《导数及其应用》测试卷
导数及其应用测试题(有详细答案)
12.已知函数f{x)=x3+ax2+bx+a2在ul处有极值为10,则犬2)等于.JT13.函数y=尤+2cosx在区间[0,—]±的最大值是14.已知函数fM=x3+ax在R上有两个极值点，则实数。
的取值范围是15.已知函数八尤)是定义在R上的奇函数，/(1)=0,二⑴；'3)>0危>0),则不等式%x2f(x)>0的解集是三、解答题(本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16.设函数/(x)=2x3+3破2+3笊+8c在x=1刚好工=2取得极值.(1)求。
、b的值；(2)若对于随意的xg[0,3],都有/(x)<c2成立，求c的取值范围.17.已知函数f(x)=2x3-3x2+3.(1)求曲线y=f(x)在点工=2处的切线方程；(2)若关于工的方程/(x)+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围.18.设函S/W=x3-6x+5,x e R.(1)求f(x)的单调区间和极值；《导数及其应用》一、选择题1.r（x0）=o是函数y（尤）在点气处取极值的：A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2、设曲线y=x2+l在点（x,/（x））处的切线的斜率为g（x）,WI函数>=g（x）cosx的部分图象可以4.若曲线y=x2+ax+b在点（0,方）处的切线方程是x-j+l=0,贝！|（）A.q=L b=lB.a=—1,b=lC.g=L b=—1D.a=—1,b=—15.函数/（x）=x3+ttx2+3x—9,已知处）在x=—3时取得极值，则0等于（）A.2B.3C.4D.56.设函数f⑴的导函数为扩（x）,且/（x）=x2+2x-r（l）,则广（0）等于（）A、0B>-4C、-2D、27.直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线，则实数。
的值为（）A.-1B.eC.In2D.18.若函数f（x）=x3-12x^区间以-盘+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围（）A.kJ—3^4—1■ k<23B.—3<上<—l^（il<k<3C.-2<k<2D.不存在这样的实数k9.函数f（x）的定义域为（m）,导函数/（%）在（。
人教版导数及其应用多选题测试题试卷
人教版导数及其应用多选题测试题试卷一、导数及其应用多选题1．函数ln ()xf x x=，则下列说法正确的是（ ）A ．(2)(3)f f >B ．ln π>C ．若()f x m =有两个不相等的实根12x x 、，则212x x e <D ．若25,x y x y =、均为正数，则25x y < 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项．由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A ，由函数()f x 性质判断BC ，设25xyk ==，且,x y 均为正数，求得252ln ,5ln ln 2ln 5x k y k ==，再由函数()f x 性质判断D ． 【详解】由ln (),0x f x x x=>得：21ln ()xf x x -'=令()0f x '=得，x e =当x 变化时，(),()f x f x '变化如下表：故，()f x x=在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减，()f e e =是极大值也是最大值，x e >时，x →+∞时，()0f x →，且x e >时()0f x >，01x <<时，()0f x <，(1)0f =，A ．1132ln 2(2)ln 2,(3)ln 32f f ===66111133223232(3)(2)f f ⎛⎫⎛⎫>∴>∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错B ．e e π<，且()f x 在(0,)e 单调递增lnf fπ∴<<<∴>，故：B正确C．()f x m=有两个不相等的零点()()1212,x x f x f x m∴==不妨设120x e x<<<要证：212x x e<，即要证：221222,()e ex x e e f xx x<>∴<在(0,)e单调递增，∴只需证：()212ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭即：()222ef x fx⎛⎫< ⎪⎝⎭只需证：()222ef x fx⎛⎫-<⎪⎝⎭……①令2()(),()eg x f x f x ex⎛⎫=->⎪⎝⎭，则2211()(ln1)g x xe x'⎛⎫=--⎪⎝⎭当x e>时，2211ln1,()0()x g x g xe x'>>∴>∴在(,)e+∞单调递增()22()0x e g x g e>∴>=，即：()222ef x fx⎛⎫->⎪⎝⎭这与①矛盾，故C错D．设25x y k==，且,x y均为正数，则25ln lnlog,logln2ln5k kx k y k====252ln,5lnln2ln5x k y k∴==1152ln2ln5ln2,ln525==且1010111153222525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪>> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ln2ln52502525ln2ln5x y∴>>∴<∴<，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数()f x的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量12,x x，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明．2．对于定义域为R的函数()f x，()'f x为()f x的导函数，若同时满足：①()00f=；②当x∈R且0x≠时，都有()0xf x'>；③当12x x<<且12x x=时，都有()()12f x f x<，则称()f x为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（）A．21()x xf x e e x=--B．2()1xf x e x=+-C ．31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩D ．42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩【答案】ACD 【分析】结合“偏对称函数”的性质，利用导数的方法，分别讨论四个函数是否满足三个条件，即可得到所求结论． 