离散程度指标
衡量一组数据分散程度的指标
衡量一组数据分散程度的指标
常用的衡量数据分散程度的指标有：
1. 方差：方差是一组数据与其平均值之间差异的平方的平均值。
它可以反映数据的波动程度，方差越大，数据的波动程度越大。
2. 标准差：标准差是方差的平方根，它表示数据与平均值之间的距离的平均值。
标准差越大，数据的分散程度越大。
3. 范围：范围是数据的最大值与最小值的差，它可以衡量数据的整体分布范围。
范围越大，数据的分散程度越大。
4. 四分位差：四分位差是数据按大小排序后，第75%位置的数与第25%位置的数之差。
它可以衡量数据分布的离散程度。
5. 变异系数：变异系数是标准差与均值之比，用于比较不同数据集之间的相对分散程度。
变异系数越大，数据的相对分散程度越大。
6. 百分位数：百分位数可以将整个数据集划分为多个等分，可衡量数据在不同分位数上的分布情况。
例如，中位数是50%分位数，它可以表示数据的中间位置。
这些指标可以用来比较不同数据集的分散程度，选择适合的指标可以更好地理解数据的分布情况。
统计学中的中心值和离散程度
统计学中的中心值和离散程度统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在进行统计分析时，我们常常关注数据的中心值和离散程度。
中心值是指一组数据的平均值、中位数和众数，用于表示数据集的集中趋势。
离散程度则是用来描述数据集中数值之间的差异程度。
本文将详细介绍在统计学中对中心值和离散程度的概念和计算方法。
一、中心值在统计学中，中心值是对数据集中数值的集中程度进行度量的一种方法。
以下是常用的中心值指标：1. 平均值：平均值是一组数据的总和除以观测数量，用于表示数据集的平均水平。
计算平均值的公式为：平均值 = 总和 / 观测数量例如，某班级学生的期末考试成绩为90、85、95、80和100，则平均值为(90+85+95+80+100) / 5 = 90分。
2. 中位数：中位数是将一组数据按照大小顺序排列后，位于中间位置的数值。
对于偶数个观测值的数据集，中位数是中间两个数值的平均值。
求中位数的步骤如下：1) 对数据进行排序；2) 若数据数量为奇数，中位数为排序后位于中间位置的数值；3) 若数据数量为偶数，则中位数为排序后中间两个数值的平均值。
以数据集{3, 5, 7, 9, 11}为例，中位数为7。
3. 众数：众数是一组数据中出现次数最多的数值。
一个数据集可以有一个或多个众数，也可以没有众数。
二、离散程度离散程度是衡量数据集中数值分布差异程度的一种方法。
以下是常用的离散程度指标：1. 范围：范围是一组数据中最大值和最小值之间的差异。
计算范围的公式为：范围 = 最大值 - 最小值例如，某公司某月销售额最高为100万元，最低为10万元，则该月销售额的范围为100 - 10 = 90万元。
2. 方差：方差是一组数据与其平均值之差的平方和的平均值。
方差用于衡量数据分布对均值的偏离程度。
计算方差的步骤如下：1) 计算每个观测值与平均值之差；2) 将每个差值平方；3) 计算平方和；4) 将平方和除以观测数量。
方差的计算可以使用公式表示，也可以使用计算器或专业统计软件进行。
衡量离散程度的特征
衡量离散程度的特征
离散程度是用来衡量数据集中数据点分散程度的特征之一。
它可以帮助我们了解数据的分布情况以及数据的变异程度。
在统计学中，离散程度通常用方差、标准差和极差等指标进行度量。
方差是衡量数据集中数据点离平均数的距离的平方的平均值，它描述了数据的离散程度。
方差越大，说明数据点离平均数的距离越远，数据集的离散程度越高。
标准差是方差的平方根，它具有与原数据集相同的单位，并且比方差更易于解释。
较大的标准差表示数据点分散程度较大，较小的标准差表示数据点较为集中。
极差是数据集中最大值和最小值之间的差值。
它简单地描述了数据的范围，但无法提供关于数据的更多信息。
此外，离散程度还可以使用四分位数和箱线图来描述。
四分位数代表了数据集中的25%、50%和75%位置的数值，可以通过计算四分位数的差异来衡量数据的离散程度。
箱线图可以直观地展示数据的分布情况，包括数据的中位数、四分位数、异常值等。
总之，通过以上不同的特征，我们可以客观地衡量数据的离散程度，了解数据的分布情况和变异程度，为进一步的数据分析和决策提供有效的参考。
评价数据离散程度的指标
评价数据离散程度的指标标准差标准差(Standard Deviation),也称均方差(mean square error),是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用b表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差(Standard Deviation )，在概率统计中最常使用作为统计分布程度(statistical dispersion )上的测量。
标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,……Xn (皆为实数)，其平均值为仏公式如图1.1汽i=i图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
