高中数学第1章三角函数 1.3.4 三角函数的应用成长训练苏教版必修4

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2020学年高中数学第1章三角函数1.3.4三角函数的应用讲义苏教版必修4(2021-2022学年)

1.3。

4 三角函数的应用三角函数模型的应用（1)三角函数模型的应用①根据实际问题的图象求出函数解析式．②将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． ③利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型. (2)解答三角函数应用题的一般步骤思考:在函数ｙ＝A s ｉn （ωx ＋φ)＋b (A 〉０,ω>0)中,A ,b 与函数的最值有何关系？提示：A ，b 与函数的最大值ｙm ａx ,最小值ｙｍin 关系如下：（1)y max =A +b ，y ｍｉn =-Ａ+b ；（2)A ＝错误!未定义书签。

,b =ｙmax+ｙｍｉn2。

1．思考辨析(１)函数y =sin x 在错误!内是增函数．( ） (２）函数ｙ=3si ｎ x －１的最大值为３.( )（3)直线x ＝π是函数y =ｓin ｘ的一条对称轴．( )(４)函数y＝ｓiｎ[π(ｘ－１)］的周期为２.( )[答案](１）√(2)× (3)×(４）√2.求下列函数的周期:(1)y＝Aｓin(ωx＋φ)（ω≠０)的周期是T=______＿_;(２）y＝A cos(ωx＋φ）（ω≠0)的周期是T＝________;(3)y＝A tａn（ωx＋φ)(ω≠0)的周期是T＝＿＿___＿_＿;[答案] (1)错误!未定义书签。

(2)错误!未定义书签。

(3)错误!未定义书签。

3．某人的血压满足函数关系式f(t)=２４sin160πt+11０，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为＿_＿____＿．8０ [∵T＝错误!未定义书签。

＝错误!未定义书签。

，∴ｆ=错误!未定义书签。

＝80.］三角函数在物理学中的应用【例1】已知电流I=A siｎ（ωｔ＋φ)A>０，ω>0,｜φ｜<错误!未定义书签。

在一个周期内的图象如图．(１)根据图中数据求I＝A sin（ωｔ＋φ）的解析式；(2)如果t在任意一段错误!秒的时间内，电流I＝A sin（ωt+φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？思路点拨:可先由图象确定电流I的解析式,再由函数的性质确定ω的值．[解](1）由图知，A=300.错误!=错误!－错误!未定义书签。

数学苏教版高一必修4_第1章1.3.4三角函数的应用_作业

[学业水平训练]1．如图，是一弹簧振子作简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________．解析：不妨设函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．由图象知A ＝2，由2πω＝2×(0.5－0.1)得ω＝5π2. 又2sin(5π2×0.3＋φ)＝0，∴φ可取π4. 答案：y ＝2sin(52πx ＋π4) 2. 若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(右图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)．则月球绕地球一周所用的时间T 为________．解析：由图知，地球从E 1到E 2用时29.5天，月球从月地日一条线重新回到月地日一条线，完成一个周期．答案：29.5天3．一根长a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (cm)和时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos(g a t ＋π3)，t ∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________．解析：T ＝2πg a＝2π·a g. 答案：2π·a g4．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，某房地产介绍所对温州市一楼盘对今年的房价作了统计、预测；发现每个季度的平均单价y (每单位面积价格：元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，请补充下表：解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ω＋φ＝π22ω＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪ω＝π2φ＝0. ∴y ＝500sin π2x ＋9 500， ∴当x ＝3时，y ＝500sin 3π2＋9 500＝9 000. 答案：9 0005. 如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y (m)在某天24 h 内的变化情况，则水面高度y 关于从夜间0时开始的时间x 的函数关系式为________．解析：将其看成y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，由图象知：A ＝6，T ＝12，∴ω＝2πT ＝π6，下面确定φ.将(6，0)看成函数第一特殊点，则π6×6＋φ＝0，∴φ＝－π， ∴函数关系式为y ＝6sin(π6x －π)＝－6sin π6x . 答案：y ＝－6sin π6x 6. 如图所示，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm ，周期为3 s ，且物体向右运动到距平衡位置最远处开始计时．则物体对平衡位置的位移x (cm)和时间t (s)之间的函数关系为________．解析：设所求函数关系为x ＝3sin(ωt ＋φ)(ω>0，0≤φ<2π)．则由T ＝2πω＝3，可得ω＝2π3，当t ＝0时，有x ＝3sin φ＝3，即sin φ＝1；又0≤φ<2π，故可得φ＝π2，所以所求函数关系为x ＝3sin(2π3t ＋π2)，即为x ＝3cos 2π3t . 答案：x ＝3cos 2π3t 7. 如图所示，有一广告气球，直径为6 m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC ＝30°时，测得气球的视角为θ＝π180(若θ很小时，可取sin θ≈θ，其中θ用弧度制表示)，试估算该气球的高BC 的值约为多少？解：∵AC ＝CD sin θ＝3π180＝540π(m)， ∴BC ＝AC ·sin 30°＝270π≈86(m)，即气球的高约为86 m. 8. 如图是某地一天从6时至14时的温度变化曲线，近似地满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (|φ|<π)．(1)求这段时间的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)由图示，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．(2)图中从6时到14时的图象是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，所以T ＝2×(14－6)＝16，ω＝2πT ＝π8.又A ＝30－102＝10，b ＝30＋102＝20，所以y ＝10sin(π8x ＋φ)＋20. 当x ＝6时，又由|φ|<π知，π8×6＋φ＝32π，所以φ＝34π，所以所求函数解析式为y ＝10sin(π8x ＋34π)＋20， x ∈[6，14]．[高考水平训练]1．如图为一半径是3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则ω＝________，A ＝________．解析：由题意可知A ＝3，T ＝15秒，由2πω＝15得ω＝2π15. 答案：215π 3 2. 如图，半圆的直径为2，A 为直径MN 的延长线上一点，且OA ＝2，B 为半圆上任意一点，以AB 为边作等边△ABC ，设∠AOB ＝x 时，S 四边形OACB 等于________．解析：如图，S 四边形OACB ＝S △AOB ＋S △ABC .过点B 作BD ⊥MN 于D ，则BD ＝BO sin(π－x )，即BD ＝sin x .∴S △AOB ＝12×2sin x ＝sin x . ∵OD ＝BO cos(π－x )＝－cos x ，∴AB 2＝BD 2＋AD 2＝sin 2x ＋(－cos x ＋2)2＝5－4cos x .∴S △ABC ＝12AB ·AB sin 60°＝534－3cos x . ∴S 四边形OACB ＝sin x －3cos x ＋534. 答案：sin x －3cos x ＋5343．(2014·西安高一期末)交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin (100πt＋π6)来表示，求： (1)开始时的电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．解：(1)当t ＝0时，E ＝1103(伏)，即开始时的电压为110 3 伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒． (3)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得这个最大值． 4．(2014·焦作高一检测)心脏跳动时，血压在增加或减小．心脏每完成一次跳动，血压就完成一次改变，血压的最大值和最小值分别为收缩压和舒张压．设某人的血压满足函数关系式P (t )＝95＋A sin ωx ，其中P (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，其函数图象如图所示．(1)根据图象写出该人的血压随时间变化的函数解析式；(2)求出该人的收缩压，舒张压及每分钟心跳的次数．解：(1)由图象可知，振幅A ＝120－95＝25，周期T ＝180，由2πω＝180，知ω＝160π，于是P (t )＝95＋25sin 160πt .(2)收缩压为95＋25＝120(mmHg)，舒张压为95－25＝70(mmHg)，心跳次数为f ＝1T＝80(次)．。