【详解】条件①()00f =；由选项可得：001(0)00f e e =--=，02(0)010f e =+-=，03(0)10f e =-=，4()ln(10)0f x =-=，即ABCD 都符合；条件②0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； 对于21()xx f x ee x =--，则()()21()11212x x x xf x e e e e =-+-=-'，由0x >可得，()()120(1)1x xf x e e '-=+>，即函数1()f x 单调递增；由0x <可得，()()120(1)1xxf x ee '-=+<，即函数1()f x 单调递减；满足条件②；对于2()1xf x e x =+-，则2()10x f x e =+>'显然恒成立，所以2()1xf x e x =+-在定义域上单调递增，不满足条件②；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，当0x <时，3()f x x =-显然单调递减；当0x ≥时，3()1x f x e =-显然单调递增；满足条件②；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，4()ln(1)f x x =-显然单调递减；当0x >时，4()2f x x =显然单调递增，满足条件②； 因此ACD 满足条件②；条件③当120x x <<且12x x =时，12x x -=，都有()()12f x f x <，即()()()()21220f x f x f x f x -=-->，对于21()xx f x ee x =--，()()212122211211x x x x f x f x e e e e x x -=-+--+()()()()22222222222222x x x x x x x x x e e e e e e e x e ----=----=-+-，因为222x x e e -+≥=，当且仅当22x x e e -=，即20x =时，等号成立， 又20x >，所以222x x e e -+>，则()()()()2222122211222xx x x f x f x e ee e xx ----=--->令()xxg x e ex -=--，0x >，所以()1110x x e e g x -'=+->=>在0x >上显然恒成立， 因此()xxg x e ex -=--在0x >上单调递增，所以()()00g x g >=，即()()()222121120xx f x f x e ex -->-->，所以()()1211f x f x >满足条件③；对于31,0(),0x e x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，()()2232311211x xf x f x e x x e -=--=-+，令()1xh x e x =--，0x >，则()10xh x e '=->在0x >上显然恒成立，所以()()00h x h >=，则()()23231210xf x f x e x --=>-，即()()3231f x f x >满足条件③；对于42,0()ln(1),0x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，()()()()212122442ln 12ln 1f x f x x x x x -=--=-+， 令()()2ln 1u x x x =-+，0x >， 则()1221101u x x'=->-=>+在0x >上显然恒成立，所以()()00u x u >=， 则()()()1422422ln 10f x f x x x -=-+>，即()()1442f x f x >满足条件③； 综上，ACD 选项是“偏对称函数”， 故选：ACD. 【点睛】 思路点睛：求解此类函数新定义问题时，需要结合函数新定义的概念及性质，结合函数基本性质，利用导数的方法，通过研究函数单调性，值域等，逐项判断，即可求解.（有时也需要构造新的函数，进行求解.）3．设函数()()1x af x a x a =->的定义域为()0,∞+，已知()f x 有且只有一个零点，下列结论正确的有（ ） A ．a e =B ．()f x 在区间()1,e 单调递增C ．1x =是()f x 的极大值点D ．()f e 是()f x 的最小值【答案】ACD 【分析】()f x 只有一个零点，转化为方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，即ln ln x ax a=只有一个正根．利用导数研究函数ln ()xh x x=的性质，可得a e =，判断A ，然后用导数研究函数()x e f x e x =-的性质，求出()'f x ，令()0f x '=，利用新函数确定()'f x 只有两个零点1和e ，并证明出()'f x 的正负，得()f x 的单调性，极值最值．判断BCD ． 【详解】()f x 只有一个零点，即方程0x a a x -=在(0,)+∞上只有一个根，x a a x =，取对数得ln ln x a a x =，即ln ln x ax a=只有一个正根． 设ln ()x h x x =，则21ln ()x h x x-'=，当0x e <<时，()0h x '>，()h x 递增，0x →时，()h x →-∞，x e >时，()0h x '<，()h x 递减，此时()0h x >，max 1()()h x h e e==． ∴要使方程ln ln x ax a =只有一个正根．则ln 1a a e =或ln 0a a<，解得a e =或0a <，又∵1a >，∴a e =．A 正确；()x e f x e x =-，1()x e f x e ex -'=-，1()0x e f x e ex -'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．设()(1)ln 1p x e x x =--+，1()1e p x x-'=-，当01x e <<-时，()0p x '>，()p x 递增，1x e >-时，()0p x '<，()p x 递减，(1)p e -是极大值，又(1)()0p p e ==， 所以()p x 有且只有两个零点，01x <<或x e >时，()0p x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，1e x ex e -<，()0f x '>，同理1x e <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)e +∞上递增，在(1,)e 上递减，所以极小值为()0f e =，极大值为(1)f ，又(0)1f =，所以()f e 是最小值．B 错，CD 正确． 故选：ACD ． 【点睛】关键点点睛：本题考用导数研究函数的零点，极值，单调性．解题关键是确定()'f x 的零点时，利用零点定义解方程，1()0xe f x e ex-'=-=，11x e e x --=，取对数得1(1)ln x e x -=-，易知1x =和x e =是此方程的解．然后证明方程只有这两个解即可．4．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ）A ．()2f e >B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.5．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可，对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x-'=， (]0,x π∈， 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >， 所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误；由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.6．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.【详解】对于选项A ：()()()21m x f x g x x x =-=-，()212m x x x'=+，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，即240k b +≤，又1kx b x≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；对于选项D ：函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线的方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()f x kx e ≥-，可得20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤，只有k =y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()2n ()l G x e h x e x e =--=--，()x G x x'=，当x =()0'=G x，当0x <<时，()0'<G x，当x >()0G x '>，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所以()()0G x e h x =--≥，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.7．