(完整word版)第一章导数及其应用测试题(含答案)

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导数应用测试题及参考答案

导数应用测试题及参考答案

导数应用测试题一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分, 共60分) 1.设函数f(x)在0x 处可导,则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于 ( )A .)('0x fB .)('0x f -C .)('0x f --D .)(0x f -- 2.若13)()2(lim000=∆-∆+→∆xx f x x f x ,则)('0x f 等于 ( ) A .32 B .23C .3D .2 3.曲线x x y 33-=上切线平行于x轴的点的坐标是( )A .(-1,2)B .(1,-2)C .(1,2)D .(-1,2)或(1,-2) 4.若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ,则函数图像在点(4,f (4))处的切 线的倾斜角为( )A .90°B .0°C .锐角D .钝角5.函数5123223+--=x x x y 在[0,3]上的最大值、最小值分别是 ( )A .5,-15B .5,-4C .-4,-1D .5,-166.一直线运动的物体,从时间t 到t+△t 时,物体的位移为△s ,那么ts t ∆∆→∆0lim 为( )A .从时间t 到t+△t 时,物体的平均速度B .时间t 时该物体的瞬时速度C .当时间为△t 时该物体的速度D .从时间t 到t+△t 时位移的平均变化率7.关于函数762)(23+-=x x x f ,下列说法不正确的是( )A .在区间(∞-,0)内,)(x f 为增函数B .在区间(0,2)内,)(x f 为减函数C .在区间(2,∞+)内,)(x f 为增函数D .在区间(∞-,0)),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数8.对任意x ,有34)('x x f =,f(1)=-1,则此函数为 ( ) A .4)(x x f = B .2)(4-=x x f C .1)(4+=x x f D .2)(4+=x x f9.函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 ( )A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -1610.抛物线y=x 2到直线x-y-2=0的最短距离为 ( )A .2B 。

新人教版选修22第一章导数及其应用测试题及答案

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(数学选修2-2) 第一章 导数及其应用一、选择题1.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于( ) A .sin α B .cos α C .sin cos αα+D .2sin α2.若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限,则函数'()f x 的图象是( )3.已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A .),3[]3,(+∞--∞ B .]3,3[- C .),3()3,(+∞--∞ D .)3,3(-4.对于R 上可导的任意函数()f x ,若满足'(1)()0x f x -≥,则必有( )A . (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>5.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )A .430x y --=B .450x y +-=C .430x y -+=D .430x y ++= 6.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示, 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( )x ?abxy)(f y =OA .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题1.若函数2f xx x c 在2x =处有极大值,则常数c 的值为_________;2.函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。

3.设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<,若()()f x f x '+为奇函数,则ϕ=__________ 4.设321()252f x x x x =--+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的 取值范围为 。

高中数学选修22:第一章导数及其应用单元测试题.doc

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数学选修 2-2 第一章单元测试题一、选择题 ( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.函数f ( x) 的定义域为开区间 ( a,b) ,导函数f′(x) 在( a,b) 内的图像如图所示,则函数 f ( x)在开区间( a,b)内有极小值点()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个1 12.在区间[ 2,2] 上,函数 f ( x)=x2+px+q 与g( x)=2x+x2在1同一点处取得相同的最小值,那么f(x)在[2,2]上的最大值是()C.8D.423.点P在曲线y=x3-x+3上移动,设点P处的切线的倾斜角为α,则α 的取值范围是( )ππ3A.[0 ,2 ] B.[0 ,2 ] ∪[ 4π,π)3 π 3C.[ 4π,π ) D.[ 2,4π]14.已知函数f ( x) =2x4-2x3+3m,x∈R,若f ( x) +9≥0恒成立,则实数 m的取值范围是()3 3A.m≥2 B.m>23 3C.m≤2 D.m<2x2 25.函数f ( x) =cos x-2cos 2的一个单调增区间是 ()f x 0+3 -f x 06.设f ( x) 在x=x0 处可导,且lim Δx=1,Δx→0则 f ′(x0)等于( )A.1 B.0C.3x+97.经过原点且与曲线y=x+5相切的切线方程为()A.x+y=0B.x+25y=0C.x+y= 0 或x+25y=0D.以上皆非8.函数f ( x) =x3+ax2+bx+c,其中a,b,c为实数,当a2-3b<0 时,f ( x) 是()A.增函数B.减函数C.常数D.既不是增函数也不是减函数13 29.若a>2,则方程3x -ax +1=0 在(0,2) 上恰好有 ()A.0 个根B.1 个根C.2 个根D.3 个根1 10.一点沿直线运动,如果由始点起经过t s 后距离为s=4t 4-53t 3+2t 2,那么速度为零的时刻是( )A.1 s 末B.0 sC.4 s 末D.0,1,4 s 末x2,x∈[0,1],2f(x) d x 等于 () 11.设f ( x) =则2-x,x∈ 1,2] ,0D.不存在sin x sin x1 sin x2 12.若函数 f(x) =x,且 0<x1<x2 <1,设 a=x1 ,b=x2 ,则 a,b 的大小关系是 ( )A.a>b B.a<bC.a=b D.a、b的大小不能确定二、填空题 ( 本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上 )1 3 213.若 f(x) =3x -f ′(1)x +x+5,则 f ′(1) = ________.π π14.已知函数 f(x) 满足 f(x) =f( π-x) ,且当 x∈ -2,2 时,f(x) =x+sin x,设a=f(1) ,b=f(2) ,c=f(3) ,则a、b、c 的大小关系是 ________.15.已知函数f(x) 为一次函数,其图像经过点(2,4) ,且1f(x) d x=3,则函数f(x) 的解析式为________.16.(2010 ·江苏卷) 函数2y=x(x>0)的图像在点 2(a k,a k) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,其中k∈N*. 若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.三、解答题 ( 本大题共 6 小题,共 70 分,解答应出写文字说明、证明过程或演算步骤 )17.(10 分) 如图,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分,求k 的值.18.(12 分) 已知函数 f(x) =x4-4x3+ax2-1 在区间 [0,1] 上单调递增,在区间 [1,2) 上单调递减.(1)求 a 的值;(2)若点 A(x0,f(x0)) 在函数 f(x) 的图像上,求证:点 A关于直线x=1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上.19.(12 分) 设 x=- 2 与 x=4 是函数 f(x) =x3+ax2+bx 的两个极值点.(1)求常数 a,b;(2)试判断 x=- 2,x= 4 是函数 f(x) 的极大值还是极小值,并说明理由.20.(12 分) 已知 f(x) =ax3-6ax2+b,x∈[ -1,2] 的最大值为 3,最小值为- 29,求 a,b 的值.21.(12 分)(2010 ·重庆卷 ) 已知函数 f(x) =ax3+x2+ bx( 其中常数a,b∈R) ,g( x) =f ( x) +f′(x) 是奇函数.(1)求 f ( x)的表达式;(2)讨论 g( x)的单调性,并求 g( x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.1-x22.(12 分) 已知函数f ( x) =ln( ax+1) +1+x,x≥0,其中a>0.(1)若 f ( x)在 x=1处取得极值,求 a 的值;(2)求 f ( x)的单调区间;(3)若 f ( x)的最小值为1,求 a 的取值范围.参考答案1.答案 A解析设极值点依次为 x1,x2,x3且 a<x1<x2<x3<b,则 f ( x) 在( a,x1) ,( x2,x3) 上递增,在 ( x1,x2) ,( x3,b) 上递减,因此,x1、x3是极大值点,只有x2是极小值点.2.答案 D3.答案 B4.答案 A1解析因为函数 f ( x)=2x4-2x3+3m,所以 f ′(x)=2x3-6x2.令 f ′(x)=0,得 x=0或 x=3,经检验知 x=3是函数的一个最27小值点,所以函数的最小值为 f (3)=3m-2.不等式 f ( x)+9≥0恒成27 3立,即 f ( x)≥-9恒成立,所以3m-2≥-9,解得 m≥2.5.答案 A解析 f ( x)=cos2x-cos x-1,∴f′(x)=-2sin x·cos x+sin x=sin x·(1-2cos x).令 f ′(x)>0,结合选项,选A.6. 答案 D7. 答案 D8. 答案 A9. 答案 B解析 1 3 2设 f ( x ) =3x -ax +1,则2f ′(x )=x -2ax =x ( x -2a ) ,当 x ∈(0,2) 时, f ′(x )<0,f ( x ) 在(0,2) 上为减函数,又 f (0) f (2) =8 111 3-4a +1 = 3 -4a <0,f ( x ) =0 在(0,2) 上恰好有一个根,故选 B.10. 答案 D11. 答案 C解析 数形结合,如图.2f(x) d x = 1x 2d x + 2(2 -x) d x0 11 3 11 22= 3x+ 2x -2x11 1= 3+(4 -2-2+2)5= 6,故选 C .12. 答案Af ′(x) =x cos x -sin x解析 x 2, 令 g(x) =x cos x -sin x ,则g ′(x) =- x sin x +cos x -cos x =- x sin x.∵0<x<1,∴ g ′(x)<0 ,即函数 g(x) 在 (0,1) 上是减函数,得 g(x)<g(0) =0,故 f ′(x)<0 ,函数 f(x) 在(0,1) 上是减函数,得 a>b ,故选A .213. 答案 32 2解析 f ′(x) = x -2f ′(1)x + 1,令 x=1,得 f ′(1) =3.14. 答案 c<a<b解析f(2) = f( π-2) , f(3) = f( π- 3) ,因为 f ′(x) = 1+π ππcos x≥0,故f(x)在-2,2上是增函数,∵2 >π-2>1>π-3>0,∴f( π-2)>f(1)>f( π-3) ,即 c<a<b.2815.答案 f(x) =3x+3解析设函数 f(x) =ax+b(a ≠0) ,因为函数 f(x) 的图像过点(2,4) ,所以有 b=4-2a.∴1 f(x) d x= 1 (ax +4-2a) d x0 01 2 1 1=[ ax +(4 -2a)x] | 0=a+4-2a=1.2 22 8 2 8∴a=3. ∴b=3. ∴f(x) =3x+3.16. 答案21解析2 2∵y′=2x,∴过点( a k,a k)处的切线方程为y-a k=2a k( x1-a k),又该切线与 x 轴的交点为( a k+1,0),所以 a k+1=2a k,即数列{ a k}1是等比数列,首项a1=16,其公比q=2,∴ a3=4,a5=1,∴ a1+a3 +a5=21.17. 解析抛物线 y =x -x 2 与 x 轴两交点的横坐标为x 1=0,x 2=1,所以,抛物线与 x 轴所围图形面积 S = 12) d x =x 2 x 3 11 (x -x 2 -3 0=2-1 13=6.y =x -x 2,又 由此可得抛物线 y =x -x 2 与 y =kx 两交点的横y =kx ,S- 2 x 3 -坐标 x 3= , 4= - ,所以 = 1-k (x - x 2 kx) d x =1 k x - 1k -0 x 1 k 2 02313=6(1 -k) .3又 S = ,所以 (1 -k) 3=1,∴ k =1- 4.622118. 解析 (1) 由函数 f(x) =x4-4x3+ax2-1 在区间 [0,1] 单调递增,在区间 [1,2) 单调递减,∴x =1 时,取得极大值,∴ f ′(1) = 0.又 f ′(x) = 4x3-12x2+2ax ,∴4-12+2a = 0? a = 4.(2) 点 A(x0,f(x0)) 关于直线 x =1 的对称点 B 的坐标为 (2 -x0, f(x0)) ,f(2 -x0) =(2 -x0)4 -4(2 -x0)3 +4(2 -x0)2 -1= (2 -x0)2[(2 -x0) -2]2 -1= x 40-4x30+ ax20- 1=f(x0) ,∴A 关于直线 x =1 的对称点 B 也在函数 f(x) 的图像上.19.解析 f ′(x) =3x2+2ax+b.(1) 由极值点的必要条件可知:12-4a+b=0,f ′( - 2) =f ′(4) = 0,即48+8a+b=0,解得 a=- 3,b=- 24.或f ′(x) = 3x2+2ax+b=3(x +2)(x -4)=3x2-6x-24,也可得 a=- 3,b=- 24.(2) 由 f ′(x) = 3(x +2)(x -4) .当 x<- 2 时, f ′(x) > 0,当- 2<x<4 时, f ′(x) < 0. ∴x=- 2 是极大值点,而当x>4 时, f ′(x) > 0,∴x=4 是极小值点.20.解析 a≠0( 否则 f(x) =b 与题设矛盾 ) ,由f ′(x) = 3ax2-12ax=0 及 x∈[ - 1,2] ,得 x=0. (1) 当 a>0 时,列表:x ( -1,0) 0 (0,2)f ′(x) +0 -f(x) 增极大值 b 减由上表知, f(x) 在[ - 1,0] 上是增函数,f(x) 在[0,2] 上是减函数.则当 x=0 时, f(x) 有最大值,从而b=3.又f( -1) =- 7a+3,f(2) =- 16a+3,∵a>0,∴ f( -1) >f(2) .从而 f(2) =- 16a+3=- 29,得a=2.(2)当 a<0 时,用类似的方法可判断当 x=0 时 f(x) 有最小值.当x=2 时, f(x) 有最大值.从而 f(0) =b=- 29, f(2)=-16a-29=3,得a=- 2.综上, a= 2,b=3 或 a=- 2,b=- 29.21.解析 (1) 由题意得f′(x) = 3ax2+2x+b. 因此g( x) =f ( x) +f′(x)=ax3+(3 a+1) x2+( b+2) x+b.因为函数 g( x)是奇函数,所以g(-x)=- g( x),即对任意实数x,有 a(- x)3+(3 a+1)(-x)2+( b +2)( -x) +b=- [ ax3+(3 a+1) x2+( b+2) x+b] ,从而 3a+1=0,b=0,解得a=-1,b=0,因此f ( x) 的解析式为f ( x) =-x3+x2. 331(2)由(1) 知g( x) =-1x3+2x,所以g′(x) =-x2+2. 3令g′(x)=0,解得x1=-2,x2=2,则当x<-2或x> 2时,g′(x)<0,从而 g( x)在区间(-∞,-2],[ 2,+∞)上是减函数;当- 2<x< 2时,g′(x)>0 ,从而g( x) 在[ - 2, 2] 上是增函数.由前面讨论知, g( x)在区间[1,2] 上的最大值与最小值只能在x=1,2,2 时取得,而g(1)5=3,g( 2) =4 23,g(2)4=3. 因此g( x)在区间 [1,2] 上的最大值为g( 2) =4 2,最小值为3g(2)4=3.22. 分析解答本题,应先正确求出函数 f ( x)的导数f ′(x),再利用导数与函数的单调性、导数与极值、导数与最值等知识求解,并注意在定义域范围内求解.a 2 ax2+a-2解析 (1) f′(x) =ax+1-1+x 2=ax+1 1+x 2,∵f ( x)在 x=1处取得极值,2∴f ′(1)=0,即 a·1+a-2=0,解得 a=1.(2) f′(x) =ax2+a-22,ax+1 1+x∵x≥0, a>0,∴ ax+1>0.①当 a≥2时,在区间[0,+∞)上, f ′(x)>0,∴f( x)的单调增区间为[0,+∞).②当 0<a<2 时,由 f ′(x)>0,解得 x> 2-a a.由 f ′(x)<0,解得 x< 2-a a.∴f ( x)的单调减区间为(0, 2-a 2-a a ) ,单调增区间为 ( a,+∞ ) .(3) 当a≥2时,由 (2) ①知,f ( x) 的最小值为f (0) =1;当 0<a<2,由 (2) ②知,f ( x) 在x=2-aa 处取得最小值,且2-af ( a )< f (0) =1.综上可知,若 f ( x)的最小值为1,则 a 的取值范围是[2,+∞).。

