2003年全国初中数学竞赛试题参考答案

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2003年中国数学奥林匹克试题及解答

2003年中国数学奥林匹克试题及解答
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2003年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析

2003年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析

2003年全国初中数学联赛试卷参考答案与试题解析一、选择题(共6小题,每小题7分,满分42分)1.(7分)的值等于().5﹣4B.4﹣1 C解答:解:原式==+=,故选D.2.(7分)在凸10边形的所有内角中,锐角的个数最多是()3.(7分)若函数y=kx(k>0)与函数的图象相交于A,C两点,AB垂直x轴于B,则△ABC的面积为()解答:解:设点A的坐标为(x,y),则xy=1,故△ABO的面积为,又∵△ABO与△CBO同底等高,∴△ABC的面积=2×△ABO的面积=1.故选A.解答:解:由可得,(﹣)(++)=0,∵++>0,∴﹣=0,∴,故选B.5.(7分)设△ABC的面积为1,D是边AB上一点,且=,若在边AC上取一点E,使四边形DECB的面积为,则的值为().B.C.D.解答:解:连接BE.∵=,∴△ADE和△ABE的面积比是1:3.设△ADE的面积是k,则△ABE的面积是3k,则△BDE的面积是2k.设△BCE的面积是x,则有(2k+x)=(3k+x),解得x=k.则△ABE和△BCE的面积比是3:1,则的值为.故选B.6.(7分)如图,在▱ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E,且与CD相切.若AB=4,BE=5,则DE的长为().D.解答:解:连接CE;∵,∴∠BAE=∠EBC+∠BEC;∵∠DCB=∠DCE+∠BCE,由弦切角定理知:∠DCE=∠EBC,由平行四边形的性质知:∠DCB=∠BAE,∴∠BEC=∠BCE,即BC=BE=5,∴AD=5;由切割线定理知:DE=DC2÷DA=,故选D.二、填空题(共4小题,每小题7分,满分28分)7.(7分)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.若△ABC是直角三角形,则ac= ﹣解答:解:设A(x1,0),B(x2,0),由△ABC是直角三角形可知x1、x2必异号,则x1•x2=<0,由于函数图象与y轴相交于C点,所以C点坐标为(0,c),由射影定理知,|OC|2=|AO|•|BO|,即c2=|x1|•|x2|=||,故|ac|=1,ac=±1,由于<0,所以ac=﹣1.故答案为:﹣1.8.(7分)设m是整数,且方程3x2+mx﹣2=0的两根都大于﹣而小于,则m= 4 .解答:解:由题设可知,,解得.因为m是整数,所以m=4.故答案为4.9.(7分)如图,AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线,若AA′=BB′=AB,则∠BAC的度数为12°.∴∠CAB=∠BB′A,∴∠B′BD=2x°,∵BB′是∠DBC的平分线,∴∠CBD=4x°,∵AB=AA′,∴∠AA′B=∠ABA′=∠CBD=4x°,∵∠A′AB=(180°﹣x°),∴(180°﹣x°)+4x°+4x°=180°,∴x°=12°.故答案为:12°.10.(7分)已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么,a、b中较大的数是225 .解答:解:设(a,b)=d,且a=md,b=nd,其中m>n,且m与n互质,于是a、b的最小公倍数为mnd,依题意有即,则m>n据②可得或或或根据①只取可求得d=15,故两个数中较大的数是md=225.三、解答题(共5小题,满分120分)11.(20分)试求出这样的四位数,它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方,恰好等于这个四位数.解答:解:设前后两个二位数分别为x,y,∴(x+y)2=100x+y.x2+2(y﹣50)x+(y2﹣y)=0.b2﹣4ac=4(y﹣50)2﹣4(y2﹣y)=4(2500﹣99y)≥0,解得y≤25,当y≤25时,原方程有解.∴x==50﹣y±,∴2500﹣99y必为完全平方数,∵完全平方数的末位数字只可能为0;1;4;5;6;9.x的数位是2位,y是2位.∴y=25,∴x=30或20,12.(25分)在△ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF,过E、F分别作CA、CB 的垂线相交于P,设线段PA、PB的中点分别为M、N.求证:①△DEM≌△DFN;②∠PAE=∠PBF.解答:证明:①如图,在△ABP中,∵D、M、N分别是AB、AP、BP的中点,∴DM=BP,DN=AP,又∵PE⊥AE,BF⊥PF∴EM=AP=DN,FN=BP=DM,∵DE=DF∴△DEM≌△DFN(SSS);②∵由①结论△DEM≌△DFN可知∠EMD=∠FND,∵DM∥BP,DN∥AP,∴∠AMD=∠BND=∠APB,∴∠AME=∠BNF又∵PE⊥AE,BF⊥PF,∴△AEP和△BFP都为直角三角形,又M,N分别为斜边PA与PB的中点,∴AM=EM=AP,BN=NF=BP,∴∠MAE=∠MEA,∠NBF=∠NFB,∴∠PAE=(180°﹣∠AME),∠PBF=(180°﹣∠BNF).即∠PAE=∠PBF,13.(25分)已知实数a、b、c、d互不相等,且,试求x的值.解答:解:由已知有a+=x,①; b+=x,②;c+=x,③;d+=x,④;即dx3﹣(ad+1)x2﹣(2d﹣a)x+ad+1=0⑦由④得ad+1=ax,代入⑦得(d﹣a)(x3﹣2x)=0由已知d﹣a≠0,∴x3﹣2x=0若x=0,则由⑥可得a=c,矛盾.故有x2=2,x=±15.(25分)已知四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数,且它们的和为16.(1)这样的四边形有几个?(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值.解答:解:(1)如图,记AB=a,CD=b,AC=l,并设△ABC的边BA上的高为h1,△ADC的边DC上的高为h2,则S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=(h1a+h2b)≤l(a+b),当且仅当h1=h2=l时等号成立,即在四边形ABCD中,当AC⊥AB,AC⊥CD时,等号成立,由已知得64≤l(a+b),又∵a+b=16﹣l,得64≤l(16﹣l)=64﹣(l﹣8)2≤64,于是l=8,a+b=8,且这时AC⊥AB,AC⊥CD,因此这样的四边形由如下4个:a=1,b=7,l=8;a=2,b=6,l=8;a=3,b=5,l=8;a=b=4,l=8;(2)由于AB=a,CD=8﹣a,则BC2=82+a2,AD2=82+(8﹣a)2,故这样的四边形的边长的平方和为:2a2+2(8﹣a)2+128=4(a﹣4)2+192,当a=b=4时,平方和最小,且为192.故答案为:4,192.。