高中数学第一章三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质(1)课时训练(含解析)苏教版必修4(

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1．3.2 三角函数的图象与性质(一）课时目标1．了解正弦函数、余弦函数的图象。

2。

会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．1．正弦曲线、余弦曲线2．“五点法”画图画正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，五个关键点是________________；画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π］的图象，五个关键点是________________________．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x＝sin错误!，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向________平移错误!个单位长度即可．一、填空题1．函数y＝sin x的图象的对称中心的坐标为________．2．函数f(x）＝cos x＋1的图象的对称中心的坐标是________．3．函数y＝sin x,x∈R的图象向右平移错误!个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．4．函数y＝2cos x＋1的定义域是________________．5．函数y＝|sin x|的图象的对称轴方程是________．6．方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．7．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x｜＝sin x－cos x,则x的取值范围为________．8．在（0,2π)内使sin x〉|cos x|的x的取值范围是________．9．方程sin x＝lg x的解的个数是________．10．若函数y＝2cos x(0≤x≤2π）的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是______．二、解答题11．分别作出下列函数的图象．（1)y＝|sin x|，x∈R；（2)y＝sin|x|,x∈R。

苏教版高中数学必修四：第1章-三角函数1.3.3(1)课时作业(含答案)

1．3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)课时目标1．了解φ、ω、A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系．用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点________(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到． 2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的________倍(纵坐标________)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的______倍(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为________，最小值为________． 4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．一、填空题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，只要将函数y ＝sin x2的图象向左平移________个单位． 2．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 3．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是__________．4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的简图是________．(填正确图象的代码)5．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象________． ①向左平移π6个单位长度；②向右平移π6个单位长度；③向左平移5π6个单位长度；④向右平移5π6个单位长度．6．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_______________________．7．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数的解析式是________．8．把函数y ＝3sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|≤π)的图象向左平移π6个单位，再将图象的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的解析式为y ＝3sin x ，则ω＝________，φ＝________.9．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．10．设ω>0，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是__________．二、解答题11．请叙述函数y ＝cos x 的图象与y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2的图象间的变换关系．12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ). (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________． ①向左平移π8个单位；②向右平移π8个单位；③向左平移π4个单位；④向右平移π4个单位．14．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，则f (x )的表达式为____________________.1．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变化途径有两条： (1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很容易出错的地方，应特别注意．2．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到． 1．3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)知识梳理1．向左向右 |φ|2．缩短伸长 1ω不变3．伸长缩短 A [－A ，A ] A －A4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ) 作业设计 1.23π 2.y ＝cos 2x 3.32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z .∴φ的最小正值是32π.4．①解析由各图象特点，知可选用－π2和π6这两个特殊值来断定．当x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π－π3＝32；当x ＝π6时，y ＝sin 0＝0.符合这两个特点的只有①. 5．③解析 ∵y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，又x －π2＋5π6＝π3＋x ，∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度，便可得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象． 6．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 解析y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π10――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10. 7．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 解析将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 8．2 －π3解析y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∴ω＝2，φ＝－π3.9．①③ 10.32解析向右平移43π得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －43π＋π3＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4π3ω＋2. 因为与原函数图象相同，故－4π3ω＝2n π(n ∈Z )，∴ω＝－32n (n ∈Z )，∵ω>0，∴ωmin ＝32.11．解 ∵y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6＋2 ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋7π12＋2 先将y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，则得到y ＝cos 2x 的图象．再将y ＝cos 2x 的图象向左平移7π12个单位，则得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋7π12，即y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6的图象，再将y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，即得函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6的图象．最后，沿y 轴向上平移2个单位所得图象即是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6＋2的图象．即得到函数y ＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2的图象． 12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 .欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．13．①解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π4)．14．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 解析方法一正向变换y ＝f (x )y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二逆向变换据题意，y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.。

高中数学苏教版必修4教案：第一章三角函数第15课时 1.3.4三角函数的应用(1)

第十五课时 §1.3.4 三角函数的应用（1）【教学目标】一、知识与技能：会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题；体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型二、过程与方法从实际的应用中体会数学与生活是相关的，不是完全脱离现实的，同时理解三角函数在描述周期性现象时的重要作用三、情感态度价值观：培养学生应用数学的能力，让学生体会到数学在实际生活中的应用，意识到只要认真观察思考，会发现数学来源于生活教学重点难点：建立三角函数的模型【教学过程】一．复习回顾1、回顾课本 “三角函数的周期性”2、求函数sin()y A x k ωϕ=++的解析式3、查阅物理中“单摆运动” 二．新课讲解：一定条件下，单摆运动是一种周期性的运动，从而引出对具有周期性现象的问题的研究，可用具有周期性规律的三角函数来描述。

实际上，三角函数能够描述、模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。

三、例题分析：例1、（教材P42例1）点评：本题是简谐运动的问题，在利用三角函数描述问题时，首先分析此现象具有周期性，其次结合题意作出函数草图，然后根据图象用“待定系数法”求出sin()y A x k ωϕ=++。

例2、（教材P43例2）点评：①本题是圆周运动的问题；②寻找变量间的关系是关键，结合图形建立恰当的直角坐标系，将几何问题代数化已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图例3、如图所示，求函数的一个解析式。

例4、已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。

x33π 56π3O例5、已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为值为，周期为23π，且图象过点(0,4-，求这个函数的解析式四、课堂小结：本课所学内容，重点应用了三角函数的什么性质？以后研究哪类问题可以借助于三角函数模拟呢？五、作业：（补充）1．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的周期是23π，最小值是2-，且图象过点5(,0)9π，求这个函数的解析式；2．函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的最小值是2-，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是3π，又图象经过点(0,1)，求这个函数的解析式3．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。

