椭圆的标准方程与性质
椭圆的一般方程和标准公式
椭圆的一般方程和标准公式
椭圆是一个常见的二维几何图形，其一般方程和标准公式如下：
1.椭圆的一般方程：
椭圆的一般方程表示为：
A(x - h)^2 + B(y - k)^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，A和B是正实数，且A > B。
2.椭圆的标准公式：
椭圆的标准公式表示为：
(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
具体详细解释如下：
●中心坐标(h, k)：椭圆的中心点在坐标平面上的位置，坐标为(h, k)。
●半长轴长度a：椭圆在x轴上的半长轴长度，表示椭圆沿着x轴正方向延伸
的距离。
●半短轴长度b：椭圆在y轴上的半短轴长度，表示椭圆沿着y轴正方向延伸
的距离。
椭圆的标准公式以中心点(h, k) 为中心，沿x轴和y轴方向分别以a和b为轴长度绘制。
当a和b相等时，椭圆退化为一个圆。
若a大于b，则椭圆在x轴方向上更为扁平，称为长轴椭圆；若b大于a，则椭圆在y轴方向上更为扁平，称为短轴椭圆。
注意事项：
●椭圆的方程中，A和B的值与a和b的关系为A = 1/a^2，B = 1/b^2。
●当椭圆的中心不在原点时，方程中的坐标需要进行平移，即(x - h) 和(y - k)。
●椭圆的方程也可以表示为离心率和焦点的形式，但这超出了一般方程和标准
公式的范围。
通过了解椭圆的一般方程和标准公式，您可以利用这些公式来描述和绘制椭圆的几何形状，并对椭圆的中心、半长轴和半短轴进行准确的计算和描绘。
椭圆方程的标准方程
椭圆方程的标准方程
椭圆的标准方程是一种表示椭圆的方程形式。
对于平面上的椭圆，其标准方程可以表示为：
(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1
其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a 和b 分别是椭圆在x 和y 方向上的半长轴长度。
如果椭圆的长轴与x 轴对齐，则标准方程变为：
(x - h)²/a²+ (y - k)²/b²= 1
这种情况下，a 表示椭圆的长轴长度，b 表示椭圆的短轴长度。
如果椭圆的长轴与y 轴对齐，则标准方程变为：
(x - h)²/b²+ (y - k)²/a²= 1
这种情况下，a 表示椭圆的短轴长度，b 表示椭圆的长轴长度。
通过标准方程，我们可以确定椭圆的中心，长轴和短轴的长度，以及椭圆在平面上的形状。
椭圆定义及其标准方程
焦点性质
总结词
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，且与椭圆中心距离等于长轴长度减去短轴长度。
详细描述
对于标准椭圆方程，其长轴和短轴长度分别为a和b，焦距为c，满足关系c = sqrt(a^2 - b^2)。椭圆的两个焦点 位于长轴的端点，与椭圆中心的距离等于c。
顶点性质
总结词
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点，分别有四个顶点，分布在椭圆的四个象限内。
性质
椭圆具有对称性，关于x 轴、y轴和原点都是对称 的。
应用
在平面几何中，椭圆常用 于解决与圆、直线、三角 形等图形相关的问题。
在解析几何中的应用
定义
在解析几何中，椭圆用直角坐标方程表示为 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
性质
解析几何中的椭圆具有明确的参数关系，可以通过参数方程进行描 述。
详细描述
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点。由于椭圆关于原点对称，因此有四个顶点，分 布在椭圆的四个象限内。这些顶点分别是长轴和短轴与椭圆的交点，对于标准椭圆方程，
长轴和短轴的长度分别为a和b。
04
椭圆的几何意义
在平面几何中的应用
01
02
03
定义
椭圆是平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的 轨迹。
椭圆的切线性质
切线与焦点
通过椭圆上任意一点的切 线与两个焦点形成的角是 直角。
切线长度
切线长度等于椭圆上该点 到最近焦点的距离。
切线性质定理
切线与通过切点的长轴或 短轴垂直。
椭圆的参数方程
参数方程定义
椭圆的参数方程是一种 表示椭圆上点的坐标的 方式，通常使用三角函 数来表示。
椭圆标准方程及几何性质
解：设动圆 M 的半径为 r，圆心 M(x，y)，两定圆 －3），半径 r1＝8，r2＝2. 圆心 C1(0,3)，C2(0， 则|MC1|＝8－r，|MC2|＝r＋2. ∴|MC1|＋|MC2|＝(8－r)＋(r＋2)＝10. 又|C1C2|＝6，∴动圆圆心 M 的轨迹是椭圆，且焦 点为 C1(0,3)，C2(0， －3)，且 2a＝10， ∴ a＝5，c＝3， 2 2 2 ∴b ＝a －c ＝25－9＝16. y2 x2 ∴动圆圆心 M 的轨迹方程是25＋16＝1.
