【2020-2021自招】中央民族大学附属中学初升高自主招生数学模拟试卷【4套】【含解析】
北京市中央民族大学附中自主招生考试数学试卷
北京市中央民族大学附中自主招生考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.已知某公司去年的营业额约为四千零七十万元，则此营业额可表示为（）A. 元B. 元C. 元D. 元2.下列计算正确的是（）A. B. C. D.3.已知整数m满足m＜＜m+1，则m的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b的值为（）A. B. 63 C. 179 D. 1815.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为（）A.B.C.D.6.则不等式＞（其中，，，为常数）的解集为（）A. B. C. D. 无法确定7.方程x2+3x-1=0的根可视为函数y=x+3的图象与函数的图象交点的横坐标，则方程x3+2x-1=0的实根x0所在的范围是（）A. B. C. D.8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，且AF=2，则点F到边DC的距离为（）A. 1B.C. 2D.9.如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为何？（）A.B.C. 5D. 610.如图，A、B、C是反比例函数y=（k＜0）图象上三点，作直线l，使点A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.若==（x，y，z均不为0），=1，则m的值为______ ．12.为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞100条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有______ 条鱼．13.如图，在扇形OAB中，∠AOB=105°，半径OA=18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则折痕BC的长为______ ．14.小明原有63元，如图记录了他今天所有支出，其中饮料支出的金额被涂黑．若每5______ 元．15.E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，EM+FN=，则直径AB的长为______ ．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，当A1（0，3）、A2（-2，0）、A3（2，0）为旋转中心时，点P（0，4）绕着点A1旋转180°得到P1点；点P1绕着点A2旋转180°得到P2点；点P2绕着点A3旋转180°得到P3点；点P3绕着点A1转180°得到点P4点…．继续如此操作若干次得到点P5、P6、…，则点P2的坐标为______ ，点P2017的坐标为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中提供的信息回答下列问题：（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．四、解答题（本大题共9小题，共66.0分），并把解集在数轴上表示出来．18.解不等式组＜19.先化简，再求值：（x-1）÷（-1），其中x为方程x2+3x+2=0的根．20.保障房建设是民心工程，某市从2011年开始加快保障房建设进程，现统计了该市2011年到2015年5月新建保障房情况，绘制成如图所示的折线统计图和不完整的条形统计图．（1）小明看了统计图后说：“该市2014年新建保障房的套数比2013年少了．”你认为小明的说法正确吗？请说明理由；（2）请补全条形统计图；（3）求这5年平均每年新建保障房的套数．21.如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点D在边AB的延长线上，BD=3，过点D作DE⊥AB，与边AC的延长线相交于点E，以DE为直径作⊙O交AE于点F．（1）求⊙O的半径及圆心O到弦EF的距离；（2）连接CD，交⊙O于点G（如图2）．求证：点G是CD的中点．22.已知直线l：y=kx+2与直线m：y=x相交于P点，且点P的横坐标为1，直线l与x轴交于点D，与反比例函数G：y=的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），若DM+DN＜3，求n的取值范围．23.已知关于x的一元二次方程mx2-（2m+1）x+2=0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根都是整数，求m的整数值；（3）若此方程的两个实数根分别为x1、x2，求代数式m（x15+x25）-（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5的值．24.在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．（1）当D为边BC上一点，并且CD=AB，x=40，y=30时，求证：AB=AC．（2）若CD=CA=AB，请写出y与x的关系式及x的取值范围．（不写解答过程，直接写出结果）25.在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于点P（m，n），若点Q（2-m，n-1），则称点Q为点P的“δ点”．例如：点（-2，5）的“δ点”坐标为（4，4）．（1）某点的“δ点”的坐标是（-1，3），则这个点的坐标为______ ；（2）若点A的坐标是（2-m，n-1），点A的“δ点”为A1点，点A1的“δ点”为A2点，点A2的“δ点”为A3点，…，点A1的坐标是______ ；点A2015的坐标是______ ；（3）函数y=-x2+2x（x≤1）的图象为G，图象G上所有点的“δ点”构成图象H，图象G与图象H的组合图形记为“图形Ю”，当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2，-8≤q≤1，则k的取值范围是______ ．26.已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E点，DF平分∠ADC交线段AE于F点．（1）如图1，若AE=AD，求证：CD=AF+BE；（2）如图2，若AE：AD=a：b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论．答案和解析1.【答案】C【解析】解：四千零七十万元，则此营业额可表示为4.07×107元，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】B【解析】解：A、a3•a2=a5≠a6，本选项错误；B、（a3）2=a6，本选项正确；C、a2+a4=a2（1+a2）≠2a2，本选项错误；D、（3a）2=9a2≠a6，本选项错误．故选B．结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法等知识点，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．3.【答案】C【解析】解：由题意∵∴当m=6时，则m+1=7适合．故选C．本题从的整数大小范围出发，然后确定m的大小．本题考查了无理数的大小问题，本题从的大小出发，很容易求出m的值．4.【答案】D【解析】解：x2-2x-3599=0，移项得：x2-2x=3599，x2-2x+1=3599+1，即（x-1）2=3600，x-1=60，x-1=-60，解得：x=61，x=-59，∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，∴a=61，b=-59，∴2a-b=2×61-（-59）=181，故选D．配方得出（x-1）2=3600，推出x-1=60，x-1=-60，求出x的值，求出a、b的值，代入2a-b求出即可．本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．5.【答案】B【解析】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故选：B．首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．6.【答案】A【解析】解：∵-m2-1＜2，-2＜n2+1，∴函数y=kx+b中y随x的增大而增大，又∵函数经过点（1，0），∴kx+b＞0（其中k，b，m，n为常数）的解集为：x＞1．故选A．首先根据函数的值确定一次函数的增减性，然后根据函数经过点（1，0），即可进行判断．本题考查一次函数的性质，解题时应认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．7.【答案】C【解析】解：方程x3+2x-1=0，∴x2+2=，∴它的根可视为y=x2+2和的图象交点的横坐标，当x=时，y=x2+2=2，y==4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2+2=2，y==3，此时抛物线的图象在反比例函数下方；当x=时，y=x2+2=2，y==2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；当x=1时，y=x2+2=3，y==1，此时抛物线的图象在反比例函数上方．故方程x3+2x-1=0的实根x所在范围为：＜x＜．故选：C．首先根据题意推断方程x3+2x-1=0的实根是函数y=x2+2与的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点即可判定推断方程x3+2x-1=0的实根x所在范围．此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．8.【答案】B【解析】解：过F作FG⊥DC于G，连接DF、BF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF=2，∴∠FBA=∠BAC=40°，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠DAB=180°，∴∠ABC=180°-80°=100°，∴∠FBC=100°-40°=60°，∵四边形ABCD为菱形，∴DC=BC，∠DCA=∠BCA，∵FC=FC，∴△DFC≌△BFC，∴∠FDC=∠FBC=60°，DF=BF=2，在Rt△DFG中，∠DFG=30°，∴DG=DF=1，∴FG==，则点F到边DC的距离为，故选B．作辅助线，构建全等三角形和直角三角形，先根据菱形的性质：菱形的每一条对角线平分一组对角，得∠BAC=40°，由线段垂直平分线的性质得AF=BF=2，证明△DFC≌△BFC，得∠FDC=∠FBC=60°，DF=BF=2，由30°角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理依次求出DG、FG的长．本题考查了菱形和线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是关键：①菱形的四边相等，②菱形的每一条对角线平分一组对角，③垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；本题求点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长．9.【答案】B【解析】解：在△BEF与△CFD中∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3∵∠B=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∵BF=3，BC=12，∴CF=BC-BF=12-3=9，又∵DF===15，∴=，即=，∴EF=故选B．先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF 的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出△BEF∽△CFD是解答此题的关键．10.【答案】D【解析】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选D．如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学思想．解题时注意全面考虑，避免漏解．11.【答案】4【解析】解：设===a，∴x=2a，y=3a，z=am，∵==1，∴m=4，故答案为：4．可以设===a，进而可以得出x、y、z的值，代入所要求的方程中即可得出答案．本题考查了比例的性质，解决此类问题要求不拘泥于形式，能够根据不同的条件来得出不同的求解方法．在平时要多加练习，熟能生巧，解题会很方便．12.【答案】4000【解析】解：100÷=4000（条）．故答案为：4000．捕捞200条，若其中有标记的鱼有5条，说明有标记的占到，而有标记的共有100条，根据所占比例即可解答．．此题考查了用样本估计总体，本题体现了统计思想，统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息．13.【答案】9+9【解析】解：连接OD，由题意得，OB=BD，OD⊥BC，∵OD=OB=BD，∴三角形OBD为等边三角形，∴∠DOB=60°，∵∠AOB=105°，∴∠COE=45°，在Rt△OBE中，∵∠OEB=90°，OB=OA=18，∠EOB=60°，∴∠EBO=30°，∴OE=OB=9，EB==9，在Rt△CEO中，∵∠CEO=90°，∠COE=45°，∴∠OCE=∠EOC=45°，∴CE=OE=9，∴BC=EC+EB=9+9．故答案为9+9．连接OD，首先证明△OBD是等边三角形，分别在Rt△EOB，Rt△EOC中，求出CE、EB即可解决问题．本题考查翻折变换、等边三角形的性质、直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】3、8或13【解析】解：设小明买了x瓶饮料（x＞0），则剩下的钱为63-（10+15+20+5x）元，整理后为（18-5x）元，∵18-5x≥0，x为正整数，∴1≤x≤3，当x=1时，18-5x=18-5=13；当x=2时，18-5x=18-5×2=8；当x=3时，18-5x=18-5×3=3．故答案为：3、8或13．设小明买了x瓶饮料（x＞0），则剩下的钱为63-（10+15+20+5x）元，根据18-5x≥0、x为正整数，即可求出x的取值范围，再逐一分析即可得出可能剩下的钱数．此题主要考查了一元一次不等式的应用，利用已知表示出剩下的钱是解题关键．15.【答案】6【解析】解：如图，延长ME交⊙O于G，∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，∴FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，∵⊙O的直径AB=x，∴OE=OA-AE=x-x=x，OM=x，∵∠MEB=60°，∴OH=OE•sin60°=×=，在Rt△MOH中，MH====，根据垂径定理，MG=2MH=2×=，即EM+FN==．解得x=6，故答案为：6．延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG 于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．16.【答案】（-4，-2）；（0，2）【解析】解：如图所示，点P2的坐标为：（-4，-2），∵由图形可得出：P点与P6重合，∴P点每6次循环一次，∵2017÷6=336…1，∴点P2017的坐标与P1坐标相同为：（0，2），故答案为：（-4，-2），（0，2）．利用已知得出对应点坐标，进而得出P点坐标变换规律，进而得出答案．此题主要考查了几何变换以及点的坐标确定位置，得出P点坐标变化规律是解题关键．17.【答案】0.25t+20.5；0.25t+20.5；0.19t+21.5【解析】解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（t-150）=0.25t+20.5；②当t＞350时，方式一收费：108+0.25（t-350）=0.25t+20.5；③方式二当t＞350时收费：88+0.19（t-350）=0.19t+21.5．（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）-（0.19t+21.5）=0.06t-1＞0，∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．∴列方程0.25t+20.5=88，解得t=270．即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．（Ⅲ）方式二．①当350＜t＜360时，方式一收费-方式二收费y=0.25t+20.5-0.19t-21.5=0.06t-1，当350＜t＜360时，y＞0，即可得方式二更划算．②当t=350时，方式一收费108元，大于方式二收费88元，故方式二划算；③当330＜t＜350时，方式一收费=0.25t+20.5，此时收费＞103，故此时选择方式二划算．