苏教版高中数学高一必修4检测：第1章1.31.3.4三角函数的应用_word版含解析

苏教版高中数学高一必修4检测第1章1.3-1.3.4三角函数的应用第1章三角函数 1.3 三角函数的图象和性质 1.3.4 三角函数的应用A 级基础巩固一、选择题1．某人的血压满足函数关系式f (t )＝24sin 160πt ＋110，其中f (t )为血压，t 为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90 解析：因为T ＝2π160π＝180，所以f ＝1T ＝80.答案：C2．与图中曲线对应的函数解析式是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin |x |C ．y ＝－sin |x |D ．y ＝－|sin x |解析：注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin|x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，只有选项C 满足．答案：C3．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将移至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，则乙的位置移到丙处．答案：C4.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，所以T ＝2π|ω|＝2π2π＝1 s ，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.答案：D5．用作调频无线电信号的载波以y ＝a sin(1.83×108πt )为模型，其中t 的单位是秒，则此载波的周期为__________，频率为________．解析：T ＝2πω＝2π1.83×108π≈1.09×10－8(s)， f ＝1T＝9.17×107(Hz)．答案：1.09×10－8s 9.17×107Hz6．已知某种交变电流I (A)随时间t (s)的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π t －π2，t ∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s 内往复运动的次数是________．解析：周期T ＝150s ，所以频率为每秒50次．所以0.5秒内往复运动的次数为25.答案：257.如图所示，点P 是半径为r 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动，则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系式为________________．解析：当质点P 从P 0转到点P 位置时，点P 转过的角度为ωt ，则∠POx ＝ωx ＋φ，由任意角的三角函数定义知点P 的纵坐标y ＝r sin(ωt ＋φ)．答案：y ＝r sin(ωt ＋φ)8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，且直线y ＝－π3为其图象的一条对称轴，如果|φ|<π2，那么此函数的解析式为________________．解析：因为⎩⎨⎧y max ＝A ＋n ＝4，y min ＝－A ＋n ＝0，所以⎩⎨⎧A ＝2，n ＝2.又T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.所以y ＝2sin(4x ＋φ)＋2.因为x ＝－π3为其图象的一条对称轴，所以4⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，所以φ＝k π＋116π(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝－π6.所以y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋2.答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＋29．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4，16]．(1)求该地区这一段时间内温度的最大温差；(2)假若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？解：(1)由于y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －54π＋20，x ∈[4，16]，所以当x ＝6时，函数有最小值，即最低温度为10 ℃；当x ＝14时，函数有最大值，即最高温度为30 ℃. 因此最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4，16]，所以x ＝263.令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4，16]，所以x ＝343.故该细菌的存活时间为343－263＝83(小时)．10.如图所示，弹簧挂着的小球作上下运动，时间t (s )与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h (cm)之间的函数关系是h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4，t ∈[0，＋∞)．(1)以t 为横坐标，H 为纵坐标，画出函数在长度为一个周期闭区间的上简图； (2)小球开始振动的位置在哪里？(3)小球最高点、最低点的位置及各自距离平衡位置的距离分别是多少？解：(1)画出h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4的简图(长度为一个周期)．①列表：②描点．③连线：用平滑曲线依次连接各点即得h ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4的简图，如图所示．(2)当t ＝0时，h ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π4＝ 2. 即小球开始振动时的位置为(0，2)． (3)当t ＝π8时，h ＝2；当t ＝5π8时，h ＝－2.即最高点位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2，最低点位置为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－2；最高点、最低点各自到平衡位置的距离均为2 cm.B 级能力提升11．一种波的波形为函数y ＝－sin π2x 的图象，若其在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：函数y ＝－sin π2x 的周期T ＝4且x ＝3时y ＝1取得最大值，因此t ≥7.答案：C12．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．解析：y ＝f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎨⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].在同一平面直角坐标系内画y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示．由图可知，当y ＝f (x )与y ＝k 的图象有且仅有两个不同交点时，k 的取值范围为1＜k ＜3.答案：(1，3)13．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg 和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式P (t )＝115＋25sin (160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)．(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数；(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．解：(1)函数p (t )的最小正周期为T ＝2π|ω|＝2π160π＝180(min)．(2)此人每分钟心跳的次数即频率为：f ＝1T ＝80.(3)p (t )max ＝115＋25＝140 mmHg ， p (t )min ＝115－25＝90 mmHg ，即收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg ，比正常值稍高．14．如图所示，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式(其中t 以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量．解：(1)设动物种群数量y 关于t 的解析式为 y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)，则⎩⎨⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12，所以ω＝2πT ＝π6.所以y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800.又当t ＝6时，y ＝900，所以900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·6＋φ＋800. 所以sin(π＋φ)＝1.所以sin φ＝－1. 所以取φ＝－π2.所以y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6·2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.15．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？解：(1)因为f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3>11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3<－12.又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．。

高中数学第1章三角函数 1.3.2 三角函数的图象与性质优化训练苏教版必修4(2021年整理)

高中数学第1章三角函数1.3.2 三角函数的图象与性质优化训练苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第1章三角函数1.3.2 三角函数的图象与性质优化训练苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.3.2 三角函数的图象与性质5分钟训练（预习类训练，可用于课前） 1.在［0，2π］上画出下列函数的简图: （1）y=sinx —1；（2)y=2cosx.解:画函数的简图,可以采用“五点法”，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整理数据,使问题既清晰又准确。

（1）第一步：按五个关键点列表；x 0 2ππ 23π2π sinx 0 1 0 -1 0 sinx —1 -1-1-2-1第二步：描点；第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来.（2)第一步：按五个关键点列表；x 0 2π π 23π 2π cosx 1 0 —1 0 1 2cosx 2-22第二步：描点；第三步：画图，即用光滑的曲线将五个点连结起来。

2.利用五点法作出下列函数的简图：（1）画出y=sinx 的图象；（2）画出y=sinx ，x ∈［0，2π］的图象. 请比较（1）和(2）两个小题的图象有什么区别？解：这两个函数的定义域不同。

第（1）题定义域为R ,第（2）题的定义域为［0，2π].［0,2π］是R 的真子集，所以第（2）题当x ∈［0,2π］时的函数图象就是第(1）题图象的一部分.10分钟训练（强化类训练，可用于课中） 1。

高中数学同步训练：第1章三角函数 1 苏教必修4 含答案

1.3 三角函数的图象和性质1.3.1 三角函数的周期性一、填空题1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2πx ＋π4的最小正周期是________． 2．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期是2π3，则ω＝________. 3．函数f (x )＝cos π6x ，则f (2 014)＝________. 4．已知函数f (x )＝8sin ⎝⎛⎭⎫k 3x －π3－2的最小正周期不大于3，则正整数k 的最小值是________．5．若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是_______． 6．函数y ＝cos(sin x )的最小正周期是________．7．已知奇函数y ＝f (x )(x ∈R )且f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.8．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝1f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f (7.5)＝_______. 二、解答题9．求下列函数的周期：(1)y ＝4sin(π3x ＋π4)＋2； (2)y ＝3cos(π3－2x )－1. 10．设f (x )是定义在R 上且最小正周期为32π的函数，在某一周期上f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos 2x (－π2≤x <0)sin x (0≤x <π)，求f (－15π4)的值． 11．设偶函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝2x ，求f (113.5)的值．三、探究与拓展12．若函数f (n )＝sin n π3(n ∈Z )，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)的值．答案1．1 2.±3 3.12 4.7 5.6 6.π 7．－2 8.229．解 (1)T ＝2ππ3＝6. (2)T ＝2π|－2|＝π. 10．解 ∵f (x )的周期为3π2， ∴f (－15π4)＝f (－15π4＋3×3π2) ＝f (34π)． ∵0<34π<π，∴f (34π)＝sin 34π＝sin π4＝22，即f (－15π4)＝22. 11．解由于f [(x ＋3)＋3]＝－1f (x ＋3)，而f (x ＋3)＝－1f (x )，则f (x ＋6)＝f (x )，即函数的周期为6，于是f (113.5)＝f (19×6－0.5)＝f (－0.5)，f (－0.5)＝－1f (3－0.5)＝－1f (2.5)，又函数为偶函数，因此f (2.5)＝f (－2.5)＝2×(－2.5)＝－5，因此f (－0.5)＝－1f (2.5)＝－1－5＝15，也即f (113.5)＝15. 12．解 f (n )＝sin n π3＝sin(2π＋n π3) ＝sin 6π＋n π3， f (n ＋6)＝sin n π＋6π3， ∴f (n )＝f (n ＋6)．即6是f (n )的一个周期．又f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＝0 且2 013＝6×335＋3∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 013)＝[f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013) ＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＝f (6×335＋1)＋f (6×335＋2)＋f (6×335＋3)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝sin π3＋sin 23π＋sin 33π＝32＋32＋0＝ 3.。

高中数学第1章三角函数 1.2 任意角的三角函数自主训练苏教版必修4(2021年整理)

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修4我夯基我达标1.当α为第二象限角时，ααααcos |cos |sin |sin |=的值是（ ) A.1 B 。

