第二章：动力学系统的微分方程模型

第二章：动力学系统的微分方程模型利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。

在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。

在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。

在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。

§2.1 动力学系统统基本元件任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。

1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。

惯量（质量）=）加速度（力（2/)s m N 惯量（转动惯量）=）角加速度（力矩（2/)s rad m N ⋅2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。

按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。

对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。

x k F ∆=这里k 称为弹簧刚度，x ∆是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。

3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。

阻尼力通常表示为：αxc R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。

当1=α，为线性阻尼模型。

否则为非线性阻尼模型。

应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为：||1--=αx xc R 这里的“-”表示与速度方向相反§2.2 动力学建模基本定理1 动力学普遍定理对于大多数力学问题，可以使用我们熟知的牛顿动力学基本定理来解决，动力学普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理，以及其他变形形式，普遍定理的特点是比较直观，针对不同的问题可以选择不同的力学定理，在一般情况下利用普遍定理可以得到大多数动力学系统的数学模型。

1）动量定理与质心运动定理：设系统在任意瞬时的动量矢为K,作用在系统上的外力矢量和为∑i F ，则任意瞬时的动量对时间的导数等于作用在系统中所有外力的矢量和构成了动量定理。

∑=F dtdK（2-1）通常将该式投影到直接坐标轴系、自然坐标轴系等，（更详细的情况请参阅理论力学有关知识）利用质心坐标的计算表达式，可以将动量定理转化为质心运动定理，即：i c F a M ∑= 或： i ci i F a m∑∑= （2-2）其中：M 是系统的总质量，c a 是系统的质心；i m 是分刚体是质心，ci a 是分刚体的质心。

2） 动量矩定理 ： 系统在任意瞬时的动量矩对时间的导数等于作用在系统中所有外力矩的矢量和。

∑=)(00F M dtdH （2-3） 其中，0H 是系统对固定点o 的动量矩， )(F M O 力F 对O 点的矩.除了对固定点的动量矩定理外，还有对质心的动量矩定理，对速度瞬心的动量矩定理和对加速度瞬心的动量矩定理。

3） 动能定理 ： 动能定理的导数形式：系统在任意瞬时的动能对时间的导数等于作用在系统中所有力的功率的代数和。

∑=N dtdT（2-4） 动能定理的积分形式：系统在任意两瞬时的动能的变化等于作用在系统中所有力的功的代数和。

∑=-W T T 122 动力学普遍方程将达朗伯原理与虚位移原理相结合，得到了建立动力学模型的另一种方法。

1) 达朗伯原理 达朗伯原理提供了研究动力学问题的一个新的方法，即借助于惯性力（ a m Q-=）的概念，可用研究静力学平衡的方法来研究动力学问题，这种方法常称为动静法。

即：在任意时刻，质点在主动力、约束力和惯性力的主矢作用下处于平衡；0=++∑∑∑i i i Q N F（2-5）以及主动力、约束力和惯性力对某点的矩矢等于零，即：0)()()(=++∑∑∑i O i O i O Q M N M F M通常先计算惯性力的主矢和主矩，从而得到质点系的达朗伯原理。

2) 虚位移原理虚位移原理本身是通过虚功的引入，提出了求解静力学问题的一种方法，它与达朗伯原理相结合得到了建立动力学模型的另一种方法。

对于理想约束的完整系统，质点（质点系）在其给定位置上处于平衡的必要充分条件是作用在该质点（质点系）上的所有主动力i F 在其作用点的虚位移i r δ上所做的虚功和等于零，即：0=⋅∑i i r Fδ或0)(=⋅+⋅+⋅∑i iz i iy i ix z F y F x F δδδ3） 动力学的普遍方程受理想约束的系统，作用在质点系上的所以主动力和惯性力在各自的虚位移上所做的虚功和等于零，即：0)(1=-∑=r a m F i i i niδ或0])()()[(1=-+-+-∑=i i i zi i i i yi i i i xi ni z zm F y y m F x x m F δδδ 在具体应用这个方程的时候，可以先引入广义坐标，使得问题处理简单。