]N应£(咬-“)2i—1简单来说，标准差是一组数据—平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合｛0, 5, 9, 14｝和｛5, 6, 8, 9｝其平均值都是7,但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。
评价数据离散程度的指标
评价数据离散程度的指标文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]标准差标准差（Standard Deviation），也称（mean square error），是各数据偏离的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差（Standard Deviation），在统计中最常使用作为程度（statistical dispersion）上的。
标准差定义为的，反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为），其平均值为μ，公式如图1.图1标准差也被称为，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说，标准差是一组数据分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的。
标准差数值越大，代表回报远离过去值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
评价数据离散程度的指标
标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差(mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数,它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的,标准差未必相同。
标准差(Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量.标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度.测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位. 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1，X2,X3,.。
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.Xn(皆为实数），其平均值为μ,公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0, 5，9, 14} 和{5, 6，8，9｝其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较）,则认为测量值与预测值互相矛盾.这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确.标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细,代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。
离散程度衡量指标
离散程度衡量指标离散程度衡量指标是用来评估一组数据或变量的分散程度的指标。
在统计学和数据分析中，离散程度是一个非常重要的概念，可以帮助我们理解数据的分布情况、变量之间的关系以及数据的可信度。
在本文中，我将从简单的离散程度衡量指标开始介绍，然后逐渐深入探讨更复杂的指标和概念。
通过阅读本文，你将对离散程度的概念和衡量指标有一个清晰的了解，并能够灵活运用它们进行数据分析和实践。
1. 范围和极差范围是最简单的离散程度衡量指标，它表示一组数据中最大值和最小值之间的差距。
范围越大，代表数据的离散程度越高。
2. 方差和标准差方差是衡量数据分散程度的常用指标，它表示数据与其均值之间的差距的平方的平均值。
标准差是方差的平方根，代表数据的离散程度相对于其均值的大小。
方差和标准差越大，代表数据的离散程度越高。
3. 均方差均方差是衡量预测值与实际观测值之间的差距的指标。
在统计学中，我们常常需要使用模型进行数据预测，而均方差可以帮助我们评估预测的准确程度。
均方差越大，代表预测值与实际观测值之间的差距越大，说明数据的离散程度越高。
4. 四分位数和箱线图四分位数是将数据按照大小划分为四等分的指标，可以帮助我们了解数据的分布情况。
箱线图是基于四分位数的可视化工具，可以将数据的离散程度直观地展示出来。
箱线图的上下边界代表数据的上下四分位数，中位线代表数据的中位数，离群点代表数据中的异常值。
如果箱线图的箱子较长，离散程度较小；如果箱线图的箱子较短，离散程度较大。