0 C 。

2 D.—2 思路解析:利用三角函数值在各象限的符号，去掉绝对值. ∵α为第二象限角， ∴sinα>0，cosα<0.故ααααααααcos cos sin sin cos |cos |sin |sin |--=-=2。

答案：C2。

a 2sin （—1 350°）+b 2tan405°-(a —b ）2cot765°-2abcos （—1 080°)等于( ） A.0 B 。

-1 C 。

a2D 。

b 2思路解析：利用三角函数诱导公式将任意角的三角函数化为0—2π间的三角函数，利用特殊角三角函数值代值计算。

即a 2sin90°+b 2tan45°-(a —b)2cot45°-2abcos0°=a 2+b 2—（a-b ）2-2ab=0。

答案:A3。

已知角α的终边在射线y=—3x （x≥0)上,则sinαcosα等于（ ) A 。

103-B 。

1010-C 。

103D.1010思路解析:根据三角函数的定义，在终边上取点求值.在α终边上取一点P （1，—3),此时x=1，y=—3,∴r=10)3(12=-+。

2021年高中数学第一章三角函数练习苏教版必修4

2021年高中数学第一章三角函数练习苏教版必修4 1. 在△ABC中，角，，所对的边分别为，，c．已知．（1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围．2. 已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．（1）若AB，求△ABC的另外两条边长；（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．4. 在中，角所对的边分别为，已知.（1）当，且的面积为时，求的值；（2）当时，求的值．5. △ABC中，角所对的边分别为．（1）若求的值；（2）若△ABC的外接圆半径为1，．① 求的值； ② 求的取值范围．5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b － 3c 3a＝cos C cos A ．（1）求角的值；（2）若角，边上的中线=，求的面积．1. 在△ABC 中，已知．求：（1）AB 的值；（2）的值．4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (2，0)，P (cos ，sin)，其中0 << π．（1）若cos ＝12，求的值；（2）若，求的值．1. 已知，且．（1）求证：；（2）若，求的值．2. 设函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若为锐角，，求的值．2．如图，直三棱柱中，D，E分别是AB，的中点,（1）证明：；（2）设，求三棱锥的体积1．如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且. （1）证明：平面；（2）若，求四棱锥的体积.2．在中，内角所对的边分别为，且（1）若，求的值;（2）若，且的面积，求和的值.1．已知、、为正实数，．（1）当、、为的三边长，且、、所对的角分别为、、．若，且．求的长；（2）若．试证明长为、、的线段能构成三角形，而且边的对角为．2．如图，△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC平面ABC,,（1）证明：平面ACD平面ADE；（2）记，表示三棱锥A－CBE的体积，求函数的解析式及最大值.1．在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为2，四边形ABDC是菱形．(1)求证：平面ADC1⊥平面BCC1B1；(2)求该多面体的体积．2．已知m=，n=，满足．(1)将y表示为x的函数，并求的最小正周期；(2)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长，的最大值是，且a=2，求b+c 的取值范围．1．已知多面体中，四边形为矩形，，，平面平面，、分别为、的中点，且，.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为，，求的值. 33659 837B 荻o }39548 9A7C 驼} 0 37400 9218 鈘9 34274 85E2 藢。

高中数学第一章三角函数1.3.4三角函数的应用(1)课件苏教版必修4

) A>0， 0 例1 已知函数 y A sin( x （）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．
3
O

3
5 6

3
0 ）的例2 已知函数 y A cos( x )（ A>0 ， 0，最小值是 5 , 图象上相邻两个最高点与最低 5 点的横坐标相差 4 ,且图象经过点（0， 2 ），求这个函数的解析式．
高中数学必修4
复习提问
1．由函数 y sin x 的图象到图象 y A sin(x ) 的变换方法：方法一：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；方法二：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换． 2．如何用五点法作 y A sin(x ) 的图象？
3. A、、对函数 y A sin(x ) 图象的影响.
例3．函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平
1 移 2 个单位所得的曲线是 y sin x 的图象，试求
2
f(x)的解析式．
例4 求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合． (1) y 1 cos(3x )
2 4
(2) y 4 sin 1 x
3 2
(3)
y sin x 2
内部文件，请勿外传
归纳小结
1．学生总结：请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有哪些？在本节课的学习过程中，还有哪些不太明白的地方，请向老师提出． 2．师总结：由 y A sin(x ) 的图象求其函数式：一般来说，在这类由图不加限制(如A、ω 象求函数式的问题中，如对所求函数式中的A、ω、的正负，角的范围等)，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式 (这是由于所求函数是周期函数所致)，因此这类问题多以选择题的形式出现，我们解这类题的方法往往因题而异，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中．常见的问题形式有：（1）由已知函数图象求解析式；（2）由已知条件求解析式．内部文ຫໍສະໝຸດ ，请勿外传内部文件，请勿外传

高中数学第一章三角函数1.3.4三角函数的应用课时训练含解析苏教版必修4

1．3.4 三角函数的应用课时目标1．会解三角形和利用三角形建立数学模型，解决实际问题．2．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．三角函数的周期性y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A cos(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________； y ＝A tan(ωx ＋φ) (ω≠0)的周期是T ＝________. 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的性质 (1)y max ＝________，y min ＝________.(2)A ＝________________，k ＝________________.(3)ω可由________________确定，其中周期T 可观察图象获得．(4)由ωx 1＋φ＝________，ωx 2＋φ＝________，ωx 3＋φ＝________，ωx 4＋φ＝________，ωx 5＋φ＝________中的一个确定φ的值． 3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．一、填空题 1.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________ s. 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )＝______.3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，34内，则正整数m 的值是________．4．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________． 5．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g lt ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于______．6．如图是一个示波器显示的由简易发电机产生的交流电的电压的变化，则电压V 关于时间t 的函数关系式为________．7．设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t 03 6 9 12 15 18 21 24 y 1215.112.19.111.914.911.98.9 12.1经长期观察，函数y ＝f (t )的图象可以近似地看成函数y ＝k ＋A sin(ωt ＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．(填序号)①y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]；②y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]； ③y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]；④y ＝12＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]．8.如图所示，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是____________________．二、解答题 9.如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间． (1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？10t(小时)03691215182124y(米)10.13.9.97.10.13.10.17.10.据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数型y＝A sin ωt ＋B的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)能力提升11．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为________．(填序号)12．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A 、B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝__________，其中t ∈[0,60].1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用． 2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．1．3.4 三角函数的应用知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω| 2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2(3)ω＝2πT(4)0π2 π 32π 2π 3．周期作业设计 1.1502．2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)3．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34，∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 4．80解析 T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T ＝80(次/分)．5.g4π2解析 T ＝2πg l＝1，∴g l ＝2π，∴l ＝g 4π2. 6．V ＝45cos 80πt解析设V ＝A cos ωt ，则A ＝45，T ＝0.14＝0.025，ω＝2πT＝80π，故V ＝45cos 80πt .7．①解析在给定的四个函数①②③④中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是①.8．h ＝－8cos π6t ＋10(t ≥0)解析据题意可设h ＝10－8cos ωt (t ≥0)．由已知周期为12 min ，可知t ＝6时到达最高点，即函数取最大值，知18＝10－8cos 6ω，即cos 6ω＝－1.∴6ω＝π，得ω＝π6.∴h ＝10－8cos π6t (t ≥0)．9．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝ ⎛⎭⎪⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＝1，令π6t －π6＝π2，得t ＝4，故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.10．解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10. ∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1，∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港．若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时． 11．③解析 ∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4，此时P 点纵坐标为2sin(t －π4)，∴d ＝2|sin(t －π4)|.当t ＝0时，d ＝2，排除①④；当t ＝π4时，d ＝0，排除②.12．10sin πt60解析将解析式可写为d ＝A sin(ωt ＋φ)形式，由题意易知A ＝10，当t ＝0时，d ＝0，得φ＝0；当t ＝30时，d ＝10，可得ω＝π60，所以d ＝10sin πt60.。