2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到
2 2 x y 两焦点距离的和等于10； + =1 25 9 变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
y2 x2 + =1 25 9 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两
知识总结
探究定义 P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
y M
y F2
M x
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
标准方程 焦点坐标 相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
F1 -c , 0，F2 c , 0
y
M F 1
o
y
F2
F2 x
F1（-c，0）、F2（c，0）
焦点在y轴：
y 2 x2 + 2 = 1(a b 0) 2 a b
M
o
F1
x
F1（0，-c ）、F2（0，c）
标准椭圆方程
标准椭圆方程椭圆是一种常见的几何图形，它在数学和工程领域都有着重要的应用。
在本文中，我们将讨论椭圆的标准方程及其性质，希望能够帮助读者更好地理解和运用椭圆。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点称为焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个重要的参数e，称为离心率，它表示焦点到椭圆中心的距离与长轴长度的比值。
根据离心率的不同取值，椭圆可以分为圆（e=0）、椭圆（0<e<1）和双曲线（e>1）三种情况。
接下来，我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的性质：1. 椭圆的中心在坐标系的原点，即(h,k)=(0,0)。
2. 椭圆的长轴与短轴分别与x轴和y轴平行。
3. 椭圆关于x轴和y轴对称。
4. 离心率e的取值范围为0<e<1。
5. 椭圆的焦点到中心的距离为c=ae。
在实际问题中，我们经常需要根据给定的条件来确定椭圆的标准方程。
例如，已知椭圆的焦点坐标和长轴长度，我们可以通过简单的推导得出椭圆的标准方程。
又如，已知椭圆上的两个点和离心率，我们也可以利用这些信息来确定椭圆的标准方程。
除了标准方程外，椭圆还有其他一些常见的参数方程和极坐标方程，它们在不同的问题中有着重要的应用。
我们可以根据具体的问题要求选择合适的方程形式来描述椭圆。
最后，让我们来总结一下本文的内容。
我们首先介绍了椭圆的定义和性质，然后讨论了椭圆的标准方程及其推导方法，最后提到了椭圆的其他方程形式。
希望本文能够帮助读者更好地理解和运用椭圆的相关知识。
总之，椭圆作为一种重要的几何图形，在数学和工程领域有着广泛的应用。
通过学习椭圆的标准方程及其性质，我们可以更好地理解和运用椭圆，为实际问题的解决提供帮助。
椭圆的标准方程及性质
一.椭圆曲线的介绍1.域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。
其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。
不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。
这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。
定义保证如下性质：随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：P，Q不重合时：P，Q重合时：总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。
椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。
此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。
为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。
上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。
而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。
椭圆的定义与标准方程
椭圆的定义与标准方程椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个固定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆的定义可以用数学语言描述为，对于给定的两个点F1和F2（焦点），以及一个常数2a（长轴长度），椭圆是满足PF1 + PF2 = 2a的所有点P的集合。
椭圆在平面直角坐标系中的标准方程为：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1。
其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a为长轴长度的一半，b为短轴长度的一半。
椭圆的定义和标准方程是我们研究椭圆性质和方程的基础，下面我们将详细讨论椭圆的性质和相关的数学知识。
首先，我们来看椭圆的性质。
椭圆有许多独特的性质，例如，椭圆的离心率e 满足0 < e < 1，椭圆的焦点到中心的距离等于c，满足a² = b² + c²，椭圆的面积为πab等。
这些性质对于理解椭圆的形状和特点非常重要。
其次，我们将讨论椭圆的参数方程和极坐标方程。
椭圆的参数方程为：x = h + acosθ。
y = k + bsinθ。
其中θ为参数，(h, k)为中心坐标，a和b分别为长轴和短轴的长度。
而椭圆的极坐标方程为：r(θ) = a(1 e²)/(1 + ecosθ)。
这些方程形式的转化可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和轨迹特点。
最后，我们来讨论椭圆的应用。
椭圆在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如，椭圆的反射性质在光学中有重要的应用；椭圆的轨迹特点在天体运动和卫星轨道设计中起着关键作用；椭圆的形状特点在工程设计和建筑中也有重要的应用。
总之，椭圆是数学中重要的几何图形之一，它的定义和标准方程是我们理解和研究椭圆的基础。
通过深入学习椭圆的性质、参数方程、极坐标方程和应用，我们可以更好地理解和应用椭圆这一重要的数学概念。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆标准方程及几何性质
椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，用 $e$表示。
VS
离心率定义为$e = frac{c}{a}$，其中 $c$是焦距，$a$是长轴半径。
03
椭圆的参数方程
参数方程的定义
参数方程
通过引入参数，将椭圆上的点与一组有序数对（参数）关联起来，表示椭圆上 的点的一种方法。
参数方程的一般形式
x=a*cos(t)x = a cos(t)x=a∗cos(t) 和 y=b*sin(t)y = b sin(t)y=b∗sin(t)，其中 (a,b) 是椭圆的长短轴长度，t是参数。
通过极坐标方程，可以方便地解决与椭圆相关的几何问题，例如求 交点、判断点是否在椭圆上等。
05
椭圆的焦点三角形
焦点三角形的性质
焦点三角形是等腰三角形
01
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，因此焦点三
角形是等腰三角形。
顶角为直角
02
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之差与到另一焦点的距离
之比为常数，因此顶角为直角。
当长短轴长度一定时，顶角越大，焦 点三角形面积越大。
焦点三角形的周长
01
02
03
周长公式
焦点三角形的周长公式为 (P = 2a + 2c)，其中 (a) 为长轴长度，(c) 为焦距。
周长与长短轴关系
当长短轴长度一定时，离 心率越大，焦点三角形周 长越大。
周长与离心率关系
当长短轴长度一定时，长 短轴长度越接近，焦点三 角形周长越小。
THANKS
感谢观看
参数方程的应用
简化计算
在解决与椭圆相关的数学问题时，使用参数方程可以简化计算过程，特别是涉及到三角函数的问题。
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是一个非常重要的几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨椭圆的定义、性质以及其标准方程。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。
这两个定点被称为焦点，而常数2a 则被称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个与长轴垂直的短轴，其长度为2b。
椭圆的形状可以由长轴和短轴的长度来描述，而这个描述也可以用椭圆的标准方程来表示。
接下来，让我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
如果椭圆的长轴与x轴平行，那么它的标准方程可以简化为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