5. 离散系数离散系数是衡量数据离散程度的相对指标，它是标准差与均值之比。
离散系数越大，代表数据的离散程度越高。
6. 相对离散度相对离散度是衡量两个随机变量之间相对离散程度的指标。
它可以帮助我们理解两个变量之间的关系以及数据的可信度。
相对离散度越大，代表两个变量之间的离散程度越高。
通过对这些离散程度衡量指标的介绍，我们可以发现离散程度的概念和应用是十分广泛的。
无论是在统计学、机器学习还是数据分析领域，离散程度都是一个重要的概念。
离散程度指标
目录
• 引言 • 离散程度指标的种类 • 离散程度指标的计算方法 • 离散程度指标的应用场景 • 离散程度指标的优缺点 • 离散程度指标的未来发展
01 引言
什么是离散程度指标
• 离散程度指标是用于衡量一组数据分散程度的统计量。它反 映了数据分布的离散程度，即各数值与其平均值之间的偏差。 常见的离散程度指标包括方差、标准差和四分位距等。
计算四分位数范围
总结词
四分位数范围是第三四分位数与第一四分位数之差，用于衡量数据的离散程度和异常值 的影响。
详细描述
四分位数范围计算公式为 $Q_R = Q_3 - Q_1$，其中 $Q_1$ 是第一四分位数， $Q_3$ 是第三四分位数。四分位数范围越大，数据的离散程度越高。
04 离散程度指标的应用场景
离散程度指标的重要性
描述数据分布特征
离散程度指标可以帮助我们了解数据分布的分散情况，从 而更好地描述数据的特征。
比较不同数据集
通过比较不同数据集的离散程度指标，可以分析它们之间 的差异，为进一步的数据分析和处理提供依据。
决策制定
在许多领域中，离散程度指标对于决策制定具有重要意义 。例如，在金融领域中，分析股票价格的离散程度可以帮 助投资者判断市场的波动性和风险。
01
离散程度指标在金融 分析中的应用
金融分析师使用离散程度指标来评估 投资组合的风险和波动性，以制定更 加稳健的投资策略。
02
离散程度指标在金融 分析中的重要性
离散程度指标对于金融分析至关重要 ，因为它们可以帮助投资者更好地理 解投资组合的风险特性，从而做出更 加明智的投资决策。
03
离散程度指标在金融 分析中的具体应用
离散程度指标在数据分析中的具体应用
评价数据离散程度的指标
评价数据离散程度的指标标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。
标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
标准计算公式假设有一组数值（皆为实数），其平均值为：此组数值的标准差为：样本标准差在真实世界中，除非在某些特殊情况下，找到一个总体的真实的标准差是不现实的。
大多数情况下，总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。
从一大组数值当中取出一样本数值组合，常定义其样本标准差：样本方差s是对总体方差σ的无偏估计。
s中分母为n- 1 是因为样本的自由度为n-1 ，这是由于存在约束条件。
这里示范如何计算一组数的标准差。
例如一群儿童年龄的数值为{ 5, 6, 8, 9 } ：第一步，计算平均值第二步，计算标准差σ=σ=σ=σ=此为标准差离散度标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精确度的重要指标。
说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。
我们使用方法去检测它，但检测方法总是有误差的，所以检测值并不是其真实值。
离散趋势的指标有几种
离散趋势的指标有几种离散趋势是指一组数据的离散程度或变异程度。
不同的离散趋势指标可以用来衡量数据的分散情况，常见的包括极差、方差、标准差和离散系数等，下面将详细介绍这些指标的计算方法和应用场景。
1. 极差（Range）极差是指数据集中最大值与最小值之间的差异，是最简单的离散趋势指标。
计算方法为：极差=最大值-最小值。
极差的优点是计算简单，直观反映数据的全距。
然而，极差只考虑了数据集的最大和最小值，忽略了中间值的分布情况，容易受异常值的干扰，不能很好地衡量数据的分散程度。
2. 方差（Variance）方差是指数据与其平均数之差的平方和的平均数，用来描述数据分布的离散程度。
计算方法为：方差= Σ（Xi-平均数）^2 / n。
方差的计算步骤较为繁琐，但可以较好地描述数据的分散情况。
若方差较大，则说明数据分布较离散，反之则较为集中。
然而，方差的计算仅考虑了数据与平均数的偏离程度，没有考虑偏离方向，且方差值的单位为原数据的平方，不易直观理解。
3. 标准差（Standard Deviation）标准差是方差的平方根，用来度量数据的离散程度。
标准差对偏离平均值的测量结果进行了均方根处理，更符合实际情况。
计算方法为：标准差= 方差的平方根。
标准差具有方差的优点，能够有效地衡量数据的分散情况，并且计算结果的单位与原数据一致，较易理解。
标准差越大，说明数据分布越分散，反之则集中。
然而，标准差同样只考虑了数据与平均数的偏离程度，对对称分布和非对称分布的数据有不同的反应。