（I）根据两种方式的收费标准进行计算即可；（II）先判断出两种方式相等时t的大致范围，继而建立方程即可得出答案．（III）计算出两种方式在此取值范围的收费情况，然后比较即可得出答案．此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解．18.【答案】解：，＜∵解不等式 得：x≤1，解不等式 得：x＞-2，∴不等式组的解集为：-2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：【解析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．19.【答案】解：原式=（x-1）÷=（x-1）÷=（x-1）×=-x-1．由x为方程x2+3x+2=0的根，解得x=-1或x=-2．当x=-1时，原式无意义，所以x=-1舍去；当x=-2时，原式=-（-2）-1=2-1=1．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20.【答案】解：（1）小明的说法不正确，理由如下：∵2014年新建保障房的套数比2013年增加了20%，而2013年新建保障房的套数为750套，∴2014年新建保障房的套数为750×（1+20%）=900套，∴小明的说法不正确；（2）2011年新建保障房的套数为：600÷（1+20%）=500套，条形统计图补充如下：（3）这5年平均每年新建保障房的套数为=784套．【解析】（1）根据2014年新建保障房的套数比2013年增加了20%，求出2014年新建保障房的套数，即可得出答案；（2）根据2012年新建保障房的增长率及2012年新建保障房的套数，即可求出2011年新建保障房的套数；所求结果可补全条形统计图；（3）根据（2）中所求求出平均数即可．本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率．21.【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，∵AB=5，BD=3，∴AD=8，∵∠ACB=90°，DE⊥AD，∴∠ACB=∠ADE，∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADE，∴==∴==∴DE=6，AE=10，即⊙O的半径为3；过O作OQ⊥EF于Q，则∠EQO=∠ADE=90°，∵∠QEO=∠AED，∴△EQO∽△EDA，∴=，∴=，∴OQ=2.4，即圆心O到弦EF的距离是2.4；（2）连接EG，∵AE=10，AC=4，∴CE=6，∴CE=DE=6，∵DE为直径，∴∠EGD=90°，∴EG⊥CD，∴点G为CD的中点．【解析】（1）根据勾股定理求出AC，证△ACB∽△ADE，得出==，代入求出DE=6，AE=10，过O作OQ⊥EF于Q，证△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可；（2）连接EG，求出EG⊥CD，求出CE=ED，根据等腰三角形的性质求出即可．本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．22.【答案】解：如图1，当x =1时，y =1，∴P （1，1），把P （1，1）代入y =kx +2中得：1=k +2，k =-1，∴直线l ：y =-x +2，分两种情况：当n ＞0时，如图2，∵直线l ：y =-x +2与x 轴交于D （2，0），与y 轴交于A （0，2），∴AD = =2 ，∵DM +DN ＜3 ，∴只要y =-x +2与y =有两个交点即可，∴-x +2= ，x 2-2x +n =0，b 2-4ac =4-4n ＞0，n ＜1，∴0＜n ＜1；当n ＜0时，如图3，当DM +DN =3 时，AM +DN = ， ∵直线l ：y =-x +2与x 轴交于D （2，0），与y 轴交于A （0，2），则M （- ， ），xy =n =- × =-， ∴- ＜n ＜0，综上所述：n 的取值范围是0＜n ＜1或- ＜n ＜0．【解析】先求P 点的坐标（1，1），代入y=kx+2中可求得k=-1，分两种情况进行讨论：①当n ＞0时，如图2，求出AD=2，所以交点M 、N 都能满足DM+DN ＜3，所以列方程求△＞0即可；②当n ＜0时，如图3，因为n 越小离两坐标轴越远，所以求DM+DN=3时的n值即可．本题考查了一次函数、反比例函数的交点问题，有难度，本题采用了分类讨论的思想，反比例函数系数的不同与一次函数交点的距离也不同，根据数形结合的思想进行计算．23.【答案】解：（1）∵△=[-（2m+1）]2-4m•2=（2m-1）2，∴不论m为何值，（2m-1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）设方程的两个根为x1，x2，则x1+x2==2+，x1•x2=，∵此方程的两个实数根都是整数，∴m的整数值为±1；（3）∵x1、x2是方程mx2-（2m+1）x+2=0的两个实数根，∴mx12-（2m+1）x1+2=0，mx22-（2m+1）x2+2=0，则mx15-（2m+1）x14+2x13=0，mx25-（2m+1）x24+2x23=0，以上两式相加可得m（x15+x25）-（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）=0，∴m（x15+x25）-（2m+1）（x14+x24）+2（x13+x23）+5=5．【解析】（1）由根的判别式△=[-（2m+1）]2-4m•2=（2m-1）2即可知；（2）根据韦达定理知x1+x2==2+，x1•x2=，由方程的两个实数根都是整数可得答案；（3）根据方程的解得定义得mx12-（2m+1）x1+2=0、mx22-（2m+1）x2+2=0，继而知mx15-（2m+1）x14+2x13=0，mx25-（2m+1）x24+2x23=0，两式相加可得．本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．24.【答案】（1）证明：如图，在BC上取点E，使BE=CD=AB，连接AE，则∠AEB=∠EAB=（180°-40°）=70°，∴∠AEB=∠ADE=70°，∴AD=AE，∴∠ADB=∠AEC=180°-70°=110°，∵BD=BE-DE，CE=CD-DE，∴BD=EC，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AB=AC．（2）解： 当点D在边BC上时，∵∠ABC=x°，CA=AB，∴∠C=∠ABC=x°，∵CD=CA，∴∠ADC=∠CAD==90°-x°，∵∠ADC=∠B+∠BAD，∴90-x=x+y，即：y=-x+90（0＜x≤60）（取等号时B、D重合）当点D在BC的延长线上时，如图1，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=x°，∵AC=CD，∴∠ACB=2∠D，∴∠D=∠ACB=x°，在△ABD中，∠B+∠BAD+∠D=180°，∴x+y+x=180，即：y=-x+180，（0＜x＜90）③当点D在CB延长线上时，如图2，∵∠BAD=y°，∠ABC=x°，∴∠D=∠ABC-∠BAD=x°-y°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=x°，∵CD=AC，∴∠CAD=∠D=x°-y°，在△ACD中，∠D+∠C+∠CAD=180°，∴x-y+x+x-y=180，∴3x-2y=180，∴y=x-90（60＜x＜90）（取等号时B、D重合）．【解析】（1）首先在BC上取点E，使BE=CD=AB，连接AE，易证得AD=AE，继而可得△ADB≌△AEC（SAS），则可证得结论；（2）①由CD=CA，可表示出∠ADC的度数，又由三角形外角的性质，可得∠ADC=∠B+∠BAD，则可得方程：90-x=x+y，继而求得答案；②先确定出∠D=x，最后根据三角形的内角和即可得出结论．③同①②的方法即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，解（1）的关键是作出辅助线判断出△ADB≌△AEC，解（2）的关键是分情况讨论，是一道中等难度的中考常考题．25.【答案】（3，4）；（m，n-2）；（4-m），n-2016）；-2≤k≤1【解析】解：（1）设这个点坐标为（m，n），∵这个点的“δ点”的坐标是（-1，3），∴2-m=-1，n-1=3，∴m=3，n=4，∴这个点的坐标为（3，4），故答案为（3，4）．（2）由题意A1（m，n-2），A2（m-2，n-3），A3（4-m，n-4），A4（m-2，n-5），A5（4-m，n-6），…由此规律可知A2015（4-m，n-2016）．故答案分别为（m，n-2），（4-m，n-2016）．（3）如图，由题意图象G的解析式为y=-x2+2x，（x≤1），图象H的解析式为y=-（x-1）2，（x≥1）对于函数y=-x2+2x，当y=-8时，-x2+2x=-8，解得x=-2或8（舍弃），∴x=-2，当y=1时，-x2+2x=1，解得x=1，∵当点（p，q）在“图形Ю”上移动时，若k≤p≤1+2，-8≤q≤1，∴由图象可知，-2≤k≤1．故答案为-2≤k≤1．（1）设这个点坐标为（m，n），根据“δ点”的定义，列出方程即可解决问题．（2）从特殊到一般，先探究规律，利用规律即可解决问题．（3）画出图象，图象G的解析式为y=-x2+2x，（x≤1），图象H的解析式为y=-（x-1）2，（x≥1），对于函数y=-x2+2x，当y=-8时，-x2+2x=-8，解得x=-2或8（舍弃），当y=1时，-x2+2x=1，解得x=1，观察图象，即可解决问题．本题考查二次函数综合题、解题的关键是理解题意，学会从特殊到一般探究规律，利用规律解决问题，学会利用图象解决问题，属于中考压轴题．26.【答案】解：（1）证明：延长EA到G，使得AG=BE，连接DG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴∠AEB=∠DAG=90°，∴∠DAG=90°，在△ABE和△DGA中，∴△ABE≌△DGA，∴∠1=∠2，DG=AB，∠B=∠G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，∵∠B+∠1=∠ADC+∠2=90°，∠3=∠4，∴∠GDF=90°-∠4，∠GFD=90°-∠3，∴∠GDF=∠GFD，∴GF=GD=AB=CD，∵GF=AF+AG=AF+BE，∴CD=AF+BE；（2）bCD=aAF+bBE理由是：延长EA到G，使得=，连接DG，即AG=BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，AD=BC，∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB=∠AEC=90°，∴∠AEB=∠DAG=90°，∴∠DAG=90°，即∠AEB=∠GAD=90°，∵==，∴△ABE∽△DGA，∴∠1=∠2，=，∴∠GFD=90°-∠3，∵DF平分∠ADC，∴∠3=∠4，∴∠GDF=∠2+∠3=∠1+∠4=180°-∠FAD-∠3=90°-∠3．∴∠GDF=∠GFD，∴DG=GF，∵=，AB=CD（已证），∴bCD=aDG=a（BE+AF），即bCD=aAF+bBE．【解析】（1）延长EA到G，使得AG=BE，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出AB=CD，AB∥CD，AD=BC，求出∠DAG=90°=∠GAD，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG=AB=CD，∠1=∠2，求出∠AFD=∠GDF，推出DG=GF=AF+AG即可；（2）延长EA到G，使得=，连接DG，根据两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，推出△ABE∽△DGA，推出∠1=∠2，DG=AB，代入即可求出答案．本题综合考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，角平分线定义，平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的运用，本题综合性比较强，有一定的难度，但主要考查学生的类比推理的思想，主要检查学生能否找出解题思路，注意：解题思路的相似之处啊．。
重点中学自主招生数学试题 (2)
2021年统一招生考试数 学 试 题一、选择题:〔此题共36分, 每题3分〕 1. 14的算术平方根是〔 〕 A ．12- B ．12 C ．12± D ．1162. 不等式组⎩⎨⎧≤-<03,12x x 的解集是〔 〕A ．21<x B ．21>x C.3≤x D ．321≤<x3. 如下图的立体图形是由假设干个小正方体组 成，那么这个立体图形中有小正方体〔 〕个 A. 9 B. 10 C. 11 D. 124. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ，假设AC =23, AB =4，那么∠BCD 的度数为〔 〕A ．30°B ．45°C ．60°D ．75° 5. 假设一次函数y =kx +b 的图象经过第一象限，且 与y 轴负半轴相交，那么〔 〕A ．k <0，b >0B ．k <0，b <0C ．k >0，b >0D ．k >0，b <0 6. 二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．37. 如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C，假设AB =8cm ， OC =3cm ，那么⊙O 的半径长为〔 〕A. 4 cmB. 5 cmC. 8 cmD. 10 cm小正方体立体图形 ABCDED CBADE F B AC8. 如图，平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于平面直角坐标系的原点O ，点D 的坐标为(3，2)，那么点的坐标为〔 〕A. (-3，2)B. (-2，-3)C. (-2，3)D. (-3，-2) 9. 如图，这是某花农 2006年和 2007年种植百合、康乃馨判断以下说法合理的是〔 〕A. 2007年三种花的产量比2006年都有增加B. 2007年郁金香与康乃馨的产量之和为70万支C. 2006年郁金香产量大约是百合产量的九分之一D. 2006年和2007年的百合产量根本持平 10. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，CD 平分∠ACB 交 AB 于D 点，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，已 知∠E =36°，那么∠B 的度数为〔 〕 A. 36° B. 45° C. 72° D. 75°11. 下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：A. 80B. 85C. 90D. 80，90 12.某社区从2021年1月份开始,每月举行一次“迎奥运健身走〞活动，1月份有 200人参加了健身走活动，平均步行距离为2km ，在大家的带动下有更多的居 民参加了这项活动，参加健身走的人数增长率是其平均步行距离的增长率 的2倍，2月份总步行距离为1 200km ，那么平均步行距离的增长率是〔 〕 A. 20% B.30% C. 50% D. 60%二、填空题:〔此题共16分, 每题4分 〕13. 如下图摆放一副三角板，那么图中∠1= 度．14. 点P (x , y )位于第二象限，并且y ≤x +4，x , y 为整数，写出一个．．符合 上述条件的点P 的坐标： ．15. 如图，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交CD 于F . 在不添加辅助线的情况下，请 写出图中一对相似三角形： ．116．如图, 平行四边形ABCD 中BC 边及此边长上的高 均为a , 平行四边形GCEF 中CE 边及此边长上的高均为b , 点B 、C 、E 在一条直线上，D 是CG上一点，那么图中阴影局部的面积为 ．三、解答题:(此题共68分;第17题10分，第18题8分, 第19题4分，第20题5分，第21题7分，第22题、第23题各8分, 第24题、第25题各9分) 解答题应写出必要的解题步骤.17. 计算：〔1〕计算： 22＋(4－7)÷32 +︒⋅60sin 12； 解：〔2〕先化简, 再求值: 221111a a a a a a -÷----, 其中a =12.解：18. 解以下方程或方程组：〔1〕2412-=+-x x x ; 〔2〕⎩⎨⎧=+=-.42,5y x y x 解：解：①②19. 如图是44 正方形网格，请你用两种不同的方法，在其中选取两个白色 的正方形并涂黑，使图中黑色局部是一个中心对称图形． 解：20. 如图，BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BE ＝CF ．请你判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？请对你的判断加以证明． 解：21. 如图表示登山爱好者甲与游客乙沿相同的路线同时从山脚下出发到达山顶的过程中，两人各自行进的路程随时间变化的图象．请你根据图象提供的信息解答以下问题：〔1〕试写出在登山过程中，甲行进的路程S 1〔km 〕与时间t 〔h 〕之间的函数关系式为 ；乙行进的路程S 2〔km 〕与时间t 〔h 〕之间的函数关系式为 ；〔不需写出自变量t 的取值范围〕〔2〕当甲到达山顶时，乙行进到山路上某点A 处，求点A 距山顶的距离； 〔3〕在〔2〕条件下, 设乙从A 处继续登山, 甲到达山顶后休息1h ，沿原路下山, 在点B 处与乙相遇, 此时点B 与山顶的距离为1km, 相遇后他们 各自按原来的路线下山或上山,求乙到达山顶时,甲离出发地点多少km?解：BCDA EF22. 如图，点A 、B 、C 、D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，CAC 交BD 于点E ，AE =2，EC =1． 〔1〕求证：DEC △∽ADC △； 〔2〕求⊙O 的直径；〔3〕AB 的延长线与⊙O 的切线CF 交于点F ，求∠F 的度数. 解：23. 设m 是不小于1-的实数，关于x 的方程033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x . 〔1〕假设21x 622=+x ，求m 值；〔2〕求代数式22212111x mx x mx -+-的最大值.解：24．如图1，AB =CB , ∠ABC =90︒, 点D 在AC 上，ED ⊥AC 于D ，交AB于E ，点M 为EC 的中点.〔1〕猜测线段BM 与DM 之间有什么关系? 写出你的猜测，并加以证明.解：图1〔2〕如图2，将△ADE 绕点A 逆时针旋转180︒，第〔1〕问中的结论是否仍然成立？请说明理由. 解：图2〔3〕按如下要求操作：将△ADE 绕点A 逆时针旋转 〔图3所示〕，请在图4画出相应图形，并直接写出线段 BM 与DM 之间的关系.解：图3 图4α︒α︒A BC DEM BCMD AE25．如图，抛物线的顶点为A ()1,3 ，且经过原点O ，与x 轴的另一个交 点为B ．〔1〕求抛物线的解析式；(2) 假设点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为菱形，求D 点的坐标； 〔3〕在x 轴上方的抛物线上是否存在点P , 使得△OPB 是底角为30°的等腰 三角形, 假设存在，求出P 点的坐标；假设不存在，说明理由． 解：备用图。