高中数学第一章三角函数 1.3.4 三角函数的应用课件

(3)经过多长时间小球往返振动一次？解 T＝22π＝π≈3.14，即每经过约3.14秒小球往返振动一次.
(4)每秒内小球能往返振动多少次？解 f＝T1≈0.318，即每秒内小球往返振动约 0.318 次.
要点三构建函数模型解题例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化，每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
(2)如果 t 在任意一段1150秒的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)
都能取得最大值和最小值，那么 ω 的最小正整数值是多少？解依题意，周期 T≤1150，即2ωπ≤1510(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整数ω＝943.
规律方法例题中的函数模型已经给出，观察图象和利用待定系数法可以求出解析式中的未知参数，从而确定函数解析式.此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.
跟踪演练 2 弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间 t(s)内离开平
衡位置(静止时的位置)的距离 h(cm)由下面的函数关系式表示：
h＝3sin2t＋π4.
(1)求小球开始振动的位置；
解令 t＝0，得 h＝3sinπ4＝322，
所以开始振动的位置为0，3

2
2 .

(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；解由题意知，当 h＝3 时，t＝8π，即最高点为π8，3；当 h ＝－3 时，t＝58π，即最低点为58π，－3.
要点二应用函数模型解题例 2 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象，根据图中数据求 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；

江苏省宿迁市高中数学第一章三角函数 1.3.4 三角函数的应用课件1 苏教版必修4

例题2
一个半径为3m的水轮如图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转4圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中P0处)开始计算时间. (1)将点P距离水面的高度z(m)表示为t(s)的函数;
(2)点P第一次到达最高点大约需要多长时间?
y P
O 3 x
-2 P0
练习2
P
练习3. 圆O的半径为r,l为圆外一条直线,圆心O到
5.0
21:00
2.5
6:00
5.0
15:00
7.5
24:00
5.0
(1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,并给出在整点时的水深的近似值.
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口?
0.2m
练习1.如图表示一个半径为3m的水轮,水轮圆心 O距离水面2m,已知水轮自点B开始每分钟转5圈, 水面上点P距离水面y(m)与时间x(s)满足关系:
y Asin(x )(A 0, 0)
则A=________, =________.
y
P 3 O
2
x
B
直线l的距离|OA|=m,且 AOP ,一质点从P
点出发以T秒一周的速度绕O点按逆时针方向作匀速圆周运动,若t秒后质点运动到点Q,求Q到直线l的距离.
y
Q
RrPOABxl
思考练习:
如图所示,有一条河,河岸的一侧有一很高的建筑物AB,一人位于河岸的另一侧的点P处,手中有一测角器和测量长度的皮尺.请你设计一种测量方案(不能过河),并给出计算物高AB和距离PA的公式.希望你的方案中被测量数据的个数尽量少.

高中数学第1章三角函数 1.3.4 三角函数的应用优化训

1.3.4 三角函数的应用5分钟训练（预习类训练，可用于课前） 1.函数y=sin|x|的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．不具有对称性思路解析：方法一：可用数形结合，利用描点法作出函数图象，观察图形可知关于y 轴对称．关于函数图象对称性的问题，可以直接作出图象，也可以利用解析式．如若f(-x)=f(x)，则函数为偶函数，其图象关于y 轴对称；f(-x)=-f(x)，则函数为奇函数，其图象关于原点对称．方法二：∵sin|-x|=sin|x|，∴y=sin|x|为偶函数.故y=sin|x|的图象关于y 轴对称．答案：C2.初速度为v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式（t 是飞行时间）为…( )A.y=|v 0t|B.y=|v 0|·sin θ·tC.y=|v 0|·sin θ·t-21|g|·t 2D.y=|v 0|·cos θ·t 思路解析：本题是与物理相结合的题目，跨学科的题目要注意知识间的内在联系，找出问题的本质转化为数学问题．由速度的分解可知炮弹上升的速度为v 0·sin θ，如下图.故炮弹上升的高度为|v 0|·sin θ·t ．答案：B3.在200米高山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( )A ．3400米 B.34003米 C ．32003米 D ．3200米思路解析：实际问题转化为数学问题时要注意数形结合，利用三角函数列出相等或者不等关系．如下图，设塔高为h 米，则200tan30°=(200-h)tan60°, ∴h=3400米．答案：A10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.图1-3-8中哪一个图象准确描述了某物体沿粗糙斜面滑下时的加速度a 和斜面倾斜角θ之间的关系（摩擦因数不变）( )图1-3-8思路解析：由物理知识可知，当斜面倾斜角θ比较小时，物体处于静止状态，加速度为0．故排除选项A、B．根据受力分析，受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ,∴a=g(sinθ-μcosθ)=g21a+sin(θ-φ)(其中tanφ=μ)．故选D项.答案：D2.如图1-3-9所示，有一广告气球，直径为6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角∠BAC=30°时，测得气球的视角为β=1°，若θ很小时，可取sinθ≈θ，试估算该气球的高BC的值约为( )图1-3-9A.70 mB.86 mC.102 mD.118 m思路解析：1°=180π,在Rt△ACD中，AC=βsinCD．在Rt△ABC中，AC=BACBC∠sin．∴βsinCD=BACBC∠sin.∴BC=180sin30sin3sinsinπβ︒=∠•BACCD=3×21×π180≈86．答案：B3.图1-3-10，是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是_______________________．图1-3-10思路解析：设函数解析式为y=Asin(ωx+φ)，则A=2，由图象可知 T=2×(0.5-0.1)=54, ∴ω=T π2=25π. 2×sin(25π×0.1+φ)=2.∴25π×0.1+φ=2π.∴φ=4π．∴函数的解析式为y=2sin(25πx+4π)．答案：y=2sin(25πx+4π)4.甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高度分别为_______________．思路解析：如图，甲楼的高度AC=AB=60米，在Rt △CDE 中，DE=CE ·tan30°=60×33=203． ∴乙楼的高度为BD=BE-DE=60-203(米)．答案：60米，(60-203)米5.一树干被台风折成60°角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度为______．思路解析：如图，BC=20tan30°=3203，AB=︒60sin AC =3403，所以树干原来的高度为AB+BC=203（米）．答案：203米．6.如图1-3-11，某人身高a=1.77米，在黄浦江边测得对岸的东方明珠塔尖的仰角α=75.5°，测得在黄浦江中塔尖倒影的俯角β=75.6°，求东方明珠的塔高h ．图1-3-11思路解析：解本题的关键是在三角形中利用三角函数知识．解：设黄浦江的宽为b 米，则 b ·tan α=h-a,b ·tan β=h+a ．消去b 得 h=αβαβtan tan tan tan -+·a=)sin()sin(αβαβ-+·a ．当α=75.5°，β=75.6°，a=1.77米时，h=490.1米．志鸿教育乐园聪明的乡下人一个城里人与一个乡下人同坐火车。