在单位圆O ：221x y +=上任取一点()P x y ，，圆O 与x 轴正向的交点是A ，将OA 绕原点O 旋转到OP 所成的角记为θ，若x ，y 关于θ的表达式分别为()x fθ=，()y g θ=，则下列说法正确的是（ ）A ．()x f θ=是偶函数，()y g θ=是奇函数；B ．()x f θ=在()0，π上为减函数，()y g θ=在()0，π上为增函数；C ．()()1fg θθ+≥在02πθ⎛⎤∈⎥⎝⎦，上恒成立；D ．函数()()22t f g θθ=+.【答案】ACD 【分析】依据三角函数的基本概念可知cos x θ=，sin y θ=，根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A 、B ；根据辅助角公式知()()4f g πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数求值域可判断C ；对于D ，2cos sin2t θθ=+，先对函数t 求导，从而可知函数t 的单调性，进而可得当1sin 2θ=，cos θ=时，函数t 取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解． 【详解】由题意，根据三角函数的定义可知，x cos θ=，y sin θ=， 对于A ，函数()cos fθθ=是偶函数，()sin g θθ=是奇函数，故A 正确；对于B ，由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数()cos f θθ=在()0,π上为减函数，函数()sin g θθ=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 错误； 对于C ，当0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，时，3,444πππθ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦()()cos sin 4f g πθθθθθ⎛⎫+=+=+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，函数()()222cos sin2t fg θθθθ=+=+，求导22sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)t θθθθθθ'=-+=-+-=--+， 令0t '>，则11sin 2θ-<<；令0t '<，则1sin 12θ<<， ∴函数t 在06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当6πθ=即1sin 2θ=，cos θ=时，函数取得极大值1222t =⨯=又当2θπ=即sin 0θ=，cos 1θ=时，212012t =⨯+⨯⨯=，所以函数()()22t fg θθ=+，故D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法：（1）将函数化简整理为()()sin f x A x ωϕ=+，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.8．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a c b d -+-的值可能是（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】BCD【分析】 由题中所给的等式，分别构造函数()2xf x x e =-和()2g x x =-+，则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，利用导数的几何意义可知当()01f x '=-时，切点到直线的距离最小，再比较选项.【详解】 由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12x f x e '∴=- 由1121c d c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a c b d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值.故选：BCD.【点睛】本题考查构造函数，利用导数的几何意义求两点间距离的最小值，重点考查转化思想，构造函数，利用几何意义求最值，属于偏难题型.。
《导数及其应用》章检测试卷(附答案)
《导数及其应用》检测试卷（附答案） 试卷总分：150分 考试时间：120分钟一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. 曲线 y =12x 2−2x 在点 (2,−2) 处切线的斜率为 ( ) A. 1 B. -1 C. 0 D. -2 2. 函数 y =1x +3lnx 的单调增区间为 ( )A. (0,1)B. (0,13) C. (1,+∞) D. (13,+∞) 3. 已知 f (x )=x 3 ,则当 d →0 时,f (2+2d )−f (2−2d )d→( )A. 3B. 12C. 32D. 484. 已知函数 f (x ) 和 g (x ) 在区间 [a,b] 上的图象如图所示,那么下列说法正确的是 ( )(第 4 题)A. f (x ) 在 [a,b] 内的平均变化率大于 g (x ) 在 [a,b] 内的平均变化率B. f (x ) 在 [a,b] 内的平均变化率小于 g (x ) 在 [a,b] 内的平均变化率C. 对于任意 x 0∈(a,b ) ,函数 f (x ) 在 x =x 0 处的瞬时变化率总大于函数 g (x ) 在 x =x 0 处的瞬时变化率D. 存在 x 0∈(a,b ) ,使得函数 f (x ) 在 x =x 0 处的瞬时变化率小于函数 g (x ) 在 x =x 0 处的瞬时 变化率5. 下列求导运算正确的是 ( )A. (sinx )′=−cosxB. (1x )′=lnxC. (a x )′=xa x−1D. (√x)′=2√x6. 设函数 f (x )=xe x ,则下列说法正确的是 ( )A. f (x ) 有极大值 1e B.f (x ) 有极小值 −1e C.f (x ) 有极大值 e D. f (x ) 有极小值 −e7. 如图,已知 f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (d ≠0) ,记 Δ=4(b 2−3ac ) ,则当 Δ≤0,a >0 时. f (x ) 的大致图象为 ( )A B C D8. 已知函数 f (x )=x −ln (x +1) 对任意 x ∈[0,+∞) ,都有 f (x )≤kx 2 成立,则 k 的最小值为 ( )A. 1B. 12C. eD. e2二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。
【数学】第三章《导数及其应用》测试(1)(新人教B版选修1-1)