北京市中央民族大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
北京市中央民族大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1．若集合{}1,2,3A =，{}2,3,4B =，则A B = （）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,4C ．{}2,3D ．∅2．函数()35f x x x =--的零点所在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,43．命题“[1,3]x ∀∈-，2320x x -+<”的否定为（）A ．[]1,3x ∃∈-，2320x x -+≥B ．[]1,3x ∃∈-，2320x x -+>C ．[]1,3x ∀∈-，2320x x -+≥D ．[]1,3x ∃∉-，2320x x -+≥4．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（）A ．21y x =+B ．1yx=C ．y =D ．y x x=5．已知:31p x -<≤，:30q x -<<，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知0x >，0y >，且121y x+=，则12x y +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．107．函数241xy x =+的图象大致为（）A ．B ．C．D ．8．已知 0a b >>，则下列不等式一定成立的是（）.A ．11a b>B ．2ab b <C ．22a b <D ．2a ab>9．已知函数()23,1,x ax x af x ax x a ⎧+-≤=⎨+>⎩在定义域上是单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．[)2,0-B ．(],2-∞-C ．(]0,2D ．[)2,+∞10．当[0,1]x ∈时,若函数2()(1)f x mx =-的图像与()2mg x x =+的图像有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(]50,2,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭C ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(][)0,1,+∞ 2二、填空题11．函数1()5f x x =-的定义域为.12．已知方程2410x x -+=的两根为1x 和2x ，则2212x x +=；12x x -=.13．已知()2132f x x x +=-+，则()1f =．14．当1x <-时，()11f x x x =++的最大值为．此时x 的取值为．15．设函数()243,01,0x x x f x x x⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩.给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是R ；②()1212,(2,)x x x x ∀∈-+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-；③00x ∃>，使得()()00f x f x -=；④若互不相等的实数123,,x x x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是()3,-+∞.其中所有正确结论的序号是.三、解答题16．已知集合{}4A x x =>，集合501x B x x ⎧⎫-=>⎨⎬-⎩⎭，集合{}22M x m x m =≤≤-，(1)求()R A B ð；(2)若A M A ⋃=，求m 的取值范围.17．已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠,()()12f x f x x +-=，且()01f =．(1)求c 的值；(2)求函数()f x 的解析式；(3)求函数()f x 在区间[]1,1-上的值域．18．已知2()(1)f x x a x a=-++(1)若()1f x >-恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求不等式()0f x <的解集19．已知函数()f x 是定义在上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+.(1)已知函数()f x 的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数()f x 的解析式和单调递减区间；(2)若关于x 的方程()f x t =有3个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．（只需写出结论）(3)写出解不等式()0xf x ≥的解集．20．已知函数()21ax bf x x +=+是定义域为(),21a a --的奇函数.(1)求函数()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 在定义域上是增函数；(3)求不等式()()21f x f x ->-的解集.21．已知集合{}22,,A x x m n m n ==-∈Z (1)分别判断1-、0、1是否属于集合A ；(2)写出所有满足集合A 的不超过15的正偶数；(3)已知集合{}21,B x x k k Z ==+∈，证明：“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件.。
民大附中招生入学考试【数学备考资料】专题四 图形的变换
民大附中招生入学考试【数学备考资料】专题四 图形的变换一、选择题1. （ 4分）如果圆柱的底面半径为4cm ，底面为5cm ，那么它的侧面积等于【 】A. 220cm πB. 240cm πC. 20cm 2D. 40cm 22. （ 4分）如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于【 】（A ）24πcm 2 （B ）12πcm 2 （C ）12cm 2 （D ）6πcm 23. （ 4分）将如图所示的圆心角为90 的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】4. （ 4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【 】5. （ 4分）已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【 】6. （4分）若下图是某几何体的三视图，则这个几何体是【】A.圆柱B.正方体C.球D.圆锥7. （4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是【】8. （4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】二、填空题1. （4分）如果圆锥母线长为6cm，底面直径为6cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm2．2. （4分）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、外径Φ的长分别为3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为 cm（π取3.14，结果保留两位有效数字）．3. （4分）如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，那么它的侧面积等于 cm2。
2025届北京市海淀区中央民族大学附属中学高三第四次模拟考试数学试卷含解析
2025届北京市海淀区中央民族大学附属中学高三第四次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()sin(3)6f x x π=+的图像向右平移(0)m m >个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图像，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为（ ）A ．9π B ．29π C ．18π D ．24π 2．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．13．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）．A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -4．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB DA ⊥，1AB AD ==，2BC =，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PA AC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．823π 5．在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是（ ） A ．0.2B ．0.5C ．0.4D ．0.8 6．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若290ABF ∠=︒，且2ABF 的三边长2BF ，AB ，2AF 成等差数列，则C 的离心率为（ ）A ．12B ．33C ．22 D ．32 9． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．33B 6C ．34D 3 11．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线21y x =--PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．93222-D ．93222+12．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（ ）A ．30B ．31C ．32D ．33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2025届云南中央民族大学附属中学高考仿真卷数学试题含解析
2025届云南中央民族大学附属中学高考仿真卷数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(1,3⎤⎦B ．)3,⎡+∞⎣C ．(1,5⎤⎦D ．)5,⎡+∞⎣2．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>3．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B R = C ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅4．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．105．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．6．已知向量(1,2),(3,1)a b =-=-，则（ ） A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．a ∥(a b -)D ．a ⊥( a b -)7．记n 个两两无交集的区间的并集为n 阶区间如(][],12,3-∞为2阶区间，设函数()ln xf x x=，则不等式()30f f x ⎡⎤+⎦≤⎣的解集为（ ） A ．2阶区间B ．3阶区间C ．4阶区间D ．5阶区间8．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ）A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-9．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x > D ．15{|}23x x -<< 10．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．32D ．111．已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=+++⎪⎝⎭，则不等式(lg )3f x >的解集为（ ）A ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(1,10)D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃⎪⎝⎭12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．5B ．4C ．2D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
中央民族大学附属中学2025届高考数学三模试卷含解析
中央民族大学附属中学2025届高考数学三模试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间()20,e 上有三个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．222,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 2．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．23．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ；③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．①④D ．②④4．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+iD ．1122i --5．双曲线C ：2215x y m-=（0m >），左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．250x y ±=B ．20x =C 20y ±=D 0y ±=6．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )A ．12B ．10C ．9D ．87．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数2()sin 3sincos444f x x x x πππ=-，则(1)(2)...(2020)f f f +++的值等于（ ）A ．2018B ．1009C ．1010D ．20209．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好10．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7 12．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市中央民族大学附中2025届学业水平模拟考试数学试题仿真模拟试题A卷
