6.4数据的离散程度
6.4数据的离散程度
6.4数据的离散程度第一课时同步练习1．某次考试5个班级的平均成绩如下（单位：分）53，62，63，48，54则这5个班级的平2.已知一组数据：-1，x，0，1，-2的平均数是03．在方差的计算公式()()()22221210120202010s x x x⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦中，数字10和20分别表示的意义可以是( ) ．A．数据的个数和方差B．平均数和数据的个数C．数据的个数和平均数D．数据组的方差和平均数4．已知样本甲的平均数=60，方差=0.05，样本乙的平均数=60，方差=0.1，那么这两组数据的波动情况为( ) ．A．甲、乙两样本波动一样大B．甲样本的波动比乙样本大C．乙样本的波动比甲样本大D．无法比较两样本波动的大小5．人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验, 班级平均分和方差如下：平均分都为110，甲、乙两班方差分别为340、280，则成绩较为稳定的班级为( ) ．A．甲班B．乙班C.两班成绩一样稳定D．无法确定观察与思考6.甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？7．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：（1）根据表格中的数据，分别计算甲、乙的平均成绩．（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．6.4数据的离散程度第二课时同步练习1.下列说法正确的是（）．A．两组数据的极差相等，则方差也相等B．数据的方差越大，说明数据的波动越小C．数据的标准差越小，说明数据越稳定D．数据的平均数越大，则数据的方差越大2.某校一年级学生的平均年龄为7岁，方差为3，5年后该校六年级学生的年龄中()．A．平均年龄为7岁，方差改变B．平均年龄为12岁，方差不变C．平均年龄为12岁，方差改变D．平均年龄不变，方差不变3.某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况用图表示如下：对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确．．．的是（）．A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B.甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C.甲运动员得分的平均数大于乙运动员得分的平均数D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定4.“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“+”，不足标准重量的记作“-”，他记录的结果是0.5+，-，1+，那么这6袋大米重量-，0.5-，0，0.50.5．．的平均数和极差分别是（）．A．0，1.5 B．29.5，1 C． 30，1.5 D．30.5，0观察与思考5．某班实行小组量化考核制，为了了解同学们的学习情况，王老师对甲、乙两个小组连续六周的综合评价得分进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表：（1）请根据上表中的数据完成下表；（注：方差的计算结果精确到0.1）（2）根据综合评价得分统计表中的数据，请在图中画出甲、乙两组综合评价得分的折线统计图；（3）由折线统计图中的信息，请分别对甲、乙两个小组连续六周的学习情况做出简要评价．走进生活6．某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派5名学生参加，按团体总分多少排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀.下表是成绩最好的甲班和乙班5名学生的比赛数据（单位：个）：经统计发现两班总数相等.此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考.请你回答下列问题：（1）计算两班的优秀率.（2）求两班比赛成绩的中位数.（3）两班比赛数据的方差哪一个小？（4）根据以上三条信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班级？简述你的理由.6.4数据的离散程度第一课时1.15分2.23.C4.C5.B6.解：甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为:1X =72+82+101=85⨯⨯⨯甲（），1X =71+83+91=85⨯⨯⨯乙（）()()()22221=278288108=1.25s ⎡⎤-+-+-⎣⎦甲()()()22221=7838898=0.45s ⎡⎤-+-+-⎣⎦乙∵2s 甲<2s 乙，∴乙同学的射击成绩比较稳定。
2024年北师大版八年级上册教学设计第六章6.4 数据的离散程度
课时目标1.能够理解一组数据的极差、方差、标准差,并能用它们对数据的离散程度作出判断.2.根据描述计算一组数据极差、方差、标准差的大小,对实际问题做出解释,培养学生解决问题的能力.3.通过实验和探索,体会用三个统计量表示数据波动情况的合理性,并能用它们解决有关实际问题.4.通过解决现实情境中的问题,提高学生数学统计的素养,用数学的眼光看世界.通过小组活动,培养学生的合作意识和能力.学习重点了解极差、方差、标准差的意义,并根据它们的概念计算一组数据的极差、方差、标准差.学习难点利用方差解决实际问题,具体问题具体分析.课时活动设计情境引入为了提高农副产品的国际竞争力,一些行业协会对农副产品的规格进行了划分.某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿,现有2个厂家提供货源,它们的价格相同,鸡腿的品质也相近.质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿,它们的质量(单位:g)如下:甲厂:75,74,74,76,73,76,75,77,77,74,74,75,75,76,73,76,73,78,77,72;乙厂:75,78,72,77,74,75,73,79,72,75,80,71,76,77,73,78,71,76,73,75;把这些数据表示成下图:(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量吗?(2)求甲、乙两厂被抽取的鸡腿的平均质量,并在图中分别画出纵坐标等于平均质量的直线.(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是多少?最小值又是多少?它们相差几克?从乙厂抽取这20只鸡腿质量的最大值又是多少?最小值呢?它们相差几克?(4)如果只考虑鸡腿的规格,你认为外贸公司应购买哪家厂家的鸡腿?说明你的理由.解:(1)能,估计均为75 g.(2)甲的平均质量=(72+73×3+74×4+75×4+76×4+77×3+78)÷20=75(g),乙的平均质量=(71×2+72×2+73×3+74+75×4+76×2+77×2+78×2+79+80)÷20=75(g).