历届全国初中数学联赛试卷及答案

历届全国初中数学联赛试卷及答案

1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内. 1.设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是两两不同的实数,则22223yxy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )35.答( )2. 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是 (A ) 10; (B )12; (C ) 16; (D )18. 答( )3. 方程012=--x x 的解是(A )251±; (B )251±-; (C )251±或251±-; (D )251±-±. 答( ) 4.已知:)19911991(2111n nx --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是(A)11991-; (B)11991--; (C)1991)1(n -; (D)11991)1(--n . 答( ) 5.若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M(A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除.答( )6. 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是 (A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1. 答( ) 7.如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ,32=S 和13=S ,那么,正方形OPQR 的边长是(A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3. 答( )8.在锐角ΔABC 中,1=AC ,c AB =, 60=∠A ,ΔABC 的外接圆半径R ≤1,则(A)21< c < 2 ; (B)0< c ≤21;答( )(C )c > 2; (D )c = 2. 答( ) 二、填空题1.E是平行四边形ABCD 中BC 边的中点,AE 交对角线BD 于G ,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD 的面积是 .2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=+a cb 32 .3.设m ,n ,p ,q 为非负数,且对一切x >0,qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立,则 =++q p n m 22)2( .4.四边形ABCD 中,∠ ABC 135=,∠BCD 120=,AB 6=,BC 35-=,CD = 6,则AD = .第二试11=S 3S =132=S120135xx + y,x -y,x y,y四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y).二、ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图).求证:BF=AF+CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xky 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , F A=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点,又AB PE ⊥于E 点,若3,2==AC BC ,则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数,且0111=+--b a b a ,则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根,当这样的三角形只有一个时,求a 的取值范围.二、如图,在ABC ∆中,D AC AB ,=是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点,且A CED BED ∠=∠=∠2.求证:CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:A :320651B :105263C :612305D :316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求:M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ; 2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x 其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是 (A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>; (C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是(A)22-(B)22 (C)23(D)21-.答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于(A)cb a 1:1:1; (B)c b a ::(C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( )二.填空题1.当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8:30—9:30)考生注意:本试共两道大题,满分80分.一、选择题(本题满分48分,每小题6分)本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.〔答〕( )2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA.都不小于0B.都不大于0C.至少有一个小0于D.至少有一个大于0〔答〕( )3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长A.等于4B.等于5C.等于6D.不能确定〔答〕( )A.1 B.-1 C.22001D.-22001〔答〕( )5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角A.4对B.8对C.12对D.16对〔答〕( )〔答〕( )7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。

2003年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题

2003年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题

2003年全国初中数学竞赛辽宁省预赛试题一、选择题(每小题3分,共30分)1、在直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 、B 的坐标分别为(3,0),(0,4),则△OAB 的内心坐标为A 、(32,23)B 、(72,2)C 、(1,1)D 、(72,1) 2、把(1a -( ) ABC 、D 、3、一辆汽车的油箱里装有30升汽油,汽车每行驶100千米耗油6升,在行驶过程中,油箱中剩油量y(升)与行驶路程x(千米)的函数关系可用图象表示为( )4、如图,以O 为圆心的两个同心圆中,小圆的弦AB的延长线交大圆于点C,若AB=4,BC=1,则下列整数与圆环面积最接近的是()A 、10B 、13C 、16D 、195、如图,在⊙O 的内接四边形ABCD 中,AB=AD ,DE 是⊙O 的切线,∠ADE=55°,则∠C 等于( )A 、110°B 、100°C 、115°D 、120°6、如图,半圆的直径EF=8,正方形ABCD 的顶点A 、D 在半圆上,一边BC 在EF 上,则这个正方形的面积等于( )A 、16B 、15.4C 、12.8D 、127、某商店出售一种商品,下列几种方案中,最后价格最低的方案是( )A 、先提价10%,再降价10%B 、先降价10%,再提价10%C 、先提价20%,再降价20%D 、先提价30%,再降价30%8、如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是平行于AB 的弦,且AC 交BD 于点E ,∠AED=α,则DCE ABES S ∆∆等于( ) A 、cos α B 、sin α C 、cos 2α D 、sin 2α9、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则化简二次根式的结果是( )A 、a+bB 、-a-bC 、a-b+2cD 、-a+b-2c10、已知⊙O 的半径为r ,AB 、CD 为⊙O 的两条直径,且 AC =60°,P为 BC上的任意一点,PA 、PD 分别交CD 、AB 于点E 、F ,则AE ·AP+DF ·DP 等于A 、3r 2B 、2C 、4r 2D 、2二、填空题(每小题3分,共30分)11、关于x 的一元二次方程(k-1)x 2-2x+3=0有实数根,则k 的取值范围是____。