高中数学第1章三角函数 1.3.4 三角函数的应用成长训练苏教版必修4

高中数学第1章三角函数 1.3.4 三角函数的应用成长训练苏教版必修4夯基达标1.若函数y=cos2x ，函数y=sin(x+φ)在［0，2π］上的单调性相同，则φ的一个值为（）A.6πB.4πC.3πD.2π 解析：可以判断y=cos2x 在［0，2π］上是单调递减的，故有2k π+2π≤x+φ≤2k π+π23.取k=0,可得φ的一个取值范围2π-φ≤x≤23-φ,则令［0,2π］在［2π-φ,23-φ］上有2223,02ππϕπϕπ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≤-≤φ≤π故D 符合条件. 答案：D2.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x 都有f(6π+x)=f(6π-x)则f(6π)等于（） A.3或0 B.-3或0 C.0 D.-3或3 解析：由f(6π+x)=f(6π-x)知x=6π是f(x)的一个对称轴.故有f(6π)=±3. 答案：D3.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在［-3，-2］上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则f(sin α)与f(cos β)的大小关系是（） A.f(sin α)＞f(cos β) B.f(sin α)＜f(cos β)C.f(sin α)=f(cos β)D.f(sin α)与f(cos β)大小关系不确定解析：由f(x)为偶函数且在（-3，-2］上为减函数,知f(x)在［2，3］上为增函数.又有f(x+1)=-f(x)知f(x)在［1，2］上为减函数，从而推得f(x)在［0,1］上为增函数，由α,β是锐角三角形的两个内角，故有α+β＜2π.即0＜2π-β＜α＜2π. 所以有sin α＜sin(2π-β)=cos β.故有f(sin α)＜f(cos β). 答案：A4.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（2π，π）上为减函数的是（） A.y=cos 2x B.y=2|sinx| C.y=(31)cosxD.y=-cotx 答案:B5.关于函数f(x)=sin 2x-(3π)|x|+21，有下面四个结论，其中正确结论的个数为（） ①f(x)是奇函数 ②当x ＞2 006时，f(x)＞21恒成立③f(x)的最大值是23④f(x)的最小值是-21A.1B.2C.3D.4 解析：f(x)=sin 2(-x)-(32)|-x|+21=sin 2x-(32)|x|+21=f(x).故f(x)为偶函数.由sinx 是周期函数知-21≤f(x)＜23,由此知④正确. 答案：A6.函数f(x)=sin(x+4π)sin(4π-x)的最小正周期是______________. 答案:π7.对于函数f(x)=.cos sin ,cos sin ,cos ,sin 时当时当x x x x x x <≥⎩⎨⎧给出下列四个命题：①该函数的值域是［-1，1］ ②当且仅当x=2k π+2π(k∈Z )时该函数取得最大值1 ③该函数是以π为最小正周期的周期函数 ④当且仅当2k π+π＜x ＜2k π+23π(k∈Z )时f(x)＜0上述命题属真命题的是_____________. 解析：由函数f(x)作图，由图知④正确.答案：④8.关于函数f(x)=4sin(2x+3π)x∈R ，有下列命题 ①由f(x 1)=f(x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍 ②y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-6π) ③y=f(x)的图象关于（-6π，0）对称 ④y=f(x)的图象关于直线x=-6π对称其中正确的命题序号是___________.答案: ②③9.在Rt△ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上.（1）设AB=a ，∠ABC=θ，求△ABC 的面积P 与正方形的面积Q. （2）当θ变化时，QP的最小值. 解析：（1）AC=atan θ,P=21AB·AC=21a 2tan θ. 设正方形边长为x ，∴AG=x cos θ,BC=θαcos ,BC 边上的高h=asin θ.∵θθθsin sin cos a x a a x -=,∴x=θθθcos sin 1sin ∙+a . θ=x 2=222)cos sin 1(sin θθθ∙+a . (2)42sin 2sin 11sin )sin 211(sin )cos sin 1(cos 2sin 22222θθθθθθθθ++=+=∙+∙=Q P . 由0＜θ＜2π⇒0＜2θ＜π. 当且仅当sin θ=1时，即θ=4π.即最小值为49.等号成立，∴42sin 2sin 11θθ++=Q P ≥49. 走近高考10.（经典回放）函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0)以4为最小正周期，且在x=2时取得最小值，则φ可能取得的一个值是（）A.4π B.-4π C.2π D.-2π 解析：ωπ2=4⇒ω=2π,代入得f(x)=sin(2πx+4).当x=2时，有sin(π+4)=-1.逐一验证, 知C 满足条件. 答案：C11.（经典回放）已知函数f(x)=3sinx·co x-cos 2x+21,x∈R ，则f(x)的递减区间为____________. 答案:［k π+3π,k π+65π］k∈Z .12.（经典回放）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M （43π，0）对称，且在区间［0，2π］上单调函数，求φ和ω的值.解：由f(x)是偶函数，得f(-x)=f(x)即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ). ∴-cos φsin ωx=cos φsin ωx 对任意x 都成立.且ω＜0. 得cos φ=0.依题设0≤φ≤π,解得φ=2π. 由f(x)的图象关于点M 对称得f(43π-x)=-f(43π+x). 取x=0,得f(43π)=-f(43π),∴f(43π)=0.∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos3ω4π,∴cos3ω4π=0.又∵ω＜0,得43ωπ=2π+k π,k∈Z .∴ω=32(2k+1),k∈Z .当k=0,时，ω=32,f(x)=sin(32x+2π).在［0，2π］上是减函数.当k=1时，ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在［0，2π］上是减函数.当k≥2时，ω≥310,y=f(x)在［0，2π］上不是单调函数.综上得ω=32或ω=2,φ=2π.。

高中数学第1章三角函数 1.3.4 三角函数的应用温故知新苏教版必修4

1.3.4 三角函数的应用
温故知新
新知预习
1.y=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0,x∈R）的值域_____________.
2.y=sinx的单调递增区间为_____________.单调递减区间为_____________.
3.y=cosx的单调递增区间为_____________，单调递减区间为_____________.
4.y=tanx的单调递增区间为_____________，单调递减区间为_____________.
知识回顾
对于三角函数的单调性，只有属于同一单调区间的同名的两个函数值才能由其单调性来比较大小.在求三角函数的单调区间时，要注意结合复合函数单调性的有关结论，也可用数形结合的办法求之.如求y=Asin(ωx+φ)，（ω＞0）的单调递增区间时则须将它看成复合函数，将ωx+φ代入到y=sinx的单调递增区间并求出x的范围即为所求的单调区间.
1。

