中南大学2007年高等代数考研试题

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中南大学研究生入学考试试题高等代数

中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目：高等代数注：以下2R 表示n 维实列向量空间，n n R ⨯表示n 阶实矩阵的全体，T A 表示矩阵A 的转置，()Tr A 表示矩阵A 的迹。

一、（20分）设0x 是n 维欧氏空间V 中非零向量，,0k R k ∈≠，定义变换00(,),Tx x k x x x x V =+∈1．验证T 是线性变换； 2．设0x 在V 的标准正交基12,,,n e e e 下的坐标为()12,,,n ξξξ，求在该基下的矩阵；3．证明T 为对称变换，即(,)(,)Tx y x Ty =，,x y V ∀∈； 4．证明：T 为正交变换的充要条件是22k x =-。

二、（16分）设n n A R ⨯∈，记(){:,}.n n C A B AB BA B R ⨯==∈1．证明：()C A 是n n R ⨯的子空间； 2．当A I =时，求()C A ； 3．当100002000A n ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时，求()C A 的维数和一组基。

三、（16分）设12(,,,)T n b b b b =为n 维非零列向量，求矩阵00H b A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量，其中H b 表示列向量b 的共轭转置。

四、（14分）设,,n n n A R b x R ⨯∈∈，证明线性方程组T T A Ax A b =必有解。

五、（12分）设,A B 为n 阶实矩阵，证明0.A B BA≥-六、（12分）求证：A 为幂零阵（即存在正整数m ，使得0m A =）的充要条件是：对任一自然数r ，有()0.r Tr A =七、（10分）设,A B 是n 阶实对称矩阵，0A ≠，证明：A 为正定矩阵的充要条件是，对所有正定矩阵B ，恒有()0.Tr AB >中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、填空题：（每小题6分，共30分）1、设四阶方阵1234(,,,)A αααα=，1234(,,,)B βααα=，其中1234,,,,ααααβ为4维列向量，若||1,||2A B ==，则||()A B +=。

2007年考研数一真题及解析

2007年考研数学一真题及参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 (B) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ）1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2007年考研数学一真题及参考答案

2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)当时，与等价的无穷小量是(A)(B)(C)(D)【答案】B。

【解析】时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】D。

【解析】由于，则是曲线的垂直渐近线；又所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在一侧。

则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。

【解析】-3-2-10123【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C)若存在，则存在(D)若存在，则存在【答案】D。

【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。

(C)存在，知，则则存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是不存在，故命题(D)不正确。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在内具有二阶导数，且,令,则下列结论正确的是 (A)若,则必收敛(B)若,则必发散 (C)若,则必收敛(D)若,则必发散【答案】D 。

2007年考研数学试题详解及评分参考

f (x, y)dy =
G
G dy = y2 - y1 < 0 ，是正确选项；
ò ò 对选项(C)，有 f (x, y)ds = ds = l > 0 ，（其中 l 为的弧长），应排除；
G
G
ò ò 对选项(D)，有
G
f
¢
x
(
x,
y)dx
+
f
¢
y
(
x,
y)dy
=
0dx + 0dy = 0 ，应排除.
G
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2007 年数学试题详解及评分参考
2007 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题详解及评分参考
数学（一）
一、选择题（ 1 ～ 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。）
(1) 当 x ® 0+ 时，与 (A) 1- e x
【答】应选 (B) .
x 等价的无穷小量是
1- x
1- x 1- x
x+x:
x ，1- cos
x
:
1 2
(
x )2
=
1 2
x
.
故选 (B) .
(2)
曲线 y
=
1 x
+ ln(1+ ex ) 渐近线的条数为
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【答】应选 (D) .
【解】
因 lim y x®+¥
=
lim [1 x x®+¥
+ ln(1+ ex )] = +¥ ， lim x®-¥
y
=
lim [1 x x®-¥

2007年考研数学一真题及解析

2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 ( ) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( )A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ）,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）31211x e dx x⎰＝_______. （12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y xz f x y =，则zx∂∂＝______. (13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________. 三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。