(3)从甲厂抽取的这20只鸡腿质量的最大值是78 g,最小值72 g,它们相差78-72=6(g);从乙厂抽取这20只鸡腿质量的最大值是80 g,最小值71 g,它们相差80-71=9(g).(4)如果只考虑鸡腿的规格,我认为外贸公司应购买甲厂的鸡腿.因为甲厂鸡腿质量相差不大,比较均匀.教师归纳:一组数据中最大数据与最小数据的差称作极差.极差是刻画数据离散程度的一个统计量.设计意图:让学生感受到平均值的局限性,让原有的知识与新的问题情境产生碰撞,使学生能够更好地理解概念.探究新知如果丙厂也参与了竞争,从该厂抽样调查了20只鸡腿,它们的质量数据如下图:(1)丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少?(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距?分别求出甲、丙两厂的20只鸡腿质量与其相应平均数的差距.(3)在甲、丙两厂中,你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求?为什么?分析:可以大致先估计丙厂这20只鸡腿质量的平均数,然后再具体计算.刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距时,教师引导学生可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数的差的绝对值刻画.解:(1)平均数为(72×3+73×2+74×4+75×2+76×3+77×3+78×2+79×1)÷20=75.1(g),极差为79-72=7(g).(2)可分别用这20只鸡腿的质量与其平均数差的绝对值刻画.甲厂的20只鸡腿的质量与其平均数差的绝对值(单位:g)依次为0,1,1,1,2,1,0,2,2,1,1,0,0,1,2,1,2,3,2,3.丙厂相应的数据为0.1,1.1,2.1,2.9,3.1,0.9,1.1,0.9,1.1,0.1,1.1,3.1,2.1,3.1,2.9,0.9,1.9,1.9,1.9,3.9.(3)一般认为,甲厂的鸡腿质量更符合要求.这可以从统计图直观看出,也可以用上面所说的差距的和来说明.教师归纳:所以,数据的离散程度除了极差,还可以用方差或标准差来刻画.1.方差(s2)是各个数据与平均数差的平方的平均数,即s2=1n [(x1-x-)2+(x2-x-)2+...+(x n-x-)2],2.标准差就是方差的算术平方根.而一般说来,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定.问题延伸:计算从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差.[(72−75)2+(73−75)2×3+(74−解:s2=12075)2×4+(75-75)2×4+(76-75)2×4+(77-75)2×3+(78-75)2]=2.5.拓展补充:用计算器求标准差的步骤:1.按“MODE”键启动统计功能;2.再输入“2”之后就可以输入数据,每输入一个数据按“M+”键,如是重复.3.输入完毕点“SHIFT”键,按数字提示选择“2”,再按“=”键,就得到了标准差.设计意图:通过丙厂与甲、乙两厂的对比,发现有时仅有极差还难以精确地刻画一组数据的离散程度,从而引入刻画一组数据离散程度的另外两个量:方差和标准差.典例精讲例某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛,对他们进行了8次测试,测试成绩(单位:环)如下表:(1)根据表格中的数据,计算出甲的平均成绩是9环,乙的平均成绩是9环.(2)分别计算甲、乙两名运动员8次测试成绩的方差.(3)根据(1)(2)计算的结果,你认为推荐谁参加全国比赛更合适?并说明理由.分析:计算甲和乙的方差,方差越小越稳定,更适合参加全国比赛.[(10−9)2×3+(8−9)2×3+(9−9)2×2]=0.75,解:(2)甲的方差=18[(10−9)2×4+(9−9)2+(8−9)2×2+(7-9)2]=1.25.乙的方差=18(3)推荐甲参加全国比赛更合适.因为9=9,0.75<1.25,甲、乙的平均成绩相同,但甲的方差小,所以甲比较稳定,故推荐甲参加全国比赛更加合适.教师归纳:1.在解决实际问题时,方差可以反应数据的波动大小,方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.可以用样本的方差估计总体的方差,但不能认为方差越小就表示这组数据越好,而是认为方差越小表示这组数据越稳定,至于数据的好坏,则要根据具体的情况进行具体分析.2.运用方差解决实际问题的一般步骤:(1)计算数据样本平均数.(2)两组数据的平均数相等或相近时,利用样本方差来估计总体数据的波动情况.(3)在实际应用中,不是数据越稳定就越好,要根据实际情况进行具体分析.设计意图:通过学生计算方差的练习,理解方差对数据波动的影响程度,能够对实际问题做出具体分析,培养学生解决问题的能力.巩固训练1.观察下列统计图,回答问题.(1)从下面两幅图中,你能分别“读”出甲、乙两队员射击成绩的平均数吗?(2)通过估计比较甲、乙两队员射击成绩的方差的大小,说说你的估计过程.(3)分别计算甲、乙两队员射击成绩的方差,看看刚才自己的估计是否正确.解:(1)甲10次射击成绩的平均数=(6+3×7+2×8+3×9+10)÷10=8(环),乙10次射击成绩的平均数=(6+2×7+4×8+2×9+10)÷10=8(环).(2)乙的方差<甲的方差,因为乙的射击成绩中,位于平均数的次数多,故乙的方差小.[(6-8)2+3×(7-8)2+2×(8-8)2+3×(9-8)2+(10-8)2]=1.4;(3)甲队的方差=110[(6-8)2+2×(7-8)2+4×(8-8)2+2×(9-8)2+(10-8)2]=1.2.乙队的方差=110所以甲的方差是1.4,乙的方差是1.2,估算正确.2.甲、乙、丙三人的射击成绩如下图:三人中,谁的射击成绩更好,谁更稳定?你是怎么判断的?解:甲的平均数为7.9,方差为3.29;乙的平均数为7.9,方差为0.49;丙的平均数为5.2,方差为0.36.从平均成绩看,甲和乙的成绩比较好;从方差看,乙和丙发挥的都比甲稳定,但结合平均成绩看,乙的水平更高.设计意图:通过练习,及时巩固本节课所学内容.并考查学生的知识应用能力,使教师及时了解学生对刻画数据离散程度的三个量极差、标准差和方差的理解情况,以便教师及时对学生进行矫正.课堂小结1.本节课描述数据的离散程度学习了几个统计量?2.在解决实际问题时,方差的作用与一般步骤是什么?3.一组数据方差越小,这组数据就越稳定,是不是方差越小表示这组数据越好?设计意图:通过小结,总结回顾本节课学习内容,帮助学生梳理归纳、巩固所学知识.课堂8分钟.1.教材第151,152页习题6.5第1,2题,第155,156页习题6.6第1,2,3题.2.七彩作业.教学反思。
6.4 数据的离散程度(课件)北师大版数学八年级上册
感悟新知
知2－讲
特别提醒 方差、标准差是描述一组数据离散程度的量，方差、
标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据越稳 定；方差、标准差越大，这组数据的离散程度越大，这 组数据波动越大.
