2003年全国初中数学竞赛试题参考答案
2003年中国数学奥林匹克试题及解答
证明： 在该公司经理的方针之下， 有 （%） #% 2 #! 2 … 2 #3 ’ #1 ’ #%" ； （!） 该公司有超过4"2 的可能性录取到能力最强 的 # 个人之一， 而只有不超过%"2 的可能性录用到能 力最弱的 # 个人之一 & 六、 设 )、 满足 )* . +, ’ %， 点 *、 +、 , 为正实数， （ ， ） （ ， ， ， ） 是以原点为圆心的单位圆周 3 4 5 . ’ % ! # 0 . . . 上的四个点 & 求证：
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2003年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析
2003年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题7分，满分42分）1．（7分）的值等于（）．5﹣4B．4﹣1 C解答：解：原式==+=，故选D．2．（7分）在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）3．（7分）若函数y=kx（k＞0）与函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（）解答：解：设点A的坐标为（x，y），则xy=1，故△ABO的面积为，又∵△ABO与△CBO同底等高，∴△ABC的面积=2×△ABO的面积=1．故选A．解答：解：由可得，（﹣）（++）=0，∵++＞0，∴﹣=0，∴，故选B．5．（7分）设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且=，若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为（）．B．C．D．解答：解：连接BE．∵=，∴△ADE和△ABE的面积比是1：3．设△ADE的面积是k，则△ABE的面积是3k，则△BDE的面积是2k．设△BCE的面积是x，则有（2k+x）=（3k+x），解得x=k．则△ABE和△BCE的面积比是3：1，则的值为．故选B．6．（7分）如图，在▱ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为（）．D．解答：解：连接CE；∵，∴∠BAE=∠EBC+∠BEC；∵∠DCB=∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB=∠BAE，∴∠BEC=∠BCE，即BC=BE=5，∴AD=5；由切割线定理知：DE=DC2÷DA=，故选D．二、填空题（共4小题，每小题7分，满分28分）7．（7分）抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac= ﹣解答：解：设A（x1，0），B（x2，0），由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号，则x1•x2=＜0，由于函数图象与y轴相交于C点，所以C点坐标为（0，c），由射影定理知，|OC|2=|AO|•|BO|，即c2=|x1|•|x2|=||，故|ac|=1，ac=±1，由于＜0，所以ac=﹣1．故答案为：﹣1．8．（7分）设m是整数，且方程3x2+mx﹣2=0的两根都大于﹣而小于，则m= 4 ．解答：解：由题设可知，，解得．因为m是整数，所以m=4．故答案为4．9．（7分）如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为12°．∴∠CAB=∠BB′A，∴∠B′BD=2x°，∵BB′是∠DBC的平分线，∴∠CBD=4x°，∵AB=AA′，∴∠AA′B=∠ABA′=∠CBD=4x°，∵∠A′AB=（180°﹣x°），∴（180°﹣x°）+4x°+4x°=180°，∴x°=12°．故答案为：12°．10．（7分）已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么，a、b中较大的数是225 ．解答：解：设（a，b）=d，且a=md，b=nd，其中m＞n，且m与n互质，于是a、b的最小公倍数为mnd，依题意有即，则m＞n据②可得或或或根据①只取可求得d=15，故两个数中较大的数是md=225．三、解答题（共5小题，满分120分）11．（20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．解答：解：设前后两个二位数分别为x，y，∴（x+y）2=100x+y．x2+2（y﹣50）x+（y2﹣y）=0．b2﹣4ac=4（y﹣50）2﹣4（y2﹣y）=4（2500﹣99y）≥0，解得y≤25，当y≤25时，原方程有解．∴x==50﹣y±，∴2500﹣99y必为完全平方数，∵完全平方数的末位数字只可能为0；1；4；5；6；9．x的数位是2位，y是2位．∴y=25，∴x=30或20，12．（25分）在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF，过E、F分别作CA、CB 的垂线相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE=∠PBF．解答：证明：①如图，在△ABP中，∵D、M、N分别是AB、AP、BP的中点，∴DM=BP，DN=AP，又∵PE⊥AE，BF⊥PF∴EM=AP=DN，FN=BP=DM，∵DE=DF∴△DEM≌△DFN（SSS）；②∵由①结论△DEM≌△DFN可知∠EMD=∠FND，∵DM∥BP，DN∥AP，∴∠AMD=∠BND=∠APB，∴∠AME=∠BNF又∵PE⊥AE，BF⊥PF，∴△AEP和△BFP都为直角三角形，又M，N分别为斜边PA与PB的中点，∴AM=EM=AP，BN=NF=BP，∴∠MAE=∠MEA，∠NBF=∠NFB，∴∠PAE=（180°﹣∠AME），∠PBF=（180°﹣∠BNF）．即∠PAE=∠PBF，13．（25分）已知实数a、b、c、d互不相等，且，试求x的值．解答：解：由已知有a+=x，①； b+=x，②；c+=x，③；d+=x，④；即dx3﹣（ad+1）x2﹣（2d﹣a）x+ad+1=0⑦由④得ad+1=ax，代入⑦得（d﹣a）（x3﹣2x）=0由已知d﹣a≠0，∴x3﹣2x=0若x=0，则由⑥可得a=c，矛盾．故有x2=2，x=±15．（25分）已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16．（1）这样的四边形有几个？（2）求这样的四边形边长的平方和的最小值．解答：解：（1）如图，记AB=a，CD=b，AC=l，并设△ABC的边BA上的高为h1，△ADC的边DC上的高为h2，则S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=（h1a+h2b）≤l（a+b），当且仅当h1=h2=l时等号成立，即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时，等号成立，由已知得64≤l（a+b），又∵a+b=16﹣l，得64≤l（16﹣l）=64﹣（l﹣8）2≤64，于是l=8，a+b=8，且这时AC⊥AB，AC⊥CD，因此这样的四边形由如下4个：a=1，b=7，l=8；a=2，b=6，l=8；a=3，b=5，l=8；a=b=4，l=8；（2）由于AB=a，CD=8﹣a，则BC2=82+a2，AD2=82+（8﹣a）2，故这样的四边形的边长的平方和为：2a2+2（8﹣a）2+128=4（a﹣4）2+192，当a=b=4时，平方和最小，且为192．故答案为：4，192．。
历届全国初中数学联赛试卷及答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． １．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35．答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ） ４．已知：)19911991(2111n nx --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ） ５．若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ７．如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８．在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21；答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+a cb 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试11=S 3S =132=S120135xx + y，x －y，x y，y四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是 (A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是(A)22-(B)22 (C)23(D)21-.答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
2003年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题
2003年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题一、选择题(每小题3分，共30分)1、在直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 、B 的坐标分别为(3，0)，(0，4)，则△OAB 的内心坐标为A 、(32，23)B 、(72，2)C 、(1，1)D 、(72，1) 2、把(1a -( ) ABC 、D 、3、一辆汽车的油箱里装有30升汽油，汽车每行驶100千米耗油6升，在行驶过程中，油箱中剩油量y(升)与行驶路程x(千米)的函数关系可用图象表示为( )4、如图，以O 为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C，若AB=4，BC=1，则下列整数与圆环面积最接近的是()A 、10B 、13C 、16D 、195、如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB=AD ，DE 是⊙O 的切线，∠ADE=55°，则∠C 等于( )A 、110°B 、100°C 、115°D 、120°6、如图，半圆的直径EF=8，正方形ABCD 的顶点A 、D 在半圆上，一边BC 在EF 上，则这个正方形的面积等于( )A 、16B 、15.4C 、12.8D 、127、某商店出售一种商品，下列几种方案中，最后价格最低的方案是( )A 、先提价10%，再降价10%B 、先降价10%，再提价10%C 、先提价20%，再降价20%D 、先提价30%，再降价30%8、如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是平行于AB 的弦，且AC 交BD 于点E ，∠AED=α，则DCE ABES S ∆∆等于( ) A 、cos α B 、sin α C 、cos 2α D 、sin 2α9、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则化简二次根式的结果是( )A 、a+bB 、-a-bC 、a-b+2cD 、-a+b-2c10、已知⊙O 的半径为r ，AB 、CD 为⊙O 的两条直径，且 AC =60°，P为 BC上的任意一点，PA 、PD 分别交CD 、AB 于点E 、F ，则AE ·AP+DF ·DP 等于A 、3r 2B 、2C 、4r 2D 、2二、填空题(每小题3分，共30分)11、关于x 的一元二次方程(k-1)x 2-2x+3=0有实数根，则k 的取值范围是____。
2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年山东省初中数学竞赛试题（有答案）
2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年⼭东省初中数学竞赛试题（有答案）2003年全国初中数学联赛预赛暨 2002年⼭东省初中数学竞赛试题⼀、选择题(本题共8⼩题,每⼩题6分,满分48分)1.磁悬浮列车是⼀种科技含量很⾼的新型交通⼯具.它有速度快、爬坡能⼒强、能耗低的优点.它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之⼀、汽车每个座位的平均能耗的70%.那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( )(Ａ)37 (Ｂ)73 (Ｃ)1021 (Ｄ)21102.已知ａ,ｂ,ｃ,ｄ都是正实数,且ａｂ <ｃｄ .给出下列四个不等式: ①ａａ+ｂ >ｃｃ+ｄ②ａａ+ｂ <ｃｃ+ｄ③ｂａ+ｂ >ｄｃ+ｄ④ｂａ+ｂ <ｄｃ+ｄ其中正确的是( )(Ａ)①③ (Ｂ)①④ (Ｃ)②④ (Ｄ)②③3.如图,在等腰直⾓三⾓形ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,∠ＣＢＤ=30°,则ＡＤＤＣ的值是( ) (Ａ)3 3 (Ｂ) 2 2(Ｃ) 2 －1 (Ｄ) 3 －1 4.世界杯⾜球赛⼩组赛,每个⼩组4个队进⾏单循环⽐赛,每场⽐赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分.⼩组赛完以后,总积分最⾼的两个队出线进⼊下轮⽐赛.如果总积分相同,还要按净胜球数排序.⼀个队要保证出线,这个队⾄少要积( )(Ａ)5分 (Ｂ)6分 (Ｃ)7分 (Ｄ)8分5.如图,四边形ＡＢＣＤ中,∠Ａ=60°,∠Ｂ=∠Ｄ=90°,ＡＤ=8,ＡＢ=7,则ＢＣ+ＣＤ等于( )(Ａ)6 3 (Ｂ)5 3 (Ｃ)4 3 (Ｄ)3 36.如图,在梯形ＡＢＣＤ中,ＡＤ∥ＢＣ,ＡＤ=3,ＢＣ=9,ＡＢ=6,ＣＤ=4.若ＥＦ∥ＢＣ,且梯形ＡＥＦＤ与梯形ＥＢＣＦ的周长相等,则ＥＦ的长为( )(Ａ)45 7 (Ｂ) 33 5 (Ｃ) 39 5 (Ｄ) 1527.如图,在ＲｔＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=90°,ＡＣ=ｂ,ＡＢ=ｃ,若Ｄ、Ｅ分别是ＡＢ和ＡＢ延长线上的两点,ＢＤ=ＢＣ,ＣＥ⊥ＣＤ,则以ＡＤ和ＡＥ的长为根的⼀元⼆次⽅程是()(Ａ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ2=0(Ｂ)ｘ2－ｃｘ+ｂ2=0(Ｃ)ｘ2－2ｃｘ+ｂ=0(Ｄ)ｘ2－ｃｘ+ｂ=08.已知实数ａ、ｂ、ｃ满⾜ａ<ｂ<ｃ,ａｂ+ｂｃ+ｃａ=0,ａｂｃ=1,则()(Ａ)｜ａ+ｂ｜>｜ｃ｜(Ｂ)｜ａ+ｂ｜<｜ｃ｜(Ｃ)｜ａ+ｂ｜=｜ｃ｜(Ｄ)｜ａ+ｂ｜与｜ｃ｜的⼤⼩关系不能确定⼆、填空题(本题共4⼩题,每⼩题8分,满分32分)9.Ｍ是个位数字不为零的两位数,将Ｍ的个位数字与⼗位数字互换后得另⼀个两位数Ｎ,若Ｍ－Ｎ恰是某正整数的⽴⽅,则这样的Ｍ共有＿＿＿＿个.10.设ｘ1、ｘ2是⽅程ｘ2-2 (ｋ+1)ｘ+ｋ2+2=0的两个实数根,且(ｘ1+1) (ｘ2+1)=8, 则ｋ的值是＿＿＿＿.11.已知实数ｘ、ｙ、ｚ满⾜ｘ+ｙ=5及ｚ2=ｘｙ+ｙ－9,则ｘ+2ｙ+3ｚ=＿＿＿＿.12.如图,Ｐ是矩形ＡＢＣＤ内⼀点,若ＰＡ=3,ＰＢ=4,ＰＣ=5,则ＰＤ=＿＿＿＿.三、解答题(本题共3⼩题,每⼩题20分,满分60分)13.如图,甲楼楼⾼16⽶,⼄楼坐落在甲楼的正北⾯,已知当地冬⾄中午12时太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为30°,此时,求:(1)如果两楼相距20⽶,那么甲楼的影⼦落在⼄楼上有多⾼?(2)如果甲楼的影⼦刚好不落在⼄楼上,那么两楼的距离应当是多少⽶?14.如图, △ＡＢＣ是等腰直⾓三⾓形,∠Ｃ=90°,Ｏ是△ＡＢＣ内⼀点,点Ｏ到△ＡＢＣ各边的距离都等于1,将△ＡＢＣ绕点Ｏ顺时针旋转45°得△Ａ1Ｂ1Ｃ1,两三⾓形公共部分为多边形ＫＬＭＮＰＱ.(1)证明: △ＡＫＬ、△ＢＭＮ、△ＣＰＱ都是等腰直⾓三⾓形;(2)求△ＡＢＣ与△Ａ1Ｂ1Ｃ1公共部分的⾯积.15.某乡镇⼩学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7时到达学校,接参观的师⽣⽴即出发去县城.由于汽车在赴校的途中发⽣了故障,不得不停车修理. 