2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年山东省初中数学竞赛试题(有答案)

2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年山东省初中数学竞赛试题(有答案)

2003年全国初中数学联赛预赛暨2002年⼭东省初中数学竞赛试题(有答案)2003年全国初中数学联赛预赛暨 2002年⼭东省初中数学竞赛试题⼀、选择题(本题共8⼩题,每⼩题6分,满分48分)1.磁悬浮列车是⼀种科技含量很⾼的新型交通⼯具.它有速度快、爬坡能⼒强、能耗低的优点.它每个座位的平均能耗仅为飞机每个座位的平均能耗的三分之⼀、汽车每个座位的平均能耗的70%.那么汽车每个座位的平均能耗是飞机每个座位平均能耗的( )(A)37 (B)73 (C)1021 (D)21102.已知a,b,c,d都是正实数,且ab <cd .给出下列四个不等式: ①aa+b >cc+d②aa+b <cc+d③ba+b >dc+d④ba+b <dc+d其中正确的是( )(A)①③ (B)①④ (C)②④ (D)②③3.如图,在等腰直⾓三⾓形ABC中,∠C=90°,∠CBD=30°,则ADDC的值是( ) (A)3 3 (B) 2 2(C) 2 -1 (D) 3 -1 4.世界杯⾜球赛⼩组赛,每个⼩组4个队进⾏单循环⽐赛,每场⽐赛胜队得3分,败队得0分,平局时两队各得1分.⼩组赛完以后,总积分最⾼的两个队出线进⼊下轮⽐赛.如果总积分相同,还要按净胜球数排序.⼀个队要保证出线,这个队⾄少要积( )(A)5分 (B)6分 (C)7分 (D)8分5.如图,四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7,则BC+CD等于( )(A)6 3 (B)5 3 (C)4 3 (D)3 36.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,BC=9,AB=6,CD=4.若EF∥BC,且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等,则EF的长为( )(A)45 7 (B) 33 5 (C) 39 5 (D) 1527.如图,在RtABC中,∠ACB=90°,AC=b,AB=c,若D、E分别是AB和AB延长线上的两点,BD=BC,CE⊥CD,则以AD和AE的长为根的⼀元⼆次⽅程是()(A)x2-2cx+b2=0(B)x2-cx+b2=0(C)x2-2cx+b=0(D)x2-cx+b=08.已知实数a、b、c满⾜a<b<c,ab+bc+ca=0,abc=1,则()(A)|a+b|>|c|(B)|a+b|<|c|(C)|a+b|=|c|(D)|a+b|与|c|的⼤⼩关系不能确定⼆、填空题(本题共4⼩题,每⼩题8分,满分32分)9.M是个位数字不为零的两位数,将M的个位数字与⼗位数字互换后得另⼀个两位数N,若M-N恰是某正整数的⽴⽅,则这样的M共有____个.10.设x1、x2是⽅程x2-2 (k+1)x+k2+2=0的两个实数根,且(x1+1) (x2+1)=8, 则k的值是____.11.已知实数x、y、z满⾜x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=____.12.如图,P是矩形ABCD内⼀点,若PA=3,PB=4,PC=5,则PD=____.三、解答题(本题共3⼩题,每⼩题20分,满分60分)13.如图,甲楼楼⾼16⽶,⼄楼坐落在甲楼的正北⾯,已知当地冬⾄中午12时太阳光线与⽔平⾯的夹⾓为30°,此时,求:(1)如果两楼相距20⽶,那么甲楼的影⼦落在⼄楼上有多⾼?(2)如果甲楼的影⼦刚好不落在⼄楼上,那么两楼的距离应当是多少⽶?14.如图, △ABC是等腰直⾓三⾓形,∠C=90°,O是△ABC内⼀点,点O到△ABC各边的距离都等于1,将△ABC绕点O顺时针旋转45°得△A1B1C1,两三⾓形公共部分为多边形KLMNPQ.(1)证明: △AKL、△BMN、△CPQ都是等腰直⾓三⾓形;(2)求△ABC与△A1B1C1公共部分的⾯积.15.某乡镇⼩学到县城参观,规定汽车从县城出发于上午7时到达学校,接参观的师⽣⽴即出发去县城.由于汽车在赴校的途中发⽣了故障,不得不停车修理. 学校师⽣等到7时10分,仍未见汽车来接,就步⾏⾛向县城. 在⾏进途中遇到了已经修理好的汽车,⽴即上车赶赴县城, 结果⽐原定到达县城的时间晚了半⼩时. 如果汽车的速度是步⾏速度的6倍,问汽车在途中排除故障花了多少时间.参考解答⼀、选择题1 C2 D3 D4 B5 B6 C7 A8 A⼆、填空题9 6 10 1 11 8 12 3 2 三、解答题13 (1)设冬天太阳最低时,甲楼最⾼处A点的影⼦落在⼄楼的C处, 那么图(1)中CD的长度就是甲楼的影⼦在⼄楼上的⾼度.设CE⊥AB于点E,那么在△AEC中,∠AEC=90°,∠ACE=30°,EC=20⽶.∴AE=EC·tan∠ACE=20·tan30°=20×33≈11.6(⽶). CD=EB=AB-AE=16-11.6=4.4(⽶).(2)设点A的影⼦落到地⾯上⼀点C(如图(2)),则在△ABC中,∠ACB=30°,AB=16⽶,∴BC=AB·cot∠ACB=16×cot30°=16×3≈27.7(⽶).所以,要使甲楼的影⼦不影响⼄楼,那么⼄楼距离甲楼⾄少要27.7⽶.14 (1)连结OC,OC1,分别交PQ、NP于点D,E,根据题意得∠COC1=45°. ∵点O到AC和BC的距离都等于1, ∴OC是∠ACB的平分线. ∵∠ACB=90°,∴∠OCE=∠OCQ=45°. 同理∠OC1D=∠OC1N=45°, ∴∠OEC=∠ODC1=90°.∴∠CQP=∠CPQ=∠C1PN=∠C1NP=45°. ∴△CPQ和△C1NP都是等腰直⾓三⾓形.∴∠BNM=∠C1NP=45°, ∠A1QK=∠CQP=45°. ∵∠B=45°,∠A1=45°,∴△BMN和△A1KQ都是等腰直⾓三⾓形.∴∠B1ML=∠BMN=90°, ∠AKL=∠A1KQ=90°. ∴∠B1=45°,∠A=45°,∴△B1ML和△AKL也都是等腰直⾓三⾓形.(2)在Rt△ODC1和Rt△OEC中, ∵OD=OE=1,∠COC1=45°,∴OC=OC1= 2 . ∴CD=C1E= 2 -1.∴PQ=NP=2( 2 -1)=2 2 -2,CQ=CP=C1P=C1N=2- 2 . ∴S△CPQ=12 ×(2- 2 )2=3-2 2 .延长CO交AB于H.∵CO平分∠ACB,且AC=BC, ∴CH⊥AB.∴CH=CO+OH= 2 +1.∴AC=BC=A1C1=B1C1= 2 ( 2 +1)=2+ 2 . ∴S△ABC= 12×(2+ 2 )2=3+2 2 .∵A1Q=BN=(2+ 2 )-(2 2 -2)-(2- 2 )=2,∴KQ=MN= 22 = 2 ,∴S△BMN=12×( 2 )2=1.∵AK=(2+ 2 )-(2- 2 )- 2 = 2 , ∴S△AKL=12×( 2 )2=1.∴S多四边形KLMNPQ=S△ABC-S△CPQ-S△BMN-S△AKL= (3+2 2 )-(3-2 2 )-1-1 = 4 2 -2.15 假定排除故障花时x分钟.如图,设点A为县城所在地,点C为学校所在地,点B为师⽣途中与汽车相遇之处.在师⽣们晚到县城的30分钟中,有10分钟是因晚出发造成的,还有20分钟是由于从C到B由步⾏代替乘车⽽耽误的.汽车所晚的30分钟,⼀⽅⾯是由于排除故耽误了x分钟,但另⼀⽅⾯由于少跑了B到C之间的⼀个来回⽽省下了⼀些时间.已知汽车速度是步⾏速度的6倍,⽽步⾏⽐汽车从C到B这段距离要多花20分钟.由此知汽车由C到B应花206-1=4(分钟).⼀个来回省下8分钟,所以有x-8=30,x=38,即汽车在途中排除故障花了38分钟.。