感悟新知
方差与平均数的变化规律：
样本数据
x1，x2，…，xn x1+a， x2+a，…， xn+a kx1，kx2，…，kxn kx1+a， kx2+a，…， kxn+a
感悟新知
特别提醒
知3－讲
◆用计算器求一组数据的标准差时，由于计算器型
号的不同，按键顺序也会有所不同，注意参考说
明书.
◆计算器一般不具有求方差的功能，可以先求出标
准差，再平方即可求出方差.
感悟新知
知3－练
例5 用计算器求数据7，7，7，8，5，9，7，7，6，7的
标准差、方差.
解题秘方：按照计算器求标准差的步骤先求出标
解：因为6，4，a，3，2 的平均数是5， 所以(6＋4＋a＋ 3＋2)÷5＝5，解得a＝10. 所以s2＝15 [(6－5)2＋(4－5)2＋(10－5)2＋(3－5)2＋ (2－5)2]＝8.
2-1.若样本 x1，x2，…，xn的 方 差 为 2，则样本 2x1+5，2x2+5， …，2xn+5 的方差是( D )
位： cm)的 平 均数与方差为 ͞x甲 = ͞x丙 =13 cm， ͞x
乙 = ͞x丁 =15 cm，s2甲= s 2丁 = 3.6 ， s 2乙 =s2丙=6.3.
则麦苗又 高又整齐的是D(
)
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
感悟新知
6.4 数据的离散程度
6.4 数据的离散程度1．极差定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差＝最大值－最小值．极差反映了这组数据的波动范围．谈重点 极差(1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量，极差能够反映一组数据的波动范围；(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；(3)极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大；(4)一组数据的极差越小，这组数据就越稳定．【例1】 在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170,162,155,160,168(单位：cm)，则这组数据的极差是__________cm.解析：根据极差的概念，用最大值减去最小值即可，170－155＝15(cm)．答案：152．方差(1)定义：设有n 个数据x 1，x 2，x 3，…，x n ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x 1－x )2，(x 2－x )2，(x 3－x )2，…，(x n －x )2，用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．(2)方差的计算公式：通常用s 2表示一组数据的方差，用x 表示这组数据的平均数．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋…＋(x n －x )2]． (3)标准差：标准差就是方差的算术平方根．谈重点 方差(1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；(3)一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；(4)一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k 2倍．【例2】 已知两组数据分别为：甲：42,41,40,39,38；乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5.计算这两组数据的方差．解：x 甲＝15×(42＋41＋40＋39＋38)＝40， s 2甲＝15×[(42－40)2＋…＋(38－40)2]＝2. x 乙＝15×(40.5＋40.1＋40＋39.9＋39.5)＝40， s 2乙＝15×[(40.5－40)2＋…＋(39.5－40)2]＝0.104.3．极差与方差(或标准差)的异同相同之处：(1)都是衡量一组数据的波动大小的量； (2)一组数据的极差、方差(或标准差)越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定．不同之处：(1)极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差(或标准差)反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算比较复杂．【例3】 已知甲、乙两支仪仗队队员的身高如下(单位：cm)：甲队：178,177,179,178,177,178,177,179,178,179乙队：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180(1)将下表填完整：(2)；(3)这两支仪仗队队员身高的极差、方差分别是多少？解：(1)甲队从左到右分别填：0,3，乙队从左到右分别填：4,2；(2)178,178；(3)经过计算可知，甲、乙两支仪仗队队员身高数据的极差分别为2 cm和4 cm，方差分别是0.6和1.8.4.运用方差解决实际问题方差是反映一组数据的波动大小的统计量，通过计算方差，可以比较两组数据的稳定程度，进而解决一些实际问题．对于一般两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，因此从平均数看或从方差看，各有长处．方差的计算可用一句话“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的程度．方差的单位是原数据的平方单位，方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，例如长得是否整齐一致、是否稳定等都是波动体现．点技巧方差反映波动情况在实际问题中，如果出现要求分析稳定性的问题，因为方差是反映数据的波动大小的量，所以一般就要计算出各组数据的方差，通过方差的大小比较来解决问题．