导数及其应用测试题(有详细答案)

导数及其应用测试题(有详细答案)

《导数及其应用》一、选择题1。

0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。

B. C 。

D.3.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )4.若曲线y =x 2+ax +b在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( )A .a =1,b =1B .a =-1,b =1C .a =1,b =-1D .a =-1,b =-1 5.函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a 等于( )A .2B .3C .4D .56。

设函数()f x 的导函数为()f x ',且()()221f x x x f '=+⋅,则()0f '等于 ( )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。

直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线,则实数a 的值为( )A .1-B .eC .ln 2D .18。

若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数,则实数k 的取值范围( ) A .3113≥≤≤--≤k k k 或或 B .3113<<-<<-k k 或C .22<<-kD .不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ,导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示, 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 ( )A .1个B .2个C .3个D .4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A .3 B .52 C .2 D .32二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分) 11。

高中数学 第一章 导数及其应用单元测验卷(含解析)新人教A版选修2-2(2021年最新整理)

高中数学 第一章 导数及其应用单元测验卷(含解析)新人教A版选修2-2(2021年最新整理)

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第一章 导数及其应用一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项符合题意) 1.曲线2122y x x =-在点3(1,)2-处的切线的倾斜角为( ) A .135-︒B .45︒C .45-︒D .135︒1.答案:D 解析:32,(1,)2y x '=-∴-处的切线斜率为1-,倾斜角为135︒2.下列求导运算正确的是 A .(cos )sin x x '= B .1(ln 2)x x'=C .3(3)3log x x e '=D .2()2x x x e xe '=2.答案:B 解析:(cos )sin x x '=-,(3)3ln 3x x '=,22()2x x x x e xe x e '=+3.若函数2()f x ax bx c =++的图象的顶点在第四象限且开口向上,则函数()f x '的图象是( )ABCD3.答案:A 解析:函数2()f x ax bx c =++的图象的顶点在第四象限,开口向上,函数是先减后增,且极小值点为正,∴先有()0f x '<,后有()0f x '>,当()0f x '=时,0x > 4.函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是( ) A .0a >B .0a ≥C .0a <D .0a ≤4.答案:C 解析:2()31f x ax '=+,由题意得()0f x '=有实数解,即21(0)3a x x =-≠,所以0a < 5.已知函数3()f x x =,则()f x 与y x =围成的封闭图形的面积为( )A .13B .14C .12D .15.答案:C 解析:11324001112()2242S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰6.设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()f x g x '+()()f x g x '0>,且(3)0g -=,则不等式()()0f x g x <的解集是( )A .(3,0)(3,)-+∞B .(3,0)(0,3)-C .(,3)(3,)-∞-+∞D .(,3)(0,3)-∞-6.答案:D 解析:设()()()h x f x g x =,则()()()()()h x f x g x f x g x -=--=-,所以()h x 是R 上的奇函数,(3)(3)0h h -==,当0x <时,()0h x '>,所以()h x 是(,0)-∞上的增函数,根据奇函数的对称性可知()h x 在(0,)+∞上也是增函数,所以()0h x <的解集为(,3)(0,3)-∞- 7.已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则a 的取值范围为( ) A . (1,2)-B .(3,6)-C .(,1)(2,)-∞-+∞D .(,3)(6,)-∞-+∞7.答案:D 解析:2()32(6)f x x ax a '=+++,依题意()0f x '=有两个不相等的实数根,∴2412(6)0a a ∆=-+>,解得:3a <-或6a >8.若sin 0ba xdx =⎰,则cos()ab +=( ) A .0B .12C .1D .1-8.答案:1或cos2a 解析:sin cos cos cos 0bba a xdx x ab =-=-=⎰,∴cos cos a b =,∴ sin sin a b =或sin sin a b =-,当sin sin a b =时,cos()a b +cos cos a b =sin sin a b -22cos sin cos 2a a a =-=,当sin sin a b =-时,cos()a b +cos cos a b = sin sin a b +22cos sin 1a a =+=9.设函数()f x 的导函数为()f x ',且2()2(1)f x x xf '=+,则(0)f '=( )A .0B .4-C .2-D .29.答案:B 解析:()22(1)f x x f ''=+,∴(1)22(1),f f ''=+∴(1)2,f '=-(0)2(1)4f f ''==-10.已知,(0,)a b e ∈,且a b <,则下列式子中正确的是( ) A .ln ln a b b a <B .ln ln a b b a >C .ln ln a a b b >D .ln ln a a b b <10.答案:B 解析:设ln ()x f x x =,则21ln ()xf x x-'=,在(0,)e 上()0f x '>,()f x 单调递增,所以()()f a f b <,即ln ln ,ln ln a b b a a b a b<<;设()ln ,g x x x =则()g x '= 1ln x +,当1(0,)x e ∈时,()0,()g x g x '<单调递减,当1(,)x e e∈时,()0,()g x g x '>单调递增,∴C ,D 均不正确.11.若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是单调函数,则实数k 的取值范围是( ) A .[1,)+∞B .31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .[)1,2D .3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.答案:B2141()4,x f x x x x -'=-=∴当102x <<时,()0,()f x f x '<单调递减,当12x >时,()0,()f x f x '>单调递增,依题意得10112k k ≤-<<+,∴312k ≤< 12.已知函数1()ln ln f x x x=+,则下列结论正确的是( ) A .若1212,()x x x x <是()f x 的极值点,则()f x 在区间12(,)x x 内是增函数 B .若1212,()x x x x <是()f x 的极值点,则()f x 在区间12(,)x x 内是减函数 C .0x ∀>,且1,()2x f x ≠≥D .00,()x f x ∃>在0(,)x +∞上是增函数12.答案:D 解析:令211()10(ln )f x x x ⎡⎤'=-=⎢⎥⎣⎦,得x e =或1x e =,列表如下:因为()f x 在1(,)e e 上不是单调函数,可判断A,B 错,又1()22f e=-<,可判断C 错,易知D 正确.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上) 13.已知函数1()sin ,(0,)2f x x x x π=-∈,则()f x 的最小值为 。