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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试 一、选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1. 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是两两不同的实数,则22223y xy x y xy x +--+的值是(A )3 ; (B )31; (C )2; (D )35. 答( )2. 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是(A ) 10; (B )12;(C ) 16; (D )18. 答( )3. 方程012=--x x 的解是(A )251±; (B )251±-; (C )251±或251±-; (D )251±-±. 答( )4.已知:)19911991(2111n n x --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是(A)11991-; (B)11991--;(C)1991)1(n -; (D)11991)1(--n . 答( )5. 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M(A)能被2整除,但不能被3整除; (B)能被3整除,但不能被2整除; (C)能被4整除,但不能被3整除; (D)不能被3整除,也不能被2整除. 答( )6. 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么d c b a +++的最大值是(A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1. 答( )7. 如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ,32=S 和13=S ,那么,正方形OPQR 的边长是(A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3. 答( )8. 在锐角ΔABC 中,1=AC ,c AB =, 60=∠A ,ΔABC 的外接圆半径R ≤1,则(A)21< c < 2 ; (B)0< c ≤21; 答( )11=S 3S =132=S(C )c > 2; (D )c = 2. 答( ) 二、填空题1.E是平行四边形ABCD 中BC 边的中点,AE 交对角线BD 于G ,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD 的面积是 .2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=+acb 32 . 3.设m ,n ,p ,q 为非负数,且对一切x >0,qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立,则4.四边形ABCD 中,∠ ABC 135=,∠BCD 120=,AB 6=,BC 35-=,CD = 6,则AD = .第二试x + y , x - y , x y ,yx四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y ).二、ΔABC 中,AB <AC <BC ,D 点在BC 上,E 点在BA 的延长线上,且BD =BE =AC ,ΔBDE 的外接圆与ΔABC 的外接圆交于F 点(如图).求证:BF =AF +CF三、将正方形ABCD 分割为 2n 个相等的小方格(n 是自然数),把相对的顶点A ,C 染成红色,把B ,D 染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定. 3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7. 答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4. 答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是(A)21S S > (B)21S S = (C)21S S < (D)不确定答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3. 答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD ,AB=2CD , ︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3 (C)2:5 (D)3:10 答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11. 答( ) 二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点,又AB PE ⊥于E 点,若3,2==AC BC ,则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数,且0111=+--b a b a ,则=+33)()(baa b . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根,当这样的三角形只有一个时,求a 的取值范围.二、如图,在ABC ∆中,D AC AB ,=是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点,且A CED BED ∠=∠=∠2.求证:CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:A :320651B :105263C :612305D :316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求:M 和N. 1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是 (A)Ⅰ,Ⅱ都对 (B)Ⅰ对,Ⅱ错 (C)Ⅰ错,Ⅱ对. (D)Ⅰ,Ⅱ都错. 3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论: Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值; Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值. 其中正确的是(A)Ⅰ (B)Ⅱ (C)Ⅲ (D)Ⅳ 4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B)53124x x x x x >>>>; (C)52413x x x x x >>>>; (D)24135x x x x x >>>>. 5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于5 6.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角, 则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22-(B)22(C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n , p ,那么m :n :p 等于(A)cb a1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin . 答( ) 8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+ 答( ) 二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________.2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB ,AC 分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________.第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题 第一试(4月3日上午8:30—9:30)考生注意:本试共两道大题,满分80分.一、选择题(本题满分48分,每小题6分)本题共有8个小题都给出了A ,B 、C ,D ,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.〔答〕( )2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA.都不小于0 B.都不大于0C.至少有一个小0于D.至少有一个大于0 〔答〕( )3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长A.等于4 B.等于5C.等于6 D.不能确定〔答〕( )A.1 B.-1 C.22001D.-22001〔答〕( )5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角A.4对B.8对C.12对D.16对〔答〕( )〔答〕( )7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。