【例4】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次，记录如下：(1)(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．解：(1)x甲＝18(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85，x乙＝18(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85.这两组数据的平均数都是85.这两组数据的中位数分别为83,84.(2)派甲参赛比较合适．理由如下：由(1)知x甲＝x乙，s2甲＝18[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，s2乙＝18[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41，∵x甲＝x乙，s2甲＜s2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．5．运用用样本估计总体的思想解决实际问题统计学的基本思想是用样本估计总体，它主要研究两个基本问题：一是如何从总体中抽取样本，二是如何通过对所抽取的样本进行计算和分析，从而对总体的相应情况作出推断．用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差．方差是反映已知数据的波动大小的一个量．在日常生活中，有时只用平均数、中位数和众数难以准确地分析一组数据时，就要用方差来评判．但是并不是方差越小越好，要根据问题的实际情况灵活运用数据分析问题，作出正确的判断．注：在解决问题或决策时，应运用统计思想，搞清楚特殊和一般的关系，具体问题具体对待．全方位、多角度地分析与评判是关键．【例5】某运动队欲从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全省射击比赛，该运动队预先对这两名选手进行了87解：x 甲＝18(9.6＋9.7＋…＋10.6)＝10.0，x 乙＝18(9.5＋9.9＋…＋9.8)＝10.0.s 2甲＝0.12，s 2乙＝0.102 5. 结果甲、乙两选手的平均成绩相同，s 2甲＞s 2乙.乙的方差小，波动就小，似乎应该选乙选手参加比赛．但是就这个问题而言，我们不能仅看平均成绩和方差就妄下结论．在这里平均成绩和方差不是最重要的，重要的是看他们的发展潜力或比赛时的竞技状态．从甲、乙两选手的最后四次成绩看，甲的状态正逐步回升，成绩越来越好，而乙明显不如甲的状态好．所以从这个角度看，应选甲选手参加比赛更好．。
6.4-数据的离散程度
练一练
甲队：178 177 179 179 178 178 177 178
177 179
乙队：178 177 179 176 178 180 180 178
176 178
哪支仪仗队更为整齐？你是怎么判断的？
解：甲、乙两队队员的身高的平均数都是 178cm；极差分别是2cm和4cm；方差分别 是0.6和1.8；因此，甲仪仗队更为整齐。
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72 乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75 把这些数据表示成下图：
问题
质量/g 80
78
质量/g 80
78
76
76
74
74
72
72
70 甲厂
70 乙厂
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽取鸡腿的平
6.4. 数据的离散程度
问题
为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会 对农副产品的规格进行了划分，某外贸公司要出口 一批规格为75g的鸡腿．现有2个厂家提供货源，它 们的价格相同，鸡腿的品质也相近．质检员分别从 甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，它们的 质量(单位:g)如下： 甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
练一练
1.甲、乙、丙三人的射击成绩如下图：
环数 10
8 6 4 2 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲 乙 丙
次数
三人中，谁射击成绩更好，谁更稳定？ 你是怎么判断的？
练一练
2.某校从甲乙两名优秀选手中选一名选手参加全 市中学生田径百米比赛 (100米记录为12.2秒，通 常情况下成绩为12.5秒可获冠军)。该校预先对这 两名选手测试了8次，测试成绩如下表：
北师大版数学八年级上册6.4数据的离散程度教学设计
4.结合网络资源，了解其他衡量数据离散程度的统计量，如变异系数等，并尝试比较它们之间的异同。
要求：撰写一份简短的学习报告，介绍所了解的统计量及其计算方法，并分析其在实际问题中的应用。
5.针对本节课的学习内容，进行自我反思，从知识掌握、学习方法、合作交流等方面进行评价，总结自己的学习收获和不足之处，为下一节课的学习做好准备。
6.教学评价方面，采用多元化评价方式，关注学生的过程性表现，如课堂参与、小组合作、课后作业等，全面评估学生的学习效果。
7.结合课后实践活动，让学生在实际操作中运用所学知识，提高学生的应用意识和实践能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师出示一张某班级学生身高的数据表，引导学生观察数据分布的特点，提问：“从这张表中，你能发现什么？这些数据有什么规律？”
2.通过具体的实例，演示方差、标准差的计算过程，让学生理解这些统计量在实际问题中的应用。
3.教师强调方差、标准差在描述数据波动程度方面的重要性，并指出它们在数据分析中的价值。
4.学生动手练习计算方差、标准差，教师巡回指导，解答学生的疑问。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组发放一张含有数据表格的练习纸，要求学生计算数据离散程度。
2.学生通过观察，可能会发现身高数据分布较广，ຫໍສະໝຸດ 的学生身高较高，有的学生身高较低。