高中数学:第一章《导数及其应用》单元测试(1)(选修一)旧人教版

高中数学:第一章《导数及其应用》单元测试(1)(选修一)旧人教版

4x 3 3x 2 4x 3.
11、 2sin(4 x
2 ).
12
、(1) 6.8 rad/s; (2)
3
13、( 1) 215; 210.5 ; 210.05. ( 2) 210.
20 (s).
3
14、 f '( x)
1 (x 0) 1x
不存在( x 0)
sin 2x sin 2 x
x
x2 .
-2- / 2
()
10
A.
27
10
B.
27
2 C. 128
3
D .以上皆非
6. ( 05 湖北卷)在函数 y x3 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于
数的点的个数是
的点中,坐标为整
4
(
)
A.3
B.2
C. 1
D.0
3
x 7. ( 05 全国卷 III )曲线 y 2x
在点( 1, 1)处的切线方程为
x2
8.函数 y=
的导数为 ______.
sin x
x3
9.函数 y= x 2
在点 x=3 处的导数值为 _____.
3
10.函数 y=2x2- 3x+4- 3 x
2 x 2 的导数为 ______.
11.函数 y= sin 2 (2x ) 的导数为 ______. 3
12.在受到制动后的七秒种内飞轮转过的角度(弧度)由函数
(t) 4t- 0.3t2 给出,求:
(1) t=2( 秒 )时,飞轮转过的角度; (2)飞轮停止旋转的时刻 .
13.动点沿 ox 轴的运动规律由 x=10t+5t 2 给出, 式中 t 表示时间 (单位: s),x 表示距离 (单 位: m),求在 20≤ t≤ 20+△t 时间段内动点的平均速度,其中 ① △t=1; ② △t= O.1; ③ △t=0.01 当 t=20 时,运动的瞬时速度等于什么?

人教A版第一章 导数及其应用单元测试卷(含答案)

人教A版第一章 导数及其应用单元测试卷(含答案)

第一章 导数及其应用一.选择题:(只有一个结论正确,每小题4分,共40分) 1.曲线123-+=x x y 在点P (-1,-1)处的切线方程是( )A .1-=x yB .2-=x yC .x y =D .1+=x y2. 曲线f (x )= x 3+x -2在P 0点处的切线平行于直线y = 4x -1,则P 0点的坐标为 ( ) A .(1,0) B .(2,8) C .(1,0)和(-1,-4) D .(2,8)和(-1,-4) 3.已知函数x x y 33-=,则它的单调递减区间是 ( )A.)0,(-∞B.)1,1(-C. ),0(+∞D.)1,(--∞及),1(+∞ 4.函数]0,3[13)(3-+-=在x x x f 上的最大值,最小值分别是( ) A .1,-1 B .1,-17 C .3,-17 D .9,-19 5. 已知f (x )=x 2+2x·f '(1),则f '(0)等于( )A. 0B. –2C. 2D. – 4 6. 下列求导运算正确的是( )xx x D e C x x B x x x A x x sin 2)cos (.log 3)3(.2ln 1)(log .11)1(.2322-='='='+='+ 7. 函数)2ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是( )),和(∞+-+∞---∞2)21,1(.),2(.)21,1(.)1,(.D C B A8. 设)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+, ,)(N n ∈则=')(2005x f ( ) x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--9.已知函数y = f (x )在区间(a ,b )内可导,且x 0∈(a ,b ),则000()()lim h f x h f x h h→+--=( )A .f ′(x 0)B .2f ′(x 0)C .-2f ′(x 0)D .010. 设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))((0,0x f x P 处切线的倾角的取值范围为]4,0[π,则P 点到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为( )ab D ab C aB aA21,0[.]2,0[.]21,0[.]1,0[-二.填空题:(每小4分,共16分)11. 已知m m x x x f (62)(23+-=为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为 . 12. 当∈k 时,23)(kx x x f +=在]2,0[上是减函数.13.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示, 给出下列判断:(1) 函数y=f(x)在区间(3,5)内单调递增; (2) 函数y=f(x)在区间(-1/2,3)内单调递减;(3) 函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增; (4) 当x= -1/2时,函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时,函数y=f(x)有极大值;则上述判断中正确的是 .14. .直线a y =与函数x x x f 3)(3-=的图像有相异的三个公共点,则a 的取值范围是 三.解答题:15 (本小题满分16分) 已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。

完整版)导数测试题(含答案)

完整版)导数测试题(含答案)

完整版)导数测试题(含答案)1.已知函数y=f(x)=x^2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为0.41.2.函数f(x)=2x^2-1在区间(1,1+Δx)上的平均变化率为4+4Δx。

3.设f′(x)存在,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的切线与x 轴相交但不垂直。

4.曲线y=-1/x在点(1,-1)处的切线方程为y=x-2.5.在曲线y=x^2上,且在该点处的切线倾斜角为π/4的点为(2,4)。

6.已知函数f(x)=1/x,则f′(-3)=-1/9.7.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(2,∞)。

8.“函数y=f(x)在一点的导数值为0”是“函数y=f(x)在这点取极值”的充要条件。

9.函数f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有2个。

10.函数f(x)=-x^2+4x+7,在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是f(3)和f(5)。

11.函数f(x)=x^3-3x^2-9x+k在区间[-4,4]上的最小值为-71.12.速度为零的时刻是0,1,4秒末。

13.已知函数 $y=f(x)=ax^2+2x$,且 $f'(1)=4$,则 $a=3$。

14.已知函数 $y=ax^2+b$ 在点 $(1,3)$ 处的切线斜率为 $2$,则 $b=a+1$。

15.函数 $y=x e^x$ 的最小值为 $-1/e$。

16.有一长为 $16$ m 的篱笆,要围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 $64$ $m^2$。

17.(1) $y'=6x+\cos x$;(2) $y'=\dfrac{1}{(1+x)^2}$;(3)$y'=\dfrac{1}{x}-e^x$。

18.(1) 解方程 $x^2+4=x+10$ 得 $x=3$ 或 $x=-2$,故交点为 $(3,13)$ 或 $(-2,0)$;(2) 在交点 $(3,13)$ 处,抛物线的斜率为 $6$,故该点处的切线方程为 $y=6x-5$。