第三章 导数及其应用 单元测试一、选择题 1 函数()323922y x x x x =---<<有（ ） A 极大值5，极小值27- B 极大值5，极小值11- C 极大值5，无极小值 D 极小值27-，无极大值 2 若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h→+--=（ ） A 3- B 6- C 9- D 12- 3 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 4 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 5 函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),21(+∞ D ),1(+∞ 6 函数xx y ln =的最大值为（ ） A 1-e B e C 2e D 310 二、填空题 1 函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是 2 函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________ 3 函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________4 若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是5 函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________三、解答题1． 已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值2 如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？3 已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间4 平面向量13(3,1),(,)22a b =-= ，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+ 且x y ⊥ ，试确定函数()k f t =的单调区间参考答案[综合训练B 组]一、选择题 1 C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值 2 D '0000000()(3)()(3)lim 4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h→→+--+--===- 3 C 设切点为0(,)P a b ，'2'2()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±， 把1a =-，代入到3()2f x x x =+-得4b =-；把1a =，代入到3()2f x x x =+-得0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)-- 4 B ()f x ,()g x 的常数项可以任意 5 C 令3'222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>> 6 A 令'''22(ln )ln 1ln 0,x x x x x y x e x x -⋅-====，当x e >时，'0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e ==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1y e= 二、填空题 1 36+π '12s i n 0,6y x x π=-==，比较0,,62ππ处的函数值，得max 36y π=+ 2 37- '2'3()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7f x x f f y x y x =+==-=-==-时 3 2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或 4 20,3a b a c >≤且 '2()320f x ax bx c =++>恒成立， 则220,0,34120a a b ac b ac >⎧><⎨∆=-<⎩且 5 4,11- '2'2()32,(1)230,(1)110f x x a x b f a b f a a b =++=++==+++= 22334,,3119a b a a b b a a b +=-=-=⎧⎧⎧⎨⎨⎨==-++=⎩⎩⎩或，当3a =-时，1x =不是极值点 三、解答题 1 解：00'''2'210202,|2;3,|3x x x x y x k y x y x k y x ========331200361,61,6k k x x =-=-=- 2 解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103x =（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值，18V ∴=最大值 3 解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+ （2）'3310310()1090,0,1010f x x x x x =->-<<>或 单调递增区间为310310(,0),(,)1010-+∞ 4 解：由13(3,1),(,)22a b =-= 得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- '233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144t t -<-<<得 所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,1)-。
《导数及其应用》测试卷及答案解析
2021年新高考数学总复习第三章《导数及其应用》测试卷及答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线方程是y ＝－x ＋5，则f (5)与f ′(5)分别为( )A ．5，－1B ．－1,5C ．－1,0D ．0，－1答案 D解析 由题意可得f (5)＝－5＋5＝0，f ′(5)＝－1，故选D.2．已知函数f (x )＝x sin x ＋ax ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，则a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 A解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＋a ，且f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1，∴sin π2＋π2cos π2＋a ＝1，即a ＝0. 3．若曲线y ＝mx ＋ln x 在点(1，m )处的切线垂直于y 轴，则实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2答案 A解析 f (x )的导数为f ′(x )＝m ＋1x，曲线y ＝f (x )在点(1，m )处的切线斜率为k ＝m ＋1＝0，可得m ＝－1.故选A.4．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 020(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 B解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )，∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 020(x )＝f 4(x )＝sin x －cos x ，故选B.5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x (其中e 为自然对数的底数)，则f ′(e)等于( )A ．1B ．－1C ．－eD ．－e －1答案 D解析 已知f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，其导数f ′(x )＝2f ′(e)＋1x，令x ＝e ， 可得f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，变形可得f ′(e)＝－1e，故选D. 6．