2003年全国初中数学联赛试题

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2003年全国初中数学联合竞赛试题一、选择题(42分)1.计算:( )2.在十边形的所有内角中,锐角的个数最多是( ) (A)0 (B)1 (C)3 (D)53.若函数y=kx(k>0)与函数y=1x的图象相交于A 、C 两点,AB 垂直于x 轴于B,则ΔABC 的面积为( )(A)1 (B)2 (C)k (D)k 24.满足等式的正整数对(x,y)的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设ΔABC 的面积为1,D 是边AB 上一点,且13AD AB =.若在边AC 上取一点E,使四边形DECB 的面积为34,则CE EA的值为( ) (A)12 (B)13 (C)14 (D)156.如图,在ABCD 中,过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ,且与CD 相切。

若AB=4,BE=5,则DE 的长为( ) (A)3 (B)4 (C)154 (D)165二、填空题(28分)1. 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点.若ΔABC 是直角三角形,则ac=_______. 2.设m 是整数,且方程3x 2+mx-2=0的两根都大于-95而小于37,则m=______. 3.如图,AA /、BB /分别是∠EAB ,∠DBC 的平分线. 若AA /=BB /=AB ,则∠BAC 的度数为________.4.已知正整数a 、b 之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a 、b 中较大的数是__ __.EDCBA EDC BAB 'A 'EDCBANMPFEDCBADCBA三、(20分)在ΔABC 中,D 为AB 的中点,分别延长CA 、CB 到点E 、F ,使DE=DF ;过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线,相交于P.设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N. 求证:(1)ΔDEM ≌ΔDFN.(2)∠PAE=∠PBF.四、(25分)已知实数a 、b 、c 、d 互不相等,且a +1b = b +1c = c + 1d= d +1a = x,试求x 的值.五、(25分)已知四边形ABCD 的面积为32,AB 、CD 、AC 的长都是整数,且它们的和为16。