11-12学年高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2

11-12学年高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2

导数及其应用综合检测时间120分钟,满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2010·全国Ⅱ文,7)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则( ) A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1[答案] A[解析] y′=2x+a,∴y′|x=0=(2x+a)|x=0=a=1,将(0,b)代入切线方程得b=1.2.一物体的运动方程为s=2t sin t+t,则它的速度方程为( )A.v=2sin t+2t cos t+1B.v=2sin t+2t cos tC.v=2sin tD.v=2sin t+2cos t+1[答案] A[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y=s(t)在t0的导数,S′=2sin t+2t cos t+1,故选A.3.曲线y=x2+3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )A.4B.5C.6D.7[答案] D[解析] 由导数的几何意义知,曲线y=x2+3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y=x2+3x在x =2时的导数,y′|x=2=7,故选D.4.函数y=x|x(x-3)|+1( )A.极大值为f(2)=5,极小值为f(0)=1B.极大值为f(2)=5,极小值为f(3)=1C.极大值为f(2)=5,极小值为f(0)=f(3)=1D.极大值为f(2)=5,极小值为f(3)=1,f(-1)=-3[答案] B[解析] y =x |x (x -3)|+1=⎩⎪⎨⎪⎧x 3-3x 2+1 (x <0或x >3)-x 3+3x 2+1 (0≤x ≤3)∴y ′=⎩⎪⎨⎪⎧3x 2-6x (x <0或x >3)-3x 2+6x (0≤x ≤3)x 变化时,f ′(x ),f (x )变化情况如下表:x (-∞,0)0 (0,2) 2 (2,3) 3 (3,+∞)f ′(x ) ++-+f (x )无极值极大值5极小值1f x 极大f f x 极小f 故应选B.5.(2009·安徽理,9)已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程是( )A .y =2x -1B .y =xC .y =3x -2D .y =-2x +3 [答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式. ∵f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8, ∴f (2-x )=2f (x )-x 2-4x +4, ∴f (x )=x 2,∴f ′(x )=2x ,∴曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为2,切线方程为y -1=2(x -1),∴y =2x -1. 6.函数f (x )=x 3+ax 2+3x -9,已知f (x )在x =-3时取得极值,则a 等于( ) A .2 B .3 C .4 D .5 [答案] D[解析] f ′(x )=3x 2+2ax +3, ∵f (x )在x =-3时取得极值, ∴x =-3是方程3x 2+2ax +3=0的根, ∴a =5,故选D.7.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是( )A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)[答案] D[解析] 令F(x)=f(x)·g(x),易知F(x)为奇函数,又当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,即F′(x)>0,知F(x)在(-∞,0)内单调递增,又F(x)为奇函数,所以F(x)在(0,+∞)内也单调递增,且由奇函数知f(0)=0,∴F(0)=0.又由g(-3)=0,知g(3)=0∴F(-3)=0,进而F(3)=0于是F(x)=f(x)g(x)的大致图象如图所示∴F(x)=f(x)·g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3),故应选D.8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是( )A.①②B.③④C.①③D.①④[答案] B[解析] ③不正确;导函数过原点,但三次函数在x =0不存在极值;④不正确;三次函数先增后减再增,而导函数先负后正再负.故应选B.9.(2010·湖南理,5)⎠⎛241xd x 等于( )A .-2ln2B .2ln2C .-ln2D .ln2 [答案] D[解析] 因为(ln x )′=1x,所以 ⎠⎛241xdx =ln x |42=ln4-ln2=ln2.10.已知三次函数f (x )=13x 3-(4m -1)x 2+(15m 2-2m -7)x +2在x ∈(-∞,+∞)是增函数,则m 的取值范围是( )A .m <2或m >4B .-4<m <-2C .2<m <4D .以上皆不正确 [答案] D[解析] f ′(x )=x 2-2(4m -1)x +15m 2-2m -7,由题意得x 2-2(4m -1)x +15m 2-2m -7≥0恒成立,∴Δ=4(4m -1)2-4(15m 2-2m -7) =64m 2-32m +4-60m 2+8m +28 =4(m 2-6m +8)≤0, ∴2≤m ≤4,故选D.11.已知f (x )=x 3+bx 2+cx +d 在区间[-1,2]上是减函数,那么b +c ( ) A .有最大值152B .有最大值-152C .有最小值152D .有最小值-152[答案] B[解析] 由题意f ′(x )=3x 2+2bx +c 在[-1,2]上,f ′(x )≤0恒成立.所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(-1)≤0f ′(2)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧2b -c -3≥04b +c +12≤0令b +c =z ,b =-c +z ,如图 过A ⎝⎛⎭⎪⎫-6,-32得z 最大, 最大值为b +c =-6-32=-152.故应选B.12.设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A .f (x )g (x )>f (b )g (b )B .f (x )g (a )>f (a )g (x )C .f (x )g (b )>f (b )g (x )D .f (x )g (x )>f (a )g (x ) [答案] C [解析] 令F (x )=f (x )g (x )则F ′(x )=f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )g 2(x )<0f (x )、g (x )是定义域为R 恒大于零的实数∴F (x )在R 上为递减函数, 当x ∈(a ,b )时,f (x )g (x )>f (b )g (b )∴f (x )g (b )>f (b )g (x ).故应选C.二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上) 13.⎠⎛-2-1d x(11+5x )3=________.[答案]772[解析] 取F (x )=-110(5x +11)2,从而F ′(x )=1(11+5x )3则⎠⎛-2-1d x(11+5x )3=F (-1)-F (-2)=-110×62+110×12=110-1360=772. 14.若函数f (x )=ax 2-1x的单调增区间为(0,+∞),则实数a 的取值范围是________.[答案] a ≥0[解析] f ′(x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫ax -1x ′=a +1x2,由题意得,a +1x2≥0,对x ∈(0,+∞)恒成立,∴a ≥-1x2,x ∈(0,+∞)恒成立,∴a ≥0.15.(2009·陕西理,16)设曲线y =xn +1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n=lg x n ,则a 1+a 2+…+a 99的值为________.[答案] -2[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质.k =y ′|x =1=n +1,∴切线l :y -1=(n +1)(x -1), 令y =0,x =n n +1,∴a n =lg nn +1, ∴原式=lg 12+lg 23+…+lg 99100=lg 12×23×…×99100=lg 1100=-2.16.如图阴影部分是由曲线y =1x,y 2=x 与直线x =2,y =0围成,则其面积为________.[答案] 23+ln2[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2=x ,y =1x ,得交点A (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x =2y =1x得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2,12.故所求面积S =⎠⎛01x d x +⎠⎛121xd x=23x 32| 10+ln x | 21=23+ln2. 三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分12分)(2010·江西理,19)设函数f (x )=ln x +ln(2-x )+ax (a >0). (1)当a =1时,求f (x )的单调区间;(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12,求a 的值.[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2),f ′(x )=1x -12-x+a ,(1)当a =1时,f ′(x )=-x 2+2x (2-x ),所以f (x )的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,2);(2)当x ∈(0,1]时,f ′(x )=2-2xx (2-x )+a >0,即f (x )在(0,1]上单调递增,故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)=a ,因此a =12.18.(本题满分12分)求曲线y =2x -x 2,y =2x 2-4x 所围成图形的面积.[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x -x 2,y =2x 2-4x 得x 1=0,x 2=2.由图可知,所求图形的面积为S =⎠⎛02(2x -x 2)d x +|⎠⎛02(2x 2-4x )d x |=⎠⎛02(2x -x 2)d x -⎠⎛02(2x 2-4x )d x .因为⎝⎛⎭⎪⎫x 2-13x 3′=2x -x 2,⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3-2x 2′=2x 2-4x ,所以S =⎝⎛⎭⎪⎫x 2-13x 3⎪⎪⎪20-⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 3-2x 2⎪⎪⎪2=4.19.(本题满分12分)设函数f (x )=x 3-3ax +b (a ≠0).(1)若曲线y =f (x )在点(2,f (2))处与直线y =8相切,求a ,b 的值; (2)求函数f (x )的单调区间与极值点.[分析] 考查利用导数研究函数的单调性,极值点的性质,以及分类讨论思想. [解析] (1)f ′(x )=3x 2-3a .因为曲线y =f (x )在点(2,f (2))处与直线y =8相切,所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(2)=0,f (2)=8.即⎩⎪⎨⎪⎧3(4-a )=0,8-6a +b =8.解得a =4,b =24.(2)f ′(x )=3(x 2-a )(a ≠0).当a <0时,f ′(x )>0,函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数f (x )没有极值点. 当a >0时,由f ′(x )=0得x =±a .当x ∈(-∞,-a )时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增; 当x ∈(-a ,a )时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减; 当x ∈(a ,+∞)时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增. 此时x =-a 是f (x )的极大值点,x =a 是f (x )的极小值点. 20.(本题满分12分)已知函数f (x )=12x 2+ln x .(1)求函数f (x )的单调区间; (2)求证:当x >1时,12x 2+ln x <23x 3.[解析] (1)依题意知函数的定义域为{x |x >0}, ∵f ′(x )=x +1x,故f ′(x )>0,∴f (x )的单调增区间为(0,+∞). (2)设g (x )=23x 3-12x 2-ln x ,∴g ′(x )=2x 2-x -1x,∵当x >1时,g ′(x )=(x -1)(2x 2+x +1)x>0,∴g (x )在(1,+∞)上为增函数, ∴g (x )>g (1)=16>0,∴当x >1时,12x 2+ln x <23x 3.21.(本题满分12分)设函数f (x )=x 3-92x 2+6x -a .(1)对于任意实数x, f ′(x )≥m 恒成立,求m 的最大值; (2)若方程f (x )=0有且仅有一个实根,求a 的取值范围.[分析] 本题主要考查导数的应用及转化思想,以及求参数的范围问题. [解析] (1)f ′(x )=3x 2-9x +6=3(x -1)(x -2).因为x ∈(-∞,+∞).f ′(x )≥m ,即3x 2-9x +(6-m )≥0恒成立. 所以Δ=81-12(6-m )≤0,得m ≤-34,即m 的最大值为-34.(2)因为当x <1时,f ′(x )>0;当1<x <2时,f ′(x )<0;当x >2时f ′(x )>0. 所以当x =1时,f (x )取极大值f (1)=52-a ,当x =2时,f (x )取极小值f (2)=2-a .故当f (2)>0或f (1)<0时,方程f (x )=0仅有一个实根,解得a <2或a >52.22.(本题满分14分)已知函数f (x )=-x 3+ax 2+1(a ∈R ).(1)若函数y =f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0,23上递增,在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞上递减,求a 的值; (2)当x ∈[0,1]时,设函数y =f (x )图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,若给定常数a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞,求θ的取值范围;(3)在(1)的条件下,是否存在实数m ,使得函数g (x )=x 4-5x 3+(2-m )x 2+1(m ∈R )的图象与函数y =f (x )的图象恰有三个交点.若存在,请求出实数m 的值;若不存在,试说明理由.[解析] (1)依题意f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23=0,由f ′(x )=-3x 2+2ax ,得-3⎝ ⎛⎭⎪⎫232+2a ·23=0,即a =1.(2)当x ∈[0,1]时,tan θ=f ′(x )=-3x 2+2ax =-3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 32+a23.由a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞,得a 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞. ①当a 3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1,即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤32,3时,f ′(x )max =a 23,f (x )min =f ′(0)=0.此时0≤ta n θ≤a 23.②当a3∈(1,+∞),即a ∈(3,+∞)时,f ′(x )max =f ′(1)=2a -3,f ′(x )min =f ′(0)=0,此时,0≤tan θ≤2a -3.又∵θ∈[0,π),∴当32<a ≤3时,θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,arctan a 23, 当a >3时,θ∈[0,arctan(2a -3)].(3)函数y =f (x )与g (x )=x 4-5x 3+(2-m )x 2+1(m ∈R )的图象恰有3个交点,等价于方程-x 3+x 2+1=x 4-5x 3+(2-m )x 2+1恰有3个不等实根,∴x 4-4x 3+(1-m )x 2=0,显然x =0是其中一个根(二重根),方程x 2-4x +(1-m )=0有两个非零不等实根,则⎩⎪⎨⎪⎧Δ=16-4(1-m )>01-m ≠0∴m >-3且m ≠1故当m >-3且m ≠1时,函数y =f (x )与y =g (x )的图象恰有3个交点.。

高等数学第一章测试题

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高等数学第一章测试题测试题一:导数与求导法则1. 求以下函数的导数:(a) $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 7x + 4$(b) $y = \sqrt{2x^3 + 5x^2 - 3x + 1}$(c) $y = e^x \cdot \ln{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$2. 利用导数的定义计算以下函数在给定点处的导数:(a) $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$,在点$x = 2$处的导数(b) $g(x) = \frac{1}{x^2}$,在点$x = -1$处的导数(c) $h(x) = \sin{x}$,在点$x = \frac{\pi}{4}$处的导数3. 根据给定函数的导数,确定函数的表达式:(a) 已知函数$f'(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$,求$f(x)$。

(b) 已知函数$g'(x) = \frac{1}{x^2} - 3x$,求$g(x)$。

(c) 已知函数$h'(x) = e^x \cdot \cos{x}$,求$h(x)$。

测试题二:微分与应用1. 计算以下函数在给定点处的微分:(a) $y = \sqrt{x^2 + 3x + 2}$,在点$x = 2$处的微分(b) $y = e^x \cdot \ln{x}$,在点$x = 1$处的微分(c) $y = \sin{x} \cdot \cos{2x}$,在点$x = \frac{\pi}{6}$处的微分2. 使用微分,求以下函数的近似值:(a) $f(x) = \sqrt[3]{x}$,当$x$接近于$8$时的近似值(b) $g(x) = \ln{(1 + x)}$,当$x$接近于$0$时的近似值(c) $h(x) = e^{2x}$,当$x$接近于$0$时的近似值3. 利用微分进一步求解以下问题:(a) 当物体从起点开始以速度$v(t) = 5t - 2$移动时,求$t = 3$时的位移。