如果椭圆的长轴与y轴平行，那么它的标准方程可以简化为(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1。
通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、长轴、短轴以及焦点的位置。
除了标准方程之外，椭圆还有许多重要的性质。
例如，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质被称为椭圆的焦点性质。
此外，椭圆还具有对称性，关于长轴和短轴都有对称轴。
这些性质使得椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在天体运动、工程设计以及密码学中都可以看到椭圆的身影。
总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。
通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地描述和理解椭圆的形状和位置。
希望本文对您理解椭圆有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆标准方程
椭圆标准方程椭圆是平面上的一个闭合曲线，它是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
椭圆在几何学和工程学中有着广泛的应用，因此了解椭圆的标准方程对于理解其性质和应用具有重要意义。
椭圆的标准方程是椭圆的一种数学表达形式，它可以简洁地描述椭圆的几何特征。
在直角坐标系中，椭圆的标准方程可以表示为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
在标准方程中，a大于b，因为椭圆在x轴上的半轴长通常大于在y轴上的半轴长。
椭圆的中心位于原点(0,0)处，F1和F2分别位于x轴上的(-c,0)和(c,0)处，其中c满足c^2 = a^2 b^2。
椭圆的标准方程可以帮助我们快速了解椭圆的形状和特征。
通过标准方程，我们可以得知椭圆的长轴、短轴、焦点位置等重要信息，从而更好地应用椭圆的性质和定理。
除了直角坐标系下的标准方程，椭圆还有参数方程、极坐标方程等不同的数学表达形式。
这些表达形式在不同的问题和应用中具有各自的优势，但标准方程作为最常见的表达形式之一，具有重要的地位和作用。
在实际问题中，我们经常需要根据具体的条件和要求来确定椭圆的标准方程。
通过已知的焦点、顶点、离心率等信息，我们可以利用椭圆的性质和定义来推导出其标准方程，从而更好地理解和应用椭圆的相关知识。
总之，椭圆的标准方程是描述椭圆几何特征的重要数学工具，它能够简洁地表达椭圆的形状和性质，为我们深入理解和应用椭圆提供了重要的数学支持。
通过学习和掌握椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，解决实际问题中的相关应用，并为进一步深入学习椭圆的相关知识打下坚实的数学基础。
椭圆的定义及性质
椭圆的一个顶点,则椭圆的方程为
.
解析:设椭圆的方程为
x2 a2
y2 b2
c
a
3 5
=1(a>b>0),则已知 b 4,
a2 b2
c2,
a 5, 解得 b 4,
c 3,
所以椭圆方程为 x2 y2 =1. 25 16
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
x2
y2
a 2 b2 1(a b 0)
y2 x2 a2 b2 1(a b 0)
图形
对称性 顶点
范围
焦点 焦距
离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
a x a, b y b
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称 长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
椭圆关于x轴、y轴、原点对称.
yy B2
AA11
AA2 2
O O
x
在
x2 a2
y2 b2
BB11
1中令y=0， 可得x= a
从而：A1(-a,0),A2(a,0)
同理：B1(0, -b),B2(0, b)
y
B2
A1
A2
O
x
B1
线段A1A2叫椭圆的长轴: 长为2a 线段B1B2叫椭圆的短轴: 长为2b
2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以 F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴
x2 a2
椭圆标准方程及其性质知识点大全
椭圆标准方程及其性质(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。
标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率①(01)ce e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 。
A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。
(三)焦点三角形的面积公式：122tan2PF F S b θ∆=如图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。
椭圆的标准方程及几何性质
椭圆的标准⽅程及⼏何性质椭圆的标准⽅程与⼏何性质⼀、知识梳理1、椭圆定义：平⾯内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼤于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
思考：若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼩于或等于||21F F ）的点的轨迹⼜是如何？2．标准⽅程：（1）焦点在x 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+b y a x ;（2）焦点在y 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+bx a y .3、重要关系： 222a b c =+。
（注意⼤⼩关系） 4、椭圆的⼏何性质由椭圆⽅程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。
（1）范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-（椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中）（2）对称性：图形关于原点对称．原点叫椭圆的对称中⼼，简称中⼼．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．长轴与短轴长分别为b a 2,2。
b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -。
【⼩秘书】（1）求椭圆⽅程的⽅法：除了定义外，常⽤待定系数法；（2）当椭圆的焦点位置不确定时，可设⽅程为221x y m n+=（,0m n >），避免讨论和繁杂的计算。
（3）要重视椭圆定义解题的重要作⽤，要注意归纳提炼，优化解题过程。
【例1】求满⾜下列各条件的椭圆的标准⽅程.：(1)焦点在坐标轴上，且经过两点)31（3）以短轴的⼀个端点和两焦点为顶点的三⾓形为正三⾓形，且焦点到椭圆的最短练兵场：1. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的⼀个焦点是（0，2），那么k 等于（） (A)－1 (B)1 (C)5(D) －52、（08上海⽂）设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（）(A)4 (B)5 (C)8 (D) 103.已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．4.椭圆的中⼼在原点，对称轴为坐标轴，椭圆的⼀个顶点B 与两焦点F 1F 组成三⾓形的周长为4+23，且∠F 1BF 2= 23π，求该椭圆⽅程。
椭圆的标准方程公式
椭圆的标准方程公式椭圆是平面上的一种几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
椭圆的标准方程公式是描述椭圆形状的重要数学工具，它能够帮助我们准确地描绘出椭圆的形状和特征。
在本文中，我们将深入探讨椭圆的标准方程公式，以及它所代表的数学意义和几何意义。
首先，让我们来看看椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和恒定于某一常数2a的动点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，而常数2a则是椭圆的长轴的长度。
椭圆还有一个短轴，长度为2b，且满足a>b。
根据椭圆的定义，我们可以得出椭圆的标准方程公式：椭圆的标准方程公式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为长轴的长度，b为短轴的长度。
在这个标准方程公式中，我们可以看到(x-h)²/a²和(y-k)²/b²分别代表椭圆上任意一点P(x,y)到椭圆中心O(h,k)的距离的平方与a²和b²的比值。
而等式左边的和为1，则代表了椭圆上所有点P(x,y)到两个焦点F1和F2的距离之和与2a的关系。
这个方程公式为我们提供了一个清晰的数学描述，能够帮助我们准确地理解椭圆的形状和特征。
椭圆的标准方程公式还能够帮助我们进一步探讨椭圆的性质。
例如，通过这个方程公式，我们可以推导出椭圆的离心率e的表达式：e = √(a²-b²)/a。
