微观经济学第一次作业答案

均衡一定发生在边角解，而边角均衡解不一定满足 MRS xy Px P 的均ຫໍສະໝຸດ 条件。 MRS xy x Py Py
是消费者均衡的充分条件而非必要条件，只有当消费者同时消费两种商品时，才为充要条 件。
（4）如果无差异曲线凹向原点，最优消费组合必定是个角点解，除非存在 数量折扣。
错误。 前半句正确，如果无差异曲线凹向原点，最优消费组合必定是个角点解，如下图（1） 所示。 后半句错误，当存在数量折扣时，最优消费组合可能仍然是折扣前的解，也有可能会 是另外一个解，但无论是哪种情况，都必定仍然是个角点解。如下图（2）和图（3）所示：
正确。 非饱和性意味着增加一个新的商品消费总是能带来正的效用，也即边际效用大于零。
（2）若某个消费者的偏好可由效用函数 U
10( X 2 2 XY Y 2 ) 20 来描述，
那么对此消费者而言，商品 X 和商品 Y 是完全替代的。 （ ）
正确。
（X +Y） 20 ，经单调变换为：U =X +Y 。因此，X 和 Y 是完全 该效用函数即为 U =10
U ( X , Y , Z ) XY(1 Z。 )
于是有：
) Max : U ( X , Y , Z
X ,Y , Z
XY (1
Z)
s.t. 0.25 X Y 2Z 2
可得拉格朗日函数为： L( X , Y , ) XY (1 Z ) (2 0.25 X Y 2Z ) 一阶条件为：
Max : u(b, x) x 5b2 b, x
s.t.20000 100b x I
构造拉格朗日函数为：
L(b, x, ) x 5b2 ( I 20000 100b x) .
L 1 0 x L 10b 100 0 b L I 20000 100b x 0
FOC.
解得： 1, b 10, x I 19000 ，易验证 SOC.成立。 因此，老李进行效用最大化选择后，他在所购买的湖边别墅中每小时会被 10 个蚊子叮咬。
b.
∵在 X 4, Y 1, Z 0 处，有： MU X / PX MUY / P Y 1, MU Z / P Z
1 2
∴消费在 Z 上的每单位货币带来的效用小于消费在 X 和 Y 上的效用。这说明， 即使在 Z=0 的条件下， 消费者从 Z 中得到的边际效用仍然 “不值” 其所付的价格。
4( I 2) I 2 I 4 。 ,Y ,Z 3 3 6 ∴ 当 Z>0 时，需要 I-4>0，即：I>4。
当 Z 为离散商品时， Z>1， 则 I 10 。 如果 I=10 时， 最优解即为： X=16,Y=4,Z=1。 这说明只要消费者有更高的收入,就有可能购买到 Z 商品以实现其效用最大 化。
PxX + PyY≤I X≥0 Y≥0
预算集如右图阴影部分。
(1)进行搭售后，消费者的预算约束为：
PxX + PyY≤I X≥Y≥0
预算集如右图阴影部分。
（2）进行搭送后，消费者的预算约束为：
Px（X-Y） + PyY≤I X≥Y≥0
预算集如右图阴影部分。
4. Suppose also that a fast-food junkie derives utility from three goods : soft drinks(X),burgers(Y),and ice cream sundaes(Z) according to the Cobb-Douglas utility function U ( X , Y , Z ) X 0.5Y 0.5 (1 Z )0.5 . Suppose also that the price for this goods are given by
px 0.25, py 1, and pz 2 , that is consumer’s income is given by I=2.
a. Show that for Z=0, the fast-food junkie have his optimal choice. Show also that any choice that results in Z>0（even for a fractional Z）reduces utility from this optimal. b. How do you explain the fact that Z=0 is optimal choice here? (hint : think about the MU Z / PZ .) How high would this individual’s income have to be in order for any Z to be purchased. 参考答案： a. 因为对于效用函数的单调变换并不影响其性质，故效用函数可变换为
由上可知，效用函数在上述约束下,当 X 的极大值。
然而，依据经济变量不应为负的原则，应否定 Z=-1/3。因此，为得到非负 约束下的最优解，我们进行以下讨论： 当 Z=0 时，原效用函数变为 U=XY，原预算方程变为 0.25X+Y=2，由此易求 得最优解 X=4，Y=1，此时效用函数 U(Z=0)=2； 类似地，在 Z 的取值范围[0,1]内，易求得： 当 Z=0.1 时，X=3.6，Y=0.9，U=1.89；当 Z=1 时，X=Y=0，U=0； 由上述讨论可归纳出:只要 Z>0，则随着 Z 的增大，效用 U 就会不断减少， 只有在 Z=0 时，可实现消费者效用的最大化，因此，Z=0,X=4,Y=1 是最优解。
c.