学校师⽣等到7时10分,仍未见汽车来接,就步⾏⾛向县城. 在⾏进途中遇到了已经修理好的汽车,⽴即上车赶赴县城, 结果⽐原定到达县城的时间晚了半⼩时. 如果汽车的速度是步⾏速度的6倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间.参考解答⼀、选择题1 Ｃ2 Ｄ3 Ｄ4 Ｂ5 Ｂ6 Ｃ7 Ａ8 Ａ⼆、填空题9 6 10 1 11 8 12 3 2 三、解答题13 (1)设冬天太阳最低时,甲楼最⾼处Ａ点的影⼦落在⼄楼的Ｃ处, 那么图(1)中ＣＤ的长度就是甲楼的影⼦在⼄楼上的⾼度.设ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ,那么在△ＡＥＣ中,∠ＡＥＣ=90°,∠ＡＣＥ=30°,ＥＣ=20⽶.∴ＡＥ=ＥＣ·ｔａｎ∠ＡＣＥ=20·ｔａｎ30°=20×33≈11.6(⽶). ＣＤ=ＥＢ=ＡＢ－ＡＥ=16－11.6=4.4(⽶).(2)设点Ａ的影⼦落到地⾯上⼀点Ｃ(如图(2)),则在△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ=30°,ＡＢ=16⽶,∴ＢＣ=ＡＢ·ｃｏｔ∠ＡＣＢ=16×ｃｏｔ30°=16×3≈27.7(⽶).所以，要使甲楼的影⼦不影响⼄楼，那么⼄楼距离甲楼⾄少要27.7⽶.14 (1)连结ＯＣ,ＯＣ1,分别交ＰＱ、ＮＰ于点Ｄ,Ｅ,根据题意得∠ＣＯＣ1=45°. ∵点Ｏ到ＡＣ和ＢＣ的距离都等于1, ∴ＯＣ是∠ＡＣＢ的平分线. ∵∠ＡＣＢ=90°,∴∠ＯＣＥ=∠ＯＣＱ=45°. 同理∠ＯＣ1Ｄ=∠ＯＣ1Ｎ=45°, ∴∠ＯＥＣ=∠ＯＤＣ1=90°.∴∠ＣＱＰ=∠ＣＰＱ=∠Ｃ1ＰＮ=∠Ｃ1ＮＰ=45°. ∴△ＣＰＱ和△Ｃ1ＮＰ都是等腰直⾓三⾓形.∴∠ＢＮＭ=∠Ｃ1ＮＰ=45°, ∠Ａ1ＱＫ=∠ＣＱＰ=45°. ∵∠Ｂ=45°,∠Ａ1=45°,∴△ＢＭＮ和△Ａ1ＫＱ都是等腰直⾓三⾓形.∴∠Ｂ1ＭＬ=∠ＢＭＮ=90°, ∠ＡＫＬ=∠Ａ1ＫＱ=90°. ∴∠Ｂ1=45°,∠Ａ=45°,∴△Ｂ1ＭＬ和△ＡＫＬ也都是等腰直⾓三⾓形.(2)在Ｒｔ△ＯＤＣ1和Ｒｔ△ＯＥＣ中, ∵ＯＤ=ＯＥ=1,∠ＣＯＣ1=45°,∴ＯＣ=ＯＣ1= 2 . ∴ＣＤ=Ｃ1Ｅ= 2 －1.∴ＰＱ=ＮＰ=2( 2 －1)=2 2 －2,ＣＱ=ＣＰ=Ｃ1Ｐ=Ｃ1Ｎ=2－ 2 . ∴Ｓ△ＣＰＱ=12 ×(2－ 2 )2=3－2 2 .延长ＣＯ交ＡＢ于Ｈ.∵ＣＯ平分∠ＡＣＢ,且ＡＣ=ＢＣ, ∴ＣＨ⊥ＡＢ.∴ＣＨ=ＣＯ+ＯＨ= 2 +1.∴ＡＣ=ＢＣ=Ａ1Ｃ1=Ｂ1Ｃ1= 2 ( 2 +1)=2+ 2 . ∴Ｓ△ＡＢＣ= 12×(2+ 2 )2=3+2 2 .∵Ａ1Ｑ=ＢＮ=(2+ 2 )－(2 2 －2)－(2－ 2 )=2,∴ＫＱ=ＭＮ= 22 = 2 ,∴Ｓ△ＢＭＮ=12×( 2 )2=1.∵ＡＫ=(2+ 2 )－(2－ 2 )－ 2 = 2 , ∴Ｓ△ＡＫＬ=12×( 2 )2=1.∴Ｓ多四边形ＫＬＭＮＰＱ=Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ△ＣＰＱ－Ｓ△ＢＭＮ－Ｓ△ＡＫＬ= (3+2 2 )－(3－2 2 )－1－1 = 4 2 －2.15 假定排除故障花时ｘ分钟.如图,设点Ａ为县城所在地,点Ｃ为学校所在地,点Ｂ为师⽣途中与汽车相遇之处.在师⽣们晚到县城的30分钟中,有10分钟是因晚出发造成的,还有20分钟是由于从Ｃ到Ｂ由步⾏代替乘车⽽耽误的.汽车所晚的30分钟,⼀⽅⾯是由于排除故耽误了ｘ分钟,但另⼀⽅⾯由于少跑了Ｂ到Ｃ之间的⼀个来回⽽省下了⼀些时间.已知汽车速度是步⾏速度的6倍,⽽步⾏⽐汽车从Ｃ到Ｂ这段距离要多花20分钟.由此知汽车由Ｃ到Ｂ应花206－1=4(分钟).⼀个来回省下8分钟,所以有ｘ－8=30,ｘ=38,即汽车在途中排除故障花了38分钟.。
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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是（A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18． 答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ． 答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是（Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则（Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）11=S 3S =132=S（C ）c > 2； （D ）c = 2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ．２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+acb 32 ． 3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ，yx四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC 中，AB ＜AC ＜BC ，D 点在BC 上，E 点在BA 的延长线上，且BD ＝BE ＝AC ，ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点（如图）．求证：BF ＝AF ＋CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格（n 是自然数），把相对的顶点A ，C 染成红色，把B ，D 染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A ，B 、C ，D ，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0 〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4 B．等于5C．等于6 D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
2003年全国初中数学联赛试题
2003年全国初中数学联合竞赛试题一、选择题（42分）1.计算：( )2.在十边形的所有内角中,锐角的个数最多是( ) (A)0 (B)1 (C)3 (D)53.若函数y=kx(k>0)与函数y=1x的图象相交于A 、C 两点，AB 垂直于x 轴于B,则ΔABC 的面积为( )(A)1 (B)2 (C)k (D)k 24.满足等式的正整数对(x,y)的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设ΔABC 的面积为1,D 是边AB 上一点,且13AD AB =.若在边AC 上取一点E,使四边形DECB 的面积为34,则CE EA的值为( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)156.如图,在ABCD 中,过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切。
若AB=4，BE=5，则DE 的长为（ ） (A)3 (B)4 (C)154 (D)165二、填空题（28分）1. 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点.若ΔABC 是直角三角形,则ac=_______. 2.设m 是整数,且方程3x 2+mx-2=0的两根都大于-95而小于37,则m=______. 3.如图,AA /、BB /分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线. 若AA /=BB /=AB ，则∠BAC 的度数为________.4.已知正整数a 、b 之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a 、b 中较大的数是__ __.EDCBA EDC BAB 'A 'EDCBANMPFEDCBADCBA三、（20分）在ΔABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DE=DF ；过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于P.设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N. 求证：（1）ΔDEM ≌ΔDFN.（2）∠PAE=∠PBF.四、（25分）已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且a +1b = b +1c = c + 1d= d +1a = x,试求x 的值.五、（25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB 、CD 、AC 的长都是整数，且它们的和为16。
历年初中数学竞赛真题库含答案
1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35． 答（ ）２． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是（A ） 10； （B ）12；（C ） 16； （D ）18．答（ ）３． 方程012=--x x 的解是（A ）251±； （B ）251±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-±． 答（ ）４．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（Ａ）11991-； （Ｂ）11991--；（Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）11991)1(--n ．答（ ）５． 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）６． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是（Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１．答（ ）７． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和13=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3．答（ ）８． 在锐角ΔABC 中，1=AC ，c AB =， 60=∠A ，ΔABC 的外接圆半径R ≤1，则 （Ａ）21< c < 2 ； （Ｂ）0< c ≤21； 答（ ）（C ）c > 2； （D ）c = 2．答（ ）二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD 中BC 边的中点，AE 交对角线BD 于G ，如果ΔBEG 的面积是１，则平行四边形ABCD 的面积是 ． ２．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，=+ac b 32 ．3．设m ，n ，p ，q 为非负数，且对一切x >０，qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立，则 =++q p n m 22)2( ．４．四边形ABCD 中，∠ ABC 135=，∠BCD 120=，AB 6=，BC 35-=，CD = 6，则AD = ．第二试x + y ， x － y ， x y ， yx 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y ）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若3,2==AC BC ，则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数，且0111=+--b a b a ，则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，求a 的取值范围.二、如图，在ABC ∆中，D AC AB ,=是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点，且A CED BED ∠=∠=∠2.求证：CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A ：320651B ：105263C ：612305D ：316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求：M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8：30—9：30)考生注意：本试共两道大题，满分80分.一、选择题（本题满分48分，每小题6分）本题共有8个小题都给出了A，B、C，D，四个结论，其中只有一个是正确的，请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分.〔答〕( )2．设a,b,c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA．都不小于0B．都不大于0C．至少有一个小0于D．至少有一个大于0〔答〕( )3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，则AB的长A．等于4B．等于5C．等于6D．不能确定〔答〕( )A．1 B．-1 C．22001D．-22001〔答〕( )5．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角A．4对B．8对C．12对D．16对〔答〕( )〔答〕( )7．设锐角三角形ABC的三条高AD，BE，CF相交于H。
【数学竞赛】2003年全国初中数学联赛试卷及答案
【数学竞赛】2003年全国初中数学联赛试卷第一试（4月13日上午8:30—9:30）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.A .5-B .1C .5D .1[答]（ ）2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是A .0B .1C .3D .5[答]（ ）3.若函数()0y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为 A .1 B .2 C .k D .2k[答]（ ）4.满足等式2003的正整数对()x y ，的个数是A .1B .2C .3D .4[答]（ ）5.设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且13AD AB =．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为 A .12 B .13 C .14 D .15[答]（ ）6.如图，在□ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若AB =4，BE =5，则DE 的长为A .3B .4C .154D .165[答]（ ） D CA B E二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若△ABC 是直角三角形，则ac =__________．2.设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m =____________． 3.如图，'AA ，'BB 分别是∠EAB ，∠DBC 的平分线．若''AA BB AB ==，则∠BAC 的度数为_____________．4.已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a ，b 中较大的数是_________．2003年全国初中数学联合竞赛试卷第二试（A ）（4月13日上午10:00—11:30）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）。
2000-2003年“五羊杯”全国初中数学竞赛试题及详解【圣才出品】
2 ． (16 1.63 2.87 1250.115 0.0163963) 0.11 （ ）。 A． 20 B． 26 C． 200