离心率e是描述椭圆形状的重要参数，它代表了椭圆的扁平程度。
当离心率e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆的形状更加扁平；当e=1时，椭圆变成一个抛物线。
通过椭圆的标准方程公式，我们能够清晰地理解离心率与椭圆形状的关系。
除了离心率，椭圆的标准方程公式还能够帮助我们研究椭圆的焦点、直径、面积等性质。
通过对方程中各项的含义进行分析，我们能够得出许多有关椭圆的重要结论，进一步丰富我们对椭圆的理解。
3.1.1椭圆的定义及标准方程
椭圆是一种常见的几何图形，具有许多独特的特性和性质。
在数学和几何学中，椭圆是一种闭合的曲线，其定义为平面上所有到两个给定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
椭圆也可以通过其标准方程来描述，标准方程是椭圆的一般表达形式，用于表示椭圆的位置、形状和大小。
椭圆的标准方程的一般形式是：\[ \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \]其中，(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
根据椭圆的定义，椭圆上所有点到两个焦点的距离之和等于常数，我们可以将椭圆的标准方程与焦点的坐标关联起来。
对于椭圆来说，焦点在x轴上位于(h + c, k)和(h - c, k)，在y轴上位于(h, k + d)和(h, k - d)，其中c为焦距之一，d为焦距之二。
根据这些信息，我们可以进一步推导出椭圆的标准方程，并利用标准方程来描述椭圆的形状和位置。
椭圆的标准方程也可以通过焦点和顶点的坐标来确定。
对于椭圆来说，椭圆的顶点为(h ± a, k)，焦点为(h ± c, k)，如上所述，当我们知道椭圆的顶点和焦点的坐标时，我们可以利用这些信息来建立椭圆的标准方程。
通过利用椭圆的顶点和焦点坐标，我们可以确定椭圆的形状、大小和位置，并以标准方程的形式将这些信息清晰地表达出来。
椭圆的标准方程是描述椭圆的一种数学表达形式，它可以通过椭圆的中心坐标、半长轴、焦点坐标或顶点坐标等信息来确定。
利用标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状、大小和位置，进而推导出椭圆的各种性质和定理。
椭圆是一种重要的几何图形，其标准方程的理解和运用对于数学和几何学的学习都具有重要意义。
椭圆是数学中非常重要的一个几何图形，它具有许多独特的特性和性质，因此在数学和几何学中有着广泛的应用。
椭圆的标准方程是描述椭圆的一种数学表达形式，通过该方程我们可以清晰地了解椭圆的形状、大小和位置，进而推导出椭圆的各种性质和定理。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程一、高考考点分析与讲解： 1．椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ） 的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距．说明：当与两个定点21,F F 的距离之和等于||21F F 的点的轨迹是线 段12F F ；与两个定点21,F F 的距离之和小于||21F F 的点的轨迹不存在． 2．根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++=又，a yc x yc x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+， 两边同除22b a 得12222=+bya x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -其中222b c a+=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+by ax 中的y x ,调换，即可得12222=+bxa y，也是椭圆的标准方程说明：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+by ax 与12222=+bx ay 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m nymx≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+by ax 类比，如12222=+bya x中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)．3注：①是0a b >>；②是222a b c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）； ③是定方程“型”与曲线“形”．例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bya x)0(>>b a 9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为192522=+yx．例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-；（3）焦点在x 轴上，:2:1a b =，c =（4）焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(0)； （5）焦距为b ，1a b -=； （6）椭圆经过两点35(,)22-，． 解析：（1）∵椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为22221x y ab+=（0a b >>）， ∵210a =，4c =，∴2229b a c =-=，所以，椭圆的标准方程为221259xy+=．（2）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22221y x ab+=（0a b >>）， 由椭圆的定义知，2a ===∴10a =，又∵2c =，∴2221046b a c =-=-=， 所以，椭圆的标准方程为221106yx+=．（3）∵c =2226a b c -==，①又由:2:1a b =代入①得2246b b -=， ∴22b =，∴28a =，又∵焦点在x 轴上， 所以，椭圆的标准方程为22182xy+=． （4）设椭圆方程为22221y x ab+=，∴221b=，∴22b =，又∵225a b +=，∴23a =， 所以，椭圆的标准方程为22132yx+=．（5）∵焦距为6，∴3c =，∴2229a b c -==，又∵1a b -=，∴5a =，4b =，所以，椭圆的标准方程为2212516xy+=或2212516yx+=．（6）设椭圆方程为221xymn+=（,0m n >）， 由2235()()221351m nm n⎧-⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩得6,10m n ==， 所以，椭圆方程为221106yx++=．点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系．例3 已知1F 、2F 为椭圆()012222>>=+b a by ax 的左、右焦点，过2F 做椭圆的弦AB .（1） 求证AB F 1∆的周长是常数；（2） 若AB F 1∆的周长为16，1AF 、21F F 、2AF 成等差数列，求椭圆的方程. 解：（1）AB F 1∆的周长a BF BF AF AF l 42111=+++= 所以AB F 1∆的周长为常数. （2） 164==a l ， 得4=a .1AF 、21F F 、2AF 成等差数列，所以1AF +2AF =221F F ，得 2=c ，122=b ，所以所求椭圆方程是1121622=+yx.例4 已知椭圆C 经过原点，且一个焦点为()0,2F ，其长轴长为4，求椭圆C 的中心的轨迹方程.解：设椭圆C 的中心()y x M ,，已知焦点()0,2F ，则另一焦点()y x F2,22/-.因为原点O 在椭圆上，其长轴长为4，所以4/=+OF OF .()()4222222=+-+y x ，得中心轨迹方程为()1122=+-y x .（另解）2=OF ，所以 2/=OF .设OF 的中点()0,1/O由三角形的中位线得 1/=MO,所以中心M 的轨迹是圆．例5 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解．解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b ab+=>>，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，则22222591444a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩二、配套练习巩固与提高： 1．椭圆2211625xy+=的焦点坐标为 （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0) 解：选A ． 2．在方程22110064xy+=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a=100, b=64, c=36 （B ）a=10, b=6, c=8 （C ）a=10, b=8, c=6 （D ）a=100, c=64, b=36 解：选C ．3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是 （A ）2214xy += （B ）2214yx += （C ）22116xy += （D ）22116yx +=解：选C ．