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)答案 B解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x≤0，解得0<x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．7．已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2＋m ，g (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m 值等于( )A ．5B ．3C ．－3D ．－5答案 D解析 f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝6x －4，令2x ＝6x－4，解得x ＝1，这就是切点的横坐标，代入g (x )求得切点的纵坐标为－4，将(1，－4)代入f (x )得1＋m ＝－4，m ＝－5.故选D.8．(2019·新乡模拟)若函数f (x )＝a e x ＋sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，0上单调递增，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22π4e ，＋∞ B ．[－1,1]C ．[－1，＋∞)D ．[0，＋∞) 答案 D解析 依题意得，f ′(x )＝a e x ＋cos x ≥0，即a ≥－cos x ex 对x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0恒成立， 设g (x )＝－cos x ex ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， g ′(x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4e x ，令g ′(x )＝0，则x ＝－π4， 当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，－π4时，g ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎦⎤－π4，0时，g ′(x )>0，。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间：90分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(12)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1D ．2解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(12)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos xD ．y ′＝cos 2x ＋cos x解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .答案：C3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．答案：C4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )A ．14B ．4C ．10D ．6解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.答案：A5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π2)＝1， ∴k ＝－a2＝－1，a ＝2. 答案：D6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )A ．1B ．3C ．－4D ．－8解析：如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，∴⎩⎨⎧42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②∴⎩⎨⎧y 1＝8，y 2＝2，∴P (4,8)，Q (－2,2)．又∵抛物线可化为y ＝12x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.联立⎩⎨⎧y ＝4x －8，y ＝－2x －2，解得x ＝1，y ＝－4.∴点A的纵坐标为－4. 答案：C7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－33)，(33，＋∞)，则a的取值范围是()A．a>0 B．－1<a<0 C．a>1 D．0<a<1解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－33)，(33，＋∞)，故a>0.答案：A8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.答案：A9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．0 B．10C．18 D．20解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.答案：D10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－33为f(x)的极大值点，但f(3)>f(－33)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)2，则x＝1是f(x)的极大值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.答案：D11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，∴g(x)在R上是增函数，又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．答案：B12．设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e 28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析：由题意知f ′(x )＝e x x 3－2f (x )x ＝e x －2x 2f (x )x3.令g (x )＝e x－2x 2f (x )，则g ′(x )＝e x －2x 2f ′(x )－4xf (x )＝e x －2(x 2f ′(x )＋2xf (x ))＝e x －2e xx ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x .由g ′(x )＝0得x ＝2，当x ＝2时，g (x )min ＝e 2－2×22×e 28＝0，即g (x )≥0，则当x >0时，f ′(x )＝g (x )x 3≥0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，既无极大值也无极小值．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．若抛物线y ＝x 2－x ＋c 上一点P 的横坐标为－2，抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点，则c 的值为________．解析：∵y ′＝2x －1，∴y ′|x ＝－2＝－5. 又P (－2,6＋c )，∴6＋c－2＝－5.∴c ＝4. 答案：414．如果函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线，则实数b 的取值范围是________．解析：存在与x 轴平行的切线，即f ′(x )＝3x 2－6b ＝0有解，∵x ∈(0,1)，∴b ＝x 22∈(0，12)．