所以，A 的末尾的零的个数是 205 个。 故正确的答案选 B。
6 ．中国首位航天员杨利伟乘神舟 5 号飞船，在约 400 公里高空绕地球 14 圈，飞行约 21 小时，成功返回，圆了中华民族千年飞天梦．假定地球是球体，半径约 6400 公里，不
计升空和降落，杨利伟飞行距离和速度分别是（ ）。
A． 60 万公里和 9.7 公里／秒 B． 61 万公里和 8.3 公里／秒 C． 60 万公里和 7.9 公里／秒 D． 61 万公里和 7.8 公里／秒 【来源】 2003年第 15 届“五羊杯”全国初中数学竞赛初中一年级
31 4
31 7
31 8
15 31
1 2
1 4
1 7
1 8
1 2
1 4
1 7
1 8
15 31
故正确的答案选 B。
4 ．已知 3A 2B : 7A 5B 13: 31，那么 13A 12B : 17A 15B （ ）。
A． 5 : 4 B． 4 : 5 C． 9 : 7
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【答案】C
【解析】因为飞船在约 400 公里高空绕地球飞行，且地球半径为 6400 公里，所以，
飞船绕行的总半径为
6400 400 6800 （公里）。 又已知杨利伟绕地球飞行 14 圈，因此，杨利伟飞行距离为 2 680014 597856
2003第二十届 全国 初中数学联赛(含答案)
读万卷书 行万里路12003第二十届全国初中数学联赛第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1．232217122-- ）A ．542-B ．421C ．5D ．12．在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（ ）A ．0B ．1C ．3D ．53．若函数(0)y kx k =>与函数1y x=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则ABC △的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．满足等式2003200320032003x y x y x y xy -=的正整数对()x y ，的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4yxCB AEDCBA读万卷书 行万里路25．设ABC △的面积为1，D 是边AB 上一点，且13AD AB =．若在边AC 上取一点E ，使四边形DECB 的面积为34，则CE EA的值为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．156．在平行四边形ABCD 中，过A ，B ，C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =，5BE =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．154D ．165二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ．若ABC △是直角三角形，则ac =_________．2．设m 是整数，且方程2320x mx +-=的两根都大于95-而小于37，则m =_________． 3．如图，AA '，BB '分别是EAB ∠，DBC ∠的平分线．若AA BB AB ''==，则ABC ∠的度数为________．4．已知正整数a ，b 之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a ，b 中较大的数是________．第二试（A ）B'A'EDCBA读万卷书 行万里路3考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．二、（本题满分25分）在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．设线段PA ，PB 的中点分别为M ，N ．求证：⑴DEM DFN △≌△；⑵PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，试求x 的值．第二试（B ）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数．FEDC B A读万卷书 行万里路4二、（本题满分25分）在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．求证：PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB ，CD ，AC 的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．第二试（C ）考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．一、（本题满分20分）已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且1111a b c d x b c d a+=+=+=+=，试求x 的值． 二、（本题满分25分）NMA B C D EF读万卷书 行万里路5在ABC △中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE DF =；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．求证：PAE PBF ∠=∠．三、（本题满分25分）已知四边形ABCD 的面积为32，AB ，CD ，AC 的长都是整数，且它们的和为16．⑴这样的四边形有几个？⑵求这样的四边形边长的平方和最小值．2003第二十届全国初中数学联赛BA读万卷书 行万里路6试 题第一试一、选择题1．D【解析】 本题应该利用配方法：原式()()2221322222321=--=+-．故选择D ．【点评】 这是一道比较简单的二次根式的配方，注意去掉根号时要注意符号．2．C【解析】 凸10边形的外角和是360o ，所以最多有3个钝角，也就是内角最多3个锐角．故选择C ．【点评】 这道题要从外角来考虑，因为对于任何凸多边形外角和都是360o ，这是一个隐含的条件，在很多的四边形的题中都要从这一点出发来考虑．读万卷书 行万里路73．A【解析】 如图，求ABC △的面积，可以将AB 当作三角形的底边，而AC 的水平距离就是ABC △的高．y kx =，1y x=， 所以有：1kx x =，21x k =，x k=， 故ABC △的高为x k =，而当x k=时，y k =， 也就是AB k 112ABC S k k=△．所以选A ．【点评】 对于函数图像与几何结合的题型，尤其是一元二次方程，二次函数图像以及几何面积等结合的时候，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为21x x -，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而不必要去解带字母系数的一元二次方程．4．B【解析】 将2003移到等号左边并变形得到：)200320030xy x y =，20030xy ，即2003xy =，又2003是质数，所以共有2003x =，1y =；1x =，2003y =两组解．AB Cxy读万卷书 行万里路8故选择B ．【点评】 这道题的考点是恒等变形，需要将原来很复杂的根式变成比较简单的形式，然后再求解．在变换过程中也要注意要解的方程里含两个未知数，一般情况下是无法解的，但是有整数这个条件下的约束，我们可以通过将方程表示成两个多项式的乘积等于零的形式再求解．5．B【解析】 显然由正弦定理可知：sin sin ADE ABC S AD AE BACS AB AC BAC⨯⨯∠=⨯⨯∠△△， 所以13134ADE ABC S AD AE AE S AB AC AC ⨯==⋅=-⨯△△，故：34AE AC =， 所以13CE EA =， 应该选B ．【点评】 应该了解算三角形面积的三种不同的算法，正弦定理、底乘高的公式以及利用三角形内切圆半径和周长算三角形面积的方法．其中对于利用正弦定理来算三角形面积的方法可以直接转化成两对边比例的乘积，在作填空选择的时候可以直接利用．ABCDE读万卷书 行万里路96．D【解析】 连接CE ，由于ABCE 四点共圆，所以：DEC CBA ∠=∠，在平行四边形ABCD 中，D ABC ∠=∠，所以有DEC D ABC ∠=∠=∠，同时，CD 平行于AB ，且DC 与圆相切，可知：C 为弧AB 中点，所以CEB CBA ∠=∠，且DCE CBE ∠=∠，故由DEC D ∠=∠可知DEC △为等腰三角形，4CD CE AB ===，由DCE CBE ∠=∠和D ABC CEB ∠=∠=∠可知CDE △相似于BCE △，所以：CE BEDE CE=， 故：2165CE DE BE ==，选D ．【点评】 注意弦切角的应用，以及圆周角与弧之间的联系．二、填空题E D CBA读万卷书 行万里路101．1-【解析】 由于ABC △是直角三角形，所以抛物线与x 轴的交点必然在y 轴两边，所以0ca<，再由射影定理得到2c c a =．得到1ac =，有0ca<，所以1ac =-． 【点评】 这是一道几何与代数的综合题，需要利用给出的几何条件得到二次函数的性质，要掌握的重点是两交点之间的水平距离为21x x -，可以通过韦达定理即根与系数的关系求出，而要去解方程．2．4【解析】 解法一：考虑二次函数232y x mx =+-与二次函数的两个交点，由于3大于0，图像开口向上．由于两个交点都在95-和37之间，所以从图像可以看出，905y ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，307y ⎛⎫> ⎪⎝⎭．得到813342125m <<，所以m 的值为4． 【点评】 直接从已知条件不好下手，而利用二次函数与一元二次方程的关系，从二次函数的图像考虑就比较容易得到结果，利用二次函数的图像是一种很重要的方法．3．12︒11【解析】 本题考察的是角度计算的知识，令B α'∠=，由于AB BB '=，所以有：B AB B α''∠=∠=，对于三角形B BA '的一个外角和等于不相邻的的两内角之和，故：2B BD B AB B α'''∠=∠+∠=，又BB'为CBD ∠的角平分线，所以： 24CBD B BD α'∠=∠=，又由对顶角相等可知：4ABA CBD α'∠=∠=，由AA AB '=可知：4AA B ABA α''∠=∠=，故：1801808BAA AA B ABA α'''∠=-∠-∠=-o o ，同时AA '为BAE ∠的角平分线，故：236016BAE BBA α'∠=∠=-o ，则：36016180BAE CAB αα∠+∠=-+=o o ，解得：12α=o ，12BAC α∠==o ．【点评】 对于很多的角的计算时一般设一个最小的角便于计算，同时还应该注意三角形中外角、对顶角等的性质．B'A'EDCBA读万卷书 行万里路4．225【解析】 设两个数的最大公约数为d ，大数为md ，小数为nd ，其中m ，n 互质，则最小公倍数为mnd ．由已知得105mn =，()120m n d -=．由于m n >，所以m 只可能是105，35，21，15．对应的n 分别为1，3，5，7．只有在15m =，7n =时d 为整数，15d =．所以大数为225md =．【点评】 这道题的考点是最大公约数与最小公倍数的性质，利用其性质列出整数方程就很容易求解了．第二试（A ）一、【解析】 设这两个两位数分别为x ，y ，则()2100x y x y +=+，即()()222500x y x y y +-+-=，旗开得胜13为使方程有正整数根要求()()()2245044250099y y y y ∆=---=-是正整数．经试验得到25y =时∆是完全平方数，解出20x =或30，即2025或者3025满足题意．【点评】 本题的关键是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．二、【解析】 连接DE ，EM ，MD ，DN ，NF ，FD ，在直角AEP △和CFP △中，M 、N 分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP ==，CN NF NP ==，在APC △中，D 、M 、N 分别为各边的中点，故DM ，DN 均为APC △的中位线，所以有EM MA MP DN ===，CN NF NP DM ===，同时，由于D 为AC 边中点，所以AD DC =，因此DME FND △≌△，命题得证：由DME FND △≌△可知：EMD DNF ∠=∠，PF EDCBAMN又由于DM，DN均为三角形APC的中位线，所以AMD DNC∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC∠=∠，同时，AME△为等腰三角形，△和FNC所以，PAE PBF∠=∠，【点评】对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】由已知有：1a x+=；①b1b x+=；②c1c x+=；③d1d x+=．④a读万卷书行万里路15由式①解出：1b x a=-， ⑤将⑤代入②式可得：21x ac x ax -=--，⑥将⑥代入③式可得：211x a x x ax d-+=--，即：()()321210dx ad x d a x ad -+--++=，⑦由④式得：1ad ax +=，代入⑦式得：()()320d a x x --=，由已知0d a -≠，所以：320x x -=，若0x =，则由式⑥可得a c =，矛盾，故有22x =，即2x =±【点评】 本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有a ，b ，c ，d 四个字母，也就是可以通过消元最后得到x 和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．第二试（B ）一、读万卷书 行万里路【解析】 设这两个两位数分别为x ，y ，则()2100x y x y +=+，即()()222500x y y y +-+-=，为使方程有正整数根要求()()()2245044250099y y y y ∆=---=-是正整数，经试验得到25y =时∆完全平方数，解出20x =或30，即2025或者3025满足题意．【点评】 本题的是根据自然数的性质列出方程，再结合一元二次方程求出结果，这种题目在二试中经常出现．二、【解析】 连接DE 、EM 、MD 、DN 、NF 、FD ，在直角三角形AEP 和CFP 中，M 、N 分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP ==，CN NF NP ==在APC △中，D 、M 、N 分别为各边的中点，故DM ，DN 均为APC △的中位线，所以有EM MA MP DN ===，CN NF NP DM ===，同时，由于D 为AC 边中点，所以AD DC =，因此DME FND △≌△，命题得证：PF EDCBA MN17由DME FND △≌△可知：EMD DNF ∠=∠，又由于DM ，DN 均为三角形APC 的中位线，所以AMD DNC ∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC ∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC ∠=∠，同时，AME △和FNC △为等腰三角形，所以，PAE PBF ∠=∠，【点评】 对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】 如图，设AB a =，CD b =，AC l =并设的边AB 上的高为2h ，边DC 上的高为1h ，则：()()121122ABC ADCABCD S S S h a h b t a b =+=++△△≤平行四边形， 仅当121h h ==，等号成立，即在四边形ABCD 中，当AC 垂直于AB ，AC 垂直于CD 时等号成立．由已知可得：()64l a b +≤，又由题设16a b l +=-，可得：()()26464864l a b l +--≤≤≤，h 2h 1AB读万卷书 行万里路于是：8l =，8a b +=，且这时AC 垂直于AB ，AC 垂直于AD ．因此，这样的四边形有如下4个：1a =，7b =，8l =；2a =，6b =，8l =；3a =，5b =，8l =；4a =，4b =，8l =；它们都是以AC 为高的梯形或平行四边形．