导数及其应用(压轴题) Word版含解析

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2.4导数及其应用(压轴题)命题角度1利用导数研究函数的单调性高考真题体验·对方向1.(2016北京·18)设函数f(x)=x e a-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.2.(2016四川·21)设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).新题演练提能·刷高分1.(2018北京海淀模拟)已知函数f(x)=x3+x2+ax+1.(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围.2.(2018江西师大附中模拟)已知函数f(x)=(2-m)ln x++2mx.(1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.3.(2018山东烟台期末)已知函数f(x)=ln x+-x+1-a(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若存在x>1,使f(x)+x<成立,求整数a的最小值.4.(2018重庆二诊)已知函数f(x)=-1e x+(x>0,a∈R).(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围;(2)当a∈(-3,-e)时,判断关于x的方程f(x)=2的解的个数.命题角度2函数的单调性与极值、最值的综合应用高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·21)已知函数f(x)=-x+a ln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:<a-2.2.(2017北京·19)已知函数f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.3.(2017全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=ax2-ax-x ln x,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<f(x0)<2-2.4.(2017山东·20)已知函数f(x)=x2+2cos x,g(x)=e x(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.5.(2016全国Ⅱ·21)(1)讨论函数f(x)=e x的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e x+x+2>0;(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北重点高中协作体联考)已知函数f(x)=.(1)求函数f(x)的极值点;(2)设g(x)=xf(x)-ax2+(a>0),若g(x)的最大值大于-1,求a的取值范围.2.(2018河南中原名校质量考评)已知函数f(x)=e x-x2+ax.(1)当a>-1时,试判断函数f(x)的单调性;(2)若a<1-e,求证:函数f(x)在[1,+∞)上的最小值小于.3.(2018安徽合肥第二次质检)已知函数f(x)=(x-1)e x-ax2(e是自然对数的底数).(1)判断函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(2)若∀x∈R,f(x)+e x≥x3+x,求a的取值范围.4.(2018山东青岛一模)已知函数f(x)=a e2x-a e x-x e x(a≥0,e=2.718…,e为自然对数的底数),若f(x)≥0对于x∈R恒成立.(1)求实数a的值;(2)证明:f(x)存在唯一极大值点x0,且≤f(x0)<.命题角度3利用导数研究函数的零点或方程的根高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=e x-ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.2.(2017全国Ⅱ·21)已知函数f(x)=a e2x+(a-2)e x-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.3.(2015全国Ⅰ·21)已知函数f(x)=x3+ax+,g(x)=-ln x.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.新题演练提能·刷高分1.(2018湖北黄冈等八市联考)已知函数f(x)=e x,g(x)=.(1)设函数F(x)=f(x)+g(x),试讨论函数F(x)零点的个数;(2)若a=-2,x>0,求证:f(x)·g(x)>.2.(2018广东深圳第二次调研)设函数f(x)=e x-1-a ln x,其中e为自然对数的底数.(1)若a=1,求f(x)的单调区间;(2)若0≤a≤e,求证:f(x)无零点.3.(2018山东济南一模)已知函数f(x)=a ln x-x2+(2a-1)x(a∈R)有两个不同的零点.(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2>2a.命题角度4导数与不等式高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅲ·21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.2.(2016全国Ⅲ·21)设函数f(x)=αcos 2x+(α-1)·(cos x+1),其中α>0,记|f(x)|的最大值为A.(1)求f'(x);(2)求A;(3)证明:|f'(x)|≤2A.新题演练提能·刷高分1.(2018河北唐山二模)设f(x)=,g(x)=a x+x a.(1)证明:f(x)在(0,1)上单调递减;(2)若0<a<x<1,证明:g(x)>1.2.(2018河南郑州第二次质量检测)已知函数f(x)=e x-x2.(1)求曲线f(x)在x=1处的切线方程;(2)求证:当x>0时,≥ln x+1.3.(2018山西太原二模)已知函数f(x)=m ln x-e-x(m≠0).(1)若函数f(x)是单调函数,求实数m的取值范围;(2)证明:对于任意的正实数a,b,当a>b时,都有e1-a-e1-b>1-.4.(2018河北石家庄一模)已知函数f(x)=(x+b)(e x-a)(b>0)在(-1,f(-1))处的切线方程为(e-1)x+e y+e-1=0.(1)求a,b;(2)若方程f(x)=m有两个实数根x1,x2,且x1<x2,证明:x2-x1≤1+.命题角度5恒成立与存在性问题高考真题体验·对方向(2017全国Ⅲ·21)已知函数f(x)=x-1-a ln x.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,1+1+…1+<m,求m的最小值.新题演练提能·刷高分1.(2018江西南昌一模)已知函数f(x)=ln(ax)+bx在点(1,f(1))处的切线方程是y=0.(1)求函数f(x)的极值;(2)当≥f(x)+x(m<0)恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数).2.(2018河北唐山一模)已知函数f(x)=e x-1,g(x)=ln x+a.(1)设F(x)=xf(x),求F(x)的最小值;(2)证明:当a<1时,总存在两条直线与曲线y=f(x)与y=g(x)都相切.3.(2018河北衡水中学模拟)已知函数f(x)=.(1)确定函数f(x)在定义域上的单调性;若f(x)≤k e x在(1,+∞)上恒成立,求实数k的取值范围.4.(2018山东潍坊一模)函数f(x)=e x sin x,g(x)=(x+1)cos x-e x.(1)求f(x)的单调区间;(2)对∀x1∈0,,∃x2∈0,,使f(x1)+g(x2)≥m成立,求实数m的取值范围;(3)设h(x)=·f(x)-n·sin 2x在0,上有唯一零点,求正实数n的取值范围.。