4. 离散系数（Coefficient of Variation）离散系数是标准差与平均数之比，用来消除不同数据集单位的影响，衡量数据的相对离散程度。
计算方法为：离散系数= 标准差/ 平均数×100%。
离散系数可以用来比较不同单位或数量级的数据集的离散程度。
离散系数越大，说明数据分散程度越大，反之则越小。
然而，离散系数对于非正态分布的数据和有偏差的数据不适用。
表示离散程度的指标
表示离散程度的指标
1. 方差：是数据离均值的平方差的平均值。
2. 标准差：方差的平方根，衡量数据距离均值的平均距离。
3. 四分位数：将数据分成四份，25%数据位于第一份（下四分位数Q1），50%数据位于第二份（中位数），75%数据位于第三份（上四分位数Q3）。
4. 极差：最大值与最小值的差。
5. 百分位数：将数据分成100份，P%数据位于前P%中。
6. 熵：一种用于衡量数据不确定性的度量，熵越高，数据离散程度越大。
7. 偏态系数：衡量数据分布的偏斜程度，正偏斜为偏态系数大于0，负偏斜为偏态系数小于0，正常分布偏态系数为0。
8. 峰度：衡量数据分布的陡峭程度，高峰度表示分布陡峭。
评价数据离散程度的指标
标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。
标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
评价数据离散程度的指标
标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。
标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
评价数据离散程度的指标
标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差(mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数,它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的,标准差未必相同。
标准差(Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量.标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度.测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位. 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1，X2,X3,.。
.。
.Xn(皆为实数），其平均值为μ,公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0, 5，9, 14} 和{5, 6，8，9｝其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较）,则认为测量值与预测值互相矛盾.这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确.标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细,代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。
评价数据离散程度的指标
标准差标准差(Standard Deviation),也称均方差(mean square error),就是各数据偏离平均数的距离的平均数,它就是离均差平方与平均后的方根,用σ表示。
标准差就是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的,标准差未必相同。
标准差(Standard Deviation),在概率统计中最常使用作为统计分布程度(statistical dispersion)上的测量。
标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质:为非负数值, 与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差,及一个子集合样品数的标准差之间,有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,、、、、、、Xn(皆为实数),其平均值为μ,公式如图1、图1标准差也被称为标准偏差,或者实验标准差,公式如图2。
图2简单来说,标准差就是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差,代表大部分数值与其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