北京市中央民族大学附中2025届学业水平模拟考试数学试题仿真模拟试题A 卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则m α⊥3．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．54B ．55C ．102D ．1054．下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（ ） A ．12y x =B ．2x y =C ．12log y = xD ．1y x=-5．设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T （ ）A ．∅B ．1{|}2x x <-C ．5{|}3x x >D ．15{|}23x x -<< 6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若25a =-，416S =-，则6a =（ ） A ．5B ．3C ．－12D ．－137．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3 B ．4C ．5D ．68．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）9．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．11010．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ） A ．48B ．60C ．72D ．12011．已知函数()3cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数2()3g x m x =+的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（ ） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 12．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ） A 2B ．2C 10D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年北京市中学国人民大附中中考四模数学试题含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，平行四边形ABCD 中，点A 在反比例函数y=k x（k≠0）的图象上，点D 在y 轴上，点B 、点C 在x 轴上．若平行四边形ABCD 的面积为10，则k 的值是（ ）A ．﹣10B ．﹣5C ．5D ．102．如图，四边形ABCD 是正方形，点P ，Q 分别在边AB ，BC 的延长线上且BP=CQ ，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ，下列结论：①AQ ⊥DP ；②△OAE ∽△OPA ；③当正方形的边长为3，BP ＝1时，cos ∠DFO=35，其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3340的值在 （ ）A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间 4．2018的相反数是（ ）A ．12018B ．2018C ．-2018D ．12018- 5．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）．A ．2(1)2y x =-++B ．2(1)4y x =--+C ．2(1)2y x =--+D ．2(1)4y x =-++6．如图所示，在长为8cm ，宽为6cm 的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）A ．28cm 2B ．27cm 2C ．21cm 2D ．20cm 27．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB=6，点C 是优弧AB 上一点（不与A ，B 重合），则cosC 的值为（ ）A ．43B ．34C ．35D ．458．如图，Rt AOB 中，AB OB ⊥，且AB OB 3==，设直线x t =截此三角形所得阴影部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象为下列选项中的( )A ．B ．C ．D ．9．若不等式组236x m x x <⎧⎨-<-⎩无解，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ≤2 B ．m ≥2 C ．m ＜2 D ．m ＞210．下面四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（2，0），若抛物线21y x k 2=+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是 .12．如图，在3×3的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 都是格点，从C ，D ，E ，F ，G 五个点中任意取一点，以所取点及AB 为顶点画三角形，所画三角形时等腰三角形的概率是_____.13．在平面直角坐标系中，如果点P 坐标为（m ，n ），向量OP 可以用点P 的坐标表示为OP =（m ，n ），已知：OA =（x 1，y 1），OB =（x 2，y 2），如果x 1•x 2+y 1•y 2=0，那么OA 与OB 互相垂直，下列四组向量：①OC =（2，1），OD =（﹣1，2）；②OE =（cos30°，tan45°），OF =（﹣1，sin60°）；③OG =32，﹣2），OH =32，12）；④OC =（π0，2），ON =（2，﹣1）．其中互相垂直的是______（填上所有正确答案的符号）．14．有下列等式：①由a=b ，得5﹣2a=5﹣2b ；②由a=b ，得ac=bc ；③由a=b ，得a b c c =；④由23a b c c=，得3a=2b ； ⑤由a 2=b 2，得a=b ．其中正确的是_____．15．2018年3月2日，大型记录电影《厉害了，我的国》登陆全国各大院线．某影院针对这一影片推出了特惠活动：票价每人30元，团体购票超过10人，票价可享受八折优惠，学校计划组织全体教师观看此影片．若观影人数为a （a ＞10），则应付票价总额为_____元．（用含a 的式子表示）16．若关于x的方程111m xx x----=0有增根，则m的值是______．17．如图是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是_______.三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）向阳中学校园内有一条林萌道叫“勤学路”，道路两边有如图所示的路灯（在铅垂面内的示意图），灯柱BC的高为10米，灯柱BC与灯杆AB的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE的长为13.3米，从D、E两处测得路灯A的仰角分别为α和45°，且tanα=1．求灯杆AB的长度．19．（5分）问题提出（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD的中点，则∠AEB∠ACB（填“＞”“＜”“=”）；问题探究（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；问题解决（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．20．（8分）如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．求证：△ADE≌△BFE；若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．21．（10分）为提高城市清雪能力，某区增加了机械清雪设备，现在平均每天比原来多清雪300立方米，现在清雪4 000立方米所需时间与原来清雪3 000立方米所需时间相同，求现在平均每天清雪量．22．（10分）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．该商场两次共购进这种运动服多少套？如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？23．（12分）已知△ABC中，D为AB边上任意一点，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC＝∠ACB＝α，(1)如图1所示，当α=60°时，求证：△DCE是等边三角形；(2)如图2所示，当α=45°时，求证：CDDE=2；(3)如图3所示，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系：CEDE＝_____.24．（14分）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】作AE⊥BC于E，由四边形ABCD为平行四边形得AD∥x轴，则可判断四边形ADOE为矩形，所以S平行四边形ABCD＝S，根据反比例函数k的几何意义得到S矩形ADOE＝|−k|，利用反比例函数图象得到．矩形ADOE【详解】作AE⊥BC于E，如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥x轴，∴四边形ADOE为矩形，∴S平行四边形ABCD＝S矩形ADOE，而S矩形ADOE＝|−k|，∴|−k|＝1，∵k＜0，∴k＝−1．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数y ＝k x （k≠0）系数k 的几何意义：从反比例函数y ＝k x（k≠0）图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．2、C【解析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD =BC ,90DAB ABC ∠=∠=︒， 根据全等三角形的性质得到∠P =∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP；故①正确；根据勾股定理求出5,AQ ==,DFO BAQ ∠=∠直接用余弦可求出．【详解】详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD =BC ,90DAB ABC ∠=∠=，∵BP =CQ ，∴AP =BQ ， 在△DAP 与△ABQ 中, AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAP ≌△ABQ ，∴∠P =∠Q ，∵90Q QAB ∠+∠=，∴90P QAB ∠+∠=，∴90AOP ∠=，∴AQ ⊥DP ；故①正确；②无法证明，故错误．∵BP =1，AB =3，∴4BQ AP ==，5,AQ ==,DFO BAQ ∠=∠ ∴3cos cos .5AB DFO BAQ AQ ∠=∠== 故③正确，故选C．【点睛】考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高．3、C【解析】，可以估算出位于哪两个整数之间，从而可以解答本题．【详解】<<<即67故选：C．【点睛】本题考查估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小的方法．4、C【解析】【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得.【详解】2018与-2018只有符号不同，由相反数的定义可得2018的相反数是-2018，故选C.【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键.5、B【解析】把抛物线y=x2+2x+3整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再求出与y轴的交点坐标，然后求出所得抛物线的顶点，再利用顶点式形式写出解析式即可．【详解】解：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∴原抛物线的顶点坐标为（-1，2），令x=0，则y=3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），∵抛物线绕与y轴的交点旋转180°，∴所得抛物线的顶点坐标为（1，4），∴所得抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3[或y=-（x-1）2+4]．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化可以使求解更简便．6、B【解析】根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．【详解】解：依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，则矩形ABDC∽矩形FDCE，则AB BD DF DC=设DF=xcm，得到：68 = x6解得：x=4.5，则剩下的矩形面积是：4.5×6=17cm1．【点睛】本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．7、D【解析】解：作直径AD，连结BD，如图．∵AD为直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，∵AD=10，AB=6，∴BD=22106-=8，∴cos D=BDAD=810=45．∵∠C=∠D，∴cos C=45．故选D．点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．8、D【解析】Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°；再由平行线的性质得出∠OCD=∠A ，即∠AOD=∠OCD=45°，进而证明OD=CD=t ；最后根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．【详解】解：∵Rt △AOB 中，AB ⊥OB ，且AB=OB=3，∴∠AOB=∠A=45°，∵CD ⊥OB ，∴CD ∥AB ，∴∠OCD=∠A ，∴∠AOD=∠OCD=45°，∴OD=CD=t ，∴S △OCD =12×OD×CD=12t 2（0≤t≤3），即S=12t 2（0≤t≤3）． 故S 与t 之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]，开口向上的二次函数图象；故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法及二次函数的图象特征，解答本题的关键是根据三角形的面积公式，解答出S 与t 之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．9、A【解析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m 的取值范围．【详解】236x m x x <⎧⎨-<-⎩①② 由①得，x ＜m ，由②得，x ＞1，又因为不等式组无解，所以m ≤1．故选A ．【点睛】此题的实质是考查不等式组的求法，求不等式组的解集，要根据以下原则：同大取较大，同小较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10、B【解析】简单几何体的三视图．【分析】左视图是从左边看到的图形，因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆，正方体的左视图是正方形，所以，左视图是四边形的几何体是圆柱和正方体2个．故选B ．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、－2＜k ＜12。
北京市中央民族大学附中高考数学适应性试卷(5月份) 解析版
2023年北京市中央民族大学附中高考数学适应性试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出最符合题目要求的一项。