高中数学导数及其应用多选题测试试题含答案

高中数学导数及其应用多选题测试试题含答案

高中数学导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1.已知函数()f x 对于任意x ∈R ,均满足()()2f x f x =-.当1x ≤时()ln ,01,0x x x f x e x <≤⎧=⎨≤⎩,若函数()()2g x m x f x =--,下列结论正确的为( )A .若0m <,则()g x 恰有两个零点B .若32m e <<,则()g x 有三个零点 C .若302m <≤,则()g x 恰有四个零点 D .不存在m 使得()g x 恰有四个零点 【答案】ABC 【分析】设()2h x m x =-,作出函数()g x 的图象,求出直线2y mx =-与曲线()ln 01y x x =<<相切以及直线2y mx =-过点()2,1A 时对应的实数m 的值,数形结合可判断各选项的正误. 【详解】由()()2f x f x =-可知函数()f x 的图象关于直线1x =对称. 令()0g x =,即()2m x f x -=,作出函数()f x 的图象如下图所示:令()2h x m x =-,则函数()g x 的零点个数为函数()f x 、()h x 的图象的交点个数,()h x 的定义域为R ,且()()22h x m x m x h x -=--=-=,则函数()h x 为偶函数,且函数()h x 的图象恒过定点()0,2-,当函数()h x 的图象过点()2,1A 时,有()2221h m =-=,解得32m =. 过点()0,2-作函数()ln 01y x x =<<的图象的切线, 设切点为()00,ln x x ,对函数ln y x =求导得1y x'=, 所以,函数ln y x =的图象在点()00,ln x x 处的切线方程为()0001ln y x x x x -=-, 切线过点()0,2-,所以,02ln 1x --=-,解得01x e=,则切线斜率为e , 即当m e =时,函数()y h x =的图象与函数()ln 01y x x =<<的图象相切. 若函数()g x 恰有两个零点,由图可得0m ≤或m e =,A 选项正确; 若函数()g x 恰有三个零点,由图可得32m e <<,B 选项正确; 若函数()g x 恰有四个零点,由图可得302m <≤,C 选项正确,D 选项错误. 故选:ABC. 【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用; (2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由()0f x =分离变量得出()a g x =,将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2.在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L.E.Brouwer )简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ,存在一个点0x ,使得()00f x x =,那么我们称该函数为“不动点”函数,而称0x 为该函数的一个不动点,依据不动点理论,下列说法正确的是( ) A .函数()sin f x x =有3个不动点B .函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C .若定义在R 上的奇函数()f x ,其图像上存在有限个不动点,则不动点个数是奇数 D.若函数()f x =[0,1]上存在不动点,则实数a 满足l a e ≤≤(e 为自然对数的底数) 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义,结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-,()1cos 0g x x '=-≥, 因此()g x 在R 上单调递增,而(0)0g =, 所以()g x 在R 有且仅有一个零点, 即()f x 有且仅有一个“不动点”,A 错误;0a ≠,20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根,所以()f x 至多有两个“不动点”,B 正确;()f x 为定义在R 上的奇函数,所以(0)0f =,函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数,显然0x =是()f x 的一个“不动点”,其它的“不动点”都关于原点对称,个数和为偶数, 因此()f x 一定有奇数个“不动点”,C 正确;因为()f x 在[0,1]存在“不动点”,则()f x x =在[0,1]有解,x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解,令2()xm x e x x =+-,()12x m x e x '=+-,令()12x n x e x '=+-,()20x n x e '=-=,ln 2x =,()n x 在(0,ln 2)单调递减,在(ln 2,1)单调递增,∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->, ∴()0m x '>在[0,1]恒成立,∴()m x 在[0,1]单调递增,min ()(0)1m x m ==,max ()(1)m x m e ==,∴1a e ≤≤,D 正确,. 故选:BCD 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.3.对于函数2ln ()xf x x =,下列说法正确的是( )A .()f x 在x =12eB .()f x 有两个不同的零点C .fff <<D .若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立,则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x ,根据导数的符号,求得函数的单调区间和极值,可判定A 正确;根据函数的单调性和()10f =,且x >()0f x >,可判定B 不正确;由函数的单调性,得到f f >,再结合作差比较,得到f f >,可判定C 正确;分离参数得到()221ln 1x k f x x x+>+=在()0,∞+上恒成立,令()2ln 1x g x x+=,利用导数求得函数()g x 的单调性与最值,可判定D 正确. 【详解】由题意,函数2ln ()x f x x =,可得312ln ()(0)xf x x x -'=>,令()0f x '=,即312ln 0xx-=,解得x =当0x <<()0f x '>,函数()f x 在上单调递增;当x >()0f x '<,函数()f x 在)+∞上单调递减,所以当x =()f x 取得极大值,极大值为12f e=,所以A 正确; 由当1x =时,()10f =,因为()f x 在上单调递增,所以函数()f x 在上只有一个零点,当x >()0f x >,所以函数在)+∞上没有零点,综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点,所以B 不正确;由函数()f x 在)+∞上单调递减,可得f f >,由于ln ln 2ln ,242f f ππ====,则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-,因为22ππ>,所以0f f ->,即f f >,所以ff f <<,所以C 正确;由()21f x k x <-在()0,∞+上恒成立,即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立, 设()2ln 1x g x x +=,则()32ln 1x g x x --'=, 令()0g x '=,即32ln 10x x--=,解得x =所以当0x <<()0g x '>,函数()g x在上单调递增;当x >()0g x '<,函数()g x在)+∞上单调递减,所以当x =()g x取得最大值,最大值为22e eg e =-=, 所以2ek >,所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.4.已知0a >,0b >,下列说法错误的是( ) A .若1a b a b ⋅=,则2a b +≥ B .若23a b e a e b +=+,则a b > C .()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D .2ln a a b b e e-<恒成立 【答案】AD 【分析】对A 式化简,通过构造函数的方法,结合函数图象,说明A 错误;对B 不等式放缩22a b e a e b +>+,通过构造函数的方法,由函数的单调性,即可证明B 正确;对C 不等式等价变型()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ,通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立,可得C 正确;D 求出ln -a a b b e 的最大值,当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号,故D 错误.【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =,()()0∴+=f a f b由图可知,当1+→b 时,存在0+→a ,使()()0f a f b += 此时1+→a b ,故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增,a b ∴>,B 正确C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ,ln 1∴≥-a bb a,C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =; min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e;所以2ln -≤a a b b e e ,当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号,D 错误.故选:AD 【点睛】本题考查了导数的综合应用,考查了运算求解能力和逻辑推理能力,转化的数学思想和数形结合的数学思想,属于难题.5.设函数()ln xf x x=,()ln g x x x =,下列命题,正确的是( ) A .函数()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞单调递减 B .不等关系33e e ππππ<<<成立C .若120x x <<时,总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立,则1a ≥D .若函数()()2h x g x mx =-有两个极值点,则实数()0,1m ∈【答案】AC 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A 选项的正误;由函数()f x 在区间(),e +∞上的单调性比较3π、e π的大小关系,可判断B 选项的正误;分析得出函数()()22s x g x ax=-在()0,∞+上为减函数,利用导数与函数单调性的关系求出a 的取值范围,可判断C 选项的正误;分析出方程1ln 2xm x+=在()0,∞+上有两个根,数形结合求出m 的取值范围,可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项,函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+,则()21ln xf x x-'=. 由()0f x '>,可得0x e <<,由()0f x '>,可得x e >.所以,函数()f x 在()0,e 上单调递增,在(),e +∞单调递减,A 选项正确; 对于B 选项,由于函数()ln xf x x=在区间(),e +∞上单调递减,且4e π>>, 所以,()()4f f π>,即ln ln 44ππ>,又ln 41ln 213ln 22043236--=-=>, 所以,ln ln 4143ππ>>,整理可得3e ππ>,B 选项错误; 对于C 选项,若120x x <<时,总有()()()22212122a x x g x g x ->-恒成立,可得()()22112222g x ax g x ax ->-,构造函数()()2222ln s x g x ax x x ax =-=-,则()()12s x s x >,即函数()s x 为()0,∞+上的减函数,()()21ln 20s x x ax '=+-≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立,即1ln xa x+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立, 令()1ln x t x x +=,其中0x >,()2ln xt x x'=-. 当01x <<时,()0t x '>,此时函数()t x 单调递增; 当1x >时,()0t x '<,此时函数()t x 单调递减.所以,()()max 11t x t ==,1a ∴≥,C 选项正确;对于D 选项,()()22ln h x g x mx x x mx =-=-,则()1ln 2h x x mx '=+-,由于函数()h x 有两个极值点,令()0h x '=,可得1ln 2xm x+=, 则函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点, 当1x e>时,()0t x >,如下图所示:当021m <<时,即当102m <<时,函数2y m =与函数()t x 在区间()0,∞+上的图象有两个交点.所以,实数m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,D 选项错误. 故选:AC. 【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图象,然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用; (2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;(3)参变量分离法:由()0f x =分离变量得出()a g x =,将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.6.已知函数1()2ln f x x x=+,数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =,()()*1N n n a f a n +=∈,则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是( )A .21a a <B .1n a >C .100100S <D .112n n n a a a +⋅+<【答案】AB 【分析】A .计算出2a 的值,与1a 比较大小并判断是否正确;B .利用导数分析()f x 的最小值,由此判断出1n a >是否正确;C .根据n a 与1的大小关系进行判断;D .构造函数()()1ln 11h x x x x =+->,分析其单调性和最值,由此确定出1ln 10nn a a +->,将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>,再将112n n a a ++>变形可判断结果.【详解】A 选项,3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=,A 正确;B 选项,因为222121()x f x x x x='-=-,所以当1x >时,()0f x '>,所以()f x 单增,所以()(1)1f x f >=,因为121a =>,所以()11n n a f a +=>,所以1n a >,B 正确; C 选项,因为1n a >,所以100100S >,C 错误;D 选项,令1()ln 1(1)h x x x x =+->,22111()0x h x x x x-='=->, 所以()h x 在(1,)+∞单调递增,所以()(1)0h x h >=,所以1ln 10nna a +->, 则22ln 20n n a a +->,所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭,即112n n a a ++>,所以112n n n a a a ++>,所以D 错误. 故选:AB. 【点睛】易错点睛:本题主要考查导数与数列的综合问题,属于难题.解决该问题应该注意的事项: (1)转化以函数为背景的条件时,应该注意题中的限制条件,如函数的定义域,这往往是很容易被忽视的问题;(2)利用函数的方法研究数列中的相关问题时,应准确构造相应的函数,注意数列中相关限制条件的转化.7.已知函数()ln f x x mx =-有两个零点1x 、2x ,且12x x <,则下列结论不正确的是( ) A .10m e<<B .21x x -的值随m 的增大而减小C .101x <<D .2x e >【答案】C 【分析】由()0f x =得出ln xm x =,构造函数()ln x g x x=,利用导数分析函数()g x 的单调性与极值,数形结合可判断ACD 选项的正误;任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且12m m <,设()()121g g m ξξ==,其中121e ξξ<<<;设()()122g g m ηη==,其中121e ηη<<<,利用函数()g x 的单调性结合不等式的基本性质得出2121ξξηη->-,可判断B 选项的正误. 【详解】令()0f x =,可得ln xm x =,构造函数()ln x g x x=,定义域为()0,∞+,()1ln xg x x-'=. 当0x e <<时, ()0g x '>,此时函数()g x 单调递增; 当x e >时,()0g x '<,此时函数()g x 单调递减. 所以,()()max 1g x g e e==,如下图所示:由图象可知,当10m e <<时,直线y m =与函数()ln x g x x=的图象有两个交点,A 选项正确;当1x >时,()0g x >,由图象可得11x e <<,2x e >,C 选项错误,D 选项正确;任取1m 、210,m e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且12m m <,设()()121g g m ξξ==,其中121e ξξ<<<;设()()122g g m ηη==,其中121e ηη<<<.由于函数()g x 在区间()1,e 上单调递增,且()()11g g ξη<,11ξη∴<; 函数()g x 在区间(),e +∞上单调递减,且()()22g g ξη<,22ξη∴>. 由不等式的基本性质可得1212ξξηη-<-,则2121ξξηη->-. 所以,21x x -的值随m 的增大而减小,B 选项正确. 故选:C. 【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中,可转化为判定()m g x =有两个实根时实数m 应满足的条件,并注意()g x 的单调性、奇偶性、最值的灵活应用.另外还可作出函数()y g x =的大致图象,直观判定曲线交点个数,但应注意严谨性,进行必要的论证.8.已知实数a ,b ,c ,d 满足2111a a e cb d --==-,其中e 是自然对数的底数,则()()22a c b d -+-的值可能是( ) A .7B .8C .9D .10【答案】BCD【分析】 由题中所给的等式,分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+,则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方,利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时,切点到直线的距离最小,再比较选项.【详解】 由212a a a e b a e b-=⇒=-,令()2x f x x e =-,()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-,令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方,设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=,∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选:BCD.【点睛】本题考查构造函数,利用导数的几何意义求两点间距离的最小值,重点考查转化思想,构造函数,利用几何意义求最值,属于偏难题型.。

第一章导数及其应用单元试卷含答案详解(打印版)