又由AB a =，8CD a =-，则2228BC a =+，()22288AD a =--，因此，这样的四边形的边长的平方和为：()()22222812844192a a a +-+=-+．故当4a b ==时，平方和最小，且为192．【点评】 本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．第二试（C ）一、【解析】 由已知有：191a x b+=； ①1b xc +=； ②1c x d+=； ③1d x a+=． ④由式①解出：1b x a=-， ⑤将⑤代入②式可得：21x ac x ax -=--，⑥将⑥代入③式可得：211x a x x ax d-+=--，即：()()321210dx ad x d a x ad -+--++=，⑦由④式得：1ad ax +=，代入⑦式得：()()320d a x x --=，由已知0d a -≠，所以：320x x -=，若0x =，则由式⑥可得a c =，矛盾，故有22x =，即2x =±【点评】 本道题只能是通过代数式的变换来解题，在代数式的变换中注意到共有四个等式，有a ，b ，c ，d 四个字母，也就是可以通过消元最后得到x 和其中一个字母的关系，但是这样我们得到的是一个三次式，不利于解题．实际上不管最后得出的式子含有多少个未知数，只要可以表示成几个多相式的乘积为零，就能得到结果，实际解题中应该从这方面着手．二、【解析】连接DE、EM、MD、DN、NF、FD，在直角三角形AEP和CFP中，M、N分别是它们斜边上的中点，所以：EM MA MP==，CN NF NP==在APC△中，D、M、N分别为各边的中点，故DM，DN均为APC△的中位线，所以有EM MA MP DN===，CN NF NP DM===，同时，由于D为AC边中点，所以AD DC=，因此DME FND△≌△，命题得证：由DME FND△≌△可知：EMD DNF∠=∠，又由于DM，DN均为三角形APC的中位线，所以AMD DNC∠=∠，则有：EMD AMD DNF DNC∠-∠=∠-∠，即：AEM FNC∠=∠，PF EDCBAM N读万卷书行万里路读万卷书 行万里路21同时，AME △和FNC △为等腰三角形，所以，PAE PBF ∠=∠，【点评】 对于线段相等通常是围绕线段构造全等的三角形，对于要证明角相等，除了构造三角形全等以外，还可以构造相似．三、【解析】 如图，设AB a =，CD b =，AC l =并设的边AB 上的高为2h ，边DC 上的高为1h ，则：()()121122ABC ADC ABCD S S S h a h b t a b =+=++△△≤平行四边形， 仅当121h h ==，等号成立，即在四边形ABCD 中，当AC 垂直于AB ，AC 垂直于CD 时等号成立．由已知可得：()64l a b +≤，又由题设16a b l +=-，可得：()()26464864l a b l +--≤≤≤， 于是：8l =，8a b +=，且这时AC 垂直于AB ，AC 垂直于AD ．因此，这样的四边形有如下4个：1a =，7b =，8l =；2a =，6b =，8l =；h 2h 1A BCD读万卷书 行万里路22 3a =，5b =，8l =；4a =，4b =，8l =；它们都是以AC 为高的梯形或平行四边形．又由AB a =，8CD a =-，则2228BC a =+，()22288AD a =--， 因此，这样的四边形的边长的平方和为：()()22222812844192a a a +-+=-+． 故当4a b ==时，平方和最小，且为192．【点评】 本题是一道综合性很强的题目，其中运用到了面积法，不等式，四边形知识，需要同学们对这些知识掌握得很好，并能够融会贯通．。
2003年中国数学奥林匹克试题及解答
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参 考 答 案
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[“五羊杯”第15届]2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案)
![[“五羊杯”第15届]2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/7f54b77931b765ce05081440.png)
2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得O 分．本大题满分50分) 1．方程223232323=+-+-+x x 的根是 ( )A.-3B. 2C.-1 D ．0。
2．设3x 3+(4—37)x 2一37x —7=O ，则x 4+7x 3一7x 2一37x+2的值为 ( ) A ．307 B. 30 C. 7 D. 03．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0|x ||y |4-y 0|y ||x |4-x 22在实数范围内( )A.有1组解B.有2组解C.有4组解D.有多于4组的解4．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ✍表示不小于x 的最小整数, x ✍表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4✍=4， 3.4✍=3．，则不等式组23．2≤4 x +3 x ✍+2 x ✍+x ≤35．624．3≤4 x ✍+3 x +2 x ✍+x ≤37．7 的解为 ( ) A ．2．3≤x≤3．6，x≠2．5，3．5 B. 2≤x ≤4，x≠2．5，3.5 C. 2．3≤x≤3．6 D ．x=2，35．作自然数带余除法，有算式A÷B=C…27．如果B<100，且A-80B+21C+524=O ，则A=( ) A ．2003 B.3004 C ．4005 D ．43596．图由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分(小菱形)的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为 ( )A ．400 B.300 C 200 D ．150．7．在1，2，3，…，200中既与96互质，又与75互质，而且与80也互质的所有整数的总和为 ( )A 5468B 6028C 5828D ．50588．图中，BP ：PQ ：QC=1：2：1，CG ：AG=1:2，则BE ：EF ：FG= ( ) A 12：17：7 B.11：16：6 C. 10：15：6 D ．9：14：5 9.设S=99979529752753253124832⨯⨯+⋯⋯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯T=99972752532311482⨯+⋯⋯+⨯+⨯+⨯，则12S-3T= ( )A ．96032149-B. 9603249-C. 32012149-D ．3201249-10．设n=99…9(100个9)，则n 3的10进位制表示中，含有的数字9的个数是 ( ) A ．201 B.200 C.100 D ．199二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分．本大题满分共50分) 11．在实数范围内分解因式：x 4-3x 2+4= ． 12．已知13．不等式的解是 ．14．要使分式和都有意义，则x 的取值范围是15．设，x ，y 是整数，则方程的非零整数解有 组．16．如图，护城河在CC'处直角转弯，宽度保持为4米．从A 处往B 处，经过2座桥：DD'，EE'．设护城河是东西一南北方向的，A 、B 在东西方向上相距64米，南北方向上相距84米．恰当地架桥可使AD 、D'E’、EB 的路程最短．这个最短路程为 米．17．四边形ABCD 的四边长为AB=34，BC=1m)-(72+，CD=22n)-(6m +，DA=16n 2+，一条对角线BD=22n)-(57+，其中m ，n 为常数，且0<m<7，0<n<5，那么四边形的面积为18．设x≠0，x≠1，P=x 2-1，Q=2x2x 1-，R=2x)-(1x)-x(2，且AP+BQ+CR=s 对任意的x 都成立，其中A ，B ，c 为常数，s=2242x)-(1x xx 5x 41-+-．则AQ+BR+CP= (x≠0，1)．19．利用不等式3ABC 3CB A ≥++，A ，B ，c>0，等号成立当且仅当A=B=C”解决以下问题：把长为8dm 宽为3dm 的长方形铁片的四角各剪去一个边长相同的正方形小铁片，折成一个无盖长方体盒子(折缝不计)，要使所得到的盒子容积最大，剪去的4个正方形小铁片的边长应是x= dm．20．以下算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么这个算式的结果，非典不可怕”=．可怕非典×抗×抗×抗×抗=非典不可怕参考答案一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．C 10．D。
2003中国数学奥林匹克
初中数学辅导网 京翰教育1对1家教 /中国数学奥林匹克第18届试题2003年1月15日,1月16日 湖南 长沙一、设点I 、H 分别为锐角三角形的内心和垂心，点B 1、C 1分别为边AC,AD 的中点.已知射线B 1I 交边AB 于点B 2（B 2≠B ），射线C 1I 交AC 的延长线于C 2，B 2C 2与BC 相交于K,A 1为△BHC 的外心.试证：A,I,A 1三点共线的充分必要条件是△BKB 2△CKC 2的面积相等.二、求出同时满足如下条件的集合S 的元素个数的最大值：（1） S 中的每个元素都是不超过100的正整数；（2） 对于S 中任意两个不同的元素a,b ，都存在S 中的元素c ，使得a 与c的最大公约数等于1，并且b 与c 的最大公约数也等于1；（3） 对于S 中任意两个不同的元素a,b ，都存在S 中异于a,b 的元素d ，使得a 与d 的最大公约数大于1，并且b 与d 的最大公约数也大于1.三、给定正整数n ，求最小的正数λ，使得对于任何2212tan tan tan ),,,2,1(),2,0(nn i n i =⋅⋅⋅=∈θθθπθ 只要就有.cos cos cos 21λθθθ不大于n +++四、求所有满足a ≥2，m ≥2的三元正整数组（a,m,n ），使得a n +2003是 a m +1 的倍数.五、 某公司需要录用一名秘书，共有10人报名，公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试，前三个人面试后一定不录用.自第4个人开始将他与前面面试过的人比较，如果他的能力超过了前面所有已面试过的人，就录用他；否则就不录用，继续面试下一个.如果前9个人都不录用，那么就录用最后一个面试的人.假定这10个人的能力各不相同，可以按能力由强到弱排为第1，第2，…，第10.显然该公司到底录用到哪一个人，与这10个人报名的顺序有关.大家知道，这样的排列共有10！种.我们以A k 表示能力第k 的人能够被录用的不同报名顺序的数目，以!10k A 表示他被录用的可能性.证明：在该公司经理的方针下，有（1） A 1>A 2>…>A 8=A 9=A 10;（2） 该公司有超过70%的可能性录用到能力最强的3个人之一，而只有不超过10%的可能性录用到能力最弱的3个人之一.六、设a,b,c,d 为正实数，满足ab+cd=1；点P i (x i ,y i )(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆上的四个点.求证： ).(2)()(22222123424321cdd c abb a dx cx bx ax dy cy by ay +++≤+++++++。
历年(95-10)全国初中数学竞赛联赛几何
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解- 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心 C．重心 D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个C．12个D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．A．30 B．36 C．72 D．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
历年(95-10)全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何(1)
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a b a b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析
历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析历年全国初中数学竞赛试卷及答案解析目录1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (3)1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (10)2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (19)2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (26)2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (34)2003年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (42)2004年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (53)2005年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (61)2006年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (69)2007年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (78)2008年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (91)2009年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (100)2010年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (110)2011年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (119)2012年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (128)2013年全国初中数学竞赛试卷及答案解析 (144)2014年全国初中数学竞赛预赛试题及参考答案 (153)1998年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).1、已知c b a ，，都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是(B ).A. ；bc ab >B. ；c b b a +>+C. ；c b b a ->-D..cbc a > 【解析】B.根据不等式的基本性质.2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为(D ).A. 2；B. 4；C. ；3D. .5【解析】D..514)(14)()(.1.200422212212212121212=⇒⨯--=⇒-+=-∴⎩⎨⎧=-=+>⇒⎭⎬⎫>>-=∆p p x x x x x x x x px x x x p p p 为方程的两根，那么有、设由3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且64==⊥CE BD CE BD ，，，那么△ABC的面积等于(C ). A. 12； B. 14；C. 16；D. 18.【解析】C..16123434.4141.12642121=⨯==∴=-⇒=⇒∆=⨯⨯=⋅⋅=⇒⊥∆∆∆∆∆BCDE ABC ABC BCDE ABC ABC AED BCDE S S S S S S S ABC DE CE BD S CE BD DE 四边形四边形四边形的中位线是，则如图所示，连接Θ4、已知0≠abc ，并且p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第()象限.