图所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形）

9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD

图4

E

G C D B

A

10、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD 的面积。

11.如图1-3-5所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ，AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求这块地的面积．

12如图，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求：重合部分△EBD 的面积

13、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .

(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)

(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；

(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.

考点3：勾股定理与折叠

1、如图4，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

A D

C B 图1-3-5

D E

2、如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，试求CD 的长。

3、如图，四边形ABCD 是长方形，把 △ACD 沿AC 折叠到△ACD ／

,△ACD ／

与BC 交于E,若AD=4，CD=3，求BE 的长.

4、如图6，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6,沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在Q 点处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=︒30

(1) 求BE 、QF 的长

(2) 求四边形QEFH 的面积。

考点4：利用股沟定理列方程求线段的长度

1、如图，铁路上A 、B 两站相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于A 点，CB ⊥AB 于点B ，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C 、D 两村庄到收购站的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多远的距离？

2.一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B

滑1米到D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E