历年初中数学竞赛真题库含答案

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1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一、选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A )、(B )(C )、(D )四个答案结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1. 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a ,x ,y 是两两不同的实数,则22223yxy x y xy x +--+的值是 (A )3 ; (B )31; (C )2; (D )35. 答( )2. 如图,AB ‖EF ‖CD ,已知AB =20,CD =80,BC =100,那么EF 的值是(A ) 10; (B )12;(C ) 16; (D )18.答( )3. 方程012=--x x 的解是(A )251±; (B )251±-; (C )251±或251±-; (D )251±-±. 答( )4.已知:)19911991(2111n n x --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是(A)11991-; (B)11991--;(C)1991)1(n -; (D)11991)1(--n .答( )5. 若M n 1210099321=⨯⨯⨯⨯⨯ ,其中M为自然数,n 为使得等式成立的最大的自然数,则M(A)能被2整除,但不能被3整除;(B)能被3整除,但不能被2整除;(C)能被4整除,但不能被3整除;(D)不能被3整除,也不能被2整除.答( )6. 若a ,c ,d 是整数,b 是正整数,且满足c b a =+,d c b =+,a d c =+,那么 d c b a +++的最大值是(A)1-;(B)5-;(C)0;(D)1.答( )7. 如图,正方形OPQR 内接于ΔABC .已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ,32=S 和13=S ,那么,正方形OPQR 的边长是 (A)2;(B)3;(C)2 ;(D)3.答( )8. 在锐角ΔABC 中,1=AC ,c AB =, 60=∠A ,ΔABC 的外接圆半径R ≤1,则 (A)21< c < 2 ; (B)0< c ≤21; 答( )(C )c > 2; (D )c = 2.答( )二、填空题1.E是平行四边形ABCD 中BC 边的中点,AE 交对角线BD 于G ,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD 的面积是 . 2.已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,=+ac b 32 .3.设m ,n ,p ,q 为非负数,且对一切x >0,qpn m x x x x )1(1)1(+=-+恒成立,则 =++q p n m 22)2( .4.四边形ABCD 中,∠ ABC 135=,∠BCD 120=,AB 6=,BC 35-=,CD = 6,则AD = .第二试x + y , x - y , x y , yx 四个数中的三个又相同的数值,求出所有具有这样性质的数对(x , y ).二、ΔABC中,AB<AC<BC,D点在BC上,E点在BA的延长线上,且BD=BE=AC,ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点(如图).求证:BF=AF+CF三、将正方形ABCD分割为2n个相等的小方格(n是自然数),把相对的顶点A,C染成红色,把B,D染成蓝色,其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色.证明:恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数.1992年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足1=+-ab b a 的非负整数),(b a 的个数是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根,则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的关系是(A)∆>M (B)∆=M (C)∆>M ; (D)不确定.3.若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为(A)7; (B)6; (C)5; (D)4.答( )5.如图,正比例函数)0(>==a ax y x y 和的图像与反比例函数)0(>=k xk y 的图像分别相交于A 点和C 点.若AOB Rt ∆和COD ∆的面积分别为S 1和S 2,则S 1与S 2的关系是 (A)21S S > (B)21S S =(C)21S S < (D)不确定 答( )6.在一个由88⨯个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为1S ,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为2S ,则21S S 的整数部分是 (A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如图,在等腰梯形ABCD 中, AB //CD , AB=2CD ,︒=∠60A ,又E 是底边AB 上一点,且FE=FB=AC , FA=AB .则AE :EB 等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5 (D)3:10答( )8.设9321,,,,x x x x ⋅⋅⋅均为正整数,且921x x x <⋅⋅⋅<<,220921=+⋅⋅⋅++x x x ,则当54321x x x x x ++++的值最大时,19x x -的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ,腰上的中线等15cm ,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________.3.在ABC ∆中,B A C ∠∠=∠和,90 的平分线相交于P 点,又AB PE ⊥于E 点,若3,2==AC BC ,则=⋅EB AE .4.若b a ,都是正实数,且0111=+--b a b a ,则=+33)()(ba ab . 第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程062=+-a x x 的两根,当这样的三角形只有一个时,求a 的取值范围.二、如图,在ABC ∆中,D AC AB ,=是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点,且A CED BED ∠=∠=∠2.求证:CD BD 2=.三、某个信封上的两个邮政编码M 和N 均由0,1,2,3,5,6这六个不同数字组成,现有四个编码如下:A :320651B :105263C :612305D :316250已知编码A 、B 、C 、D 各恰有两个数字的位置与M 和N 相同.D 恰有三个数字的位置与M 和N 相同.试求:M 和N.1993年全国初中数学联合竞赛决赛试题第一试一.选择题本题共有8个小题,每小题都给出了(A), (B), (C), (D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.多项式1612+-x x 除以12-x 的余式是(A)1; (B)-1; (C)1-x ; (D)1+x ;2.对于命题Ⅰ.内角相等的圆内接五边形是正五边形.Ⅱ.内角相等的圆内接四边形是正四边形,以下四个结论中正确的是(A )Ⅰ,Ⅱ都对 (B )Ⅰ对,Ⅱ错 (C )Ⅰ错,Ⅱ对. (D )Ⅰ,Ⅱ都错.3.设x 是实数,11++-=x x y .下列四个结论:Ⅰ.y 没有最小值;Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值;Ⅲ.有有限多个x (不止一个)使y 取到最大值;Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值.其中正确的是(A )Ⅰ (B )Ⅱ (C )Ⅲ (D )Ⅳ4.实数54321,,,,x x x x x 满足方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++=++.;;;;52154154354324321321a x x x a x x x a x x x a x x x a x x x其中54321,,,,a a a a a 是实常数,且54321a a a a a >>>>,则54321,,,,x x x x x 的大小顺序是(A)54321x x x x x >>>>; (B )53124x x x x x >>>>;(C )52413x x x x x >>>>; (D )24135x x x x x >>>>.5.不等式73)1(12+<-<-x x x 的整数解的个解(A )等于4 (B )小于4 (C )大于5 (D )等于56.在ABC ∆中,BC AO O A =∠,,是垂心是钝角,则)cos(OCB OBC ∠+∠的值是 (A)22- (B)22 (C)23 (D)21-. 答( )7.锐角三角ABC 的三边是a , b , c ,它的外心到三边的距离分别为m , n ,p ,那么m :n :p 等于 (A)c b a 1:1:1; (B)c b a :: (C)C B A cos :cos :cos (D)C B A sin :sin :sin .答( )8.13333)919294(3-+-可以化简成 (A))12(333+; (B))12(333- (C)123- (D)123+答( )二.填空题1. 当x 变化时,分式15632212++++x x x x 的最小值是___________. 2.放有小球的1993个盒子从左到右排成一行,如果最左面的盒里有7个小球,且每四个相邻的盒里共有30个小球,那么最右面的盒里有__________个小球.3.若方程k x x =--)4)(1(22有四个非零实根,且它们在数轴上对应的四个点等距排列,则k =____________.4.锐角三角形ABC 中,︒=∠30A .以BC 边为直径作圆,与AB , AC分别交于D , E ,连接DE , 把三角形ABC 分成三角形ADE 与四边形BDEC ,设它们的面积分别为S 1, S 2,则S 1:S 2=___________. 第二试一.设H 是等腰三角形ABC 垂心,在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小,这时乘积HBC ABC S S ∆∆⋅的值变小,变大,还是不变?证明你的结论.二.ABC ∆中, BC =5, AC =12, AB =13, 在边AB ,AC 上分别取点D , E , 使线段DE 将ABC ∆分成面积相等的两部分.试求这样的线段DE 的最小长度.三.已知方程0022=++=++b cx x c bx x 及分别各有两个整数根21,x x 及21,x x '',且,021>x x 021>''x x . (1)求证:;0,0,0,02121<'<'<<x x x x (2)求证:1-b ≤c ≤1+b ; (3)求c b ,所有可能的值.1994年全国初中数学联赛试题第一试(4月3日上午8:30—9:30)考生注意:本试共两道大题,满分80分.一、选择题(本题满分48分,每小题6分)本题共有8个小题都给出了A,B、C,D,四个结论,其中只有一个是正确的,请把你认为正确结论的代表字母写在题后答案中的圆括号内,每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在圆括号内),一律得0分.〔答〕( )2.设a,b,c是不全相等的任意实数,若x=a2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,则x,y,zA.都不小于0B.都不大于0C.至少有一个小0于D.至少有一个大于0〔答〕( )3.如图1所示,半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上,且与其余三边BC,CD,DA相切,若BC=2,DA=3,则AB的长A.等于4B.等于5C.等于6D.不能确定〔答〕( )A.1 B.-1 C.22001D.-22001〔答〕( )5.若平行直线EF,MN与相交直线AB,CD相交成如图2所示的图形,则共得同旁内角A.4对B.8对C.12对D.16对〔答〕( )〔答〕( )7.设锐角三角形ABC的三条高AD,BE,CF相交于H。