(B ) A. 一、二； B. 二、三； C. 三、四； D. 一、四.【解析】B...11222.12.10.02)()(2一定通过第二、三象限直线过第二、三、四象限时，直线当过第一、二、三象限；时，直线当或或p px y x y p x y p p p cc c b a p c b a c b a p c b a p c b a pba c pa cb pcb a p b ac a c b c b a +=∴--=-=+==-==∴-=-=+=⇒=++=++=⇒++=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⇒=+=+=+ΘΘ5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、b )共有(C ). A. 17个； B. 64个； C. 72个； D. 81个.【解析】C..7298)(.832313029282726259987654321.322490483190.89个有，满足条件的整数有序对个，共，，，，，，，个；，共，，，，，，，，则依题意，知由原不等式组可得=⨯∴==∴⎩⎨⎧≤<≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<<≤b a b a b a b a b x a二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，共30分).6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD =12，AB =5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE +PF =_____.【解析】.1360 .136013560135.1355125sin 135605125)12(sin .12)120(2222=-+=+∴=+⋅=∠⋅=-=+⨯-=∠⋅=∴-=<<=x x PF PE xx PAF AP PF xx PDE DP PE x DP x x AP ；，则如图所示，设FEADCBP7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于_____.【解析】6..639211121)31()91(21'.''').93()11(32''''2=⨯⨯-⨯⨯-+⨯+⨯=--=-=+-=∆∆∆O BB O AA B B AA OAB S S S S B A x BB AA B A x y x y 梯形则，轴，垂足分别为分别垂直于，作，，，的交点为与抛物线如图所示，直线8、已知圆环内直径为cm a ，外直径为cm b ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为_____cm .【解析】49a+b..49)150(225050242332222b a ab b b a ab b b a ab b +=-⨯--⋯⋯+=⨯--+=⨯--个时，链长为当圆环为；个时，链长为当圆环为；个时，链长为如图所示，当圆环为9、已知方程())(015132832222是非负整数其中a a a x a a x a =+-+--，至少有一个整数根，那么a =_____.【解析】1，3或5..53151322)2()83(2)15132(4)83()83(21222222222，或，可取故，a ax a x a a a a a a a a a a a a a x -=-=∴+±-=+---±-=Θ10、B 船在A 船的西偏北o 45处，两船相距km 210，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是_____km .【解析】52..52''620)6-(5)210()10(''''./.''.102221045sin 102221045cos 22222o o 取得最小值时，当则船的速度为并设处，船分别航行到船、小时后，设经过，如图所示，B A xt xt xt xt C B C A B A h km x A B A B A t AB BC AB AC =+=-+-=+==⨯=⋅==⨯=⋅=三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).11、如图，在等腰ABC ∆中，o 901=∠=A AB ，，点E 为腰AC 中点，点F 在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积.AB CEF【解】解法一：.24161212121612214522122∽9090.o o o =⨯⨯=⋅⋅=∴=⇒=-∴=⇒=∠-=-=∴=⇒==∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆GF CE S GF GF GF GF CG C GFGE CE CG GF GE AEABGF GE GEABGF AE GEF Rt ABE Rt GEF ABE AEB GEF AEB ABE G CE FG CEF ΘΘ于如图所示，作解法二：241)21()(∽9090.22o o ==∴====∴∆∆∴∠=∠⇒⎭⎬⎫=∠+∠=∠+∠⊥∆∆AEABCH CE CE AB CH AE AB CE S S CEH Rt ABE Rt CEH ABE AEB CEH AEB ABE H EF CE CH C ABE CEH ，的延长线交于，与作如图所示，过Θ.2412112141324132322.45o =⨯⨯⨯⨯=⨯==∴==∴⇒∠⇒=∠=∠∆∆∆∆∆ABE CHE CEF CHF CEF S S S CH CE S S CE CH F HCE CF HCF ECF 的距离相等、到的角平分线是Θ12、设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点.(1)求a 的值； (2)求618323-+a a 的值. 【解】.5796)138(323)15972584(3231381011)1(310113)2)(53(1115344)1(44)2()1(1212)1(12)1()1(11101159725846101597)1(9876101597987)1)(610987(610987169546)1(441169546441)1321()(1321412)1(94129)23()(2312)1(12)1()(101)1()2(.251010)452(4)12(.0452)12(.452)12()1(618224622224222222216182228162224822224222222=+-++=+∴+-=+-+=+-=+-+-=⋅=+-=+-+=+-=+-==+-=+-+=+-=-==-=∴=--+=+++=++=++=⋅=+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=+++=++=+==+=∴=--±=∴=+-=+-+=∆∴=++++∴++++=-a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a x a x x a x a x y 又知，由，即有两个相等的实根一元二次方程轴只有一个交点的图像与抛物线ΘΘ13、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台.已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元.(1)设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W (元)关于x (台)的函数关系式，并求W 的最大值和最小值.(2)设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W (元)，并求W 的最大值和最小值. 【解】.1420014200100142001720010300020017200)(300200.98009800810980017200183001020017200)(300200.1810100100172003005001810100100818010010017200300500)10(500)10(700)10(800)18(400300200.101010182.132005100009958218010017200800)102(500)10(700)10(800)218(400300200.10210102181元的最大值是，故时，，即当；又元的最小值是，故时，，即当是整数，，，且又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（元取到最大值时，元；当取到最小值时，所以，当又于是台，，机器台数分别为市的台，发往，，市的机器台数分别为市发往市、市、）由题设知，（W W y x y x x W W W y x y x x W y x y x y x y x W y x y x y x y x y x y x y x y x y x W y x y x E y x y x D C B A W x W x x x x x x x x x x x W x x x E x x x D C B A ====+⨯-⨯-≤++--=====+⨯-⨯-≥++--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤+--=∴⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤≤≤+--=-++-+-+--++=-+----==≤≤⇒⎩⎨⎧≤-≤≤≤+-=-+-+-+-++=----1999年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).14、一个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是(C ).A. 11；B. 12；C. 13；D. 14.【解析】C.18019131999)2(180o o <⇒<-n n .15、某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费(B ). A. 60元； B. 66元； C. 75元； D. 78元.【解析】B.设4月份用户使用煤气x (x >60)立方米.则 60×0.8+1.2×(x -60)=0.88x .解得x =75. 故4月份该用户应交煤气费0.88×75=66元.16、已知11=-a a，那么代数式a a +1的值为(D ).A.；25 B. ；25-C. ；5-D. .5【解析】D..1111110②52321)1(113111110①2222222此时无解时，当；时，当-=+⇒=+⇒=-<=+=++=+=+⇒+∴=+⇒=-⇒=->a aa a a a a a aa a a a a a a aa a a a a17、在ABC ∆中，D 是边BC 上的一点，已知51065====CD BD AD AC ，，，，那么ABC ∆的面积是(B ). A. 30； B. 36； C. 72； D. 125.【解析】B..36524)510(212152454621214353621215.2222=⨯+⨯=⋅⋅=∴=⨯=⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅=∴=-=-=∴=⨯==⇒⊥==⊥⊥∆∆AF BC S CD CE AD AF AF CD CE AD S AE AC CE AD AE AD CE CD AC F BC AF E AD CE ABC ADC ，则于，于如图所示，作18、如果抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值是(A ). A. 1； B. 2；C. 3；D. 4.【解析】A.().1184)1(452522145221214524)]1([)1(444212)1(252)1(4)1(4)(11.01)1(32222212222221221212121212取得最小值时，当，，则，的两实根为设一元二次方程ABC C ABC S k k k kk k k k x x y AB S k k k k a b ac k k a b k k k k x x x x x x k x x k x x x x k x k x ∆∆-=++=++⋅++⋅=++⋅-⋅=⋅⋅=∴++-=-----=--=---=-++=----=-+=-∴--=-=+=----19、在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为(D ). A. 2； B. 3； C. 4； D. 5.【解析】D..③②①.31452P P BA B P BA BP P AB A P AB AP P P AB P BP AP ABP CD CD B P BCD PCD ，为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；为半径的圆上，此时有为圆心，必在以时，点当；，的中垂线上，此时有必在线段时，点当是等腰三角形，则要使的对称直线上的直线或此直线关于且平行于一定在过点的面积相等，则点与如图所示，要使===∆∆∆二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).20、已知231231-=+=y x ，，那么22y x +的值为_____. 【解析】10..10)23)(23(2)]23()23[(2)(23232312312222=+--++-=-+=+∴+=-=⇒-=+=xy y x y x y x y x ，，Θ21、如图，正方形ABCD 的边长为10cm ，点E 在边CB 的延长线上，且EB =10cm ，点P 在边DC 上运动，EP 与AB 的交点为F .设DP =xcm ，△EFB 与四边形AFPD的面积和为ycm 2，那么，y 与x 之间的函数关系式是_____(0＜x ＜10).【解析】y=5x+50.50510)]215([2110)215(21)(2121215)215(10215)10(21)(212121101010∽+=⨯++⨯+⨯-⨯=⋅+⋅+⋅⋅=+=∴+=--=-=∴-=-=-==⇒=+==⇒∆∆∆x x x x AD AF DP BE BF S S y xx BF AB AF x x DP DC CP BF EC EB CP BF ECP EBF AFPD EFB 四边形Θ22、已知02022=-+≠b ab a ab ，，那么ba ba +-22的值为_____. 【解析】3135或. 35)2(2)2(22231222220)2)((0222=+-⨯--⨯=+-=+-=+-∴-==⇒=+-⇒=-+b b b b b a b a b b b b b a b a b a b a b a b a b ab a 或或Θ23、如图，已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，A 、B 两点在第Ⅰ象限内，OA 与x 轴的夹角为30°，那么点B 的坐标是_____.【解析】)213213(+-，.212321232323130cos 2121130sin 2323130cos 2121130sin .o o o o +=+=+=-=-=-=∴=⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅==⨯=⋅=⊥⊥⊥AE BF FD BF BD AF OE DE OE OD AB BF AB AF OA OE OA AE F BD AF D x BD E x AE ，，，则于，轴于，轴于如图所示，作F EDCBOxyA24、设有一个边长为1的正三角形，记作A1(如图3)，将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2(如图4)；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3(如图5)；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长_____.【解析】964..964])31(1)[43(316])31(1)[43(4)311()43(313.31433422321=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯的周长是，的周长是，的周长是，的周长是为原来的条边，每条线段长度变把一条边变成变化规律为：每次变化AAAA25、江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等.