4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是 （A ）2213620xy+= （B ）2212036xy+= （C ）2213616xy+= （D ）2211636xy+=解：选B ．5．若椭圆22110036xy+=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14 解：选D ．6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 解：选D ．7．过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是 （A ）2211510xy+= （B ）221510xy+= （C ）2211015xy+= （D ）2212510xy+=解：选A ． 8．若椭圆a 2x 2－22a y =1的一个焦点是(－2, 0)，则a =（A 4（B ）4（C 4（D 4解：选C ． 9．点P 为椭圆22154xy+=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是 （A）(±2, 1)（B ）(2, ±1)（C ）(2, 1) （D）(2, ±1)解：选D ．10=10为不含根式的形式是（A ）2212516xy+= （B ）221259xy+= （C ）2211625xy+= （D ）221925xy+=解：选C ． 11．椭圆22125xym m +=-+的焦点坐标是 （A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7) 解：选D ． 12．若方程1162522=++-mym x表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （A ） ()25,16- （B ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,29（C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,16 （D ） ⎪⎭⎫⎝⎛∞+,29解：选B ． 13．过椭圆()012222>>=+b a by ax 的焦点F ，与长轴垂直的弦的长度是（A ）cb2（B ）cb 22 （C ）ab2（D ） ab 2214．两焦点坐标分别为(0, 2), (0, －2)，且经过点(－23,25)的椭圆的标准方程是解：221610xy+=．15．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是解：2213616xy+=或2213616yx+=．16．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 . 解：2214xy +=．17．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 解：221155xy+=．18．过椭圆4x 2+2y 2=1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是解：．19．点P 为椭圆22110064xy+=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为20．若y 2－lga ·x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是解：11(,)103． 21．已知A B C ∆中，()0,3A ，()0,3B -，三边长AC 、AB 、BC 的长成等差数列，求顶点C 的轨迹方程．解：221(0)3627xyy +=≠．22．点P 是椭圆22154xy+=上一点，以点P 以及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标.解：(,1)2±±．23．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求这椭圆的方程． 解：221259xy+=．26．如图，线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|AB|=5.点M 是AB 上一点，且|AM|=2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.解：22194xy+=．27． 28． 29． 30．椭圆的简单几何性质一、高考考点分析与讲解：1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y ab≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤， 说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称．若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b-，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a c =-．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a=叫椭圆的离心率.∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆． 当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=． 5．椭圆的第二定义、准线：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ac e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+by ax ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是cax 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是cax 2-=．对于椭圆12222=+bx ay 的准线方程是cay 2±=．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得：右焦半径公式为ex a cax e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a cax e ed MF +=--==|)(|||2左．例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．解：把已知方程化为标准方程22221x y ab+=，5a =，4b =，∴3c ==，∴椭圆长轴和短轴长分别为210a =和28b =，离心率35c e a ==，焦点坐标1(3,0)F -，2(3,0)F ，顶点1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．1A2A2B2AO x y2F例2 过适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点(3,0)P -、(0,2)Q -； （2）长轴长等于20，离心率等于35．解：（1）由题意，3a =，2b =，又∵长轴在x 轴上，所以，椭圆的标准方程为22194xy+=．（2）由已知220a =，35c e a==，∴10a =，6c =，∴22210664b =-=， 所以，椭圆的标准方程为22110064xy+=或22110064yx+=．例3 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆右焦点（记1F 为左焦点），设椭圆标准方程为22221xya b+=（1a b >>）， 则22||||||63714396810a c OA OF F A -=-==+=，22||||||637123848755a c OB OF F B +=+==+=，解得：7782.5a = 972.5c =∴7722b ===≈， 所以，卫星的轨道方程是2222177837722xy+=．例4 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为5e =m 的值．解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，2553m =⇒=．例5 （1）求椭圆1162522=+yx的右焦点和右准线；左焦点和左准线．（2）求椭圆81922=+y x 方程的准线方程．解：（1）由题意可知右焦点)0,(c F 右准线cax 2=；左焦点)0,(c F -和左准线cax 2-=（2）椭圆可化为标准方程为：198122=+xy，故其准线方程为42272±=±=cay小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出．例6 椭圆1162522=+yx上的点M 到左准线的距离是5.2，M 到左焦点的距离为 ，M到右焦点的距离为 .解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：edMF =||53||11===ac ed MF 5.15.253||11=⨯==∴ed MF 5.1||1=∴MF又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴==+MF a MF MF另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为685253505.222=-=-ca5.868553||||2222=⨯==∴=edMF e d MF小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用x y O ∙∙ 1F 2F A x yO A2B 1B F 图①例7 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹． 