答案：{b |0<b <12}15．已知a ≤4x 3＋4x 2＋1对任意x ∈[－1,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝4x 3＋4x 2＋1，则f ′(x )＝12x 2＋8x ＝4x (3x ＋2)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－23.又f (－1)＝1, f (－23)＝4327，f (0)＝1，f (1)＝9，故f (x )在[－1,1]上的最小值为1，故a ≤1.答案：(－∞，1]16．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，若∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值是________．解析：二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，由f ′(0)>0，得b >0，又对∀x ∈R ，恒有f (x )≥0，则a >0， 且Δ＝b 2－4ac ≤0，故c >0，所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ＝a b ＋c b ＋1≥2acb 2＋1≥2ac4ac ＋1＝2，所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案：2三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，且f ′(0)＝23.(1)求f (x )的解析式；(2)求曲线f (x )在x ＝－1处的切线方程． 解：(1)∵f (x )＝ln(2x ＋a )＋x 2，∴f ′(x )＝12x ＋a ·(2x ＋a )′＋2x ＝22x ＋a ＋2x .又∵f ′(0)＝23，∴2a ＝23，解得a ＝3. 故f (x )＝ln(2x ＋3)＋x 2.(2)由(1)知f ′(x )＝22x ＋3＋2x ＝4x 2＋6x ＋22x ＋3，且f (－1)＝ln(－2＋3)＋(－1)2＝1， f ′(－1)＝4×(－1)2＋6×(－1)＋22(－1)＋3＝0，因此曲线f (x )在(－1,1)处的切线方程是y －1＝0(x ＋1)，即y ＝1.18．(12分)已知函数f (x )＝13x 3＋ax ＋b (a ，b ∈R )在x ＝2处取得极小值－43.(1)求函数f (x )的增区间；(2)若f (x )≤m 2＋m ＋103对x ∈[－4,3]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由已知得f (2)＝－43，f ′(2)＝0，又f ′(x )＝x 2＋a ，所以83＋2a ＋b ＝－43，4＋a ＝0，所以a ＝－4，b ＝4，则f (x )＝13x 3－4x ＋4，令f ′(x )＝x 2－4>0，得x <－2或x >2，所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)f (－4)＝－43，f (－2)＝283，f (2)＝－43，f (3)＝1，则当x ∈[－4,3]时，f (x )的最大值为283，故要使f (x )≤m 2＋m ＋103对∈[－4,3]恒成立，只要283≤m 2＋m ＋103，所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤－3.19．(12分)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值． 解：(1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b －4＝4，所以a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知，f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ， f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)(e x－12)．令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值， 极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．20．(12分)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程． (2)求函数f (x )的极值．解：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax . (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0)，所以f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0可知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a；因为x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值，当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定给这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当16≤x ≤24时，这种食品日供应量p 万千克，日需量q 万千克近似地满足关系：p ＝2(x ＋4t －14)(t >0)，q ＝24＋8ln 20x .当p ＝q 时的市场价格称为市场平衡价格．(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域；(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为多少元/千克？解：(1)由p ＝q 得2(x ＋4t －14) ＝24＋8ln 20x (16≤x ≤24，t >0)， 即t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)． ∵t ′＝－14－1x <0，∴t 是x 的减函数． ∴t min ＝132－14×24＋ln 2024＝12＋ln 2024＝12＋ln 56； t max ＝132－14×16＋ln 2016＝52＋ln 54， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋ln 56，52＋ln 54.(2)由(1)知t ＝132－14x ＋ln 20x (16≤x ≤24)．而当x ＝20时，t ＝132－14×20＋ln 2020＝1.5(元/千克)，∵t 是x 的减函数，∴欲使x ≤20，必须t ≥1.5(元/千克)． 要使市场平衡价格不高于20元/千克，政府补贴至少为1.5元/千克．22．(12分)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x .(1)若函数f (x )在x ＝2处取得极值，求实数a 的值． (2)若函数f (x )在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围． (3)当a ＝－12时，关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．解：(1)由题意，得f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)， 因为x ＝2时，函数f (x )取得极值，所以f ′(2)＝0，解得a ＝－34，经检验，符合题意．