）1．（4分）已知集合，，，0，，则 {|20}A x x =-<…{2B =-1-1}(A B = )A ．，，0， B ．，0， C ．， D ．，，{2-1-1}{1-1}{2-1}-{2-1-0}答案：C 解析：【分析】根据集合交集运算法则求解 【详解】解：由已知，， {2A B =- 1}-故选：．C 2．（4分）若复数满足，则 z 34i z i ⋅=-||(z =)A B ．5 C ．7 D ．25答案：B 解析：【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解． 【解答】解：由，得， 34i z i ⋅=-34iz i-=．34|34|||||5||i i z i i --∴====故选：． B3．（4分）设，，且，则 a b R ∈0a b <<()A ．B ．C ．D ．11a b<b a a b>2a b+>2b aa b+>答案：D 解析：【分析】由不等式的基本性质，基本不等式逐一判断即可． 【解答】解：由，可得，故错误； 0a b <<11a b>A，由，可得，，， 22()()b a b a b a b a a b ab ab --+-==0a b <<0b a ->0b a +<0ab >，即，故错误； ∴0b a a b -<b aa b<B由，可得，，即错误； 0a b <<0a b ->->a b ∴-->2a b+<C由，可得，，，故正确． 0a b <<0b a >0a b >∴2b a a b +>=D 故选：． D4．（4分）设函数是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是 ()f x (0,)+∞(3)0f -=()0f x <()A ．或 B ．或{|30x x -<<3}x >{|3x x <-03}x <<C ．或 D ．或{|3x x <-3}x >{|30x x -<<03}x <<答案：B 解析：【分析】利用函数是奇函数且在内是增函数，上单调递增，利用，得（3）(0,)+∞(,0)-∞(3)0f -=f 0=，然后解不等式即可．【解答】解：是奇函数，，()f x (3)0f -=（3），解（3）．(3)f f ∴-=-0=f 0=函数在内是增函数，(0,)+∞当时，．∴03x <<()0f x <当时，， 3x >()0f x >又函数是奇函数， ()f x 当时，．∴30x -<<()0f x >当时，，3x <-()0f x <所以的解是或． ()0f x <03x <<3x <-故选：．B 5．（4分）直线被圆所截得的弦长为 :3410l x y +-=22:2440C x y x y +---=()A ．B ．4C ．D ．答案：A 解析：【分析】将圆的方程化为标准形式，可得圆心坐标及半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理，C 得解．【解答】解：圆化为标准形式为， 22:2440C x y x y +---=22(1)(2)9x y -+-=圆心，半径为3，∴(1,2)C点到直线，∴C :3410l x y +-=2=弦长为．∴=故选：．A 6．（4分）已知数列的前项和为，则 n 2*2()n S n n n N =-∈218(a a +=)A ．36B ．35C ．34D ．33答案：C 解析：【分析】前项和为，当时，，即可得出答案． n 22n S n n =-2n …1n n n a S S -=-【解答】解：，22n S n n =-当时，，∴2n …2212[(1)2(1)]23n n n a S S n n n n n -=-=-----=-则． 218(223)(2183)34a a +=⨯-+⨯-=故选：．C 7．（4分）在中，若，则一定是 ABC ∆2cos a b C =ABC ∆()A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰或直角三角形D ．等腰三角形答案：D 解析：【分析】由已知结合余弦定理进行化简可得，关系，进而可判断三角形形状． a b 【解答】解：，2222cos 22a b c a b C b ab+-==⨯化简得，b c =∴为等腰三角形； ABC ∆故选：．D8．（4分）设双曲线，的虚轴长为2．焦距为，则双曲线的渐近线方程为 22221(0x y a a b-=>0)b >()A ．B ．C ．D ．y =12y x =±y =12y x =±答案：C 解析：【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在轴上，由此可知渐近线方程为1,b c a ====x．b y x x a =±=【解答】解：由已知:， 1,b c a ====又双曲线的焦点在轴上，x∴渐近线方程为． b y x a =±=故选：．C 9．（4分）已知直线，平面，，，，则且”是“”的 m n αβm α⊂n α⊂//m β//n β//αβ()A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B 解析：【分析】根据充分条件和必要条件的定义和面面平行的判断与性质求解即可． 【解答】解：根据，，，，， m α⊂n α⊂m n P = //m β////n βαβ⇒可知“且”推不出“”， //m β//n β//αβ但“”可以推得“且”，//αβ//m β//n β∴“且”是“”的必要不充分条件． //m β//n β//αβ故选：． B10．（4分）已知函数，方程有两个实数解，分别为和，当244,2()2,2x x x f x kx k x ⎧-+=⎨->⎩…()0f x t -=1x 2x时，若存在使得成立，则的取值范围为 13t <<t 124x x +=k ()A ．B ．C ．D ．1(2答案：B 解析：【分析】作出函数图象，结合函数的对称性将问题转化为与在内2y kx k =-244y x x =-+(3,2x ∈+有交点，分离参数计算即可．【解答】解：如图所示，作出函数与的图象， ()y f x =(13)y t t =<<可知两函数交点位于两侧，∴设， 2x =122x x <<若存在使得成立， t 124x x +=即， 2112442x x t kx k -+==-又关于对称， 244y x x =-+2x =∴， 222112222244(4)4(4)4442x x x x x x t kx k -+=---+=-+==-又，13t <<∴，22244(1,3)x x -+∈∴，2(3,2x ∈即在有解， 2222442x x t kx k -+==-2(3,2x ∈+则．222224422x x k x x -+==-∈-故选：． B二、填空题。
北京市中央民族大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题
北京市中央民族大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知数列{}n a 的通项公式为22n a n n =+，则10(a = )A ．100B ．110C ．120D ．1302．双曲线2224x y -=1的焦点坐标为（ ）A ．(0,和B ．(和C ．(0,和D ．(和0) 3．抛物线22y x =的准线方程是 ( )A ．12x =B ．12y =C ．12x =-D ．12y =- 4．已知不等式20x bx c ++≤的解集是[1,2]，则b c +的值为( )A ．1-B ．1C ．2-D ．25．若a ，b 为正实数，且2a b +=，则ab 的最大值为( )A B ．1 C ．D ．26．下列结论正确的是（ ）A ．若ac bc >，则a b >B ．若22a b >，则a b >C ．若a b >,0c <，则a c b c +<+D ，则a b <7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =且2a ，42a +，5a 成等差数列，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则5(S = )A ．60B ．61C ．62D ．648．已知直线1:20l mx y m -+=与直线2:20l x my +-=的交点为Q ，椭圆22194x y +=的焦点为1F ，2F ，则12||||QF QF +的取值范围是( )A ．[4,)+∞B ．[4,6]C ．)+∞D ．二、填空题 9．双曲线2214x y -=的渐近线方程________． 10．椭圆22113x y m m+=--的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是_____． 11．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知70S <，80S >，则n =__时，n S 取得最小值．12．已知抛物线24y x =的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点(3,2)B ，则||||PB PF +的最小值为_____．13．若0x >，0y >，且131x y+=，则3x y +的最小值是________. 14．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点分别是1F 、2F ，以线段12F F 为直径的圆交双曲线于A 、B 、C 、D 四点，若A 、B 、C 、D 、1F 、2F 恰为正六边形的六个顶点，则双曲线的离心率等于_____．三、解答题15．已知等差数列{}n a 中，42a =，810a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和公式n S ．16．共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计收入()f x (单位：元）与营运天数()*x x N ∈满足()21608002f x x x =-+-. （1）要使营运累计收入高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运收入最大？17．已知点1F 、2F 是椭圆22142x y +=的焦点，P 是椭圆上一点，直线:l y x m =+．（1）求△12PF F 的周长；（2）若直线l 与椭圆相切，求m 的值；（3）当1m =时，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，求弦长||AB ．18．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-，*()n N ∈．（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若数列{}n b 满足(21)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)，且椭圆的离心率2e =． （1）求椭圆的标淮方程；（2）直线l 过点(1,0)A 且与椭圆相交于C 、D 两点，椭圆的右顶点为B ，试判断CBD ∠是否能为直角．若能为直角，求出直线l 的方程，若不行，请说明理由．20．已知数列{}n a 满足12(0)n n n a a a r r ++++=>．（1）若0r =，11a =，22a =，求3a ，4a ，2019a 及n S ；（2）数列{}n a 的前三项是等差数列，公差为d ，2a =3r ，若数列{}n b 满足11()2n n n b a -=，对于任意的正整数n ，均有1n n b b +>，求d 的范围．参考答案1．C【解析】【分析】在数列{}n a 的通项公式中，令10n =，可得10a 的值．【详解】数列{}n a 的通项公式为22n a n n =+，则21010210120a =+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查已知数列通项公式，求数列的项，考查代入法求解，属于基础题．2．B【分析】求得双曲线的a ，b ，c ，可得双曲线的焦点坐标．【详解】双曲线方程22124x y -=可得：a =2b =，c == 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线的焦点为(0)，0)．故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的焦点的坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3．C【解析】试题分析：由抛物线方程可知，1p =，焦点在x 轴正半轴，所以其准线方程为122p x =-=-．故C 正确． 考点：抛物线准线方程．4．A根据不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出b 和c 的值，再计算b c +．【详解】不等式20x bx c ++≤的解集是[1,2]，所以方程20x bx c ++=的实数根为1和2，所以1212b c+=-⎧⎨⨯=⎩，解得：3b =-，2c =； 所以321b c +=-+=-．故选：A.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查一元二次不等式与一元二次方程根的关系． 5．B【分析】由a ，b 为正实数，则2()2a b ab +≤，再验证等号成立，从而得出结论． 【详解】a ，b 为正实数，且22()2a b a b ab ++=≥⇒≤，当且仅当1a b ==成立， 因为2a b +=，所以1ab ≤.故选：B.【点睛】 本题考查基本不等式的应用，考查基本运算求解能力，求解时要注意验证等号成立的条件． 6．D【解析】试题分析：对于A 项，考查的是不等式的性质，当c 大于零时才行，所以A 不对，对于B 项，结论应该为a b >，故B 项是错的，对于C 项，应该是不等式的两边同时加上一个数，不等号的方向不变，故C 错，对于D 项涉及到的是不等式的乘方运算性质，只有D 对，故选D ．考点：不等式的性质．7．C利用等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比，然后代入等比数列的前n 项和公式得答案．【详解】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，又12a =，则22a q =，34222a q +=+，452a q =，2a ，42a +，5a 成等差数列，344422q q q ∴+=+，332(1)(1)q q q ∴+=+，由0q >，解得2q ， ∴552(12)6212S -==-． 故选：C.【点睛】本题考查等比数列通项公式、前n 项和公式、等差中项性质，考查方程思想和运算求解能力． 8．D【分析】根据题意，由直线的方程分析可得直线1l 恒过点(2,0)-，直线2l 恒过点(2,0)，且直线1l 与直线2l 相互垂直，Q 为两直线的交点，进而分析可得Q 的轨迹，设(,)Q m n ，求出椭圆的焦点坐标，分析可得用m 表示21||QF 和21||QF 的值，据此分析可得答案．【详解】 由条件可知1l 恒过点(2,0)M -，2l 恒过点(2,0)N ，且1l ，2l 垂直，所以点Q 在以O 为圆心，MN 为直径的圆上运动，设(,)Q m n ，则224m n +=，根据椭圆方程可知焦点坐标分别为1(F ，0)，2F 0)，则当Q 与1F 和2F 共线时，12||||QF QF +最短为12||F F =又因为2221||(9QF m n =+=+，2222||(9QF m n =+=-，而12||||6QF QF +≤==，当且仅当0m =，2n 时等号成立，故12||||QF QF +的取值范围是6].故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及轨迹方程的计算，分析出点Q 的轨迹是关键，属于中档题． 9．12y x =±【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】 ∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上 而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x 故答案为y=±12x【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想10．23m <<【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点所在的轴，列出不等式求解即可．【详解】椭圆22113x y m m+=--的焦点在x 轴上，130m m ∴->->， 解得：23m <<，故答案为：23m <<．【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查对方程的认识，属于基础题．11．4【分析】由等差数列的前n 项和公式，可得40a <，50a >，从而得到前4项和最小．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由7470S a =<，得40a <，188458()4()02a a S a a +==+>，故50a >， 所以前4项和最小，故答案为：4．【点睛】考查等差数列前n 项和n S 的最值，考查逻辑推理能力，求解的关键是找出前4项均小于0，从第5项开始大于0，考查基本运算求解能力．