2007全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分

2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分一、2007年：1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ ] 【答案】A【详解】用定义进行判定:令0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 又 011011101=---，故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】B【详解】由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .3、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为 . 【答案】1【详解】依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1.4、(2007年数学一、二、三、四)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321xa x x ax x x x x x ①与方程12321-=++a x x x ②有公共解，求a 的值及所有公共解．【分析】两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】将①与②联立得非齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++.12,04,02,03213221321321a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a .于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ，此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ，k 为任意常数.2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ，故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭, 即①与②有唯一公共解: 为123011x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5、(2007年数学一、二、三、四)设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ．【分析】根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A ，故 1351)4(ααE A A B +-=113154ααα+-=A A1114ααα+-=12α-=，从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即0,03121==ααααT T 所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1,1,1(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ,其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 , 故可取2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, 3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101.即B 的全部特征值的特征向量为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111k , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.(II) 令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111, 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121BP P ，得 1112-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110.二、2008年：1、（2008年数学一、二、三、四）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则[ ]则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).2、（2008年数学一）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x x yz A y z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为[ ](A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).3、（2008年数学二、三、四）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为[ ] (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【答案】应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.4、(2008年数学一) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．5、（2008年数学二）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．【详解】由482-=A ，依据方阵行列式的性质，则有48223-==A A ，即6-=A .又A 等于其特征值的乘积，即632321-=⨯⨯=⨯⨯=λλλλA ,得1-=λ. 6、（2008年数学三）设3阶方阵A 的特征值为1,2,2,E 为单位矩阵，则=--E A 14 .【答案】应填3．【详解】由方阵特征值的性质，E AA f -=-14)(，则14)(1-=-λλf ，故方阵EA --14的特征值分别为1,1,3，又由方阵行列式等于其特征值的乘积，则有341=--E A .7、（2008年数学四）设3阶方阵A 的特征值互不相同，若行列式0=A ，则A 的秩为 . 【答案】应填2．【详解】由题可知，方阵A 的特征值含有0，而其余两个非零，故A 的秩为2.8、（2008年数学一）设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明：（I ）秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤．【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤．因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<． 9、(2008年数学一、二、三、四) 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+．（III ）【详解】当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．10、(2008年数学二、三、四)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=．用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=．因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+，所以 1123233()0k k k k ααα-+++=，即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故 123,,ααα线性无关．（II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．三、2009年：1、（2009年数学一）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,nηηη的过渡矩阵。

2007考研数一真题答案及详细解析

h(a) =f(a)-g(a) =M-g(a)�O, h(/J) =f依） — g(/J) =f(/J) —M<o,
P 由介们定理，存在介于a与之间的点刀，使得h(r;) = O.
综上，存在吓E(a,b),使得h(r;)=O. 因此由罗尔定理可知，存在名ECa,r;),名E(17,b),使得
h I(名） =h'(名） =O,
= O,
故 x-+=时有斜渐近线y =x.
综上，所求曲线的渐近线条数为 3 条，答案为 D.
(3) C
解如题目中图所示，大小半圆的面积分别为六与一 14 六．
按定积分的几何意义知，当 x E[0,2]时f(x)�O,当 x E[2,3]时f(x)�O. 则
I I 2(:) ! F(3)=
勹 (t)dt=
(x2 )" n!
=xe立、2
,x、EC�=,
十=).
(21)解因为方程组也与＠的公共解，即为联立方程组 x1+x2+x3 = 0,
x1 +2x2+a儿、 3 = O, ＠
X 1 +4x2 +a勹3�o, ｀亢 1+2x2 +.:r :, =a — 1
的解
对方程组＠的增广矩阵A施以初等行变换，有
。。 1 1 1
= J'(0)存在．
工 -o
x-o X
工-o
X
因此A、B、C正确．故应选D.
(5) D 解
、
由广(x)>O (x>O)得J'(x)在(0, 十=)单调上升.j (x)只有以下三种情形：
(1)由存在x。 E (o, 十=), 厂(x。 )=O得

2007年考研试题及答案A

一、填空题（30分）：1. （6分）由晶闸管构成的三相半波可控整流电路，当输入交流电压为t u ωsin 3112=，纯阻性负载且其值为10R =Ω，当控制角45α=时，输出平均电压为，输出的功率因数是。

2．（6分）由晶闸管构成的单相桥式全控整流电路，当输入交流电压为t u ωsin 1412=，负载为反电动势且直流侧串联平波电抗器，已知60V, L=2E R =∞=Ω，，当控制角30α=时，输出平均电压为，输出平均电流为。