3.教师继续提问：“如何描述这些数据的波动情况？是否存在一个指标来衡量数据的离散程度？”
4.学生思考、讨论，教师引导过渡到本节课的内容：数据的离散程度。
（二）讲授新知
1.教师讲解数据离散程度的定义，解释方差、标准差的含义和计算方法。
3.教师选取部分学生的作业进行展示，分析解题思路，强调注意事项。
【教案】6.4数据的离散程度(第1课时)
第六章数据的分析4．数据的离散程度（第1课时）总体说明：本节课共有两课时，主要让学生在具体的情境中，逐渐理解极差、方差、标准差等概念及其计算方法，领悟极差、方差、标准差都是刻画一组数据的离散程度，理解一组数据的稳定性与极差、方差、标准差等数值的大小相关．一、学生知识状况分析学生的技能基础：学生已经学习过平均数、中位数等几个刻画数据的“平均水平”的统计量，具备了一定的数据处理能力和初步的统计思想，但学生对一组数据的波动情况并不了解，它们是否稳定，稳定的依据是什么，学生缺乏直观和理性的认识．学生活动经验基础：在以往的统计课程学习中，学生经历了大量的统计活动，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，有了一定的活动经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析本节课在学生在有了初步的统计意识，并能对数据进行相应的处理和分类的基础上，又安排学生怎样对数据进行分析，力图使学生在统计意识和方法上再上一个台阶。
通过对现实生活中的某外贸公司对几个不同的厂家鸡腿的质量进行分析，引出极差、方差、标准差等相关概念，从而培养学生的统计应用能力。
为此，本节课的教学目标是：1. 知识与技能：了解刻画数据离散程度的三个量度极差、标准差和方差，能借助计算器求出相应的数值。
2. 过程与方法：经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程，通过实例体会用样本估计总体的统计思想，培养学生的数学应用能力。
3. 情感与态度：通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系。
三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：前置练习；第二环节：情境引入；第三环节：合作探究；第四环节：运用；第五环节：小结；第六环节：布置作业。
第一环节：前置练习1、某校八年级五个班的学生人数分别为： 54，56，49，51，50人.求这五个班级的平均人数.2、数据-1，0，1， 3 ， 2，2，2，1的众数是__________；中位数是_________.第二环节：情境导入某中学田径队的甲、乙两名运动员在8次百米跑训练中，成绩如下表： 5255051495654=++++甲乙两位同学的成绩是一样的吗？谁的更好呢？1、请同学们根据上表信息完成下表：2、小亮说：“甲、乙两名运动员的训练成绩的平均数、中位数、众数对应相同，因此他们的成绩一样.”你认为这种说法合适吗？第三环节：合作探究平均数、众数、中位数，都是数据的集中趋势，但是在这道题中，仅仅了解数据的集中趋势是不够的，那么怎样来衡量他们的成绩呢？？思考：怎样衡量数据的波动范围呢？利用折线统计图，探究数据的离散程度。
6.4数据的离散程度课件北师大版数学八年级上册
于是可估计株高较整齐的小麦品种是________. 【解析】因为这两组数据的平均数相同,所以比较方差, 方差越小,株高越整齐. 答案：甲品种
4.八年级某班的五个同学每人投掷铅球一次,测得成绩如 下(单位:m):5,6,9,7,8,这组数据的方差是_______.
79
80
78
Байду номын сангаас79
77
78
76
77 76
75
75
74
74
73
73
72
72
71
71
0
5
10
15
20
25 0
甲厂
5
10
15
20
25
丙厂
问题7：在甲、丙两厂中，写出每个鸡腿质量与平均数
之间差的绝对值，你有什么发现？
79
80
78
79
77
78
76
77 76
75
75
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73
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71
71
0
5
10
15
20
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、人放勇生眼气就前通像方往卫，天生只堂纸要，，我怯没们懦事继通的续往时，地候收狱尽获。量的20少季:33扯节2。就0:3在230前:2353方72.。01:432.302:.02724.1074T.12u40e.s27d0.1a24y02,T0Juu.e7lys.1d14a4。y,,2J0u2ly0年147, 月201240日星期二二〇二〇年七月十 四日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3320:33:257.14.2020Tuesday, July 14, 2020
6.4数据的离散程度2
(4)历届比赛表明，成绩达到596cm就很可能夺冠， 你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
选甲去 如果历届比赛表明，成绩达到610cm就能打破记录， 你认为为了打破记录Байду номын сангаас选谁参加这项比赛？
选乙去
我们知道，一组数据的方差越小，这 组数据就越稳定，那么，是不是方差越小 就表示这组数据越好？
6.4. 数据的离散程度（2）
数据的离散程度除了可以用极差表示，还可以用方差或标准 差表示． 方差:各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这批数据的方差. 标准差：就是方差的算术平方根.
1
S2= n [ (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 ]
讨论:1.数据比较分散的分布在平均值附近,方差值怎样? 2.数据比较集中的分布在平均值附近,方差值怎样? 3.方差的大小与数据的波动性大小有何关系?