如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完.如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机_____台.【解析】6..6103210316010103231601641640240台故至少需要抽水机，则水，每台抽水机每分钟抽，每分钟涌出的江水是涌出的江水是设使用抽水机抽水前已=⨯+=+⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧⨯=+⨯=+ccccbacbcacbacbacba三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).26、设实数ts，分别满足019991991922=++=++ttss，，并且1≠st，求tsst14++的值.【解】.519141991419199191991.199911119199)1(19919222-=++--=++∴⎩⎨⎧=--=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+∴=++∴≠⇒≠=+⋅+⇒=++∴ssstsststssttstsxxtsststssss的两个不等实根是一元二次方程，Θ27、如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长.【解】如图所示，连接BO并延长交AD于H，连接OD.则HDPOAB.632213)6(36)2123()2221()()21(221316.0236.023∽∥909022222222222222o o +++∴=-=-==++⨯=++=+==-=-==-⨯=⋅=∴=⇒∆∆∴∠=∠⇒∴=∠⇒∠=∠=∠⇒≅∆∴的周长为四边形上的圆周角是直径ABCD AB AC BC OH BO AD BH AH AB CD AC AD OP CP OB CD CPOPCD OB CPD OPB CDP OBP CD BH ADC AC ADC DHB AHB DBH ABH Θ28、有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法(第一次可以是加法，也可以是乘法)，每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘3.例如，30可以这样得到：30108413223−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+.(1)证明：可以得到22； (2)证明：可以得到22297100-+.【解析】(1)倒过来考虑：①22假设是通过乘法得到，则必是×2； A ，11假设是通过+2得到； 9必是×3得到. 3必是+2得到.(*) B ，11假设是通过+3得到. 8必是×2得到. (A)4是+2得到； 2必是×2得到.(*) (B)4是+3得到.(*) ②22假设是通过加法得到.A ，假设是+2得到； 20必是×2得到. (A)10假设是+2得到； 8必是×2得到. a ，4是+2得到； 2必是×2得到.(*) b ，4是+3得到.(*) (B)10假设是+3得到. 7不能通过乘法得到，不满足.B ，假设是+3得到.19不能通过乘法得到，不满足. 故所有方法有148102022124810202214811221248112213911223-22-22-22-22-22-3-23-222-23-22-32-2−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷(2)倒过来考虑：148423)2293(423223423123322122222③)(2471416222)23247(222422122222②)(247222)2296(222422222①3-222-2952-952963-96396992-969929710023-22-1423-29598296993-969929710023-0322-96992971002-97100−→−−→−=-⨯→-÷−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−−→−−→−=-+→÷-÷−→−−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+−→−-+−→−−→−=-+→÷-−→−−→−⋯-+−→−-+−→−-+÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷÷，次不满足，，次不满足，次【解】证明：(1)22119312232−→−−→−−→−−→−⨯+⨯+. 或222010841222010842122118412211842122223222222232323222−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯证明：(2)222229129329123423)2292(423223423223423223197100972962963963962242323222223-+=-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯→⨯+−→−−→−⋯-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−-⨯−→−⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+，次2000年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).29、设a，b，c的平均数为M，a，b的平均数为N，N，c的平均数为P，若cba>>，则M与P的大小关系是(B).A.；PM=B.；PM>C.；PM<D.不确定.【解析】B..1221221224234222223PMccccbaPMcbacbacbacbaPMcbacbacNPbaNcbaM>⇒=-+>-+=-∴>>-+=++-++=-∴++=++=+=+=++=ΘΘ，，30、某人骑车沿直线旅行，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回b千米(b﹤a)，再前进c千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是(C).【解析】C.图(A)中没有反映休息所消耗的时间；图(B)虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图(D)中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图(C)正确地表述了题意.31、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么(A).A. 甲比乙大5岁；B. 甲比乙大10岁；C. 乙比甲大10岁；D. 乙比甲大5岁.【解析】A.设甲、乙的年龄差是x 岁.则乙现在(10+x )岁，甲现在(25-x )岁，年龄差为[(25-x )-(10+x )]=15-2x 岁. 故15-2x =x ，即x =5.32、一个一次函数图象与直线49545+=x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点(－1，－25)，则在线段AB 上(包括端点A 、B )，横、纵坐标都是整数的点有(B ). A. 4个； B. 5个； C. 6个； D. 7个.【解析】B..5012340419419)(419190)()4950()019().19(4549545)251(4954500000个点故共有，，，，是整数点，则上横纵坐标都是整数的是线段，设，，，则的一次函数的解析式是，平行，且过与直线----=⇒≤-=≤-⇒⎩⎨⎧=-≤≤∴--=-=--+=t x t t tx x AB y x B A x x y x y33、设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是(B ). A. ∠B ＞2∠A ； B. ∠B =2∠A ； C. ∠B ＜2∠A ；D. 不确定.【解析】B.BACD BAD D ABC DBAD D BAC DAC ABC DCACAC BC C C DAC ABC c a CD AB BD D CB c a b b a c b a b b a a b a c b a b a b a c b a b a b a ∠=∠=∠+∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴=∠=∠∆∆+==+=⇒+++-++-=--⇒+++=--⇒+++=22∽.)()(Θ，中，和在，于是，使到如图所示，延长ca bcDC B A34、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ，，，面积为S ，111C B A ∆的三边长分别为111c b a ，，，面积为S 1，且111c c b b a a >>>，，，则S 与S 1的大小关系一定是(D ). A. ；1S S > B. ；1S S < C. ；1S S = D. 不确定.【解析】D..2121214121..2.2.11111111111111111`111S S h CB S S h CB S S h CB h AB S CB AB S c c b b a a ABc b a h AB C B A AB c ABAB b a l C AB l AB B >>==<<⋅=⋅⋅=>>>===∆==>=时，；当时，；当时，当，而，，显然满足，则为为边的等边三角形，高是以，则上任一点为的中垂线，是的中点，是如图所示，二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).35、已知：333124++=a ，那么=++32133aa a _____. 【解析】1..11)]12(1[1)11(1)1(113313313312111)2()124)(12()12(12433333323323233333333333=--+=-+=-+=-+++=++=++∴-=⇒=-=++-=-⇒++=aa a a a a a a a a a a a aa a Θ36、在梯形ABCD 中，o o 12045268∥=∠=∠==BAD BCD BC AB DC AB ，，，，，则梯形ABCD 的面积等于_____.【解析】3666+..36666)]3214(8[21)(21321468323223630tan30120.62264526.oooo+=⨯++=⋅+=∴+=++=++=∴=⨯=⋅=⇒=∠⇒=∠====⇒=∠=AECDABSFCEFDEDCAEDEDAEBADCFBFAEBCDBCFEDCBFAEABCD梯形，、于垂直、如图所示，作37、已知关于x的方程012)1(2=--+-axxa的根都是整数，那么符合条件的整数有_____个.【解析】5..5①②.32121112111②11①.0)]1()1)[(1(12)1(212个有知，符合条件的整数结合，，，，即，是整数知，，由，时，当；时，当aaaxaxxaxaaxaxaxxa-=±±=----==≠===++--⇒=--+-38、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆.那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为_____米.【解析】2.4..4.24.21561541515615∽415∽.米离地面的高度是即点则于如图所示，作PPQPQPQBQQDPQCDBDPQBQBDBQCDPQBCDBPQPQABBDPQQDBDQDABPQDABDPQQBDPQ=⇒=+∴=+=⋅=⇒=⇒∆∆=⋅=⇒=⇒∆∆⊥Θ39、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线bxy+=31恰好将矩形OABC 分成面积相等的两部分，那么b=_____.【解析】0.5..211)515()0(===-==+b BQ OP S S b BQ b OP b Q b P OPQA BQPC，即，则要使，，知，，，由梯形梯形40、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是_____.）进价进价销售价（注：利润率%100⨯-=【解析】17%.%17%10017.117.1%8%100%100%)4.61(%)4.61(%.100%)4.61(%)4.61(%4.6%.100=⨯-==⨯--⨯---⨯---⨯-xxx xy x x y x x y xxy xxy y x 率为故这种商品原来的利润解得，依题意得，为后，在销售时的利润率原进价降低的利润率为元，那么按原进价销售元，销售价为设原进价为三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).41、设m 是不小于-1的实数，使得关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根21x x ，.(1)若62221=+x x ，求m 的值； (2)求22212111x mx x mx -+-的最大值. 【解】.1011.101.11)11(25)23(2)13(2)13(2)1()13)(1(2)2882(1)42()33()]42)(33()10102[(1)()]([)1)(1()]1()1([11)2(.217511217561010210102)33(2)]2(2[2)()1(.1110)33(4)]2(2[.033)2(222212122222232222121212122212112222122212122222122122212222的最大值是故取得最大值时，当上是单调递减的在设根据题设，有有两个不相等的实数根方程x mx x mx y m m y m m m m y m m m m m m m m mm m m m m m m m m m m m m m x x x x x x x x x x m x x x x x x m x mx x mx m m m m m m m m m m x x x x x x m m m m m m m x m x -+--=∴<≤-<≤---=+-=+-=-+--=--+-=+-++--+-++-=++-+-+=---+-=-+--=∴<≤-±=⇒=+-∴+-=+----=-+=+<≤-<⇒>+---=∆∴=+-+-+ΘΘΘΘ42、如图，已知四边形ABCD 外接圆O 的半径为2，对角线AC 与BD 的交点为E ，322===BD AE AB EC AE ，且，，求四边形ABCD 的面积.【解】由题设，得ADAB ADB ABE ACBADB ACB ABE ACB ABE BACEAB AB AE AC AB AC AE AB EC AE AE AB AE AB =⇒∠=∠∴∠=∠∠=∠⇒∆∆∴∠=∠=⇒⋅=⇒⎭⎬⎫==⇒=ΘΘ∽2222232333.313221211121)3(233221212222=+=+=∴==∴=⨯⨯=⋅⋅=∴=-=-==-=-=∴=⨯===⇒∆≅∆∴∠=∠⇒∆≅∆∆∆∆∆∆ABD CBD ABCD ABD CBD ABD S S S S S AC E AH BD S OH OA AH BH OB OH BD DH BH ADH ABH DAO BAO ADO ABO H BD AO DO BO AO 四边形的中点是，，则于交，、、如图所示，连接Θ43、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次.对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意.现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？(有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼)【解】易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人.先证明：要使不满意的总分达到最小，则对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数.证明：设乘电梯上、下楼和直接走楼梯上楼的2个人分别住第s 和第t 层. 并设电梯停在第x 层.①当x ≤s 时，这两者不满意总分为3(s -x )+3(t -1)=3s +3t -3x -3.