(2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，依题意，f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1在x >0时恒成立，即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1min (x >0)，当x ＝1时，⎝⎛⎭⎪⎫1x －12－1取最小值－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(3)当a ＝－12时，f (x )＝－12x ＋b ， 即14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)， 则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x， 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x )极大极小所以g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2， g (x )极大值＝g (1)＝－b －54， 又g (4)＝2ln2－b －2，因为方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0，解得ln2－2<b ≤－54，所以实数b 的取值范围是(ln2－2，－54)．。
选修2-2《导数及其应用》测试题
人教B 版选修2-2《导数及其应用》测试题 姓名 得分 一．选择题：（只有一个结论正确，每小题4分,共60分） 1．曲线123-+=x x y 在点P （－1，－1）处的切线方程是 （ ）A ．1-=x yB ．2-=x yC ．x y =D ．1+=x y2. 曲线f (x )= x 3+x －2在P 0点处的切线平行于直线y = 4x －1，则P 0点的坐标为 （ ） A ．（1，0） B ．（2，8） C ．（1，0）和（－1，－4） D ．（2，8）和（－1，－4）3．已知函数x x y 33-=，则它的单调递减区间是 ( ) A.)0,(-∞ B.)1,1(- C. ),0(+∞ D.)1,(--∞及),1(+∞4．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝ ( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 25. .设曲线11x y x +=-在点（3，2）处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ( )A ．2B ． 2-C ． 12-D.126已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋x 2，则f ′(1)＝ ( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．27. 下列求导运算正确的是 （ ）xx x D e C x x B x x x A x x sin 2)cos (.log 3)3(.2ln 1)(log .11)1(.2322-='='='+='+ 8. 函数)2ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是 （ ）），和（∞+-+∞---∞2)21,1(.),2(.)21,1(.)1,(.D C B A 9. 设)()(),()(),()(,sin )(112010x f x f x f x f x f x f x x f n n '='='==+， ，)(N n ∈则=')(2005x f （ ） x D x C x B x A cos .cos .sin .sin .--10．已知函数y = f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则000()()limh f x h f x h h→+--= ( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．011. 设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))((0,0x f x P 处切线的倾角的取值范围为]4,0[π，则P 点到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）ab D ab C aB aA21,0[.]2,0[.]21,0[.]1,0[- 12．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝ ( ) A ．26B ．29C ．212D ．215二.填空题：（每小4分,共20分）13.若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． 14.设函数f (x )＝x (e x＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．15.函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值． 16.如果函数y=f(x)的导函数的图像如右图所示， 给出下列判断：(1) 函数y=f(x)在区间（3，5）内单调递增； (2) 函数y=f(x)在区间（-1/2，3）内单调递减；(3) 函数y=f(x)在区间（-2，2）内单调递增；(4) 当x= -1/2时，函数y=f(x)有极大值; (5) 当x=2时，函数y=f(x)有极大值;则上述判断中正确的是 .三.解答题：17.求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)．18.设x x a x f ln 6)5()(2+-=，其中R a ∈，曲线)(x f 在点（1，f(1)）处切线与y 轴交于点（0,6）. (1)确定a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间.19.若函数xe xf x=)(在c x =处的导数值与函数值互为相反数，求c 的值.20.已知二次函数f (x )满足：①在x =1时有极值；②图象过点(0,-3)，且在该点处的切线与直线2x +y =0平行． ⑴求f (x )的解析式；⑵求函数g (x )=f (x 2)的单调递增区间.21.已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。
导数及其应用测试题(有详细答案)
《导数与其应用》一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. C.D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）4.若曲线y ＝x 2＋＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－15．函数f (x )＝x 3＋2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．56. 设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于( )A 、0B 、4-C 、2-D 、2 7. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为( )A ．1-B ．eC ．ln 2D ．1 8. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k 9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为( )A ．3B ．52C ．2D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.函数sin xy x=的导数为 12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在1处有极值为10，则f (2)等于. 13．