2013年高考理科数学四川卷试题与答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2013四川，理1)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )．A ．{－2}B ．{2}C ．{－2,2}D ．∅2．(2013四川，理2)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( )．A ．AB ．BC ．CD ．D3．(2013四川，理3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )．4．(2013四川，理4)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )．A ．⌝p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉B 5．(2013四川，理5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )．A ．2，π3-B ．2，π6-C ．4，π6-D ．4，π36．(2013四川，理6)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－23y ＝1的渐近线的距离是( )．A ．12 B． C ．1 D7．(2013四川，理7)函数331x x y =-的图象大致是( )．8．(2013四川，理8)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )．A ．9B ．10C ．18D ．209．(2013四川，理9)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )．A ．14B ．12C ．34D ．7810．(2013四川，理10)设函数f (x )(a ∈R ，e 为自然对数的底数)，若曲线y ＝sin x 上存在点(x 0，y 0)使得f (f (y 0))＝y 0，则a 的取值范围是( )．A ．[1，e]B ．[e －1－1,1]C ．[1，e ＋1]D ．[e －1－1，e ＋1]第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013四川，理11)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是__________．(用数字作答)12．(2013四川，理12)在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB u u u r ＋AD u u u r＝λAO u u u r ，则λ＝__________.13．(2013四川，理13)设sin 2α＝－sin α，α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是__________． 14．(2013四川，理14)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是__________．15．(2013四川，理15)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”，例如，线段AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点，现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(2013四川，理16)(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．17．(2013四川，理17)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2A B-cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，(1)求cos A 的值；(2)若a =b ＝5，求向量BA u u u r 在BC uuur 方向上的投影．18．(2013四川，理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率P i (i ＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频数，以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．当n＝2 100的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．19．(2013四川，理19)(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC ＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(1)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；(2)设(1)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．20．(2013四川，理20)(本小题满分13分)已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点P 41,33⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设过点A (0,2)的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．21．(2013四川，理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝22,0,ln,0,x x a xx x⎧++<⎨>⎩其中a是实数．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))为该函数图象上的两点，且x1＜x2.(1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2－x1的最小值；(3)若函数f(x)的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(四川卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．答案：A解析：由题意可得，A＝{－2}，B＝{－2,2}，∴A∩B＝{－2}．故选A．2．答案：B解析：复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称．3．答案：D解析：由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体，故选D．4．答案：D5．答案：A解析：由图象可得，35ππ3π41234T⎛⎫=--=⎪⎝⎭，∴T＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点5π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入f(x)＝2sin(2x＋φ)中得，5πsin16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，令5π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得，φ＝2kπ－π3，k∈Z，又∵φ∈ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则取k＝0，∴φ＝π3-.故选A．6．答案：B解析：由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y=，即－y＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d==.7．答案：C解析：由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A；取x＝－1，y＝1113--＝32＞0，故再排除B；当x→＋∞时，3x－1远远大于x3的值且都为正，故331xx-→0且大于0，故排除D，选C．8．答案：C解析：记基本事件为(a，b)，则基本事件空间Ω＝{(1,3)，(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,1)，(3,5)，(3,7)，(3,9)，(5,1)，(5,3)，(5,7)，(5,9)，(7,1)，(7,3)，(7,5)，(7,9)，(9,1)，(9,3)，(9,5)，(9,7)}共有20个基本事件，而lg a －lg b ＝lga b ，其中基本事件(1,3)，(3,9)和(3,1)，(9,3)使lg ab的值相等，则不同值的个数为20－2＝18(个)，故选C ．9． 答案：C解析：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则由题意可得，0≤x ≤4,0≤y ≤4；而所求事件“两串彩灯同时通电后，第一次闪亮相差不超过2秒”＝{(x ，y )||x －y |≤2}，由图示得，该事件概率1643164S P S -===阴影正方形.10． 答案：A解析：由题意可得，y 0＝sin x 0∈[－1,1]，而由f (x )可知y 0∈[0,1]，当a ＝0时，f (x )∴y 0∈[0,1]时，f (y 0)∈[1．∴f (f (y 0 1.∴不存在y 0∈[0,1]使f (f (y 0))＝y 0成立，故B ，D 错；当a ＝e ＋1时，f (x )y 0∈[0,1]时，只有y 0＝1时f (x )才有意义，而f (1)＝0， ∴f (f (1))＝f (0)，显然无意义，故C 错．故选A ．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．答案：10解析：由二项式展开系数可得，x 2y 3的系数为35C ＝25C ＝10.12．答案：2解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB u u u r ＋AD u u u r ＝AC u u ur ＝2AO u u u r ，∴λ＝2.13．解析：∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α.又∵α∈π,π2⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝12-.∴sin α2=.∴sin 2α＝2-，cos 2α＝2cos 2α－1＝12-.∴tan 2α＝sin2cos2αα14．答案：(－7,3)解析：当x ≥0时，令x 2－4x ＜5，解得，0≤x ＜5.又因为f (x )为定义域为R 的偶函数，则不等式f (x ＋2)＜5等价于－5＜x ＋2＜5，即－7＜x ＜3；故解集为(－7,3)． 15．答案：①④解析：由“中位点”可知，若C 在线段AB 上，则线段AB 上任一点都为“中位点”，C 也不例外，故①正确；对于②假设在等腰Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，如图所示，点P 为斜边AB 中点，设腰长为2，则|PA |＋|PB |＋|PC |＝32|AB |＝C 为“中位点”，则|CB |＋|CA |＝4＜ 对于③，若B ，C 三等分AD ，若设|AB |＝|BC |＝|CD |＝1，则|BA |＋|BC |＋|BD |＝4＝|CA |＋|CB |＋|CD |，故③错；对于④，在梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 的交点为O ，在梯形ABCD 内任取不同于点O 的一点M ，则在△MAC 中，|MA |＋|MC |＞|AC |＝|OA |＋|OC |，同理在△MBD 中，|MB |＋|MD |＞|BD |＝|OB |＋|OD |， 则得，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＞|OA |＋|OB |＋|OC |＋|OD |， 故O 为梯形内唯一中位点是正确的．