12．4【分析】过B 作BA ⊥准线，交准线于点A ，则||||PB PF +的最小值为||AB ，由此能求出||||PB PF +的最小值．【详解】抛物线24y x =的焦点是F ，∴焦点(1,0)F ，准线方程1x =-，如图，过B 作BA ⊥准线，交准线于点A ， ||||PB PF ∴+的最小值为||AB ，(||||)||134min PB PF AB ∴+==+=．故答案为：4．【点睛】本题考查两线段和的最小值的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．13．16【解析】试题分析：13333(3)()101016y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当x y=时取等号考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.141【分析】由题意可得正六边形的边长为c ，由双曲线的定义可得12||||2BF BF a -=，2c a -=，运用双曲线的离心率公式，即可得到所求值．【详解】如图所示：A 、B 、2F 、D 、C 、1F 恰为正六边形的六个顶点，12||2F F c =，可得正六边形的边长为c，1||BF ==， 由双曲线的定义可得12||||2BF BF a -=，2c a -=，即有1c e a ===．1．【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，圆与内接正六边形的关系，考查转化与化归思想的运用及运算求解能力．15．（1）26n a n =-；（2）25n S n n =-.【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出14a =-，2d =，即可得到数列{}n a 的通项公式．（2）由14a =-，2d =，直接代入数列{}n a 的前n 项和公式．【详解】（1）等差数列{}n a 中，42a =，810a =，∴1132710a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得14a =-，2d =， 4(1)226n a n n ∴=-+-⨯=-.（2）14a =-，2d =，∴数列{}n a 的前n 项和公式2(1)4252n n n S n n n -=-+⨯=-． 【点睛】 本题考查等差数列的通项公式、前n 项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力．16．（1）要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在()40,80内取值；（2）每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大.【解析】试题分析：⑴根据题意转化为()800f x >即可求出结果(2) 每天的平均营运收入表达式为()f x y x =，利用基本不等式求出结果解析：（1）要使营运累计收入高于800元，则()21800608008002f x x x >⇒-+-> ()()408004080x x x ⇒--<⇒<< 所以要使营运累计收入高于800元，营运天数应该在()40,80内取值.（2）每辆单车每天的平均营运收入为()2160800180026060202x x f x y x x x x -+-===--+≤-= 当且仅当18002x x=时等号成立，解得40x =， 即每辆单车营运40天，可使每天的平均营运收入最大.点睛：本题是道二次函数的应用题，将实际问题转为数学模型，利用数学知识来解决问题，结合二次函数的值域来求解范围问题，在解答平均最值问题时先要给出表达式，利用基本不等式求出结果17．（1）4+；（2）m =；（3）3. 【分析】（1）根据题意可知△12PF F 周长1212||||||22PF PF F F a c =++=+；（2）利用直线与椭圆相切，联立直线与椭圆方程，则△0=，求得m 的值；（3）联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系，即可求出||AB 的值．【详解】（1）由题的2a =，b =c =P 在椭圆上，所以12||||24PF PF a +==，12||2F F c == 所以△12PF F周长为4+（2）联立22142y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2234240x mx m ++-=，则△221612(24)0m m =--=，解得m =（3）当1m =时，l 方程为：1y x =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 联立221142y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得23420x x +-=， 则1243x x +=-，1223x x ⋅=-，所以12|||AB x x =-===． 【点睛】本题考查椭圆焦点三角形的周长、直线与椭圆相切、弦长计算等知识，考查运算求解能力，属于中档题．18．（1）见解析；（2）1(1)(1)n n T n =-+⋅-.【分析】（1）由21n n S a =-，推导出11a =，12n n a a -=，由此能证明{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由12n n a ，得1(21)(21)2n n n b n a n -=+=+，由此利用错位相减法能求出{}n b 的前n 项和．【详解】（1）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n S a =-，当1n =时，11121S a a =-=，解得11a =，当2n ≥时，由21n n S a =-①，得1121n n S a --=-②，①-②，得：122n n n a a a -=-，整理，得12n n a a -=，{}n a ∴是首项为1，公比为2的等比数列．（2）{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a ， 1(21)(21)2n n n b n a n -∴=+=+，{}n b ∴的前n 项和：0121325272(21)2n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋯++⋅，①1232325272(21)2n n T n =⋅+⋅+⋅+⋯++⋅，②-②，得：23132[2222](21)2n n n T n --=+⋅+++⋯+-+⋅12[12]32(21)212n n n -⋅-=+⨯-+⋅-1(12)2n n =-+-， 1(21)2n n T n ∴=+-⋅．【点睛】本题考查等比数列的证明、错位相减法求和，考查方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意求和后常数的准确性．19．（1）2214x y +=；（2）不能为直角，证明见解析. 【分析】（1）可得1b =，222314b e a =-=．22a b ==．即可得椭圆的标淮方程． （2）对直线的斜率分两种情况讨论：①当直线l 垂直x 轴时，易得CBD ∠不能为直角； ②当直线l 不垂直x 轴时，可设直线(1)y k x =-代入椭圆方程，消去y 可得到关于x 的一元二次方程，再利用反证法，假设BC BD ⊥，得到0k =与事实相矛盾，从而证明CBD ∠不能为直角.【详解】（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,1)，1b ∴=，椭圆的离心率2e =，∴222314b e a =-=． ∴2214b a =，22a b ∴==． ∴椭圆的标淮方程为：2214x y +=.（2）①当直线l 垂直x 轴时，易得C ，(1,D ．椭圆的右顶点为(2,0)B ，(BC =-，(1,2BD =--， 3104BC BD ⋅=-≠，CBD ∠是不为直角． ②当直线l 不垂直x 轴时，可设直线(1)y k x =-代入椭圆方程， 消去y 可得：2222(14)8440k x k x k +-+-=，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+， 又(2,0)B ，1(2BC x =-，1)y ，2(2BD x =-，2)y ，若CBD ∠是为直角：则22212121212(2)(2)(1)(2))()4x x y y k x x k x x k --+=+-++++ 2222222(1)(44)8(2)401414k k k k k k k+⋅-=-+⋅++=++， 解得222222(1)(44)(2)8(4)(14)0k k k k k k +--+⋅+++=0k ⇒=，不符合题意． 故CBD ∠不能为直角．【点睛】本题考查椭圆的离心率与标准方程求解、直线与椭圆的置关系、向量数量积，考查方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题． 20．（1）33a =-，41a =，20193a =-，1,313,320,33n n k S n k n k =+⎧⎪==+⎨⎪=+⎩，k ∈N ；（2）6r d <. 【分析】（1）当0r =时，利用120n n n a a a ++++=可以直接求出3a ，4a 的值，发现数列{}n a 是以3为周期的周期数列，即可求出2019a 及n S ；（2）利用数列{}n a 的前三项是等差数列，可以得出2132a a a =+，再利用已知条件求出2a 的值，依次用2a 表示出1a 与3a 代入数列{}n b 求解即可；【详解】（1）当0r =时，120n n n a a a ++++=，1230a a a ∴++=，2340a a a ++=，33a ∴=-，41a =；∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列；201933a a ∴==-；∴1,313,320,33n n k S n k n k =+⎧⎪==+⎨⎪=+⎩，k ∈N ；（2）数列{}n a 的前三项是等差数列，23r a =，∴13r a d =-，33r a d =+，11()2n n n b a -=⋅， ∴011()()323r r b d d =-⨯=-，21326r r b =⋅=，31()34124r r d b d =+⨯=+， 对于任意的正整数n ，均有1n n b b +>，∴1223b b b b >⎧⎨>⎩，即366124r r d r r d ⎧->⎪⎪⎨⎪>+⎪⎩； 0r >，∴6r d <． 【点睛】 本题考查等差数列、等比数列的通项公式求和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．。
北京市中央民族大学附中高考数学零模试卷(理科)(解析版)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！北京市中央民族大学附中高考数学零模试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|x＞1}，则A∪B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x≤﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤1}2．下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（）A．y=﹣B．y=ln|x|C．y=sinx D．y=3．在复平面内，复数，则对应的点的坐标位于第（）象限．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．执行如图的程序框图，当输入25时，则该程序运行后输出的结果是（）A．4 B．5 C．6 D．75．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．6．“a＞b”是“3a＞2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4πB．6πC．8πD．16π8．有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P时，它的另一面必须是数字2．如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P，Q，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（）A．第一张，第三张B．第一张，第四张C．第二张，第四张D．第二张，第三张二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上．. 9．向量，若，则λ= ．10．在数列{a n}中，a2=3且a n+1+2a n=0，则a1+a3的值是．11．已知抛物线y2=16x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的方程是．12．在三个数中，最小的数是．13．6个学生站成一排，学生甲与学生乙相邻，学生甲与学生丙不相邻，则不同的排法有．14．已知函数，①若a=1，f（x）的最小值是；②若f（x）恰好有2个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知函数，若函数相邻最高点间的距离为π．（1）求ω及f（x）的对称中心；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．如图，正方形ABCD和梯形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AF⊥AC，G为AD 的中点，．（1）求证：FG∥平面CDE；（2）求二面角A﹣DF﹣E的余弦值；（3）设点P是线段DE上的动点，是否存在点P使得直线BP⊥平面DEF，说明理由．17．民大附中的甲、乙两人同时参加某大学的自主招生，在申请材料中提交了某学科10次的考试成绩（满分100分），按照时间顺序记录如下：（1）根据两组数据画出两人成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两人成绩的平均值及分散程度（不要求计算具体值，直接写出结论即可）；（2）现将两人成绩分为三个等级：成绩分数[0，70] [70，90] [90，100]等级C级B级A级注：A级高于B级，B级高于C级假设两人的成绩相互独立，根据所给的数据，以事件发生的频率为相应事件发生的概率，求甲的等级高于乙的等级的概率；（3）假如你是该大学的招生老师，结合上述数据，决定应录取哪位同学，说明理由．18．已知函数f（x）=﹣2x，g（x）=alnx．（1）讨论函数y=f（x）﹣g（x）的单调区间（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围．19．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过A（a，0）且相互垂直的两条直线l1，l2，与椭圆C的另一个交点分别为P，Q，问直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点的坐标，否则，说明理由．20．若数列{A n}：a1，a2，…，a n（n≥2）满足|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，3，…，n﹣1），数列A n为G数列，记S（A n）=a1+a2+…+a n．（1）写出一个满足a1=a7=0，且S（A7）＞0的G数列A n；（2）若a1=2，n=2016，证明：G数列A n是递增数列的充要条件是a n=2017；（3）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的G数列A n，使得S（A n）=0？如果存在，写出一个满足条件的G数列A n；如果不存在，说明理由．2017年北京市中央民族大学附中高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|x＞1}，则A∪B=（）A．{x|x＞1} B．{x|x≤﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣1} D．{x|﹣1≤x≤1}【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}={x|x＜﹣1或x＞2}，B={x|x＞1}，∴A∪B={x|x＞1或x＜﹣1}．故选：C．2．下列函数中是奇函数，并且在定义域上是增函数的一个是（）A．y=﹣B．y=ln|x|C．y=sinx D．y=【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据奇函数和增函数的定义，结合函数的图象判断即可．【解答】解：对于A，在（﹣∞，0），（0，+∞）上是增函数，但在定义域上不是增函数，故不正确；对于B，是偶函数，故不正确；对于C在定义域上有增有减，故不正确；对于D，函数的图象如图：，可知是奇函数，在定义域上是增函数，故选D．3．在复平面内，复数，则对应的点的坐标位于第（）象限．