构造拉格朗日函数为： L( X , Y , Z , ) XY (1 Z ) ( I 0.25 X Y 2Z ) FOC 为：
L X L Y L Z L
解得： X
Y (1 Z ) 0.25 0 X (1 Z ) 0 XY 2 0 I 0.25 X Y 2 Z 0
2
替代品。
（3）一个消费者从来不吃面包但是会吃汉堡，这个消费者在他消费零数量 面包的时候，面包对汉堡的边际替代率仍应该和面包与汉堡的价格比相等。
错误。 消费者关于面包对汉堡的边际替代率为 MRS xy 为
Y 0 ,而市场上二者的价格之比 X
Px ，故不相等。 Py
事实上，本题中该消费者将面包看成厌恶品（bads），所以无差异曲线斜率为正，其
L X L Y L Z L Y (1 Z ) 0.25 0 X (1 Z ) 0 XY 2 0 2 0.25 X Y 2 Z 0
① ② ③ ④
解得： X
16 4 1 ,Y , Z 。 3 3 3 16 4 1 , Y , Z 时，存在唯一 3 3 3
第二章第一次作业参考答案 要求 (1)请用标准的作业本(小 32 开)做作业， 不要把作业写在纸片字上， 以免丢失。 (2)请准备两本作业本，作业本上请注明系（院）别，班级，姓名，学号。 (3)每次交作业以班级为单位，由各班学习委员（或班长）收齐，统一交给助 教老师。 (4)本次作业共计 5 道题，下周第一次上课时完成作业交给助教。 1. 判断下列观点的对错，并请说明相应理由(无论判断对错，都要说明理由)。 （1）如果一个消费者的偏好满足非饱和性假设，那么他的边际效用总是大 于零的。 （）
U1
U2
U3
0 x （2）对于消费者乙而言，啤酒X与可乐Y是完全替代的；两瓶啤酒X与三瓶可 乐Y所带来的效用水平是一样的，她的无差异曲线拥有负的斜率，且靠右上的曲 线所代表的效用水平就越高。
消费者乙的效用函数为：u(x,y)=3x+2y 及其单调变换。
Y dy/dx=-3/2 U3 U1 U2
0 x （3）对于消费者丙而言，一瓶啤酒X与一瓶可乐Y是完全互补的；越靠右上的 曲线所代表的效用水平就越高。 消费者丙的效用函数为：u(x,y)=min(x,y)及其单调变换。
Y
y=x U3 U2 U1
0
x
（4）消费者丁喜欢可乐Y，但厌恶啤酒X；更多的可乐Y所带来的喜悦被更 多的啤酒X而冲淡，因此她的无差异曲线拥有正的斜率，并且越靠左上的曲线所 代表的效用水平越高。
U3 Y U2 U1
0
x
3. 某消费者消费两种商品 x 和 y,两种商品的价格分别用 px 和 py 来表示 （px>py） , 消费者收入为 I。 （1）若商家规定每购买一单位商品 y 必须同时购买一单位商品 x(即商品 y 不单 卖，进行搭售)，请分析该促销政策对预算集的影响。 （2）若商家进行促销，规定每购买一单位商品 y，则免费搭送一单位商品 x(价 格仍为 py)，请分析该促销政策对预算集的影响。 参考答案： 在没有任何促销政策的情况下，消费者的预算约束为：
Y
Y
Y
0
（1）
x
0
（2）
x
0
（3）
x
（5）假定一位理性消费者总是会用尽其全部收入，如果收入增加而商品价 格保持不变，那么他会增加消费每一种商品。
错误。 当消费者消费的商品中存在低档品时，收入增加对该低档品的消费会减少。
2. 根据下面的描述，请画出如下消费者对两种商品（啤酒与可口可乐）无差异 曲线。同时请写出消费者乙和丙的效用函数。 （1）消费者甲喜欢啤酒但不喜欢可口可乐，他总是喜欢有更多的啤酒，不 管他有多少可口可乐。 （2）消费者乙认为在任何情况厂，三瓶可乐与两瓶啤酒无差别。 （3）消费者丙喜欢一半啤酒与一半可乐一起喝，他从不单独只喝啤酒或只 喝可乐。 （4）消费者丁喜欢喝可乐，但是厌恶喝啤酒。 参考答案： 在图中以 X 代表啤酒，Y 代表可乐。 （1）消费者甲喜欢啤酒X但不喜欢可乐Y，即是说她只在乎更多的啤酒X，她 的无差异曲线为垂直线；对于一定量的可乐Y而言，越多的啤酒X对甲越好，所 以对于甲而言，越靠右边的曲线所代表的效用水平就越高。 Y