与t ，s 的大小关系无关； ②当x >s 时，这两者不满意总分为(x -s )+3(t -1)=3t +x -s -3，要使总分最小，则t <s . 故s <t ，即乘电梯上、下楼的人，他所住的层数大于直接走楼梯上楼的人所住的层数. 今设电梯停在第x 层，并设住在第2层到第a (a <x )层的人直接走楼梯上楼. 那么不满意总分为：.31672774101316)7(815)4101(216832)101(22)33)(34(32)1)((2)1(32)33)](33(1[32)1)](1(1[2)1)](1(1[3)]33(21[3)]1(21[)]1(21[32222取得最小值时，当S a x a a x a a x a a x a x x x a x a x a a x x a x a x a a x a x a S ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-++-=+-++-=--+---+-=--+⨯+----++--+⨯=-+⋯+++--+⋯+++-+⋯++= 所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分.2001年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).44、化简)2(2)2(2234++-n n n ，得(C ). A. ；8121-+nB. ；12+-nC. ；87 D. .47【解析】C.872122)12(2222)2(2)2(223343141434=-=-=-=-+++++++n n n n n n n n .45、如果c b a ，，是三个任意整数，那么222ac c b b a +++，，(C ). A. 都不是整数； B. 至少有两个整数； C. 至少有一个整数； D. 都是整数.【解析】C.①若a ，b ，c 中有0个奇数，则3个数都是整数； ②若a ，b ，c 中有1个奇数，则只有1个数是整数； ③若a ，b ，c 中有2个奇数，则只有1个数是整数； ④若a ，b ，c 中有3个奇数，则3个数都是整数.46、如果b a ，是质数，且01301322=+-=+-m b b m a a ，，那么baa b +的值为(B ). A.；22123B.；或222125C.；22125D..222123或 【解析】B.①当a =b 时，2=+=+aa a ab a a b ； ②当a ≠b 时，a ，b 是一元二次方程x 2-13x +m =0的两实根.故a +b =13. 又a ，b 是质数，故a =2，b =11或a =11，b =2.故22125112211=+=+b a a b . 47、如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B ).A. 6；B. 8；C. 10；D. 12.【解析】B.设正方形的边长为a ，则分成的矩形的长为a /2.宽为(a -a /2)/2=a /4，故中间竖排有4个.所以，正方形分成8个全等的矩形.48、如图，若PA =PB ，∠APB =2∠ACB ，AC 与PB 交于点D ，且PB =4，PD =3，则AD ·DC 等于(B ).A. 6；B. 7；C. 12；D. 16.【解析】B.如图所示，以P 为圆心，以PA =PB 为半径作圆，延长BD 交圆于M .则由∠APB =2∠ACB ，知点C 必在⊙P 上.故根据相交弦定理，有AD •DC =BD •DM =(PB -PD )(PM +PD ）=(4-3)×(4+3）=7.49、若b a ，是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则b a 和之间的大小关系是(A ).A. ；b a >C. ；b a <D. 不能确定.【解析】A.由12345=(111+a )(111-b )，得111(a -b )-ab =24>0，故a >b .二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).50、已知：23232323-+=+-=y x ，.那么=+22y x x y _____. 【解析】970.9701101310)()(3)(110625625232323232323223322=⨯⨯-=+-+=+=+∴⎩⎨⎧==+⇒⎩⎨⎧+=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+-=xy y x xy y x y x y x y x xy xy y x y x y x Θ.51、若281422=++=++x xy y y xy x ，，则y x +的值为_____.【解析】6或-7.两式相加，得(x +y )2+(x +y )-42=0，即[(x +y )-6][(x +y )+7]=0，故x +y =6或-7.52、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于_____.【解析】1036或.①若1，4为底.如图所示，延长DA ，CB 相交于G ，并设AG =x ，BG =y ，则35345414==⇒+==+⇒==y x y y x x GC GB DC AB GD GA ，.在△GAB 中，GA 2+AB 2=GB 2，故△GAB 是直角三角形，即∠D =∠GAB =90o .于是，S =(AB +DC )·AD /2=(1+4)·4/2=10. ②若1，5为底.如图所示，作AE 、BF 垂直DC 于E 、F .则DE =CF =(5-1)/2=2，32242222=-=-=DE AD AE .于是，3632)51(21)(21=⨯+=⋅+=AE DC AB S .③若4，4为底.应为平行四边形，但不满足.④若4，5为底.则1，4为腰，由于1+4=5，故不满足.53、销售某种商品，如果单价上涨%m ，则售出的数量就将减少150m.为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为_____.【解析】25.设这种商品的原单价为A ，原销售量为B ，销售总额为W ，则)1500050(15000150150100100)1501(%)1(2---=-⋅+⋅=-⋅+=m m AB m m AB m B m A W当25250=--=m 时，W 取得最大值.54、在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点)0(，x M 到定点)12()55(，、，Q P 的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP +MQ 取最小值时，点M 的横坐标=x _____.【解析】25.如图所示，作P 关于x 轴的对称点P’.则MP +MQ =MP’+MQ ，故当Q 、M 、P’三点共线时，MP +MQ最小.过P’，Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为I ，H .于是255251'=⇒--=⇒=x x x IM HM I P QH . 55、已知实数b a ，满足22221b a ab t b ab a --==++，且，那么t 的取值范围是_____.【解析】313-≤≤-t . 31)1(2123113121210)(211310)(231122222222222222-=--⨯≥-=--=-=-⨯≤-=--=∴-≥⇒≥+=++=+⇒++=≤⇒≥-=+-=-⇒++=ab b a ab t ab b a ab t ab b a b ab a ab b ab a ab b a b ab a ab b ab a Θ.三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).56、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次.在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环.他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数.如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环.那么他在第10次射击中至少要得多少环？(每次射击所得环数都精确到0.1环)【解】设前5次射击的平均环数为x ，则前9次射击的平均环数为98.34593.91.84.80.95+=++++x x . 由题设知，x x >+98.345，即7.8<x . 故前9次的总环数至多为8.7×9-0.1=78.2.所以，第10次射击至少得8.8×10+0.1-78.2=9.9（环）.57、如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A ，B 两点，并交ST 于点C .求证：)11(211PBPA PC +=.【解】如图所示，作OE ⊥AB 于E ，连接OP 交ST 于F ，连接OT .PBPA PB PA PB PA PC PB PA PC PB PA PE PC PB PA PE PC PB PA PBPA PT PAB PT POPF PT POPTPT PF PTO PFT PEPC PO PF PE PFPO PC POE PCF BEAE ST OP 112)(222.∽∽22+=⋅+=∴+⋅=⋅⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅∴⋅=⇒⋅=⇒=⇒∆∆⋅=⋅⇒=⇒∆∆∴=⊥∴是割线是切线，，ΘΘ58、已知：关于x 的方程01)1)(72()1)(1(22=+-+---x x a x x a 有实根. (1)求a 取值范围；(2)若原方程的两个实数根为21x x ，，且113112211=-+-x x x x ，求a 的值.【解】(1)令1-=x xt ，得)1(1≠-=t t t x . 原方程转化为关于t 的方程01)72()1(22=++--t a t a 有不为1的实数根. ①当a 2-1=0时，符合题意； ②当a 2-1≠0时，28530)1(4)]72([22-≥⇒≥--+-=∆a a a . 若t =1，则22101)72()1(2±=⇒=++--a a a . 故a 的取值范围是2212853±≠-≥a a 且. (2))(3810113172113111721)72(112122211222211舍去，-==⇒=-+∴=-+--+=-+--=-+-a a a a x x x x a a a a x x x x Θ.所以，a 的值为10.2002年全国初中数学竞赛试卷及答案解析一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).59、设ab b a b a 4022=+<<，，则ba ba -+的值为(A ). A. ；3 B. ；6 C. 2； D. 3.【解析】A ..3242422)()()(0002222222=-+=-+++=-+=-+=-+∴>-+⇒⎩⎨⎧<+<-⇒<<abab abab ab b a ab b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a Θ60、已知200219992001199920001999+=+=+=x c x b x a ，，，则多项式ca bc ab c b a ---++222的值为(D ). A. 0； B. 1； C. 2； D. 3.【解析】D..3]2)1()1[(21])()()[(21222222222=+-+-=-+-+-=---++a c c b b a ca bc ab c b a61、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于(D ).A. ；65B. ；54 C. ；43 D. .32【解析】D..32612)(261412412....=⨯-=+-=∴=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+==+=∴====∴=∆∆∆∆∆∆a a a S y x S S S ay x a y x S a y x S y S S x S S BC AB ABCD F E BG a S ABCD ABCD ABCDAGCD ABF CBE AGE BGE BGF CGF ABCD 矩形矩形矩形四边形矩形，的中点、的边是矩形、如图所示，连接设Θ62、设c b a 、、为实数，323232222πππ+-=+-=+-=a c z c b y b a x ，，，则z y x 、、中至少有一个值(A ). A. 大于0； B. 等于0； C. 不大于0； D. 小于0.【解析】A..00)3()1()1()1(222323232222222222中至少有一个大于、、，，z y x c b a c b a c b a z y x a c z c b y b a x ∴>-+-+-+-=+---++=++∴+-=+-=+-=ππΘ63、设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根21211x x x x <<，且，，那么a 的取值范围是(D ). A. ；5272<<-a B. ；52>aC. ；72-<aD. .0112<<-a 【解析】D..0112102012901)(0)1)(1(121212121<<-⇒-<+⇒<+++∴<++-⇒<--⇒<<a a a a a x x x x x x x x Θ64、9321A A A A ⋯是一个正九边形，b A A a A A ==3121，，则51A A 等于(D ).A. ；22b a +B. ；22b ab a ++C. ；)(21b a + D. .b a +【解析】D.ba A A A A P A A A P A A A A PA A PA A PA A PA A A A A A A A A A A PA A PA A A A Ab A A A A A A P A A A A +=+=+==∴∆∆∴=+=∠=∠∴=-=∠=∠∆=-=∠=∠∴=-⨯⋯==42212211515142oo o 2442ooo243423432oo o 3432o o 93213142424521.602040202140180.40140180.1409)29(180..是等边三角形是等边三角形，中，在的每个内角都为正九边形则，连接相交于点，如图所示，延长Θ6A二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分).65、设21x x 、是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为_____.【解析】863-. .863863)49(21892)2(9)(29)(25]2)[(25)(2)2)(2(.04)2()2(4222212212121221212221122122-≤---=-+-=-+-⨯-=++-=+-+-=++-=-->+-=--=∆a a a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x a a a a 为一切实数知，由66、已知b a 、为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为_____.【解析】b-a...))((a b c b a c b c c a b c a x d c x c x y d c c -=-+-=-+-∴<<---=+则轴的交点与是抛物线，如图所示，67、如图，在△ABC 中，∠ABC =60o ，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB =∠BPC =∠CPA ，且PA =8，PC =6，则PB=_____.【解析】34..3468∽6060120o o o =⨯=⋅=∴=∴∆∆∴∠=∠∴=∠+∠=∠+∠∴=∠=∠⇒∠=∠=∠PC PA PB PBPAPC PB PBCPAB PBC PAB PBC PBA PBA PAB BPC APB CPA BPC APB ΘΘ68、如图，大圆O 的直径cm a AB =，分别以OA 、OB 为直径作⊙O 1、⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形O 1O 2O 3O 4的面积为_____cm 2.【解析】261a ..61322212132)62(22.6)4()4()2(244⊙24321343222331134321a a a O O O O S aa a OO O O a x x a a x a xa OO x a O O a OO x O O O O O =⨯⨯=⋅⋅=∴=-⨯==∴=⇒+=+-∴-=+==菱形，，，则的半径为设69、满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有_____个.【解析】4.201211211021)1(2222，，，是偶数或或--=⇒⎩⎨⎧-=--+=--=+⇒=--+n n n n n n n n n n70、某商品的标价比成本高%p ，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣(即降价的百分数)不得超过%d ，则d 可以用p 表示为_____.【解析】ppd +=100100. .100100%)1%)(1(ppd a d p a a +=⇒=-+，则设成本为三、解答题(本大题共3小题，每小题20分，共60分).。