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知，可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )．所以，a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝232n n-.17．解：(1)由22cos 2A B -cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝35-，得[cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝35-，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝35-.则cos(A －B ＋B )＝35-，即cos A ＝35-.(2)由cos A ＝35-，0＜A ＜π，得sin A ＝45，由正弦定理，有sin a bA =，所以，sin B ＝sin 2b A a =由题知a ＞b ，则A ＞B ，故π4B =.根据余弦定理，有2＝52＋c 2－2×5c ×35⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影为|BA u u u r |cos B .18．解：(1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能． 当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16. 所以，输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16. (2)当n ＝2 100(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝0303128C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝1)＝1213124C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝2)＝2123122C 339⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，P (ξ＝3)＝3033121C 3327⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故ξ的分布列为所以，Eξ＝0×827＋1×49＋2×9＋3×27＝1.即ξ的数学期望为1.19．解：(1)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC ． 由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD ． 因为AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交， 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1. (2)解法一：连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF . 由(1)知，MN ⊥平面AEA 1， 所以平面AEA 1⊥平面A 1MN .所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE . 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角A －A 1M －N 的平面角(设为θ)．设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1. 又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点，且AP＝12，AM ＝1， 所以，在Rt △AA 1P 中，A 1PRt △A 1AM 中，A 1M.从而11AAAP AE A P ⋅==， 11AA AM AF A M ⋅==.所以sin θ＝AE AF =所以cos θ5==.解法二：设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以1A E u u u r ，11A D u u u u r ，1A A u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)． 因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．故M 1,,122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，N 1,122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以1AM u u u u r＝1,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1A A u u u r＝(0,0,1)，NM u u u u r ＝0,0)． 设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则1111,,A M A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u r u u u r n n 即11110,0,A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u ru u u r n n故有1111111,,,10,22,,0,0,10,x y z x y z ⎧⎛⎫()⋅=⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪()⋅()=⎩从而111110,20.x y z z ++=⎪=⎩ 取x 1＝1，则y 1＝所以n 1＝(1，，0)．设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则212,,A M NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u u r u u u u r n n 即2120,0,A M NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r n n故有2222221,,,10,2,,0,x y z x y z ⎧⎫()⋅=⎪⎪⎪⎨⎝⎭⎪()=⎩从而222210,220.x y z ++=⎪= 取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)． 设二面角A －A 1M －N 的平面角为θ， 又θ为锐角， 则cos θ＝1212||||⋅⋅n n n n5=20．解：(1)由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =又由已知，c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===. (2)由(1)知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1.设点Q 的坐标为(x ，y )．(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭. (2)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2.因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1＋2)，(x 2，kx 2＋2)，则|AM |2＝(1＋k 2)x 12，|AN |2＝(1＋k 2)x 22.又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)x 2. 由222211||||||AQ AM AN =+，得22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)， 即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32. 由②可知，x 1＋x 2＝2821k k -+，x 1x 2＝2621k +， 代入①中并化简，得2218103x k =-.③ 因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上，所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18. 由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x∈⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∪⎛ ⎝⎭.又0,25⎛- ⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18， 故x∈⎛ ⎝⎭.由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内， 所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1， 则y∈1,225⎛-⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x∈22⎛-⎝⎭，y∈1,225⎛- ⎝⎦. 21．解：(1)函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为[－1,0)，(0，＋∞)． (2)由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为f ′(x 1)，点B 处的切线斜率为f ′(x 2)， 故当点A 处的切线与点B 处的切线垂直时，有f ′(x 1)f ′(x 2)＝－1. 当x ＜0时，对函数f (x )求导，得f ′(x )＝2x ＋2. 因为x 1＜x 2＜0，所以，(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝－1. 所以2x 1＋2＜0,2x 2＋2＞0.因此x 2－x 1＝12[－(2x 1＋2)＋2x 2＝1，当且仅当－(2x 1＋2)＝2x 2＋2＝1，即132x =-且212x =-时等号成立．所以，函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线互相垂直时，x 2－x 1的最小值为1.(3)当x 1＜x 2＜0或x 2＞x 1＞0时，f ′(x 1)≠f ′(x 2)，故x 1＜0＜x 2.当x 1＜0时，函数f (x )的图象在点(x 1，f (x 1))处的切线方程为y －(x 12＋2x 1＋a )＝(2x 1＋2)(x －x 1)，即y＝(2x 1＋2)x －x 12＋a .当x 2＞0时，函数f (x )的图象在点(x 2，f (x 2))处的切线方程为y －ln x 2＝21x (x －x 2)，即y ＝21x·x ＋ln x 2－1.两切线重合的充要条件是12221122,ln 1.x xx x a ⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩①②由①及x 1＜0＜x 2知，－1＜x 1＜0. 由①②得，a ＝x 12＋11ln22x +－1＝x 12－ln(2x 1＋2)－1.设h (x 1)＝x 12－ln(2x 1＋2)－1(－1＜x 1＜0)， 则h ′(x 1)＝2x 1－111x +＜0. 所以，h (x 1)(－1＜x 1＜0)是减函数． 则h (x 1)＞h (0)＝－ln 2－1， 所以a ＞－ln 2－1.又当x 1∈(－1,0)且趋近于－1时，h (x 1)无限增大， 所以a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．故当函数f (x )的图象在点A ，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(－ln 2－1，＋∞)．。