的日温差较大，B地的日温差较小。
某校从甲、乙两名优秀选手中选一名选手参加全市中学生运动
会跳远比赛。该校预先对这两名选手测试了10次，测试成绩如下
表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
选手甲的成绩(cm) 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
选手乙的成绩(cm） 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
结论:方差越大,数据的波动越大 方差越小数据的波动越小
如图是某一天A、B两地的气温变化图，请回答下列问题：
(1)这一天A、B两地的平均气温分别是多少？ A地的平均气温是20.42℃， B地的平均气温是21.35℃； (2)A地这一天气温的极差、方差分别是多少？B地呢？ A地的极差是9.5℃，方差是7.76，B地的极差是6℃，方差是2.78； (3)A、B两地的气候各有什么特点？A、B两地的平均气温相近，但A地
6.4数据的离散程度(第一课时)教学设计2024-2025学年北师大版数学八年级上册
- 《统计学基础》：介绍了统计学的基本概念、原理和方法，包括数据的收集、处理和分析，其中涉及方差、标准差等离散程度的度量。
- 《生活中的统计学》：通过生活中的实例，展示了统计学在各个领域的应用，让学生了解统计学的实用性和广泛性。
- 《数据可视化》：介绍了如何利用图表、图像等可视化手段展示数据的特征和规律，包括离散程度的相关图表。
学具准备
多媒体
课型
新授课
教法学法
讲授法
课时
第一课时
步骤
师生互动设计
二次备课
教学资源
1. 硬件资源：多媒体教学设备、投影仪、黑板、计算器。
2. 软件资源：教学课件、统计软件（如Excel）、数学学科软件。
3. 课程平台：学校教学管理系统、课堂互动平台。
4. 信息化资源：电子教材、教学视频、在线统计图表工具。
学情分析
八年级学生在知识层面，已具备基本的数学运算能力和数据收集、整理、描述的能力，掌握了平均数的概念及其应用。在能力方面，他们具有一定的逻辑思维和问题解决能力，但对方差和标准差的深入理解及实际应用尚属初步阶段。素质方面，学生的合作意识和探究精神逐渐增强，但个别学生在自主学习能力和习惯上存在差异。
学生在前期的学习中，对统计图表的绘制和使用有一定的实践经验，但对于数据的离散程度及其意义的理解可能还不够深入。此外，部分学生在数学学习中可能存在畏惧心理，对复杂计算和抽象概念接受度不高，这可能会影响他们对本节课内容的理解和掌握。
在观察环节，我发现学生在小组讨论时积极参与，互相交流，通过讨论加深对方差和标准差的理解。但在课堂测试环节，部分学生在计算方差时出现了一些错误，尤其是在公式的应用上。
针对这些问题，我在课后进行了认真的作业批改和点评，对学生的作业进行了详细的反馈。在作业中，我不仅纠正了学生的错误，还给出了一些改进的建议，鼓励学生继续努力，提高自己的计算能力和数据分析能力。
北师大版八年级上册数学《6.4 数据的离散程度》教学课件
15 6.76
14 2.56
11 1.96
求平方和 9.2 15.2
S 2 1 [ ( x - x ) 2 ( x - x ) 2 ( x - x ) 2 ( x - x ) 2 ( x - x ) 2 ]
51
2
3
4
5
计算可得：
小明5次测试成绩的标准差为 1.84；
小兵5次测试成绩的标准差为 3.04.
80
79
78
77 76
平均数: x丙 75(g)
75
74 73
极差: 79 72 7( g )
72
71
0
5
10
15
20
25
丙厂
（1）丙厂这20只鸡腿质量的平均数和极差分别是多少？
(2)如何刻画丙厂这20只鸡腿质量与其平均数的差距？分别求出甲、 丙两厂的20只鸡腿质量与其平均数的差距.
(3)在甲、丙两厂中你认为哪个厂的鸡腿质量更符合要求?为什么？
数学上，数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画.
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数,
即 s 2 1 n x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2
其中，是xx1,,x2,……，xn的平均数，s2是方差，而标准差就是方差
的算术平方根.
一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据就越稳定 .
某外贸公司要出口一批规格为75 g的鸡腿，现有2 个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿品质相近.
质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样调查了20只鸡腿，质量 （单位：g）如下： 甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72 乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
北师大版八年级数学上册《6.4 数据的离散程度(2)》公开课课件
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/7/222021/7/22Thur sday, July 22, 2021
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选手甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
选手乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
(1)甲、乙的平均成绩分别是多少？
解：(1) x甲 601.6cm,
x乙 599.3cm.
பைடு நூலகம்
巩固练习
2、2012年8月6日，我国选手吴敏霞、何姿分别获 得伦敦奥运会女子三米板跳水冠和亚军，获得前6 名的选手的决赛成绩如下：
吴敏霞 (中国) 何姿(中国)
劳拉桑切斯(墨西哥) 卡格诺托(意大利) 沙林斯特拉顿(澳大利亚)
阿贝尔(加拿大)
第一跳 79.50 76.50 75.50 76.50 70.50 66.00
•
新知归纳
数据的比较： 两组数据可以从平均数、极差、方差或标准
差等方面进行比较。
合作交流
甲、乙、丙三人的射击成绩如图所示，三人 中，谁的射击成绩更好？谁更稳定？你是怎么判 断的？
范例讲解 例1 、某校从甲、乙两名跳远运动员中选一人参加 一项比赛。在最近的10次选拔赛中，他们的成绩 (单位:cm)如下：