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==i+1，则=1﹣i对应的点的坐标（1，﹣1）位于第四象限．故选：D．4．执行如图的程序框图，当输入25时，则该程序运行后输出的结果是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=26时，满足条件S≥n，退出循环，输出i的值为5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=25，S=0，i=1S=1，i=2，不满足条件S≥n，S=4，i=3不满足条件S≥n，S=11，i=4不满足条件S≥n，S=26，i=5满足条件S≥n，退出循环，输出i的值为5，故选：B．5．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A． B． C． D．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，直接使用点到直线的距离公式求出结果．【解答】解：点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x+y﹣1=0．由点到直线的距离公式得d==，故选B．6．“a＞b”是“3a＞2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由a＞b⇒3a＞3b，当b≤0时，3b≤2b，故a＞b”推不出“3a＞2b”，由3a＞2b推不出a＞b，当a=b时，3＞2，故“a＞b”是“3a＞2b”既不充分也不必要条件，故选：D7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4πB．6πC．8πD．16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，直观图是两个垂直相交的圆柱组合体，其体积等于以1为半径的圆为底，3+1为高的圆柱的体积，即可得出结论．【解答】解：由题意，直观图是两个垂直相交的圆柱组合体，其体积等于以1为半径的圆为底，3+1为高的圆柱的体积，即π•12•4=4π，故选A．8．有四张卡片，每张卡片有两个面，一个面写有一个数字，另一个面写有一个英文字母．现规定：当卡片的一面为字母P时，它的另一面必须是数字2．如图，下面的四张卡片的一个面分别写有P，Q，2，3，为检验此四张卡片是否有违反规定的写法，则必须翻看的牌是（）A．第一张，第三张B．第一张，第四张C．第二张，第四张D．第二张，第三张【考点】进行简单的合情推理．【分析】由于题意知，一定要翻看P，而3后面不能是Q，要查3．【解答】解：由于当牌的一面为字母P时，它的另一面必须写数字2，则必须翻看P是否正确，这样2就不用翻看了，3后面不能是Q，要查3．故为了检验如图的4张牌是否有违反规定的写法，翻看第一张，第四张两张牌就够了．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上．. 9．向量，若，则λ= 1 ．【考点】平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴2（λ+1）﹣（λ+3）=0，解得λ=1．故答案为：1．10．在数列{a n}中，a2=3且a n+1+2a n=0，则a1+a3的值是﹣．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意可得数列{a n}为以﹣2为公比的等比数列，再根据a2=3，即可求出答案．【解答】解：a2=3且a n+1+2a n=0，∴a n+1=﹣2a n，∴数列{a n}为以﹣2为公比的等比数列，∴a1+a3=+a2q=+3×（﹣2）=﹣，故答案为：﹣11．已知抛物线y2=16x的准线过双曲线的一个焦点，且双曲线的一条渐近线为，则该双曲线的方程是．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，求出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出实半轴与虚半轴的长，得到双曲线方程即可．【解答】解：抛物线y2=16x的准线x=﹣4过双曲线的一个焦点（﹣4，0），双曲线的一条渐近线为，可得b=，c=，解得a=2，b=2，所求双曲线方程为：．故答案为：．12．在三个数中，最小的数是．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性质求解．【解答】解：∵＞30=1，1=log33＞log32＞=，∴在三个数中，最小的数是．故答案为：．13．6个学生站成一排，学生甲与学生乙相邻，学生甲与学生丙不相邻，则不同的排法有192 ．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先利用捆绑法，再利用间接法，即可得出结论．【解答】解：学生甲与学生乙相邻，利用捆绑法，有A55A22=240种，学生甲与学生乙相邻，同时学生甲与学生丙相邻，有2A44=48种，所以不同的排法有240﹣48=192种，故答案为：192．14．已知函数，①若a=1，f（x）的最小值是﹣；②若f（x）恰好有2个零点，则实数a的取值范围是[﹣1，﹣]∪[0，+∞）．【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】①若a=1，分别求出当x≥1时，函数递增，可得最小值f（1）；当x＜1时，配方求得最小值，比较即可得到所求最小值；②若f（x）恰好有2个零点，讨论a=0，a＞0，a＜0，再由单调性和二次方程的根的情况，即可得到所求a的范围．【解答】解：①若a=1，当x≥1时，f（x）=log2x+1递增，可得x=1时，取得最小值1；当x＜1时，f（x）=x2+3x+2=（x+）2﹣，当x=﹣时，取得最小值﹣．综上可得，f（x）的最小值为﹣．②若f（x）恰好有2个零点，由f（x）在[1，+∞）递增，在[1，+∞）内最多一个零点，当a=0时，f（x）=0时，可得x=0，1，满足题意；当a＞0时，x≥1时，f（x）≥log21+a=a＞0，无零点；x＜1时，f（x）=（x+a）（x+2a）有两个零点，即有﹣a＜1，且﹣2a＜1，成立；当a＜0时，x≥1时，f（x）≥log21+a=a，有一个零点2﹣a；x＜1时，f（x）=（x+a）（x+2a）恰有一个零点，若为﹣a，则﹣a＜1，﹣2a≥1，且﹣a ≠2﹣a，解得﹣1＜a≤﹣；若为﹣2a，则﹣2a＜1，﹣a≥1，且﹣2a≠2﹣a，不成立．综上可得，a的范围是﹣1＜a≤﹣或a≥0．故答案为：﹣，[﹣1，﹣]∪[0，+∞）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知函数，若函数相邻最高点间的距离为π．（1）求ω及f（x）的对称中心；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．【分析】（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用函数相邻最高点间的距离推出函数的最小正周期，进而求得ω，在求出对称中心，（2）根据x的范围，确定2x+的范围，利用三角函数的性质求得函数的最大和最小值．【解答】解：（1）f（x）=4cosωxsin（ωx+）﹣2=2cosωxsinωx+2cos2ωx﹣2=sin2ωx+cosωx﹣1=2sin（2ωx+）﹣1，∵函数相邻最高点间的距离为π，∴T=π=∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）﹣1，∴2x+=kπ，k∈Z，∴x=﹣，k∈Z，∴f（x）的对称中心为（﹣，﹣1），（2）∵x∈，∴2x+∈[﹣，π]，当2x+=时，函数取得最大值为1，当2x+=﹣时，函数取得最小值为﹣216．如图，正方形ABCD和梯形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AF⊥AC，G为AD 的中点，．（1）求证：FG∥平面CDE；（2）求二面角A﹣DF﹣E的余弦值；（3）设点P是线段DE上的动点，是否存在点P使得直线BP⊥平面DEF，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取CD的中点H，连接EH，GH，证明四边形HGFE是平行四边形，推出FG ∥EH，然后证明FG∥平面CDE；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADF的法向量，平面DEF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣DF﹣E的余弦值即可．（3）存在点P使得直线BP⊥平面DEF，设=λ（1，﹣1，2）=（λ，﹣λ，2λ），P（λ，2﹣λ，2λ），=（λ﹣2，2﹣λ，2λ），利用∥，解得λ=．即可得到结果．【解答】解：（1）证明：取CD的中点H，连接EH，GH，因为G为AD的中点，可得GH∥AC，GH=AC=，∵EF∥AC，EF=，∴GHEF，∴四边形HGFE是平行四边形，∴FG∥EH，EH⊂平面CDE，FG⊄平面CDE，∴FG∥平面CDE；（2）正方形ABCD和梯形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC，AF⊥AC，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨平面ADF的法向量为：=（2，0，0），D（0，2，0），F（0，0，2），E（1，1，2），设平面DEF的法向量为：=（x，y，z）．=（0，﹣2，2），=（（﹣1，﹣1，0））即，不妨取y=1，则x=﹣1，z=1，可得=（﹣1，1，1），二面角A﹣DF﹣E的余弦值为：cosθ===．由图形可知二面角为锐角，所以二面角A﹣DF﹣E的余弦值为：．（3）由（2）可知B（2，0，0），点P是线段DE上的动点，存在点P使得直线BP⊥平面DEF，设=λ（1，﹣1，2）=（λ，﹣λ，2λ），P（λ，2﹣λ，2λ），=（λ﹣2，2﹣λ，2λ），平面DEF的法向量为：=（﹣1，1，1），可知∥，可得2﹣λ=2λ，解得λ=．说明存在P是距离E比较近的DE的一个3等分点．17．民大附中的甲、乙两人同时参加某大学的自主招生，在申请材料中提交了某学科10次的考试成绩（满分100分），按照时间顺序记录如下：（1）根据两组数据画出两人成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两人成绩的平均值及分散程度（不要求计算具体值，直接写出结论即可）；（2）现将两人成绩分为三个等级：成绩分数[0，70] [70，90] [90，100]等级C级B级A级注：A级高于B级，B级高于C级假设两人的成绩相互独立，根据所给的数据，以事件发生的频率为相应事件发生的概率，求甲的等级高于乙的等级的概率；（3）假如你是该大学的招生老师，结合上述数据，决定应录取哪位同学，说明理由．【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．【分析】（1）以十位数为茎，个位数为叶，能作出茎叶图，由茎叶图知甲的平均成绩大于乙的平均成绩，甲的离散程度大于乙的离散程度．（2）由已知得甲的10次成绩中，C级有5次，B级有3次，A级有2次，乙的10次成绩中，C级有7次，B级有2次，C级有1次，由此能求出甲的等级高于乙的等级的概率．（3）假如我是该大学的招生老师，结合上述数据，我决定应录取甲同学，理由是同学平均成绩优于乙的平均成绩．【解答】解：（1）以十位数为茎，个位数为叶，作出茎叶图，如下图：由茎叶图知甲的平均成绩大于乙的平均成绩，甲的离散程度大于乙的离散程度．（2）由已知得甲的10次成绩中，C级有5次，B级有3次，A级有2次，乙的10次成绩中，C级有7次，B级有2次，C级有1次，∴甲的等级高于乙的等级的概率p==0.39．（3）假如我是该大学的招生老师，结合上述数据，我决定应录取甲同学，理由是甲同学平均成绩大于乙的平均成绩，且甲同学达到B级和A级成绩标准的次数大于乙同学达到B级和A级成绩标准的次数．18．已知函数f（x）=﹣2x，g（x）=alnx．（1）讨论函数y=f（x）﹣g（x）的单调区间（2）设h（x）=f（x）﹣g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a＜x2﹣4x在（0，+∞）恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣2x﹣alnx，y′=x﹣2﹣==，令m（x）=（x﹣1）2﹣a﹣1，①﹣a﹣1≥0即a≤﹣1时，y′＞0，函数在（0，+∞）递增，②﹣a﹣1＜0，即a＞﹣1时，令m′（x）＞0，解得：x＞1+＞1，或x＜1﹣＜0，（舍），令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1+，故函数y=f（x）﹣g（x）在（0，1+）递减，在（1+，+∞）递增；（2）由（1）得：h′（x）=＞2，故x2﹣2x﹣a＞2x在（0，+∞）恒成立，即a＜x2﹣4x在（0，+∞）恒成立，令m（x）=x2﹣4x，（x＞0），则m（x）=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，故a＜﹣4．19．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过A（a，0）且相互垂直的两条直线l1，l2，与椭圆C的另一个交点分别为P，Q，问直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点的坐标，否则，说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的离心率e=，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值求得椭圆方程；（2）由A点坐标，当直线PQ斜率不存在时，代入椭圆方程，求得交点坐标，当直线的斜率存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得定点．【解答】解：（1）由题意可知：e==，则a=c，b2=a2﹣c2=2c2，将代入椭圆方程：，解得：c=，∴a=3，b2=6，∴椭圆C的方程；（2）由A（3，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），当PQ⊥x轴，不妨设两条直线l1，l2的斜率为1，﹣1，设l1：y=x﹣3，则，整理得：5x2﹣18x+9=0，解得：x=，x=3，直线l2：y=﹣x+3，同理可得：解得：x=，x=3，∴直线PQ与x轴交点M（，0），当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为y=k（x﹣m），代入椭圆方程：，整理得：（6+9k2）x2﹣18k2mx+（9k2m2﹣54）=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，由题意可知：•=0，则（x1﹣3，y1）（x2﹣3，y2）=0，整理得：（1+k2）x1x2﹣（3+k2m）（x1+x2）+（k2m2+9）=0，则（1+k2）×﹣（3+k2m）（）+（k2m2+9）=0，整理得：5m2﹣18m+9=0，解得：m=或m=3，（舍去）∴直线PQ是否经过定点M（，0）．20．若数列{A n}：a1，a2，…，a n（n≥2）满足|a k+1﹣a k|=1（k=1，2，3，…，n﹣1），数列A n为G数列，记S（A n）=a1+a2+…+a n．（1）写出一个满足a1=a7=0，且S（A7）＞0的G数列A n；（2）若a1=2，n=2016，证明：G数列A n是递增数列的充要条件是a n=2017；（3）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的G数列A n，使得S（A n）=0？如果存在，写出一个满足条件的G数列A n；如果不存在，说明理由．【考点】数列的应用．【分析】（1）根据题意，a1=a7=0，a2=1，a3=2，再根据|a k+1﹣a k|=1求出符合题设的G 数列A7；（2）可先证明必要性：由递增数列的定义，得到A n是首项为2，公差为1的等差数列．从而有a2016=2017；再证充分性：由新定义推出a2016≤a1+2015，又因为a1=2，a2016=2017，所以a2016=a1+2015．得证；（3）令c k=a k+1﹣a k，分别求得a2，a3，a4，…，a n，由S（A n）=a1+a2+a3+…+a n，求得S（A n），由c k=±1，1﹣c k为偶数，可得n=4m，或n=4m+1（m∈N*），分别求得G 数列A n，满足S（A n）=0的表达式．【解答】解：（1）G数列{A n}：0，1，2，1，2，1，0；（2）证明：必要性：因为G数列A n是递增数列，所以a k+1﹣a k=1（k=1，2，…，2015）．所以A2016是首项为2，公差为1的等差数列．所以a2016=2+×1=2017．充分性：由于a2016﹣a2015≤1，a2015﹣a2014≤1…a2﹣a1≤1，所以a2016﹣a1≤2015，即a2016≤a1+2015，又因为a1=2，a2016=2017，所以a2016=a1+2015．故a n+1﹣a n=1＞0（k=1，2，…，2015）即A n是递增数列．综上，结论得证；（3）令c k=a k+1﹣a k（k=1，2，…，n﹣1），则c k=±1，于是由a1=0，得a2=c1，a3=a2+c2=c1+c2，a4=a3+c3=c1+c2+c3，…a n=a n﹣1+c n﹣1=c1+c2+…+c n﹣1，故S（A n）=a1+a2+a3+…+a n，=（n﹣1）c1+（n﹣2）c2+（n﹣3）c3+…+2c n﹣2+c n﹣1，=[（n﹣1）+（n﹣2）+（n﹣3）+…+2+1]+（n﹣1）（c1﹣1）+（n﹣2）（c2﹣1）+（n﹣3）（c3﹣1）+…+2（c n﹣2﹣1）+（c n﹣1﹣1），=﹣[（n﹣1）（1﹣c1）+（n﹣2）（1﹣c2）+（n﹣3）（1﹣c3）+…+2（1﹣c n﹣2）+（1﹣c n﹣1）]．因c k=±1，故1﹣c k（k=1，2，…，n﹣1）为偶数，所以（n﹣1）（1﹣c1）+（n﹣2）（1﹣c2）+（n﹣3）（1﹣c3）+…+2（1﹣c n﹣2）+（1﹣c n﹣1）为偶数．于是要使S（A n）=0，必须为偶数，即n（n﹣1）为4的倍数，亦即n=4m，或n=4m+1（m∈N*）．（i）当n=4m（m∈N*）时，G数列A n的项存在满足：a4k﹣1=a4k﹣3=0，a4k﹣2=1，a4k=﹣1（k=1，2，…，m）时，S（A n）=0．（ii）当n=4m+1（m∈N*）时，G数列A n的项存在满足：a4k﹣1=a4k﹣3=0，a4k﹣2=1，a4k=﹣1（k=1，2，…，m），a4m+1=0时S（A n）=0．。