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第一章 导数及其应用 本章练测建议用时 实际用时满分 实际得分120分钟150分一、 选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若'0()3f x =-,则000()(3)limh f x h f x h h →+--=( )A .3-B .6-C .9-D .12- 2.函数323922yx x x x 有( )A .极大值5,极小值27-B .极大值5,极小值11-C .极大值5,无极小值D .极小值27-,无极大值 3.函数xx y 142+=的单调递增区间是( ) A .),0(+∞ B .)1,(-∞C .),21(+∞ D .),1(+∞4.函数xxy ln =的最大值为( )A .1e -B .eC .2eD .3105.已知曲线32114732y x x x =++-在点Q 处的切线的倾斜角α满足216sin 17α=,则此切线的方程为( )470x y -+=或B.C.470x y --=或D.470x y --=6.抛物线在点M处的切线倾斜角是( )A .30°B .45°C .60°D .90° 7.已知函数y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(-∞,0)时,不等式恒成立.若,,,则a 、b 、c 的大小关系是( )A .B .C .D .8.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内的极小值点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个abxy)(x f y ?=O9.已知函数f (x )=12x 3-x 2-72x ,则f (-a 2)与f (-1)的大小关系为( )A .f (-a 2)f (-1)B .f (-a 2)f (-1)C .f (-a 2)f (-1)D .f (-a 2)与f (-1)的大小关系不确定10.已知函数f (x )=x 3+(1-a )x 2-a (a +2)x +b -2(a ≠1)的图象过原点,且在原点处的切线的斜率是-3,则不等式组所确定的平面区域在圆x 2+y 2=4内的面积为( )A .π B. π2C. π3 D .2π11.已知函数f (x )=x 3+mx 2+(m +6)x +1既存在极大值又存在极小值,则实数m 的取值范围是( )A .(-1,2)B .(-∞,-3)∪(6,+∞)C .(-3,6)D .(-∞,-1)∪(2,+∞) 12.设f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x <0时,f ′(x )g (x )+f(x )g ′(x )>0,且g (-3)=0,则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A .(-3,0)∪(3,+∞)B .(-3,0)∪(0,3)C .(-∞,-3)∪(3,+∞)D .(-∞,-3)∪(0,3)二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分) 13.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则______.a = 14.若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数,则,,a b c 的关系式为 .15.已知sin (ππ)1cos xy x x=∈-+,,,当2y '=时,x = .14.在曲线的切线斜率中斜率最小的切线方程是_________.三、解答题(本题共5小题,共74分) 17.(本小题满分14分)求下列函数的导数: (1);(2);(3)y =(1-).19.(本小题满分14分)已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1),且在1x =处的切线方程是2y x =-.(1)求)(x f y =的解析式;21.(本小题满分16分)已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(1)若2a =,求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率;(2)求()f x 的单调区间;(3)设2()22g x x x =-+,若对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]20,1x ∈,使得12()()f x g x <,求a 的取值范围.22.(本小题满分16分)已知平面向量,若存在不同时为0的实数k和t ,使2(3),,t k t =+-=-+x a b y a b 且⊥x y ,试确定函数()k f t =的单调区间.第三章导数及其应用本章练测答题纸得分:_________一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题13.___________ 14. ___________ 15. ___________ 16. ___________三、解答题17.18.19.20.21.第一章 导数及其应用 本章练测答案一、 选择题 1.D 解析:'0000000()(3)()(3)lim4lim 4()12.4h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===-2.C 解析:令'23690, 1.yx x x =--==-得 或33时,不满足题意,故舍去.当x 在(-2,2)上变化时,的变化情况如下表: x(-2,-1)-1 (-1,2)+0 - y5由上表可知,函数y 有极大值5,无极小值.3.C 解析:令3'322181180,810,.2x y x x x x x -=-=>->>即得 4.A 解析:令'''22(ln )ln 1ln 0, e.x x x x xy x x x -⋅-====得当x 变化时,随x 的变化情况如下表:x(0,e)e(e ,+∞)+ 0-y由上表可知,函数y 在x =e 时取得最大值,最大值.5.C 解析:由得则切线的斜率.因为,当,此时点Q的坐标为(0,)或当时,没有满足题意的点,故舍去.6.B 解析:因为,所以抛物线在点处的切线斜率为1,倾斜角为.7.C 解析:设g(x)=xf(x),由y=f(x)为R上的奇函数,可知g(x)为R上的偶函数.而g′(x)=[xf(x)]′=f(x)+xf′(x).由已知得,当x∈(-∞,0)时,g′(x)>0,故函数g(x)在(-∞,0)上单调递增.由偶函数的性质可知,函数g(x)在(0,+∞)上单调递减.因为=g(-2)=g(2),且,故.8.A 解析:若处取得极小值点,则,在的左侧,在的右侧.据此可知,f(x)在开区间(a,b)内的极小值点有1个.9.A 解析:由题意可得.由=12(3x-7)(x+1)=0,得x=-1或x=73.当时,为增函数;当时,为减函数,当x>时,为增函数.所以f(-1)是函数f(x)在(-∞,0]上的最大值.又因为-a2≤0,故f(-a2)≤f(-1).10.B 解析:由题意得.解得则不等式组为如图所示,阴影部分的面积即为所求.易知图中两锐角的正切值分别是.设两直线的夹角为,则tan =tan()=12+131-12×13=1,所以=π4,而圆的半径是2,所以不等式组所确定的区域在圆内的面积.11.B 解析:函数f (x )=x 3+mx 2+(m +6)x +1既存在极大值又存在极小值, 所以方程有两个不同的实数根. 由得m 的取值范围为.12.D 解析:因为,则在x <0时递增.又因为分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以为奇函数,关于原点对称,所以在x >0时也是增函数.因为所以当时,可转化为,即; 当时,可转化为,即.二、填空题13. 解析:设切点P (x 0,y 0).因为,所以.由题意知x 0-y 0-1=0, ①y 0=ax 02, ② 2ax 0=1, ③ 由①②③解得:.14.23b ac ≤ 解析:由题意知'2()320f x ax bx c =++≥恒成立,已知则,即15. 解析:14.3x -y -11=0 解析:因为,令切线的斜率,当k 取最小值时,,此时切线的斜率为3,切点为(-1,-14),切线方程为,即.三、解答题 17.解:(1)因为,所以(2)因为=,所以(3)因为==,所以=18.解:(1)因为c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1),所以1c = ①.'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+= ②.由题意得切点为(1,1)-,则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-,得 ③.联立①②③得(2)令得当x 变化时,x- 0 + 0 - 0 +由上表可知,函数的单调递增区间为19.解:(1)由题设,f '(1)=-2a =-2,所以a =1,此时f (1)=0,切线方程为y =-2(x -1),即2x +y -2=0. (2),令=1-8a .当a ≥ 1 8时,≤0,f '(x )≤0,f (x )在(0,+∞)单调递减.当0<a < 18时,>0,方程+1=0有两个不相等的正根,不妨设,则当时,f '(x )<0,当时,f '(x )>0, 这时f (x )不是单调函数.综上,a 的取值范围是[ 1 8,+). 20.解:(1)由已知1()2(0)f x x x'=+>,(1)213f '=+=. 故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3.(2)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ①当0a ≥时,由于0x >,故10ax +>,'()0f x >, 所以函数()f x 的单调递增区间为. ②当0a <时,由'()0f x =,得1x a=-. 在区间1(0,)a-上,()0f x '>;在区间1(,)a -+∞上,()0f x '<, 所以函数()f x 的单调递增区间为,单调递减区间为.(3)由已知,转化为max max ()()f x g x <,max ()2g x =.由(2)知,当0a ≥时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增,值域为R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在33(e )e 32f a =+>,故不符合题意.)当0a <时,函数()f x 在上单调递增,在上单调递减, 故()f x 的极大值即为最大值,11()1ln()1ln()f a aa -=-+=----, 所以21ln()a >---,解得31ea <-. 21.解:由13(3,1),(,)2=-=ab 得0,2, 1.===a b a b 22222[(3)]()0,(3)(3)0t k t k t k t t t =+--+=-+--+-=即,x y a b a b a a b a b b331430,()(3).4k t t k f t t t -+-===-即可化为 令当t 变化时,的变化情况如下表: t -1 (-1,1) 1 (1,+)+0 -0 +由上表可知,的单调递增区间为单调递减区间为。

高二数学第一章导数及其应用单元试卷含答案详解

高二数学第一章导数及其应用单元试卷含答案详解

.
15. 已知 y x
sin x ,x 1 cos x

( π, π) ,当 y
2 时,
14. 在曲线
的切线斜率中斜
率最小的切线方程是 _________.
三、解答题 (本题共 5 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 14 分)求下列函数的导数:
(1)

(2)

(3) y=(1- )
.
19.( 本小题满分 14 分)已知 f ( x) ax4 bx2 c 的图象经过点 (0,1) ,且在 x 1 处的切线方程是 y x 2. ( 1)求 y f ( x) 的解析式;
D. ( -∞,- 3) ∪ (0 , 3)
二、 填空题 (本题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分)
13. 已知直线 x y 1 0 与抛物线 y ax2 相切,
则 a ______.
14.若 f (x) ax3 bx2 cx d (a 0) 在 R 上是
增函数,则 a,b,c 的关系式为
第一章 导数及其应用 本章练测
建议用时 120 分钟
实际用时
满分 ห้องสมุดไป่ตู้50 分
实际得分
一、 选 择题 (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60
分)
1. 若 f ' ( x0 )
3 ,则 lim f ( x0 h) f ( x0 3h)
h0
h
=( )
A. 3
B. 6
C. 9 D. 12
2. 函 数
在开区间 (a,b) 内的极小值点有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
y
y f ( x)

高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2

高中数学 第一章 导数及其应用 1.1.3 导数的几何意义学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2

导数的几何意义学业分层测评 (建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为2x -y +2=0,则f ′(1)=( ) A .4 B .-4 C .-2 D .2【解析】 由导数的几何意义知f ′(1)=2,故选D. 【答案】 D2.直线y =kx +1与曲线y =x 2+ax +b 相切于点A (1,3),则2a +b 的值等于( ) A .2 B .-1 C .1D .-2【解析】 依导数定义可求得y ′=3x 2+a ,则⎩⎪⎨⎪⎧12+a +b =3,3×12+a =k ,k +1=3,由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =3,k =2,所以2a +b =1,选C.【答案】 C3.已知曲线y =x 3在点P 处的切线的斜率k =3,则点P 的坐标是( ) A .(1,1)B .(-1,1)C .(1,1)或(-1,-1)D .(2,8)或(-2,-8)【解析】 因为y =x 3,所以y ′=lim Δx →0x +Δx 3-x 3Δx =lim Δx →0[3x 2+3x ·Δx +(Δx )2]=3x 2.由题意,知切线斜率k =3,令3x 2=3,得x =1或x =-1. 当x =1时,y =1;当x =-1时,y =-1. 故点P 的坐标是(1,1)或(-1,-1). 【答案】 C4.(2016·某某高二检测)若曲线f (x )=x 2的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则l 的方程为( )A .4x -y -4=0B .x +4y -5=0C .4x -y +3=0D .x +4y +3=0【解析】 设切点为(x 0,y 0),∵f ′(x )=lim Δx →0x +Δx 2-x 2Δx =lim Δx →0(2x +Δx )=2x .由题意可知,切线斜率k =4,即f ′(x 0)=2x 0=4,∴x 0=2,∴切点坐标为(2,4),∴切线方程为y -4=4(x -2),即4x -y -4=0,故选A.【答案】 A5.曲线y =1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2处的切线的斜率为( )A .2B .-4C .3 D.14【解】 因为y ′=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →01x +Δx -1x Δx =lim Δx →0-1x 2+x ·Δx =-1x 2,所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2处的切线斜率为k =y ′|x =12=-4.【答案】 B 二、填空题6.已知函数y =f (x )的图象如图1­1­5所示,则函数y =f ′(x )的图象可能是__________(填序号).图1­1­5【解析】 由y =f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x =0时f ′(x )=0,当x >0时f ′(x )<0,故②符合.【答案】②7.曲线y =x 2-2x +3在点A (-1,6)处的切线方程是 __________.【解析】 因为y =x 2-2x +3,切点为点A (-1,6),所以斜率k =y ′|x =-1=limΔx →0-1+Δx2-2-1+Δx +3-1+2+3Δx=lim Δx →0(Δx -4)=-4,所以切线方程为y -6=-4(x +1),即4x +y -2=0. 【答案】 4x +y -2=08.若曲线y =x 2+2x 在点P 处的切线垂直于直线x +2y =0,则点P 的坐标是__________. 【解析】 设P (x 0,y 0),则y ′|x =x 0=limΔx →0x 0+Δx2+2x 0+Δx -x 20-2x 0Δx=lim Δx →0(2x 0+2+Δx )=2x 0+2.因为点P 处的切线垂直于直线x +2y =0, 所以点P 处的切线的斜率为2,所以2x 0+2=2,解得x 0=0,即点P 的坐标是(0,0). 【答案】 (0,0) 三、解答题9.(2016·某某高二检测)已知抛物线y =f (x )=x 2+3与直线y =2x +2相交,求它们交点处抛物线的切线方程.【解】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =x 2+3,y =2x +2,得x 2-2x +1=0,解得x =1,y =4,所以交点坐标为(1,4),又Δx +12+3-12+3Δx=Δx +2.当Δx 趋于0时Δx +2趋于2,所以在点(1,4)处的切线斜率k =2, 所以切线方程为y -4=2(x -1),即y =2x +2. 10.试求过点P (3,5)且与曲线y =x 2相切的直线方程. 【解】y ′=lim Δx →0ΔyΔx =limΔx →0x +Δx 2-x 2Δx=2x .设所求切线的切点为A (x 0,y 0). ∵点A 在曲线y =x 2上, ∴y 0=x 20, 又∵A 是切点,∴过点A 的切线的斜率y ′|x =x 0=2x 0, ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0,y 0)两点,∴其斜率为y 0-5x 0-3=x 20-5x 0-3.∴2x 0=x 20-5x 0-3,解得x 0=1或x 0=5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25). 当切点为(1,1)时,切线的斜率为k 1=2x 0=2; 当切点为(5,25)时,切线的斜率为k 2=2x 0=10.∴所求的切线有两条,方程分别为y -1=2(x -1)和y -25=10(x -5),即y =2x -1和y =10x -25.[能力提升]1.(2016·某某高二检测)设f (x )为可导函数,且满足lim Δx →0f 1-f 1-x2x =-1,则过曲线y =f (x )上点(1,f (1))处的切线斜率为( )A .2B .-1C .1D .-2【解析】∵limΔx →0f 1-f 1-x2x=12lim Δx →0f 1-x -f 1-x =-1, ∴limΔx →0f 1-x -f 1-x =-2,即f ′(1)=-2.由导数的几何意义知,曲线在点(1,f (1))处的切线斜率k =f ′(1)=-2,故选D. 【答案】 D2.直线y =kx +1与曲线y =x 2+ax +b 相切于点A (1,3),则2a +b 的值等于( ) A .2 B .-1 C .1D .-2【解析】 依导数定义可求得y ′=3x 2+a ,则⎩⎪⎨⎪⎧13+a +b =3,3×12+a =k ,k +1=3,由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =3,k =2,所以2a +b =1,选C.【答案】 C3.(2016·某某高二检测)已知直线x -y -1=0与抛物线y =ax 2相切,则a 的值为________.【解析】 设切点为P (x 0,y 0).则f ′(x 0)=limΔx →0f x 0+Δx -f x 0Δx=limΔx →0a x 0+Δx2-ax 2Δx=lim Δx →0(2ax 0+a Δx )=2ax 0,即2ax 0=1. 又y 0=ax 20,x 0-y 0-1=0, 联立以上三式,得⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0=1,y 0=ax 20,x 0-y 0-1=0,解得a =14.【答案】144.已知函数f (x )=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx .若曲线y =f (x )与曲线y =g (x )在它们的交点(1,c )处具有公切线,求a ,b 的值.【解】 因为f ′(x )=lim Δx →0Δy Δx=limΔx →0a x +Δx2+1-ax 2+1Δx=2ax ,所以f ′(1)=2a ,即切线斜率k 1=2a . 因为g ′(x )=lim Δx →0Δy Δx=limΔx →0x +Δx3+b x +Δx -x 3+bx Δx=3x 2+b ,所以g ′(1)=3+b ,即切线的斜率k 2=3+b . 因为在交点(1,c )处有公切线, 所以2a =3+b .①又因为c =a +1,c =1+b , 所以a +1=1+b ,即a =b , 代入①式,得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =3.。