选手甲 585 596 610 598 612 597 604 600 613 601
选手乙 613 618 580 574 618 593 585 590 598 624
6.4数据的离散程度例题与讲解
4 数据的离散程度1．极差定义：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差，即极差＝最大值－最小值．极差反映了这组数据的波动范围．谈重点 极差(1)极差是最简单、最便于计算的一种反映数据波动情况的量，极差能够反映一组数据的波动范围；(2)在对一组数据的波动情况粗略估计时经常用到极差；(3)极差仅仅反映了数据的波动范围没有提供数据波动的其他信息，且受极端值的影响较大；(4)一组数据的极差越小，这组数据就越稳定．【例1】 在一次体检中，测得某小组5名同学的身高分别是170,162,155,160,168(单位：cm)，则这组数据的极差是__________cm.解析：根据极差的概念，用最大值减去最小值即可，170－155＝15(cm)．答案：152．方差(1)定义：设有n 个数据x 1，x 2，x 3，…，x n ，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x 1－x )2，(x 2－x )2，(x 3－x )2，…，(x n －x )2，用它们的平均数来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差．(2)方差的计算公式：通常用s 2表示一组数据的方差，用x 表示这组数据的平均数．s 2＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋(x 3－x )2＋…＋(x n －x )2]． (3)标准差：标准差就是方差的算术平方根．谈重点 方差(1)方差是用来衡量一组数据的波动大小的重要的量，方差反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)对于同类问题的两组数据，方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；(3)一组数据的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变；(4)一组数据的每一个数据都变为原来的k 倍，则所得的一组新数据的方差将变为原数据方差的k 2倍．【例2】 已知两组数据分别为：甲：42,41,40,39,38；乙：40.5,40.1,40,39.9,39.5.计算这两组数据的方差． 解：x 甲＝15×(42＋41＋40＋39＋38)＝40， s 2甲＝15×[(42－40)2＋…＋(38－40)2]＝2. x 乙＝15×(40.5＋40.1＋40＋39.9＋39.5)＝40， s 2乙＝15×[(40.5－40)2＋…＋(39.5－40)2]＝0.104.3．极差与方差(或标准差)的异同相同之处：(1)都是衡量一组数据的波动大小的量；(2)一组数据的极差、方差(或标准差)越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定． 不同之处：(1)极差反映的仅仅是数据的变化范围，方差(或标准差)反映的是数据在它的平均数附近波动的情况；(2)极差的计算最简单，只需要计算数据的最大值与最小值的差即可，而方差的计算比较复杂．【例3】 已知甲、乙两支仪仗队队员的身高如下(单位：cm)：甲队：178,177,179,178,177,178,177,179,178,179乙队：178,179,176,178,180,178,176,178,177,180(1)(2)；(3)这两支仪仗队队员身高的极差、方差分别是多少？解：(1)甲队从左到右分别填：0,3，乙队从左到右分别填：4,2；(2)178,178；(3)经过计算可知，甲、乙两支仪仗队队员身高数据的极差分别为2 cm 和4 cm ，方差分别是0.6和1.8.4.运用方差解决实际问题方差是反映一组数据的波动大小的统计量，通过计算方差，可以比较两组数据的稳定程度，进而解决一些实际问题．对于一般两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的一般水平，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小，因此从平均数看或从方差看，各有长处．方差的计算可用一句话“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的程度．方差的单位是原数据的平方单位，方差反映了数据的波动大小，在实际问题中，例如长得是否整齐一致、是否稳定等都是波动体现．点技巧 方差反映波动情况在实际问题中，如果出现要求分析稳定性的问题，因为方差是反映数据的波动大小的量，所以一般就要计算出各组数据的方差，通过方差的大小比较来解决问题．【例4】 某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的(1)(2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人参加合适？请说明理由．解：(1)x 甲＝18(95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78)＝85， x 乙＝18(83＋92＋80＋95＋90＋80＋85＋75)＝85. 这两组数据的平均数都是85.这两组数据的中位数分别为83,84.(2)派甲参赛比较合适．理由如下：由(1)知x 甲＝x 乙，s 2甲＝18[(95－85)2＋(82－85)2＋(88－85)2＋(81－85)2＋(93－85)2＋(79－85)2＋(84－85)2＋(78－85)2]＝35.5，s2乙＝18[(83－85)2＋(92－85)2＋(80－85)2＋(95－85)2＋(90－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(75－85)2]＝41，∵x甲＝x乙，s2甲＜s2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．5．运用用样本估计总体的思想解决实际问题统计学的基本思想是用样本估计总体，它主要研究两个基本问题：一是如何从总体中抽取样本，二是如何通过对所抽取的样本进行计算和分析，从而对总体的相应情况作出推断．用样本估计总体是统计的基本思想，正像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或考察本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差．