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2003年全国初中数学竞赛试题一、选择题1、若4x-3y-6z=0.x+2y-7z=0(xyz ≠0),则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( ).(A )-21(B )-219(C )-15 (D )-132.在本埠投寄平信,每封质量不超过20g 时付邮费0.80元,超过20g 而不超过40g 时付邮费l .60元,依次类推,每增加20g 需增加邮费0.80元(信的质量在100g 以内).如果某人所寄一封信的质量为72.5g ,那么他应付邮费( ). (A)2.4元 (B)2.8元 (C)3元 (D)3.2元3.如图所示, ( ).(A)3600 (B)4500 (C)5400 (D)7204.四条线段的长分别为9,5,x ,1(其中x 为正实数),用它们拼成两个直角三角形,且AB 与CD 是其中的两条线段(如图),则x 可取值的个数为( ).(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)6个5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念,摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3),且要求各行的人数必须是连续的自然数,这样才能最后一排的人均站在前一排两人间的空档处,那么,满足上述要求的排法的方案有( ). (A)1种 (B)2种 (C)4种 (D)O 种 二、填空题6.已知 那么 .7.若实数x ,y ,z 满足 则xyz 的值为.8.观察下列图形:根据图①、②、③的规律,图④中三角形的个数应为 。

9.如图所示,已知电线杆AB 直立于地面上,它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上,如果CD 与地面成450,则∠A =600,CD =4m,BC=(4 )m 电线杆AB 的长为 m.10.已知二次函数y=ax 2+bx+c(其中a 是正整数)的图像经过点A(一1,4)与点B(2,1),并且与x 轴有两个不同的交点,则b+c 的最大值为 . 三,解答题.11.如图所示,已知AB 是⊙0的直径,BC 是⊙0的切线,0C 平行于弦AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E , 连接AC ,与DE 交于点P .问EP 与PD 是否相等?证明你的结论.12.某人租用一辆汽车由A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示.若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶l 千米需要的平均费用为1.2元.试指出此人从A 城出发到8城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元?=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠G F E D C B A ,31+=x =---++214121,2x x x ,371,11,41=+=+=+x x z y y x 226-OCDABA 卷13.如图所示,⊙0的直径的长是关于x 的二次方程 (k 是整数)的最大整数 根,P 是⊙0外一点,过点P 作⊙0的切线PA 和割线PBC ,其中A 为切点。

点B ,C 是直线PBC 与⊙0的 交点,若PA ,PB ,PC 的长都是正整数,且PB 的长不是合数,求PA 2+PB 2+PC 2的值.14.如图,沿着圆周放着一些数,如果有依次相连的4个数a ,b ,c ,d 满足不等式(a-d)(b 一c)>0, 那么就可以交换b ,c 的位置,这称为一次操作。