解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|8|)2(22=-+-x y x 由化简得1121622=+yx，故所的轨迹是椭圆．解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以82==cax 解得4=a ，又因为21==a c e 故所求的轨迹方程为1121622=+yx例8 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线5=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹； 解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|5|)2(22=-+-x y x 由化简得0946322=-+-y x x 配方得134)1(22=+-yx ，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）． 解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以52==cax 解得102=a ，故所求的轨迹方程为161022=+yx．例9 （1）求出椭圆方程13422=+yx和134)1(22=+-yx 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；（2）求出椭圆方程13422=+yx和134)1(22=+-yx 长轴顶点、焦点、准线方程．解：因为把椭圆13422=+yx向右平移一个单位即可以得到椭圆134)1(22=+-yx 所以问题1中的所有问题均不变，均为21,1,3,3=====ac e c b a ．13422=+yx长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,2(±，)0,1(±4±=x ．134)1(22=+-yx 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,12(+±，)0,11(+±14+±=x ．例10 椭圆13422=+yx上位于y 轴左侧的部分是否存在一点P ，使点P 到左准线的距离是点P 到两焦点1F 、2F 的距离的比例中项. 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：假设存在，设点()00,y x P ，左准线l ：4-=x ， 所以点P 到左准线的距离40+=x d ，又212PF PF d=，01212x PF +=、02212x PF -=，得()20204144x x -=+得 451200-=-=x x 或，与20-≥x 矛盾，所以点P 不存在.二、配套练习巩固与提高： 1．椭圆192522=+yx上一点P 到左焦点的距离为8，那么点P 到右准线的距离是（A ）25 （B ） 45 （C ） 35 （D ） 425解：选A ．2．椭圆()012222>>=+b a by ax 上任意一点()00,y x P 到左焦点1F 、右焦点2F 的距离分别为1r 、2r ，椭圆的离心率为e ，则1r 、2r 分别等于（A ） a ex +0、a ex -0 （B ） a ex -0、a ex +0 （C ） 0ex a +、0ex a - （D ） 0ex a -、0ex a + 解：选C ． 3．椭圆()012222>>=+b a by ax 的两个焦点 1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，使得02190=∠PF F ，则椭圆的离心率的取值范围是（A ） ⎥⎦⎤⎝⎛22,0 （B ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 （C ） ⎥⎦⎤⎝⎛23,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 解：选B ．4．设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线 （A ）相切 （B ）相离 （C ）相交 （D ）相交或相切解：选B ．设AB 的中点为M ，则M 即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F ，右准线为l ； 过点A 、B 、M 分别作出准线l 的垂线，分别记为d d d ,,21由梯形的中位线可知221d d d +=又由椭圆的第二定义可知ed AF =1||e d BF =2||即)(||||21d d e BF AF +=+又22||||2||21d d e BF AF AB +⋅=+=且10<<e 2||AB d >∴故直线与圆相离．5．方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号（C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 解：选C ． 6．已知椭圆方程为221499xy+=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±210)；④ a =49, b =9, c =40， （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 解：选B ．7．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A ）53 （B ）312 （C ）43 （D ）910解：选A ．8．若点P 到两定点F 1(－2, 0), F 2(2, 0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是（A ）椭圆 （B ）直线 （C ）线段 （D ）两点 解：选C ．9．设椭圆的标准方程为22135xyk k+=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（A ）k >3 （B ）3<k <5 （C ）4<k <5 （D ）3<k <4解：选C ． 10．若AB 为过椭圆12222=+by ax 中心的弦，F (c , 0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（A ）b 2（B ）bc （C ）ab （D ）ac 解：选B ． 11．已知椭圆11622=+myx，直线x y 22=，如果直线与椭圆的交点在x 轴上的射影恰为椭圆的焦点，则m 的值是（ ）（A ） 2 （B ） 22 （C ） 8 （D ） 32 解：选C ．12．直线l 经过点()2,0M 与椭圆2222=+y x 有两个不同的公共点，那么直线l 的倾斜角的范围是（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-26arctan,26arctanπ （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,26a r c t a n 26a r c t a n ,0（C ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛26arctan,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ,26arctan 解：选A.13．以椭圆的右焦点2F 为圆心做圆使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线1MF （1F 为椭圆的左焦点）是圆2F 的切线，则椭圆的离心率是（A ） 22 （B ）23 （C ） 13- （D ） 32-解：选C ．14．一条直线l ：022=+-y x 过椭圆12222=+by ax 的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（A ）51 （B ）52 （C ）55 （D ）552解：选D ． 15．已知椭圆13422=+yx内一点()1,1-P ，2F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上的一个动点，则2MF MP +的最大值为（A ） 54- （B ） 54+ （C ） 53- （D ） 53+解：选B ． 16．椭圆14922=+yx的两个焦点 1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，则点P的横坐标的范围是 解：填⎪⎪⎭⎫⎝⎛-553,553． 17．椭圆的两个焦点为()0,41-F 、 ()0,42F ，椭圆上一点P ，若21F PF ∆的最大面积是12，则椭圆的方程是 解：192522=+yx．18．已知椭圆822=+y mx 与椭圆10025922=+y x 的焦距相等，则m 的值等于 解：179．19．椭圆81922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，准线方程为 解：18，6，26，322，)26,0(±，)9,0(±)0,3(±，4227±=y ．20．