高中数学第一章三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)学案苏教版必修4-

1．3.3 函数y ＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)[学习目标] 1.理解y ＝A sin(ωx ＋φ)中ω、φ、A 对图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤．[知识链接] 1．“五点法”作图画正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1，(2π，0)．2．交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系？答交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似，从解析式来看，函数y ＝sin x 就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在A ＝1，ω＝1，φ＝0时的情况． [预习导引]1．函数s ＝A sin(ωx ＋φ)的振幅、周期、频率等在s ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，其中A 为物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；往复振动一次所需的时间T ＝2πω，称为这个振动的周期；单位时间内往复振动的次数f ＝1T ＝ω2π，称为振动的频率；ωx ＋φ称为相位，x ＝0时的相位φ称为初相．2．φ、ω、A 对y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的影响(1)函数y ＝sin(x ＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看做是将函数y ＝sin x 上所有点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的．(2)函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看做是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上的所有点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)而得到的．(3)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看做是把y ＝sin(ωx ＋φ)的图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)而得到的．3．函数y ＝sin x 与y ＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0)的图象可以看做是由下面的方法得到：先画出函数y ＝sin x 的图象；再把正弦曲线向左(当φ>0时)或右(当φ<0时)平移|φ|个单位长度，得到函数y ＝sin(x ＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.要点一三角函数图象的平移变换例1 要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________． ①向左平移π3个单位；②向右平移π3个单位；③向左平移π6个单位；④向右平移π6个单位．答案 ③解析因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以把y ＝sin 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．规律方法已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构． ②找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω. ③明确平移的方向．跟踪演练1 要得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象________．①向左平移π8个单位；②向右平移π8个单位；③向左平移π4个单位；④向右平移π4个单位．答案 ①解析 y ＝sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2 ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π4若设f (x )＝sin 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8－π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以向左平移π8个单位．要点二三角函数图象的伸缩变换例2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是__________________．答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈R 解析把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．规律方法三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换．平移时，若x 的系数不是1，需把x 的系数先提出，提出后括号中的x 加或减的那个数才是平移的量，即x 的净增量．方向的规律是“左加右减”．伸缩时，只改变x 的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大．跟踪演练2 把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是__________________．答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，x ∈R 解析将y ＝sin x 图象上的所有的点向左平移π3个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3.要点三三角函数图象的综合变换例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的32倍y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3――――――――――→横坐标缩短到原来的12倍y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3――――――――→向左平移π6个单位y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝3cos x .∴f (x )＝3cos x .规律方法 (1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．跟踪演练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再将整个图象沿x轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为________．答案 y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2⎝ ⎛⎭⎪⎫或y ＝12cos x 21．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点________________________．答案向左平行移动12个单位长度解析 y ＝sin 2x 的图象向左平移12个单位长度得到函数y ＝sin 2(x ＋12)的图象，即函数y ＝sin(2x ＋1)的图象．2．由y ＝3sin x 的图象变换到y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移________个单位，后者需向左平移________个单位．答案π3 23π 3．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．答案 ±124．将函数y ＝sin(－2x )的图象向左平移π4个单位，所得函数图象的解析式为__________________．答案 y ＝－cos 2x解析 y ＝sin(－2x )――――――――→左移π4个单位y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－cos 2x .1.由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．(2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同： (1)先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位． (2)先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位．2．类似地，y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．一、基础达标1．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝________. 答案 sin x2．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象________．①向左平移π3个单位长度；②向右平移π3个单位长度；③向左平移π6个单位长度；④向右平移π6个单位长度．答案 ②3．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是__________________．答案 y ＝1＋cos 2x解析将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x . 4．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数________．①在区间[π12，7π12]上单调递减；②在区间[π12，7π12]上单调递增；③在区间[－π6，π3]上单调递减；④在区间[－π6，π3]上单调递增．答案 ②解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －23π)．令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －23π)的增区间为[k π＋π12，k π＋712π]，k ∈Z .令k ＝0得其中一个增区间为[π12，712π]，故②正确．画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上的简图，如图，可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π3]上不具有单调性，故③④错误．5．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是________． ①y ＝f (x )是奇函数； ②y ＝f (x )的周期为π；③y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称．答案 ④解析由题意知，f (x )＝cos x ，所以它是偶函数，①错；它的周期为2π，②错；它的对称轴是直线x ＝k π，k ∈Z ，③错；它的对称中心是点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0，k ∈Z ，④对．6．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象，可以将函数y ＝cos 2x 的图象________．①向右平移π6个单位长度；②向右平移π3个单位长度；③向左平移π6个单位长度；④向左平移π3个单位长度．答案 ②解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＝cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.7．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程．解方法一 y ＝sin x ――→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 方法二 y ＝sin x ――→纵坐标不变横坐标缩短为原来的12y ＝sin 2x ――→向右平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 二、能力提升8．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度；②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度；③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度；④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度．答案 ③解析 ∵y ＝2cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4―――――――――――→向左平移π4个单位长度 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 9．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．答案 ①③10．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f (π6)＝________.答案22解析将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin(x ＋π6)的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin(12x ＋π6)的图象，故f (x )＝sin(12x ＋π6)，所以f (π6)＝sin(12×π6＋π6)＝sin π4＝22.11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．12．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，求f (x )的表达式．解方法一正向变换y ＝f (x )――→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )――→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin 2x . 令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.方法二逆向变换据题意，y ＝sin 2x ――→沿x 轴向右平移π6个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.三、探究与创新13．已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0；(1)若y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解 (1)因为ω＞0，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω≥－π2，2π3ω≤π2，解得0＜ω≤34. (2)f (x )＝2sin 2x ， g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1 g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