第一章导数及其应用测试题(含答案)

第一章导数及其应用测试题(含答案)

第一章导数及其应用测试题一、 选择题1.设xx y sin 12-=,则='y ( ).A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B .xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C .x x x x sin )1(sin 22-+- D .xx x x sin )1(sin 22---2.设1ln)(2+=x x f ,则=)2('f ( ). A .54 B .52 C .51 D .53 3.已知2)3(',2)3(-==f f ,则3)(32lim 3--→x x f x x 的值为( ).A .4-B .0C .8D .不存在 4.曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为( ).A .126-=x yB .1612-=x yC .108+=x yD .322-=x y5.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1=x ,2=x 时取得极值,则21x x ⋅的值为( )A .4B .5C .6D .不确定 6.在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23,当)1,0(∈x 取得极大值,当)2,1(∈x 取得极小值,则12--a b 的取值范围是( ). A .)1,41( B .)1,21( C .)41,21(- D .)21,21(-7.函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为( ). A .]21,21[2πe B .)21,21(2πe C .],1[2πe D .),1(2πe8.积分=-⎰-aadx x a 22( ). A .241a π B .221a πC .2a πD .22a π9.由双曲线12222=-by a x ,直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为( )A .238ab π B .b a 238π C .b a 234π D .234ab π 10.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). A .18B .338C .316 D .1611.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). A.3V B.32V C.34V D .32V 二、填空题13.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61,则=a _________ 。

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第一章导数及其应用测试题一、 选择题1.设xx y sin 12-=,则='y ( ).A .x x x x x 22sin cos )1(sin 2---B .xx x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C .x x x x sin )1(sin 22-+- D .xx x x sin )1(sin 22---2.设1ln)(2+=x x f ,则=)2('f ( ). A .54 B .52 C .51 D .53 3.已知2)3(',2)3(-==f f ,则3)(32lim3--→x x f x x 的值为( ).A .4-B .0C .8D .不存在 4.曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为( ).A .126-=x yB .1612-=x yC .108+=x yD .322-=x y5.已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ,)0,(2x ,且)(x f 在1=x ,2=x 时取得极值,则21x x ⋅的值为( ) A .4 B .5 C .6 D .不确定 6.在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23,当)1,0(∈x 取得极大值,当)2,1(∈x 取得极小值,则12--a b 的取值范围是( ). A .)1,41( B .)1,21( C .)41,21(- D .)21,21(-7.函数)cos (sin 21)(x x e x f x +=在区间]2,0[π的值域为( ). A .]21,21[2πe B .)21,21(2πe C .],1[2πe D .),1(2πe8.积分=-⎰-aadx x a 22( ).A .241a π B .221a πC .2a πD .22a π9.由双曲线12222=-by a x ,直线b y b y -==,围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为( )A .238ab π B .b a 238π C .b a 234π D .234ab π 10.由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成的图形的面积是( ). A .18B .338C .316 D .1611.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ,则其表面积最小时,底面边长为( ). A.3V B.32V C.34V D .32V 二、填空题13.曲线3x y =在点)0)(,(3≠a a a 处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为61,则=a _________ 。

14.一点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移是23425341t t t S +-=,那么速度为零的时刻是_______________。

16.=-+-⎰dx x x 4|)3||1(| ____________。

三、解答题(17)(本小题满分10分)已知向量),1(),1,(2t x x x -=+=,若函数x f ⋅=)(在区间)1,1(-上是增函数,求t 的取值范围。

(18)(本小题满分12分)已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值. (1)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值;(2)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线,求此切线方程.(19)(本小题满分14分)设a x ≤≤0,求函数x x x x x f 24683)(234+--=的最大值和最小值。

(20)(本小题满分12分)用半径为R 的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形,制成一个圆锥形容器,扇形的圆心角α多大时,容器的容积最大?(21) (本小题满分12分)直线kx y =分抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积相等的两个部分,求k 的值.第一章导数及其应用测试题参考答案一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分。

)二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分)(13)、 1± (14)、 0=t (16)、 10三、解答题:(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (17)(本小题满分10分) 解:由题意知:t tx x x x t x x x f +++-=++-=232)1()1()(,则t x x x f ++-=23)('2┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (3分) ∵)(x f 在区间)1,1(-上是增函数,∴0)('>x f即x x t 232->在区间)1,1(-上是恒成立, ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (5分)设x x x g 23)(2-=,则31)31(3)(2--=x x g ,于是有 5)1()(max =-=>g x g t∴当5>t 时,)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) 又当5=t 时, 314)31(3523)('22+--=++-=x x x x f , 在)1,1(-上,有0)('>x f ,即5=t 时,)(x f 在区间)1,1(-上是增函数 当5<t 时,显然)(x f 在区间)1,1(-上不是增函数∴5≥t ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10分)(18)(本小题满分12分)解:(1)323)('2-+=bx ax x f ,依题意, 0)1(')1('=-=f f ,即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得 0,1==b a ┅┅ (3分)∴x x x f 3)('3-=,∴)1)(1(333)('2-+=-=x x x x f令0)('=x f ,得 1,1=-=x x 若),1()1,(+∞--∞∈Y x ,则0)('>x f 故)(x f 在),1()1,(+∞--∞和上是增函数;若)11(,-∈x ,则0)('<x f 故)(x f 在)1,1(-上是减函数;所以2)1(=-f 是极大值,2)1(-=f 是极小值。

┅┅┅┅┅┅┅┅ (6分) (2)曲线方程为x x y 33-=,点)16,0(A 不在曲线上。

设切点为),(00y x M ,则03003x x y -= 由)1(3)('200-=x x f 知,切线方程为))(1(30200x x x y y --=- ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (9分) 又点)16,0(A 在切线上,有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得 830-=x ,解得 20-=x所以切点为)2,2(--M ,切线方程为 0169=+-y x ┅┅┅┅┅┅ (12分) (19)(本小题满分14分)解:)2)(1)(1(1224122412)('23--+=+--=x x x x x x x f令0)('=x f ,得:2,1,1321==-=x x x ┅┅┅┅┅┅┅ (2分) 当x 变化时,)(),('x f x f 的变化情况如下表:又0)0(=f ,故最小值为0。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (6分)最大值与a 有关:(1)当)1,0(∈a 时,)(x f 在),0(a 上单调递增,故最大值为:a a a a a f 24683)(234+--= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) (2)由13)(=x f ,即:01324683234=----x x x x ,得: 0)1323()1(22=---x x x ,∴1=x 或31021±=x 又0>x ,∴1=x 或31021+=x ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (10分) ∴当1[∈a ]31021,+时,函数)(x f 的最大值为:13)1(=f ┅┅ (12分)(3)当(∈a ),31021+∞+时,函数)(x f 的最大值为: a a a a a f 24683)(234+--= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (14分) (20)(本小题满分12分)解:设圆锥的底面半径为r ,高为h ,体积为V ,则 由222R r h =+,所以 )0(,3131)(313132222R h h h R h h R h r V <<-=-==ππππ ∴2231'h R V ππ-=,令0'=V 得 R h 33= ┅┅┅┅┅┅┅ (6分) 易知:R h 33=是函数V 的唯一极值点,且为最大值点,从而是最大值点。

∴当R h 33=时,容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (8分) 把R h 33=代入222R r h =+,得 R r 36= 由r R πα2=得 πα362=即圆心角πα362=时,容器的容积最大。

┅┅┅┅┅┅┅ (11分) 答:扇形圆心角πα362=时,容器的容积最大。

┅┅┅┅ (12分) (21) (本小题满分12分)解:解方程组⎩⎨⎧-==2xx y kx y 得:直线kx y =分抛物线2x x y -=的交点的横坐标为 0=x 和k x -=1 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ (4分) 抛物线2x x y -=与x 轴所围成图形为面积为 61|)3121()(103212=-=-=⎰x x dx x x S ┅┅┅┅┅ (6分) 由题设得dx kx dx x x S k k ⎰⎰----=10102)(26)1()(3102k dx kx x x k-=--=⎰- ┅┅┅┅┅┅┅ (10分)又61=S ,所以21)1(3=-k ,从而得:2413-=k ┅┅┅┅┅ (12分)。

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