例如,两组数的集合{0, 5, 9, 14} 与{5, 6, 8, 9} 其平均值都就是7,但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中,做重复性测量时,测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值就是否符合预测值,测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较),则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解,因为如果测量值都落在一定数值范围之外,可以合理推论预测值就是否正确。
标准差应用于投资上,可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大,代表回报远离过去平均数值,回报较不稳定故风险越高。
相反,标准差数值越细,代表回报较为稳定,风险亦较小。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验,A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。
常用的离散趋势指标包括
常用的离散趋势指标包括
以下常用的离散趋势指标：
1. 平均数（Mean）：一组数据中所有数值的总和除以数据的个数。
2. 中位数（Median）：将一组数据按照大小排序，找出中间的那个数值，如果是偶数个数，则取中间两个数的平均值。
3. 众数（Mode）：一组数据中出现频率最高的数值。
4. 极差（Range）：一组数据中最大值与最小值之间的差值。
5. 四分位数（Quartiles）：将一组数据按照大小排序，分为四个等分，分别是第一、第二（中位数）、第三四分位数，用于衡量数据的分布。
6. 方差（Variance）：一组数据与其平均数之差的平方的平均值，用于度量数据的离散程度。
7. 标准差（Standard Deviation）：方差的平方根，用于度量数据的离散程度。
8. 百分位数（Percentile）：将一组数据按照大小排序，将数据分为100等分，某个百分位数表示有百分之多少的数据小于或等于它。
9. 变异系数（Coefficient of Variation）：标准差与平均数之比，用于衡量数据的相对离散程度。
10. 偏度（Skewness）：度量数据分布的偏斜程度，负偏度表示左偏，正偏度表示右偏，0表示无偏。
11. 峰度（Kurtosis）：度量数据分布的峰态程度，正峰度表示尖峭，负峰度表示平坦，0表示正态分布。
卫生统计学3——离散程度描述指标
2
x
2
( x ) / n
2
n 1
上式中的分子部分称为离均差平方和， 它描述了每个x相对于 x 分布的集中程度， 若数据x分布相对于 x 很集中，则分子部 分很小；分子部分很大时，则意味着数据 分布分散。 ( x x ) 2 0 ，所以样本 因为对所有x,均有 含量n越大，分子越大。为消除n大小不同 的影响，将离均差平方和除以（n-1)即得方 差。
为消除n大小不同的影响将离均差平方和除以n1即得方故方差既描述了所有数据的离散程度又可用于不同样本含量数据离散程度的比较
第三节
描述离散趋势的统计指标
描述定量资料的分布特征仅有平均指标是不 够的，还需要有描述离散程度的指标。假如 一班的5名同学成绩 60，70，80，90，100 平均80分 R=40 二班的5名同学成绩 70，75，80，85，90 平均80分 R=20 三班的5名同学成绩 65，75，80，85，95 平均80分 R=30
描述离散程度的指标有多种：极差、方差、标 准差、四分位间距、变异系数。 一、极差和四分位间距 1、极差（Range,全距） R=max-min 缺点是：只反映最大和最小值的变异，不 够全面；容易受n大小的影响，不稳定。
2、四分位间距(quartile range,Q)
（1）百分位数：表示一组观察值按
方差为一描述离散程度的指标，既有优点 也有缺点，如5名儿童的体重方差
n 1 (26 30 ) 2 (28 30 ) 2 (34 30 ) 2 10 (k g) 2 5 1 s2 ( x x )2
2、标准差(standard deviation，s ) 是描述 正态分布的定量变量离散程度的指标。标 准差越大，说明个体变异越大。 为克服方差的单位是平方，与均数不符的缺 点，将S2开方即为标准差S
评价数据离散程度的指标
标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。
标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
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480 490 500 510 520
2500
490 495 500 505 510
2500
120
40
20
均数
500
500
500
甲
乙 丙
常用统计指标：极差、四分位数间距、方差、标准 差和变异系数。 ----描述离散趋势的特征数
医学统计学
一、极差(Range） (全距)
1、极差的定义
极差也称为全距，用R表示，即一组资料中， 最大值与最小值之差。
医学统计学
例4 某市大气中SO2的日平均浓度见表2.5，求四分位差。