高中数学第1章三角函数 1.3.4 三角函数的应用教学设计苏教版必修4

1.3.4 三角函数的应用整体设计教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节通过例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用．通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力．培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．三维目标1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．2．通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力，并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．3．通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．重点难点教学重点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题，是本节的难点，主要原因是背景陌生，数据处理较复杂，学习起来感到难以切入．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(问题导入)既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课．思路2.(直接导入)我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性．在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．推进新课新知探究用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题．活动：师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程．对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型．对还没有进入状态的学生，教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法．在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题．这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解．新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知．简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．解决问题的一般程序是：(1)审题：逐字逐句地阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；(2)建模：分析题目变化趋势，选择适当函数模型；(3)求解：对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；(4)还原：把数学结论还原为实际问题的解答．应用示例思路1例1见课本本节例1.变式训练如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝sin(ωx＋φ)＋b.图1(1)求这一天的最大温差；(2)写出这段曲线的函数解析式．活动：这道题目是2002年全国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论．本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题．教师可引导学生思考，本题给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决．题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型．其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差．教师应引导学生观察思考：“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式．让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用．第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式．其中求ω是利用半周期(14－6)，通过建立方程得解．解：(1)由图可知，这段时间的最大温差是20 ℃.(2)从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A＝12(30－10)＝10，b ＝12(30＋10)＝20. ∵12·2πω＝14－6，∴ω＝π8.将x ＝6，y ＝10代入上式，解得φ＝3π4.综上，所求解析式为y ＝10sin(π8x ＋3π4)＋20，x∈[6,14]．点评：本题中所给出的一段图象恰好是半个周期的图象，提醒学生注意抓关键．本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.例2见课本本节例2.例3如图2，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．如果在北京地区(纬度数约为北纬40°)的一幢高为h 0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？图2活动：本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点．在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系．首先由题意要知道太阳高度角的定义：设地球表面某地纬度值为φ，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3，由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：h0＝htanθ.由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况．解：如图3，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意，两楼的间距应不小于MC.图3根据太阳高度角的定义，有∠C＝90°－|40°－(－23°26′)|＝26°34′，所以MC＝h0tanC＝h0tan26°34′≈2.000h0，即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．点评：本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题．要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3，然后由图形建立函数模型，问题得以求解．这道题的结论有一定的实际应用价值．教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.知能训练课本本节练习1、2.课堂小结1．本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？2．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．作业1．图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系I ＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象．图5(1)根据图象写出I ＝Asin(ωx＋φ)的解析式．(2)为了使I ＝Asin(ωx＋φ)中的t 在任意一段1100s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？解：(1)由图知A ＝300，第一个零点为(－1300，0)，第二个零点为(1150，0)， ∴ω·(－1300)＋φ＝0，ω·1150＋φ＝π. 解得ω＝100π，φ＝π3. ∴I＝300sin(100πt＋π3)． (2)依题意有T≤1100，即2πω≤1100， ∴ω≥200π，故ωmin ＝629.2．搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型．解：如以下两例：①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；②蜕皮(tuipi)昆虫纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育．因此，在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继续充分生长、发育．蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的．此外，脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕．设计感想1．本教案设计指导思想是：充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣．2．应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．如果学生选择了不同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的模型进行求解，然后再根据所求结果与实际情况的差异进行评价．3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，有条件的要用多媒体进行动态演示，以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解．备课资料一、备选习题1．下列函数中，图象的一部分如图6所示的是( )图6A ．y ＝sin(x ＋π6)B ．y ＝sin(2x －π6) C ．y ＝cos(4x －π3) D ．y ＝cos(2x －π6) 2.已知函数y ＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π)的一段图象如图7所示，求函数的解析式．图73．已知函数y ＝Atan(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的图象与x 轴相交的两相邻点的坐标为(π6，0)和(5π6，0)，且过点(0，－3)，求此函数的解析式． 4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(厘米)和时间t(秒)的函数关系为s ＝6sin(2πt＋π6)． (1)单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置多少厘米？ (2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？ (3)单摆来回摆动一次需要多少时间？ 5．函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y ＝kx 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．参考答案：1．D2．由图7，得A ＝2，T 2＝3π8－(－π8)＝π2，∴T＝π.∴ω＝2.∴y＝2sin(2x ＋φ)．又∵图象经过点(－π8，2)，∴2＝2sin(－π4＋φ)．∴φ－π4＝2kπ＋π2(k∈Z )．∴φ＝2kπ＋3π4.∴函数解析式为y ＝2sin(2x ＋3π4)．3．∵T＝πω＝5π6－π6，∴ω＝32.∵32×π6＋φ＝0，且－3＝Atan(32×0＋φ)，∴A＝3，φ＝－π4.故y ＝3tan(32x －π4)．4．(1)t ＝0时，s ＝3，即离开平衡位置3厘米；(2)振幅为6，所以最右边离平衡位置6厘米；(3)T ＝1，即来回一次需要1秒钟．5.将原函数化简为f(x)＝sinx ＋2|sinx|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3sinx ，x∈[0，π]，－sinx ，x∈π，2π]，由此可画出图8，图8由数形结合可知，k的取值范围为1＜k＜3.二、数学与音乐若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起．在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中．今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断．乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域．在乐稿上，我们看到速度、节拍(4/4拍、3/4拍，等等)、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等．书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应．作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的．如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数．除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系．毕达哥拉斯学派(公元前585～前400)是最先用比率将音乐与数学联系起来的．他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了和声与整数的关系．他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比．按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶．例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C.不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状．19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点．他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和．每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质，将它与其他乐声区别开来．傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来．音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关．如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展．数学发现，具体地说即周期函数，在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的．许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较．电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关．音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用．(设计者：郑吉星)第2课时导入新课思路1.(作业导入)学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有：物理情景的①简单和谐运动，②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律，②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动，②智力变化状况，③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮，②股票变化等等．思路2.(复习导入)回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．推进新课新知探究三角函数性质在生活中的应用．本章章头引言告诉我们，海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容，怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？教师引导学生复习、回忆、理清思路，查看上节的课下作业．教师指导、适时设问，调动学生的学习气氛．应用示例例1货船进出港时间问题：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001)．(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？活动：引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图，提醒学生仔细、准确地观察散点图，如图9.图9教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin(ωx＋φ)＋h的函数来刻画．其中x是时间，y是水深，我们可以根据数据确定相应的A，ω，φ，h的值．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成，教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深．根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考：你所求出的进港时间是否符合时间情况？如果不符合，应怎样修改？让学生养成检验的良好习惯．在本例的(3)中，应保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？引导学生思考，怎样把此问题翻译成函数模型？求货船停止卸货、将船驶向深水域的含义又是什么？教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．进一步引导学生思考：根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？为什么？正确结论是什么？可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论，最后得出一致结论：在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图(图9)．根据图象，可以考虑用函数y ＝Asin(ωx＋φ)＋h 刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：A ＝2.5，h ＝5，T ＝12，φ＝0，由T ＝2πω＝12，得ω＝π6. 所以这个港口的水深与时间的关系可用y ＝2.5sin(π6x)＋5近似描述．由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：(2)货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5(米)，所以当y≥5.5时就可以进港．令2.5sin(π6x)＋5≥5.5，得sin π6x≥0.2.画出y ＝sin(π6x)的图象，由图象可得 0．4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.故该船在0：24至5：36和12：24至17：36期间可以进港．图10(3)设在时刻x 货船的安全水深为y ，那么y ＝5.5－0.3(x －2)(x≥2)．在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点(如图11)．图11通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.7时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．点评：本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的．对第(2)问的解答，教师需要强调，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的．这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析．如本例中，一天中有两个时间段可以进港，教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释. 变式训练发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数，I A ＝Isinωt，I B ＝Isin(ωt＋120°)，I C ＝Isin(ωt＋240°)，则I A ＋I B ＋I C ＝__________. 答案：0例2已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4＋π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若sinx ＋f(x)＝23，求sinxcosx 的值．解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即sin(－ωx＋φ)＝sin(ωx＋φ)．∴φ＝π2.∴f(x)＝sin(ωx＋π2)＝cosωx. 相邻两点P(x 0,1)，Q(x 0＋πω，－1)．由题意，|PQ|＝πω2＋4＝π2＋4，解得ω＝1. ∴f(x)＝cosx.(2)由sinx ＋f(x)＝23，得sinx ＋cosx ＝23. 两边平方，得sinxcosx ＝－518. 例3小明在直角坐标系中，用1 cm 代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象．若他将纵坐标改用2 cm 代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？若他将横坐标改用2 cm 代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？解：小明原作的曲线为y ＝sinx ，x∈R ，由于纵坐标改用了2 cm 代表一个单位长度，与原来1 cm 代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1 cm 只能代表12个单位长度了．由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为y ＝12sinx ，x∈R .同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2 cm 代表一个单位长度，则横坐标被压缩到原来的12，原曲线周期就由2π变为π.故改变横坐标后，原曲线图象的解析式变为y ＝sin2x ，x∈R .例4求方程lgx ＝sinx 实根的个数．解：由方程式模型构建图象模型．在同一坐标系内作出函数y ＝lgx 和y ＝sinx 的图象，如图12.可知原方程的解的个数为3.图12点评：单解方程是很困难的，而根据方程式模型构建图象模型，利用数形结合来解就容易多了，教师要让学生熟练掌握这一方法．知能训练课本习题1.3 14.课堂小结1．让学生回顾本节课的数学模型都解决了哪些现实生活中的问题，用三角函数模型刻画周期变化规律对国家建设、制定未来计划，以及我们的学习、生活都发挥着什么样的作用．2．三角函数应用题通常涉及生产、生活、军事、天文、地理和物理等实际问题，其解答流程大致是：审读题意→设角建立三角式→进行三角变换→解决实际问题．在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活地运用三角函数的图象和性质解决现实问题．作业课本习题1.3 13.设计感想1．本节是三角函数内容中新增加的一节，目的是加强学生的应用意识，本节教案设计的指导思想，是让学生围绕着采集到的数据展开讨论，在学生思考探究的过程中，学会积极冷静地对待陌生背景，正确处理复杂数据以及准确分析问题中的数量关系，这很符合新课改理念．2．现实生活中的问题是多变的，学生的思维是发散的，观察的视角又是多样的，因此课题教学中，教师要善于挖掘并发现学生思维的闪光点，通过讨论例题这个载体，充分激发学生的潜能，让学生从观察走向发现，从发现走向创造，走向创新．3．学生面对枯燥的数据，潜意识里是讨厌的，因此教师要在有限的课堂时间里，着重解决物理背景下、地理背景下的三角函数的函数模型的选定，不要把时间浪费在一些计算上．备课资料一、备选习题1．图13是周期为2π的三角函数f(x)的图象，那么f(x)可写成( )图13A．sin(1＋x) B．sin(－1－x)C．sin(x－1) D．sin(1－x)。

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