方差是反映已知数据的波动大小的一个量．在日常生活中，有时只用平均数、中位数和众数难以准确地分析一组数据时，就要用方差来评判．但是并不是方差越小越好，要根据问题的实际情况灵活运用数据分析问题，作出正确的判断．注：在解决问题或决策时，应运用统计思想，搞清楚特殊和一般的关系，具体问题具体对待．全方位、多角度地分析与评判是关键．【例5】某运动队欲从甲、乙两名优秀选手中选一名参加全省射击比赛，该运动队预7好？为什么？解：x甲＝18(9.6＋9.7＋…＋10.6)＝10.0，x乙＝18(9.5＋9.9＋…＋9.8)＝10.0.s2甲＝0.12，s2乙＝0.102 5.结果甲、乙两选手的平均成绩相同，s2甲＞s2乙.乙的方差小，波动就小，似乎应该选乙选手参加比赛．但是就这个问题而言，我们不能仅看平均成绩和方差就妄下结论．在这里平均成绩和方差不是最重要的，重要的是看他们的发展潜力或比赛时的竞技状态．从甲、乙两选手的最后四次成绩看，甲的状态正逐步回升，成绩越来越好，而乙明显不如甲的状态好．所以从这个角度看，应选甲选手参加比赛更好．。
北师大版数学八年级上册6.4数据的离散程度(第二课时)优秀教学案例
（二）讲授新知
1.离散程度的定义：教师讲解离散程度的定义，让学生理解离散程度是衡量数据波动程度的一个统计量。
2.方差和标准差：教师介绍方差和标准差的概念，讲解它们的计算方法及其在描述数据波动程度方面的作用。
3.计算器的使用：教师演示如何使用计算器求解数据的离散程度，让学生掌握计算器的操作方法。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握离散程度的定义，了解方差、标准差等统计量，并理解它们在描述数据波动程度方面的作用。
2.培养学生运用离散程度分析实际问题的能力，能够从生活中发现并提取相关数据，通过计算和分析，对数据的波动程度做出合理的判断。
3.让学生熟练运用计算器求解数据的离散程度，提高他们的数据处理能力。
（五）作业小结
1.作业布置：教师布置相关的作业，让学生巩固所学知识，提高实际应用能力。
2.课堂小结：教师引导学生对本节课的学习内容进行小结，帮助学生梳理知识体系。
3.课后反思：教师鼓励学生在课后反思自己的学习过程，找出不足之处，为下一节课的学习做好准备。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过展示某地区近年来的气温变化图表，让学生直观地感受气温的波动情况，激发了学生的探究欲望，增强了学生对知识的兴趣。
5.作业小结：教师引导学生对本节课的学习内容进行小结，帮助学生梳理知识体系，巩固所学知识，提高实际应用能力。
本节课以生活实例为导入，通过问题导向、小组合作、反思与评价等教学策略，充分发挥了学生的主动性，培养了学生的思考能力、团队合作精神以及反思能力，使学生在实践中掌握离散程度的概念和计算方法，提高了学生的数学应用能力。
-数据波动程度有哪些衡量方法？
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统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分
，方差分别是
S2 甲
＝51、
S2 乙
＝12．则成绩比较稳
定的是_____ （填“甲”、“乙”中的一个）．
拓展提升
课堂小结
随堂练习
解：甲、乙两队队员的身高的平均数都是 178cm；极差分别是2cm和4cm；方差分别 是0.6和1.8；因此，甲仪仗队 Nhomakorabea为整齐。
巩固练习
1．已知一组数据2, 1，－1，0, 3，这组数据 的极差是______.
2．一组数据的标准差是4，则这组数据的方差 为____.
3．老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行
2.5.
温馨提示：极差与标准差一定要带单位，单位与原数据的单位 一致；方差的数量单位是原数据单位的平方（可以不带）.
做一做
（1）分别计算从丙两厂抽取的20只鸡腿质量的
方差。
S丙2=4.39
（2）根据计算结果，你认为甲、丙两厂的产品 哪个更符合规格？
S甲2=2.5＜S丙2=4.39 甲厂产品更符合规定。
注：极差大,偏离平均数越大,产 品的质量(性能)越不稳定.
做一做
如果丙厂也参与了竞争，从该厂也抽查20只鸡腿， 数据如图6-6所示: （1）丙厂这20只鸡腿质量的 平均数和极差分别是多少？
（2）如何刻画丙厂这20只鸡腿的质量与其平均数的差距？分别 求出甲丙两厂的20只鸡腿质量与其平均数的差距。 （3）在甲、丙两厂中，你认为外贸公司应该购买哪个厂的鸡腿？
北师大版八年级 上册数学
第六章 数据的分析
6.4数据的离散程度
情景探究
为了提高农副产品的国际竞争力，一些行业协会对农 副产品的规格进行了划分，某外贸公司要出口一批规格为 75g的鸡腿．现有2个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡 腿的品质也相近．质检员分别从甲、乙两厂的产品中抽样 调查了20只鸡腿，它们的质量(单位:g)如下： 甲厂：75 74 74 76 73 76 75 77 77 74
例题讲解
例：计算从甲厂抽取的20只鸡腿质量的方差.
解：甲厂20只鸡腿的平均质量：
x 72 733 73 4 75 4 76 4 773 78 75(g). 20
甲厂20只鸡腿质量的方差：
S甲2
(72 75)2
(73 75)2 3 (77 20
75)2 3 (78 75)2
（3）从甲厂抽查的这20只鸡腿质量的最大值是多 少？最小值又是多少？它们相差几克？乙厂呢？
（4）如果只考虑鸡腿的规格，你认为外贸公司应 买哪个厂的鸡腿？
归纳总结
实际生活中，除了关心数据的集中趋势外， 人们还关注数据的离散程度，即它们相对于平 均水平的偏离情况.一组数据中最大数据与最 小数据的差（称为极差）就是刻画数据离散程 度的一个统计量。
74 75 75 76 73 76 73 78 77 72 乙厂：75 78 72 77 74 75 73 79 72 75
80 71 76 77 73 78 71 76 73 75 把这些数据表示成下如图6-5所示：
情境探究
(1)你能从图中估计出甲、乙两厂被抽查鸡腿平均 质量吗？ (2)从甲、乙两厂被抽查鸡腿的平均质量分别是多 少？在图6-5中画出纵坐标等于平均质量的直线.
归纳总结
数学上，数据的离散程度还可以用方差和标准差刻画。
方差是各个数据与平均数差的平方的平均数.
S2
1 n [(x1
x)2
( x2
x)2
( xn
x)2 ],
其中， x 是 x1, x2 ,, xn 的平均数，s2是方差.
而，标准差(s)是方差的算术平方根.
注意： 一般而言，一组数据的极差、方差 或标准差越小，这组数据就越稳定.