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第一套：满分150分2020-2021年中央民族大学附属中学初升高自主招生数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分48分）1．（6分）如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM=（）A．3：2：1 B．5：3：1C．25：12：5 D．51：24：102.（6分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②1> ；m4③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】A.0B.1C.2D.33.（6分）已知长方形的面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm，另一边的长为xcm，则y与x之间的函数图象大致是（）A. B. C. D.4.（6分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y x 2=-与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三种情况都有可能 5．（6分）若一直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径是r ，则内切圆的面积与三角形面积之比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（6分）如图，Rt △ABC 中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D 1是斜边AB 的中点，过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1，连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2，连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3，…，如此继续，可以依次得到点E 4、E 5、…、E 2013，分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3、…、△BCE 2013的面积为S 1、S 2、S 3、…、S 2013．则S 2013的大小为（ ） A.31003 B.320136 C.310073 D.67147．（6分）抛物线y=ax 2与直线x=1，x=2，y=1，y=2围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．≤a ≤1B ．≤a ≤2C ．≤a ≤1D ．≤a ≤28．（6分）如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交BD 于点02，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2．…，依此类推，则平行四边形ABC 2009O 2009的面积为（ ）A.n 25 B.n 22 C.n 31 D.n 23二．填空题：（每题7分，满分42分）9．（7分）方程组的解是 ．10．（7分）若对任意实数x 不等式ax ＞b 都成立，那么a ，b 的取值范围为 ．11．（7分）如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上一点，从A 点出发绕侧面一周，再回到A 点的最短的路线长是 ．12．（7分）有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ．13．（7分）设﹣1≤x ≤2，则|x ﹣2|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之差为 ．14．（7分）两个反比例函数y=，y=在第一象限内的图象如图所示．点P 1，P 2，P 3、…、P 2007在反比例函数y=上，它们的横坐标分别为x 1、x 2、x 3、…、x 2007，纵坐标分别是1，3，5…共2007个连续奇数，过P 1，P 2，P 3、…、P 2007分别作y 轴的平行线，与y=的图象交点依次为Q 1（x 1′，y 1′）、Q 1（x 2′，y 2′）、…、Q 2（x 2007′，y 2007′），则|P 2007Q 2007|= ．三．解答题：（每天12分，满分60分）15.(12分).已知正实数,,x y z 满足：1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.16．（12分）如图，ABC △是等腰直角三角形，CA CB =，点N 在线段AB 上（与A 、B 不重合），点M 在射线BA 上，且45NCM ∠=︒。
求证：222MN AM BN =+。
17．（12分）在0与21之间插入n 个正整数1a ，2a ，…，n a ，使其满足12021n a a a <<<<<L 。
若1，2，3，…，21这21个正整数都可以表示为0，1a ，2a ，…，n a ，21这2n +个数中某两个数的差。
求n 的最小值。
18．（12分）如图，已知BC 是半圆O 的直径，BC=8，过线段BO 上一动点D ，作AD ⊥BC 交半圆O 于点A ，联结AO ，过点B 作BH ⊥AO ，垂足为点H ，BH 的延长线交半圆O 于点F ． （1）求证：AH=BD ；（2）设BD=x ，BE •BF=y ，求y 关于x 的函数关系式；（3）如图2，若联结FA 并延长交CB 的延长线于点G ，当△FAE 与△FBG 相似时，求BD 的长度．19.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．（1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数y=的图象与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BD＜BC），当AD=2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数y=的图象于点F，分别联结OE、OF，当△OEF∽△OBE 时，请直接写出满足条件的所有k2的值．第一套：满分150分2020-2021年中央民族大学附属中学初升高自主招生数学模拟卷参考答案一.选择题：1.【解答】解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．2.【答案】C 。
解答：①∵一元二次方程实数根分别为x 1、x 2，∴x 1=2，x 2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误。
②一元二次方程（x －2）（x －3）=m 化为一般形式得：x 2－5x ＋6－m=0，∵方程有两个不相等的实数根x 1、x 2，∴△=b 2－4ac=（－5）2－4（6－m ）=4m ＋1＞0，解得：1m 4>-。
故结论②正确。
③∵一元二次方程x 2－5x ＋6－m=0实数根分别为x 1、x 2，∴x 1＋x 2=5，x 1x 2=6－m ∴二次函数y=（x －x 1）（x －x 2）+m=x 2－（x 1＋x 2）x ＋x 1x 2＋m=x 2－5x ＋（6－m ）＋m=x 2－5x ＋6=（x －2）（x －3）。
令y=0，即（x －2）（x －3）=0，解得：x=2或3。
∴抛物线与x 轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确。
综上所述，正确的结论有2个：②③。
故选C 。
3.【答案】B 。
【分析】∵根据题意，得xy=20，∴()20y=x>0,y>0x。
故选B 。
4.【答案】B 。
【分析】如图，在y x 2=-中，令x=0，则y=－2 ；令y=0，则x=2 ，∴A （0，－2），B （2，0）。
∴OA=OB= 2 。
∴△AOB是等腰直角三角形。
∴AB=2，过点O作OD⊥AB，则OD=BD=12AB=12×2=1。
又∵⊙O的半径为1，∴圆心到直线的距离等于半径。
∴直线y=x- 2 与⊙O相切。
故选B。
5.【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点，设直角三角形的两条直角边是a，b．则直角三角形的面积是；又直角三角形内切圆的半径r=，则a+b=2r+c，所以直角三角形的面积是r（r+c）；因为内切圆的面积是πr2，则它们的比是．【解答】解：设直角三角形的两条直角边是a，b，则有：S=，又∵r=，∴a+b=2r+c，将a+b=2r+c代入S=得：S=r=r（r+c）．又∵内切圆的面积是πr2，∴它们的比是．故选B．【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半，能够把直角三角形的面积分割成三部分，用内切圆的半径进行表示，是解题的关键．6.解答：解：∵Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴AC==BC=6，∴S△ABC=AC•BC=6，∵D1E1⊥AC，∴D1E1∥BC，∴△BD1E1与△CD1E1同底同高，面积相等，∵D1是斜边AB的中点，∴D1E1=BC，CE1=AC，∴S1=BC•CE1=BC×AC=×AC•BC=S△ABC；∴在△ACB中，D2为其重心，∴D2E1=BE1，∴D2E2=BC，CE2=AC，S2=××AC•BC=S△ABC，∴D3E3=BC，CE2=AC，S3=S△ABC…；∴S n=S△ABC；∴S 2013=×6=．故选C．7.【分析】此题主要考数形结合，画出图形找出范围，问题就好解决【解答】解：由右图知：A（1，2），B（2，1），再根据抛物线的性质，|a|越大开口越小，把A点代入y=ax2得a=2，把B点代入y=ax2得a=，则a的范围介于这两点之间，故≤a≤2．故选D．【点评】此题考查学生的观察能力，把函数性质与正方形连接起来，要学会数形结合．8.解答：解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5，∴平行四边形ABC1O1的面积为，∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分，∴平行四边形ABC2O2的面积为×=，…，依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为．故选B．二、填空题9．【分析】根据式子特点，设x+1=a，y﹣1=b，然后利用换元法将原方程组转化为关于a、b的方程组，再换元为关于x、y的方程组解答．【解答】解：设x+1=a，y﹣1=b，则原方程可变为，由②式又可变化为=26，把①式代入得=13，这又可以变形为（+）2﹣3 =13，再代入又得﹣3=9，解得ab=﹣27，又因为a+b=26，所以解这个方程组得或，于是（1），解得；（2），解得．故答案为和．【点评】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，需要同学们仔细掌握．10．【分析】分a=0，a≠0两种情况分析．【解答】解：∵如果a≠0，不论a大于还是小于0，对任意实数x不等式ax＞b都成立是不可能的，∴a=0，则左边式子ax=0，∴b＜0一定成立，∴a，b的取值范围为a=0，b＜0．【点评】本题是利用了反证法的思想11．【分析】先根据﹣1≤x≤2，确定x﹣2与x+2的符号，在对x的符号进行讨论即可．【解答】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣2≤0，x+2＞0，∴当2≥x≥0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x﹣x+x+2=4﹣x；当﹣1≤x＜0时，|x﹣2|﹣|x|+|x+2|=2﹣x+x+x+2=4+x，当x=0时，取得最大值为4，x=2时取得最小值，最小值为3，则最大值与最小值之差为1．故答案为：1【点评】本题重点考查有理数的绝对值和求代数式值．解此类题的关键是：先利用条件判断出绝对值符号里代数式的正负性，再根据绝对值的性质把绝对值符号去掉，把式子化简，即可求解．12．【分析】要求出|P2007Q2007|的值，就要先求|Qy2007﹣Py2007|的值，因为纵坐标分别是1，3，5 …，共2007个连续奇数，其中第2007个奇数是2×2007﹣1=4013，所以P2007的坐标是（Px2007，4013），那么可根据P点都在反比例函数y=上，可求出此时Px2007的值，那么就能得出P2007的坐标，然后将P2007的横坐标代入y=中即可求出Qy2007的值．那么|P2007Q2007|=|Qy2007﹣Py2007|，由此可得出结果．【解答】解：由题意可知：P2007的坐标是（Px2007，4013），又∵P2007在y=上，∴Px2007=．而Qx2007（即Px2007）在y=上，所以Qy2007===，∴|P2007Q2007|=|Py2007﹣Qy2007|=|4013﹣|=．故答案为：．【点评】本题的关键是找出P点纵坐标的规律，以这个规律为基础求出P2007的横坐标，进而求出Q2007的值，从而可得出所求的结果．13．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题．【解答】解：∵图中扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=∴n=120°即扇形的圆心角是120°∴弧所对的弦长是2×3sin60°=3【点评】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．【分析】首先由勾股定理求出AC的长，设AC的中点为E，折线与AB交于F．然后求证△AEF∽△ABC求出EF的长．【解答】解：如图，由勾股定理易得AC=15，设AC的中点为E，折线FG与AB交于F，（折线垂直平分对角线AC），AE=7.5．∵∠AEF=∠B=90°，∠EAF是公共角，∴△AEF∽△ABC，∴==．∴EF=．∴折线长=2EF=．故答案为．【点评】本题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似，全等等知识点．三、解答题15.【解析】（1）解：由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=， 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=，222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=，∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=，1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠Q ，()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++，∴原式=1.x y zxyz++= （2）证明：由（1）得计算过程知xyz x y z ∴=++，又Q ,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++ 9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++ 222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++- 222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注：222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】16.【答案】如图，作点A 关于直线MC 的对称点D ，连结DA 、DM 、DC ，DN ，则MDC MAC △≌△。