短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 解：20． 21．椭圆12222=+by ax (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为1-．22．把椭圆的长轴AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ =解法一：53==ac e ，设i P 的横坐标为i x ，则i x i 455+-=不妨设其焦点为左焦点由53||===ac e dF P i 得i i ex a cax e F P i i i 432)455(535)(||2+=+-⋅+=+=+=35)721(4372||||||721=++++⨯=+++ F P F P F P ．解法二：由题意可知1P 和7P 关于y 轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知a F P F P 2||||71=+，同理可知a F P F P 2||||62=+，a F P F P 2||||53=+，a F P =||4故357||||||721==+++a F P F P F P ．23．直线062=+-y x 过椭圆12522=+myx的左焦点，则椭圆的右准线方程是 .解：填325=x ． 24．过椭圆192522=+yx的右焦点F ，做倾斜角为4π的直线，交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长是 .解：填1790．25．已知椭圆193622=+yx，过点()2,4P 做直线交椭圆于A 、B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线AB 的方程是 . 填：082=-+y x ．26．若方程x 2cosα－y 2sinα+2=0表示一个椭圆，则圆(x +cosα)2+(y +sinα)2=1的圆心在第 象限．解：四． 27．椭圆221123xy+=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍．解：7．28．线段|AB |=4，|PA |+|PB |=6, M 是AB 的中点，当点P 在同一平面内运动时，PM 长度的最大值、最小值分别为 解：3，29．方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 表示什么曲线？解：222|2|)1()1(22=++-+-y x y x 122<；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）．所以，方程表示椭圆．30．求过点P (3, 0)且与圆x 2+6x +y 2－91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程． 解：2212516xy+=．31．椭圆()012222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴的下端点A 长轴的右端点B ，点M 在椭圆上，且x MF ⊥2轴，原点为O ，若AB OM // （1） 求椭圆的离心率；（2） 若点N 为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求21NF F ∠的范围；（3） 过2F 与OM 垂直的弦CD ，若CD F 1∆的面积为320，求椭圆方程.解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M 2,，a b k ac b k AB OM ===2，得22=⇒=e c b ； （2）因为221π=∠AF F ，所以21NF F ∠的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π；（3）22c b =，222c a =，则椭圆22222c y x =+…①、直线CD ：()c x y --=2…②，②代入① 得0222522=--ccy y得 c y y 53421=-，3205342212121211=⨯⨯=-=∆c c y y F F S CD F ，得 2522==b c 、502=a ，所求椭圆方程是1255022=+yx．32．已知点M 为椭圆1162522=+yx的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值．分析：应如何把||351MF 表示出来解：左准线1l ：3252-=-=cax ，作1l MD ⊥于点D ，记||MD d = 由第二定义可知：53||1===ac e dMF ⇒ d MF 53||1=⇒ ||351MF d =故有||||||||35||1MD MA d MA MF MA +=+=+所以有当A 、M 、D 三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：3251+即||35||1MF MA +的最小值是328变式1：||5||31MF MA +的最小值；解：283283)||35||(3||5||311=⨯=+=+MF MA MF MA变式2：||||531MF MA +的最小值；解：52832853|)|35|(|53||||5311=⨯=+=+MF MA MF MA33．已知 ,A B 为椭圆2222519x y a+=上的两点，2F 是椭圆的右焦点．若228||||,5a A F B F A B +=的中点到椭圆左准线的距离是32，试确定椭圆的方程．解：由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为 ，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．34．已知椭圆的中心在原点，长轴在x 轴上，，直线1=+y x 被椭圆截得的弦AB 的长为22，且弦AB 的中点M 与椭圆的中心O 的连线的斜率为22，求这个椭圆的方程.解：设椭圆方程)0(222222>>=+b a b a y a x b ，()11,y x A 、()22,y x B ，弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()021********=-++-+y y y y a x x x x b . ()2121x x y y --=-、0212x x x =+、0212y y y =+、2200=x y ，得222b a =.()()0122212.1,22222222=-+-+⇒⎩⎨⎧+-==+bx x x y b a y a x b ，由弦长公式得 232=b ，则32=a ，所以椭圆方程为132322=+y x．35．椭圆)0(222222>>=+b a b a y a x b 的离心率32=e ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 、B 是椭圆上不同的两个点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()0,1Q .（1） 求线段AB 的中点()00,y x M 的横坐标0x ；（2） 若322=+BF AF ，且椭圆上一点P 满足02160=∠PF F ，求椭圆的方程及21PF F ∆的面积解：（1）设()11,y x A 、()22,y x B 弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()02121221212=-++-+y y y y a x x x x b.0212x x x =+、0212y y y =+、11002121-=-∙--x y x x y y ，得2259b a=，得 490=x .（2）1232x a AF -=、2232x a BF -=、292021==+x x x ， 322=+BF AF ，得 53=⇒=b a ，所以椭圆方程是15922=+yx.设 11r PF =、22r PF =，则()⎩⎨⎧==-+=+16260cos 2,62021222121c r r r r r r . 得 32021=r r ，所以 33560sin 2102121==∆r r S F PF ．36．过椭圆()012222>>=+b a by ax 的一个焦点F 做弦AB ，若1d AF =、2d BF =，求证：2111d d +=22ba ．解：证明：设F 为右焦点，直线AB 的倾斜角θ为锐角，点A 在x 轴的上方A 、B 到右准线的距离分别为1m 、2m ，F到右准线的距离为p ，离心率为e ，则θθc o s c o s 2211d m p d m -==+ ①.又 ed m 11=、ed m 22=代入①得2111d d +=ep2.又 ac e =、cbp 2=所以2111d d +=22ba .37．已知椭圆C 的两个焦点()0,221-F 、()0,222F ，（1） 当直线l 过1F 与椭圆交于M 、N 两点，且MN F 2∆的周长为12时，求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线m 过点()2,0P 与椭圆C 交于A 、B 两点，且以A B 为直径的圆过原点，若存在求直线m 的方程；若不存在，说明理由.解：解：（1）1922=+yx（过程略）（2） 设直线m ：()存在且k k kx y ,02≠+=代人椭圆方程得 ()027369122=+++kx x k ，0>∆得 3333>-<k k 或.以A B 为直径的圆过原点，则 OB OA ⊥，设()11,y x A 、()22,y x B得()()()()04212201121221212121=++++⇒+++⇒=+x x k x x k kx kx x x y y x x 由韦达定理得()049172911272222=++-++kkkk ，解得 331±=k 使得 0>∆所以满足条件的直线m 的方程是06331=+-y x 或06331=-+y x ．椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形． 性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆．θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PFθθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴bca cPF PF PF PF1222121sin sin tan21cos 2F PF bS PF PF b θθθθ∆∴===+性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点．证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF cPF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a bPF PF ca =122222--ox e a ba x a ≤≤-0 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r cr r r r r r F F r r θ .2112221)2(222222222122e ac a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证．练习：（2000年高考题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围． 简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2e -≥即22121e -≥-,于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e ．,,1221βα=∠=∠F PF F PF由正弦定理得：βαβαsin sin )180sin(1221PFPF F F o==--由等比定理得：βαβαsin sin )sin(2121++=+PF PFF F而)sin(2)sin(21βαβα+=+c F F ，βαβαsin sin 2sin sin 21+=++a PF PF∴βαβαsin sin )sin(++==ac e ．练习：已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3 ∴椭圆的方程为3422yx+＝1．(2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ椭圆的离心率21=e 则)60sin(23sin )60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=oooo，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)∴53cos 1sin =+θθ故532tan=θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅．。
椭圆的标准方程及其几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10=∴a 又2=c所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： ∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6. ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 题2。
椭圆的标准方程与性质
椭圆的标准方程与性质教学目标：1 了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.高考相关点：在高考中所占分数：13分考查出题方式：解答题的形式，而且考查方式很固定，涉及到的知识点有：求曲线方程，弦长，面积，对称关系，范围问题，存在性问题。
涉及到的基础知识1．引入椭圆的定义在平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|=2c)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c 为常数：有以下3种情况(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e ＝ca ∈(0，1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2题型总结类型一 椭圆的定义及其应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 【解析】根据CD 是线段MF 的垂直平分线.可推断出,进而可以知道结果为定值,进而根据椭圆的定义推断出点P 的轨迹【答案】根据题意知,CD 是线段MF 的垂直平分线.,(定值),又显然,根据椭圆的定义可推断出点P 轨迹是以F 、O 两点为焦点的椭圆.所以A 选项是正确的练习１：已知F 1，F 2是椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF →1⊥2PF ，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________． 【解析】由题意的面积∴故答案为：【答案】3练习2：已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】由椭圆方程知，椭圆的长轴，则周长为16，故第三边长为6.所以正确答案为A.【答案】A类型二 求椭圆的标准方程例2：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．【解析】设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12.由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.【答案】x 216＋y 28＝1练习1：设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．【答案】x 2+3y 2/2=1类型三 椭圆的几何性质例3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆()222210x y a b a b +=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为________．【解析】直线A 1B 2的方程为x －a ＋y b ＝1，直线B1F 的方程为x c ＋y－b ＝1，二者联立，得T(2ac a －c ，b （a ＋c ）a －c)，则M(ac a －c ，b （a ＋c ）2（a －c ）)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)上，∴2222()1()4()c a c a c a c ++=--， c 2＋10ac －3a 2＝0，e 2＋10e －3＝0，解得e ＝27－5. 【答案】27－5练习1：已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)和双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的公共顶点．P 是双曲线上的动点，M 是椭圆上的动点(P 、M 都异于A 、B )，且满足AP→＋BP →＝λ(AM →＋BM →)，其中λ∈R ，设直线AP 、BP 、AM 、BM 的斜率分别记为k 1、k 2、k 3、k 4，k 1＋k 2＝5，则k 3＋k 4＝________．【解析】设出点P 、M 的坐标，代入双曲线和椭圆的方程，再利用已知满足及其斜率的计算公式即可求出．【答案】∵A ，B 是椭圆和双曲线的公共顶点，∴（不妨设）A （-a ，0），B （a ，0）．设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），∵，其中λ∈R ，∴（x 1+a ，y 1）+（x 1-a ，y 1）=λ[（x 2+a ，y 2）+（x 2-a ，y 2）]，化为x 1y 2=x 2y 1．∵P 、M 都异于A 、B ，∴y 1≠0，y 2≠0．∴．由k 1+k 2==5，化为，（*）又∵，∴，代入（*）化为．k 3+k 4==，又，∴，∴k 3+k 4===-5．故答案为-5．类型四 直线与椭圆的位置关系例4：(2014·四川卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－2，0)，离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，T 为直线x ＝－3上一点，过F 作TF 的垂线交椭圆于P ，Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时，求四边形OPTQ 的面积．【解析】（1）根据已知条件求得和的值，于是可得的值，即得到椭圆的标准方程；（2）设出点坐标和直线和的方程，将其与椭圆方程联立，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据边角关系得到平行四边形底边的长和对应的高，代入面积的表达式即可得到结论。