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π上的最大值是14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，)()(2>-'x x f x f x ）（0>x ，则不等式0)(2>x f x 的解集是三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）Ox xx xy y y yOO O16. 设函数32()2338f x x ax bx c=+++在1x=与2x=时取得极值．（1）求a、b的值；（2）若对于任意的[03]x∈，，都有2()f x c<成立，求c的取值范围．17. 已知函数32()23 3.f x x x=-+（1）求曲线()y f x=在点2x=处的切线方程；（2）若关于x的方程()0f x m+=有三个不同的实根，求实数m的取值范围.18. 设函数Rxxxxf∈+-=,56)(3.（1）求)(x f的单调区间和极值；（2）若关于x的方程axf=)(有3个不同实根，求实数a的取值范围.（3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈xkxfx时恒成立，求实数k的取值范围.19. （本题满分12分）已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围. 20. 已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23（1）当1-=a 时，求函数的单调区间。
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导数及其应用测试卷
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）
1.函数()2sin f x x =的导数是（ ）
A.2sin x
B.22sin x
C.2cos x
D.sin 2x
2．已知()21cos 4
f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则()'f x 的图像是（ ）
3.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）
A.1-
B.32e --
C.35e -
D.1
4．若曲线()ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b 为正实数，则2e a b +
+的取值范围是（ ）
A.2,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭
B.[),e +∞
C.[)2,+∞
D.[)2,e 5．已知函数2x y =的图象在点),(2
00x x 处的切线为l ，若l 也与函数x y ln =，)1,0(∈x 的
图象相切，则0x 必满足（ ） A ．2100<<x B ．12
10<<x C ．2220<<x D ．320<<x 6．已知函数()f x 的导数为()f x ′，且()()()10x f x xf x ++>′对x R ∈恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（ ）
A.()f x
B.()xf x
C.()x e f x
D.()x
xe f x 7.已知函数
211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =（ ） A ．1
2- B ．13 C ．12 D ．1
8．定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x >-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A ．(0,)+∞
B ．(,0)(3,)-∞+∞
C ．(,0)(1,)-∞+∞
D ．(3,)+∞
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。
全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()y xf x '=的图象，则下列说法正确的是( ) A ．函数()f x 的增区间是(2,0)-，(2,)+∞ B ．函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)
+∞ C ．2x =-是函数的极小值点 D ．2x =是函数的极小值点
10.已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[2π-，2)π，则( )
A ．()f x 为奇函数
B ．()f x 在[0，)π上单调递增
C ．()f x 恰有4个极大值点
D ．()f x 有且仅有4个极值点
11．关于函数2()f x lnx x
=+，下列判断正确的是( ) A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得()f x kx >成立 D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>
12.已知定义在[0,)2
π
上的函数()f x 的导函数为()f x '，且(0)0f =，()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( ) A ．6()()64f f ππ B ．()03f ln π>
C ．()2()63f f ππ>
D ．()2()43f ππ 三.填空题（每题5分，共20分）
13．已知函数ln 4
()x f x x
+=，求曲线)(x f 在点(1,(1))f 处的切线方程____________ 14．若函数2()x f x x e ax =--在R 上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围
是 .
15．若函数21
()ln 12
f x x x =-+在其定义域内的一个子区间(1,1)a a -+内存在极值，则实数a 的取值范围 ．
16．已知函数 ()()()()2325ln ,26,2
f x x ax a x a R
g x x x x g x =--∈=-++-在[]1,4上的最大值为 b ，当[)1,x ∈+∞时，()f x b ≥恒成立，则a 的取值范围是 ．
三.解答题（共70分）
17．已知函数f(x)=
4x +x a -lnx-23,其中a ∈R,且曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的切线垂直于直线y=2
1x （Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调性.
18. 已知函数f(x)=x e
k x +ln （k 为常数，e=2.71828…），曲线y=f(x)在点（1，f(1))处的切线与x 轴平行.
（Ⅰ）求k 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调性.
19.已知函数f(x)=e m x --x,其中m 为常数
（Ⅰ）若对任意x ∈R 有f(x)≥0恒成立，求m 的取值范围
（Ⅱ）当m >1时，判断f(x)在[]m 20，
上零点的个数，并说明理由.
20．已知函数()x f x e ax =-，（0a >）.
（Ⅰ）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值；
（Ⅱ）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围.
21．已知函数22()()x f x x x ce c R -=-+∈.
（1）若()f x 是在定义域内的增函数，求c 的取值范围；
（2）若函数5()()'()2
F x f x f x =+-
（其中'()f x 为()f x 的导函数）存在三个零点，求c 的取值范围.
22.已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。