2020年【通用版】高考数学(三轮复习)冲刺专题《数学思想方法》(含答案)

专题 数学思想方法专项

【训练目标】

1、 领会数形结合思想，函数与方程思想，转化与化归思想三种数学思想的本质，能灵活运用这三种数学思想解决问题；

2、 掌握这三种数学思想的常见应用方式和方法； 【温馨小提示】

数学教学的最终目标，是要让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界.数学素养就是指学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力，数学核心素养高于具体的数学知识技能，具有综合性、整体性和持久性，反映数学本质与数学思想，数学核心素养是数学思想方法在具体学习领域的表现.二轮复习中如果能自觉渗透数学思想，加强个人数学素养的培养，就会在复习中高屋建瓴，对整体复习起到引领和导向作用. 【名校试题荟萃】 1、函数与方程思想

一、函数与方程思想在不等式中的应用

函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题.一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解. 1.若0

->ln x 2－ln x 1 B.21e e x x

-e x x

x x D.1221e

x x 【答案】C 【解析】

设f (x )＝e x

－ln x (0

－1x ＝x e x

－1

x

.

令f ′(x )＝0，得x e x

－1＝0.

根据函数y 1＝e x

与y 2＝1x

的图象(图略)可知两函数图象的交点的横坐标x 0∈(0，1)，因此函数f (x )在(0，1)

上不是单调函数，故A ，B 选项不正确； 设g (x )＝e x

x

(0

e

x

x －1

x 2

. 又0g (x 2)， ∴1221e >e x

x

x x ，故选C.

2.已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g x

e

x

>1的解集为________.

【答案】(－∞，0)

3.已知f (t )＝log 2t ，t ∈[2，8]，对于f (t )值域内的所有实数m ，不等式x 2

＋mx ＋4>2m ＋4x 恒成立，则x 的取值范围是__________________. 【答案】

(－∞，－1)∪(2，＋∞) 【解析】

∵t ∈[2，8]，∴f (t )∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，3. 问题转化为m (x －2)＋(x －2)2

>0恒成立， 当x ＝2时，不等式不成立，∴x ≠2.

令g (m )＝m (x －2)＋(x －2)2

，m ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，3.

问题转化为g (m )在⎣⎢⎡⎦

⎥⎤12，3上恒大于0， 则⎩⎪⎨⎪⎧

g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，g 3>0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

12x －2＋x －2

2

>0，3x －2＋x －2

2

>0，

解得x >2或x <－1.

4.若x ∈[－2，1]时，不等式ax 3

－x 2

＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[－6，－2]

故f (x )在[－2，－1]上单调递减，在(－1，0)上单调递增， 此时有a ≤f (x )min ＝f (－1)＝1＋4－3

－1

＝－2. 当x ＝0时，不等式恒成立.

当0

x 3

，

则f (x )在(0，1]上单调递增，此时有a ≥f (x )max ＝f (1)＝1－4－3

1＝－6.

综上，实数a 的取值范围是[－6，－2]. 二、函数与方程思想在数列中的应用

数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数；等差数列或等比数列的基本量的计算一般化归为方程(组)来解决. 5. 已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 等于( ) A.－23 B.－13 C.13 D.23

【答案】D 【解析】

设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩

⎪⎨⎪⎧

a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10a 1＋10×9

2d ＝70，即⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＋9d ＝10，

2a 1＋9d ＝14，

解得d ＝2

3

.

6.已知在数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23a n ，则a n

a n －1

的最大值为( ) A.－3 B.－1 C.3 D.1 【答案】C

7.在等差数列{a n }中，若a 1<0，S n 为其前n 项和，且S 7＝S 17，则S n 取最小值时n 的值为____. 【答案】 12 【解析】

由已知得， 等差数列{a n }的公差d >0， 设S n ＝f (n )，则f (n )为二次函数，

又由f (7)＝f (17)知，f (n )的图象开口向上，关于直线n ＝12对称， 故S n 取最小值时n 的值为12.

8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－2，S 6＝3，则nS n 的最小值为________. 【答案】 －9 【解析】

由⎩

⎪⎨

⎪⎧

4a 1＋6d ＝－2，

6a 1＋15d ＝3解得a 1＝－2，d ＝1，

所以S n ＝

n 2－5n

2 ，故nS n ＝

n 3－5n 2

2

.

令f (x )＝

x 3－5x 2

2

，则f ′(x )＝32

x 2

－5x ，

令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝10

3

，

∴ f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103上单调递减，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫103，＋∞上单调递增.

又∵n 是正整数，故当n ＝3时，nS n 取得最小值－9.