n 2 5 % 3 6 1 2 5 % 9 0 . 2 5 n 7 5 % 3 6 1 7 5 % 2 7 0 . 7 5
医学统计学
2 5 % 3 6 1 2 5 % 9 0 . 2 5 解 n
医学统计学
离散程度指标
医学统计学
（2）已知频数表计算百分位数
P x 所在组段的下限值 +
组距
n x % 至该下限的累积频数
所在组段的频数
nx % f L P L i x x f x
医学统计学
第三章 离散趋势的统计描述
3.1 衡量变异程度的指标
主要内容
一、极差
Q Q Q 6 . 9 U LP 7 5P 2 5 7
医学统计学
3、四分位差的特点 1）反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，
说明中间的数据越集中，其数值越大，说明中间 的
数据越分散。 2）不受极端值影响，与极差相比较稳定。
4、应用
1）主要用于等级分组资料，也适用于计量资料， 但不适用于计数资料。 2) 特别适用于偏态分布的资料;同类资料比较,Q越 大意味着数据间变异越大。
乙患者平均偏差
| 1 6 4 1 6 2 . 4 | | 1 6 0 1 6 2 . 4 | | 1 6 6 1 6 2 . 4 | 5 2 . 3 2 ( m m H g )
医学统计学
例6 已知120名正常成年男子的血清铁含量的频数 分布表，求其平均偏差。
120名正常成年男子血清铁含量的频数分布表 fx 组段 组中值(x) 频数(f )
n 2 5 % f L P L i 2 5 x f x 3 6 1 2 5 % 3 9 5 0 2 5 6 9 . 1 6 7 n 7 5 % 3 6 1 7 5 % 2 7 0 . 7 5 n 7 5 % f L P L i 7 5 x f x 3 6 1 7 5 % 2 3 3 1 2 52 5 1 4 6 4 5
(1 n ) 7 5 % ( 1 2 0 1 ) 7 5 % 9 0 . 7 5 Q P 4 0 ( 4 2 4 0 ) 0 . 7 5 4 1 . 5 U 7 5
Q Q Q P P 4 1 . 5 3 . 3 5 3 8 . 1 5 U L 7 5 2 5
1、定义 统计学上把分位数P25、P50 和P75统称为四分 位数。P25称为下四分位数，用QL表示， P75称为
上四分位数，用QU 表示 。
四分位数间距也称四分位差，用Q表示，它是 上四分位数与下四分位数之差。 2、计算
Q QQP P U L 7 5 2 5
医学统计学
例3 对某医院细菌性痢疾治愈者的住院天数统计， 120名患者的住院天数从小到大排列如下，试求四 分位数间距。
医学统计学
例5 对甲乙2名高血压患者连续观察5天，测得的收 缩压分别为：
甲患者mmHg 乙患者mmHg 162 164 145 160 178 163 142 159 186 (X 1 162.6) 166 (X2 1 6 2 .4)
解 甲患者平均偏差
| 1 6 2 1 6 2 . 6 | | 1 4 5 1 6 2 . 6 | | 1 8 6 1 6 2 . 6 | 5 1 5 . 5 2 ( m m H g )
2、极差的计算
（ R X X ） R X X 最 大 值 最 小 值 m a x m i n
例2
对例1中甲、乙、丙三人红细胞计数变异分析。
5 2 04 8 0 4 0 , R 5 6 04 4 0 1 2 0 , R 2 1
R 5 1 04 9 0 2 0 . 3
医学统计学
3、极差的特点 1）计算简单易于理解，但易受极端值影响； 2）只利用了最大、最小值，所以不能反映组内 其它数据的变异度。 3）不能准确描述出数据的分散程度。
4、应用
1）常用于比较计量单位相同的数据，全距越 大，观测值的离散程度越大。
2）适用于计量资料的对称分布。
医学统计学
二、四分位数间距(quartile range )
6~ 8~ 10~ 12~ 14~ 16~ 18~ 20~ 22~ 24~ 26~ 28~30 1 3 6 8 12 20 27 18 12 8 4 1
患 者 住院天数 1 2… 28 29 30 31… 89 90 91 …
1 2 2 2 3 3 4 4 5 4 0 4 0 4 2 4 5
解
Байду номын сангаас
(1 n ) 2 5 % ( 1 2 0 1 ) 2 5 % 3 0 . 3 5
Q P ( 4 3 ) 0 . 3 5 3 . 3 5 L 2 53
二、四分位数间距
三、方差 四、变异系数
医学统计学
例1 设甲、乙、丙三人，采每人的耳垂血，然后红 细胞计数，每人数5个计数盘，得结果如下（万/mm3）
盘编号 1 甲 乙 丙
580 560 540 520 500 480 460 440 420
2
3 4 5 合计
440 460 500 540 560
2500
医学统计学
三、方差(variance)
（一）平均偏差 1、定义 平均偏差也称平均离差，它是各变量值与其均 值离差绝对值的平均数。 2、计算 未分组数据计算平均差公式为： 平均偏差
|XX| n
分组数据计算平均差公式为：
平均偏差
| x X | f n
其中 x , f 为组中值 和组频数。