例2-1 质量为m 均质的杆可以绕O 轴定动，试求系统做微幅振动时的微分方程。

解：杆绕O 轴做定轴转动，水平位置为系统的平衡状态，取杆绕O 轴转动的角度ϕ为坐标，可以方便的使用动量矩定理来建立动力学方程。

（假定在微小转动情况下）a a k a c a t f J 3)33()(ϕϕϕ+-= 这里J 是杆绕O 轴转动的转动惯量。

这是关于ϕ的二阶线性微分方程。

如果不计杆的质量，则微分方程为：)(99t f ka ca =+ϕϕ这个方程是关于ϕ的一阶线性微分方程，称该系统模型为一阶系统。

例2-2 悬浮摆的动力学建模 下图所示为小型起重机简图，21,m m 是吊车和吊重的质量，吊绳长为l 且不计质量，吊车的驱动力为F ，考虑轨道的阻力为xc ，试以θ,x 为广义坐标，建立系统的动力学控制方程。

利用水平方向的质心运动定理，即：(1) )sin (2221x c F l x dtd m xm -=++θ 或： x c - )sin cos (221F l l x m x m =-++θθθθ 重物做平面曲线运动，则可以直接利用牛顿定律得到切线方向的动力学方程：(2) sin )cos (22θθθg m xl m -=+ （1），（2）两式是耦合的非线性动力学方程。

当系统被限制在0=θ附近运动时，可将其在0=θ处线性化处理，则可以得到系统的方程为：))(221F l m x c x m m =-++θ )(221F l l x m x m =-++θθθ当给定)(t F F =时，可以建立仿真模型。

请读者考虑，如果要考虑摆杆的质量，则动力学方程如何？例2-3： 车辆悬架系统的动力学模型考虑图2.2所示的汽车悬架系统示意图。

设计悬架缓冲系统的2211,;,c k c k 的目的是减小车辆在崎岖道路上行驶时产生的震动，因为道路表面的不平坦会引起悬架沿垂直方向的移动和绕某个轴的转动。

图2.2悬架系统示意图 图2.3架系统的受力分析示意图我们将整个系统的质量中心作为坐标的原点,因此系统在不平道路上的振动运动可以看作是质心的沿垂直方向的平移运动以及绕质心的旋转运动。

车架质量为m,转动惯量为J 。

输入车轮的位置信息1y 、2y 表明路况信息。

假设每个车轴的缓冲系统由具有阻尼特性的弹簧构成。

忽略轮胎的质量,每个车轮受到的外力为弹簧弹力与阻尼力之和,即)()()(1111A A A A y k yc s y k dt dc F +=+= )()()(2222B B B B y k yc s y k dtdc F +=+= 其中：1y a y y A -+=ϕ 2y b y y B --=ϕA y 和B y 分别表示每个弹簧距离参考位置的瞬时距离。

代入上式后))((111y a y k dt dc F A -++=ϕ))((222y b y k dt dc F B --+=ϕ根据质心运动与相对于质心的动量矩定理得：B A F F dty d M --=22或者：)()()()(22221111y b y k y b y c y a y k y a y c ym -------+--+-=ϕϕϕϕ 整理后得到：2211221121212121)()()()(y k y k y c yc b k a k b c a cy k k y c c ym +++=-+-+++++ ϕϕ用)(t y 和)(t ϕ分别表示系统质心的平移位移和沿质心的旋转角度。

上式中假定在很小的角度位置条件下满足ϕϕ≈sin ，并且ϕ取顺时针的旋转方向为正方向。

再根据系统相对于质心的动量矩定理可得：a y +12ϕb -a Fb F a F b F dtd J a b A B -≈-=ϕϕϕcos cos 22 其中J 是车驾相对于质心的转动惯量，将上式整理后可得： a y a y k dt dc b y b y k dtd c dtd J ))(())((11122222-++---+=ϕϕϕ或：221122112121222112)()()()(by k ay k y b c yca y b k a k a k b k y c c a c b c J -+-=-+++-+++ ϕϕϕ将系统的动力学方程写成矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡21222112112122212112221121122211211 00y y F F F F y y E E E E y C C C C y B B B B y J m ϕϕϕ简写为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121][][][][][y y F y y E y C y B y A ϕϕϕ其中:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=J m A 00 ][⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=b c a c b c a c b c a c c c B 21212121 ][ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=b k a b kk a k b k a k k k C 21212121][ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b c a c c c E 2121- ][ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=b k a k k k F 2121-][⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡----21121111][][][][][][][][y y F A y y E A y C A y B A y ϕϕϕ 当][A 为非奇异阵时，可以通过矢量信号我们可以得到系统的仿真模型如（图2-5）。