(1)若圆周上依次放着数1,2,3,4,5,6,问:是否能经过有限次操作后,对圆周上任意依次 相连的4个数a ,b ,c ,d ,都有(a —d)(b 一c)≤0?请说明理由.(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数l,2,…,2003,问:是否能经过有限 次操作后,对圆周上任意依次相连的4个数a ,b,c,d ,都有(a-d)(b-c)≤o?请说明B 卷13.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=900,(1)当点D 在斜边AB 内部时,求证: (2)当点D 与点A 重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (3)当点D 在BA 的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由. 14.已知实数a ,b ,c 满足:以a+b+c=2,abc=4. (1)求a,b,c 中的最大者的最小值; (2)求 的最小值.2003年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题 参考答案与评分标准一、选择题(每小题6分,满分30分)1.D由⎩⎨⎧=-+=--,072,0634z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.2,3z y z x 代入即得. 2.D 因为20×3<72.5<20×4,所以根据题意,可知需付邮费0.8×4=3.2(元).3.C如图所示,∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°,∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°,而∠BMN +∠FNM =∠D +180°,所以∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°. 4.D 显然AB 是四条线段中最长的,故AB =9或AB =x 。

(1)若AB =9,当CD =x 时,222)51(9++=x ,53=x ; 当CD =5时,222)1(59++=x ,1142-=x ;当CD =1时,222)5(19++=x ,554-=x .(2)若AB =x ,当CD =9时,222)51(9++=x ,133=x ; 当CD =5时,222)91(5++=x ,55=x ;当CD =1时,222)95(1++=x ,197=x . 故x 可取值的个数为6个.5.B 设最后一排有k 个人,共有n 排,那么从后往前各排的人数分别为k ,k +1,k +2,…,k +(n -1),由题意可知1002)1(=-+n n kn ,即()[]20012=-+n k n . 因为k ,n 都是正整数,且n ≥3,所以n <2k +(n -1),且n 与2k +(n -1)的奇偶性不同. 将200分解质因数,可知0)2(22=+-+k x k x ABBDAD BC BD CD -=-222c b a ++NMABCDEFGn =5或n =8. 当n =5时,k =18;当n =8时,k =9. 共有两种不同方案.6.23-. 4341442141212222--=-+--=---++x x x x x x =234)31(32-=-+-。

7.1.因为34371137137111114--+=---+=-+=-+=+=x x x xx x z z x z x y x ,所以 37)34()34(4-+-=-x x x x ,解得 23=x .从而 353237137=-=-=x z ,5253111=-=-=z y . 于是 1355223=⨯⨯=xyz . 8.161.根据图中①、②、③的规律,可知图④中三角形的个数为2314343434161++⨯+⨯+⨯=.9.26.如图,延长AD 交地面于E ,过D 作DF ⊥CE 于F . 因为∠DCF =45°,∠A =60°,CD =4m ,所以CF =DF =22m ,EF =DF tan60°=62(m ).因为3330tan ==BE AB ,所以2633=⨯=BE AB (m ). 10.-4.由于二次函数的图象过点A (-1,4),点B (2,1),所以⎩⎨⎧=++=+-,124,4c b a c b a 解得 ⎩⎨⎧-=--=.23,1a c a b因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点,所以042>-=∆ac b , 0)23(4)1(2>----a a a ,即0)1)(19(>--a a ,由于a 是正整数,故1>a , 所以a ≥2. 又因为b +c =-3a +2≤-4,且当a =2,b =-3,c =-1时,满足题意,故b +c 的最大值为-4.三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)11.如图所示,已知AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,OC 平行于弦AD ,过点D 作DE ⊥AB 于点E ,连结AC ,与DE 交于点P . 问EP 与PD 是否相等?证明你的结论.解:DP =PE . 证明如下:因为AB 是⊙O 的直径,BC 是切线,所以AB ⊥BC .由Rt △AEP ∽Rt △ABC ,得AB AEBC EP = . ① ……(6分)又AD ∥OC ,所以∠DAE=∠COB ,于是Rt △AED ∽Rt △OBC .故AB AEAB AE OB AE BC ED 221=== ② ……(12分)由①,②得 ED =2EP . 所以 DP =PE . ……(15分)ABCDE 12.某人租用一辆汽车由A 城前往B 城,沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位:小时)如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时,而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线(要有推理过程),并求出所需费用最少为多少元? 解:从A 城出发到达B 城的路线分成如下两类:(1)从A 城出发到达B 城,经过O 城. 因为从A 城到O 城所需最短时间为26从O 城到B 城所需最短时间为22小时. 所以,此类路线所需 最短时间为 26+22=48(小时). ……(5分)(2)从A 城出发到达B 城,不经过O 城. 这时从A 城到达B 城,必定经过C ,D ,E 城或F ,G ,H 城,所需时间至少为49小时. ……(10分)综上,从A 城到达B 城所需的最短时间为48 小时,所走的路线为:A →F →O →E →B . ……(12分)所需的费用最少为:80×48×1.2=4608(元)…(14分) 答:此人从A 城到B 城最短路线是A →F →O →E →B , 所需的费用最少为4608元 ……(15分) 13B .如图所示,在△ABC 中,∠ACB =90°.(1)当点D 在斜边AB 内部时,求证:ABBDAD BC BD CD -=-222. (2)当点D 与点A 重合时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由. (3)当点D 在BA 的延长线上时,第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由.解:(1)作DE ⊥BC ,垂足为E . 由勾股定理得.)()()(22222222BC BE CE BE CE DE BE DE CE BD CD -=-=+-+=-所以 BC BE BC CE BC BE CE BC BD CD -=-=-222. 因为DE ∥AC ,所以 AB BDBC BE AB AD BC CE ==,. 故 AB BD AD AB BD AB AD BCBD CD -=-=-222. ……(10分) (2)当点D 与点A 重合时,第(1)小题中的等式仍然成立。

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