全国初中数学竞赛试题及参考答案
初三数学竞赛试题 2003年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）1．若4x－3y－6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则的值等于 ( ).(A) (B) (C) (D)2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g时付邮费0.80元，超过20g而不超过40g时付邮费1.60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）。
如果所寄一封信的质量为72.5g，那么应付邮费 ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）.(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°4．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD是其中的两条线段（如上图），则x可取值的个数为（）.(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．已知，那么 .7．若实数x，y，z满足，，，则xyz的值为 .8．观察下列图形：①②③④根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .10．已知二次函数（其中a是正整数）的图象经过点A（－1，4）与点B（2，1），并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为 .三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB 于点E，连结AC，与DE交于点P. 问EP与PD是否相等？证明你的结论.解：12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A城出发到B城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：13B．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°.（1）当点D在斜边AB内部时，求证：.（2）当点D与点A重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.（3）当点D在BA的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.14B．已知实数a，b，c满足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值.注：13B和14B相对于下面的13A和14A是较容易的题. 13B和14B与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A和14A两题可留作考试后的研究题。
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2003年全国初中数学竞赛试题一、选择题1、若4x-3y-6z=0.x+2y-7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( )．（A ）-21（B ）-219（C ）-15 （D ）-132．在本埠投寄平信，每封质量不超过20g 时付邮费0．80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费l ．60元，依次类推，每增加20g 需增加邮费0．80元(信的质量在100g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5g ，那么他应付邮费( )． (A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元3.如图所示， ( )．(A)3600 (B)4500 (C)5400 (D)7204.四条线段的长分别为9，5，x ，1(其中x 为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段(如图)，则x 可取值的个数为( )．(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)6个5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能最后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么，满足上述要求的排法的方案有( )． (A)1种 (B)2种 (C)4种 (D)O 种 二、填空题6．已知 那么 .7．若实数x ，y ，z 满足 则xyz 的值为.8．观察下列图形：根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数应为 。
9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成450，则∠A ＝600，CD ＝4m,BC=(4 )m 电线杆AB 的长为 m.10．已知二次函数y=ax 2+bx+c(其中a 是正整数)的图像经过点A(一1，4)与点B(2，1)，并且与x 轴有两个不同的交点，则b+c 的最大值为 ． 三，解答题.11．如图所示，已知AB 是⊙0的直径，BC 是⊙0的切线，0C 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ， 连接AC ，与DE 交于点P ．问EP 与PD 是否相等?证明你的结论．12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／小时，而汽车每行驶l 千米需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A 城出发到8城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元?=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A ,31+=x =---++214121,2x x x ,371,11,41=+=+=+x x z y y x 226-OCDABA 卷13．如图所示，⊙0的直径的长是关于x 的二次方程 (k 是整数)的最大整数 根，P 是⊙0外一点，过点P 作⊙0的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点。
点B ，C 是直线PBC 与⊙0的 交点，若PA ，PB ，PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA 2+PB 2+PC 2的值．14．如图，沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不等式(a-d)(b 一c)>0， 那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作。
(1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次 相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有(a —d)(b 一c)≤0?请说明理由．(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数l,2，…，2003，问：是否能经过有限 次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b,c,d ，都有(a-d)(b-c)≤o?请说明B 卷13．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=900,(1)当点D 在斜边AB 内部时，求证： (2)当点D 与点A 重合时，第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由． (3)当点D 在BA 的延长线上时，第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由． 14．已知实数a ，b ，c 满足：以a+b+c=2，abc=4． (1)求a,b,c 中的最大者的最小值； (2)求 的最小值.2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题 参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由⎩⎨⎧=-+=--,072,0634z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.2,3z y z x 代入即得. 2．D 因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.3．C如图所示，∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°，∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°，而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°. 4．D 显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x 。
（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ； 当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ；当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x .（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ； 当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ；当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x . 故x 可取值的个数为6个.5．B 设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k +1，k +2，…，k +（n －1），由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即()[]20012=-+n k n . 因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n <2k +（n －1），且n 与2k +（n －1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知0)2(22=+-+k x k x ABBDAD BC BD CD -=-222c b a ++NMABCDEFGn =5或n =8. 当n =5时，k =18；当n =8时，k =9. 共有两种不同方案.6．23-. 4341442141212222--=-+--=---++x x x x x x ＝234)31(32-=-+-。
7．1.因为34371137137111114--+=---+=-+=-+=+=x x x xx x z z x z x y x ，所以 37)34()34(4-+-=-x x x x ，解得 23=x .从而 353237137=-=-=x z ，5253111=-=-=z y . 于是 1355223=⨯⨯=xyz . 8．161.根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为2314343434161++⨯+⨯+⨯=.9．26.如图，延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F . 因为∠DCF =45°，∠A =60°，CD =4m ，所以CF =DF =22m ，EF =DF tan60°=62（m ）.因为3330tan ==BE AB ，所以2633=⨯=BE AB （m ）. 10.－4.由于二次函数的图象过点A （－1，4），点B （2，1），所以⎩⎨⎧=++=+-,124,4c b a c b a 解得 ⎩⎨⎧-=--=.23,1a c a b因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以042>-=∆ac b ， 0)23(4)1(2>----a a a ，即0)1)(19(>--a a ，由于a 是正整数，故1>a ， 所以a ≥2. 又因为b +c =－3a +2≤－4，且当a =2，b =－3，c =－1时，满足题意，故b +c 的最大值为－4.三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P . 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论.解：DP =PE . 证明如下：因为AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，所以AB ⊥BC .由Rt △AEP ∽Rt △ABC ，得AB AEBC EP = . ① ……（6分）又AD ∥OC ，所以∠DAE=∠COB ，于是Rt △AED ∽Rt △OBC .故AB AEAB AE OB AE BC ED 221=== ② ……（12分）由①，②得 ED =2EP . 所以 DP =PE . ……（15分）ABCDE 12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？ 解：从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类：（1）从A 城出发到达B 城，经过O 城. 因为从A 城到O 城所需最短时间为26从O 城到B 城所需最短时间为22小时. 所以，此类路线所需 最短时间为 26+22=48（小时）. ……（5分）（2）从A 城出发到达B 城，不经过O 城. 这时从A 城到达B 城，必定经过C ，D ，E 城或F ，G ，H 城，所需时间至少为49小时. ……（10分）综上，从A 城到达B 城所需的最短时间为48 小时，所走的路线为：A →F →O →E →B . ……（12分）所需的费用最少为：80×48×1.2=4608（元）…（14分） 答：此人从A 城到B 城最短路线是A →F →O →E →B ， 所需的费用最少为4608元 ……（15分） 13B ．如图所示，在△ABC 中，∠ACB =90°.（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：ABBDAD BC BD CD -=-222. （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.解：（1）作DE ⊥BC ，垂足为E . 由勾股定理得.)()()(22222222BC BE CE BE CE DE BE DE CE BD CD -=-=+-+=-所以 BC BE BC CE BC BE CE BC BD CD -=-=-222. 因为DE ∥AC ，所以 AB BDBC BE AB AD BC CE ==,. 故 AB BD AD AB BD AB AD BCBD CD -=-=-222. ……（10分） （2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式仍然成立。