3．（3分）缓冲电路( Snubber Circuit ) 的作用是。

4．（3分）在交流供电系统中，当基波电流为140A I =，各次谐波电流分别为35792A, 1A, 0.5A, 0.2A I I I I ====, 则电流谐波总畸变THD 为。

5．（3分）在逆变电路中，对于同一桥臂的开关管要采取“先断后通”的方法，也就是死区时间的设定，其目的是。

6．（6分）单相桥式电压型逆变电路，180导通角，d 560V U =，则输出电压的基波有效值是，当只考虑10次以内的谐波电压时，输出电压的有效值是。

7．（3分）在SPWM （Sinusoidal Pulse Width Modulation ）控制的三相逆变电路中，设定的开关管的开关频率是20KHz ，逆变电路输出交流电压的频率为400Hz ，那么SPWM 控制电路中载波频率和调制波频率应分别设置为和。

二、简答题（60分）：1．（7分）IGBT 在过流及短路过程中，系统如何检测并实施保护的？2．（7分）为什么晶闸管的触发信号通常不使用直流信号？ 3．（7分）试说明有关晶闸管和电力晶体管的关断过程？4．（7分）请叙述电力二极管的反向恢复过程，在高频开关电路中，应选择什么型号的二极管？5．（8分）利用晶闸管SCR 构成的简易照明延时开关电路如图1所示，HL 是灯泡，SB 是开关，试分析此电路的工作原理。

2007数学考研真题二

2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)当0x +→(A)1-(B)ln .(C)1.(D)1-.[B ]【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -=利用排除法知应选(B).(2)函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =(A)0.(B)1.(C)2π-.(D)2π.[A ]【分析】本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。

【详解】f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2π±又11110()tan tan lim lim 1(1)1()xxx x xx e e x x e exx e e e e --→→++=⋅=⋅-=---，11110()tan tan lim lim 111()x xx x xx e e x x e exx e e e e++→→++=⋅=⋅=--，可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).(3)如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =--.(B)5(3)(2)4F F =.(C))2(43)3(F F =-.(D))2(45)3(--=-F F .[C ]【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

2007年中国科学院高等代数考研试题

中国科学院研究生院2007年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：高等代数考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1． (10分) 设多项式(),(),()f x g x h x 只有非零常数公因子，证明：存在多项式，使得 (),(),()u x v x w x ()()()()()()1u x f x v x g x w x h x ++=。

2． (10分) 设,,m n p 都是非负整数，证明： 1)++整除。

2(x x 33132()m n p x x x ++++3． (10分) 设A 是n 阶实数矩阵，0A ≠，而且A 的每个元素都和它的代数余子式相等。

证明A 是可逆矩阵。

4． (25分) 计算n 阶行列式2cos 112cos 112cos 112cos 112cos n D ααααα=O OO 5. (20分) 设是齐次线性方程组12,,,n k ααα∈L R 0AX =的基础解系，，,s t ∈R 11211,,,k k k k k s t s t s t 1βααβααβαα−−=+=+=+L 。

试问：应该满足什么关系，使得,s t 11,,,k k βββ−L 是方程组0AX =的基础解系，反之，当11,,,k k βββ−L 是方程组的基础解系时，这个关系必须成立。

0AX =科目名称：高等代数第1页共2页5． (15分) 设A 是实对称矩阵，如果A 是半正定的，则存在实的半正定矩阵B ，使得2A B =。

6． (20分) 已知⎟⎟，试证明对于3n ≥有I 100101010A ⎛⎞⎜=⎜⎜⎟⎝⎠−22n n A A A =+−，并计算100A ，其中I 表示单位矩阵。

7． (20分) 设二次型2342221231213f 22x x x ax x x x =++++bx x +通过正交变换化为标准形22232f y y ，求参数,a b 及所用的正交变换。

07中南大学高代

3、（本题满分15分）设都是阶矩阵域上向量空间，是按如下方法定义
的线性变换：
这里，
求线性变换的核和像以及
5、（本题满分20分）设是非零实方阵，是的伴随矩阵，是的转置
矩阵，
1．（10分）证明；
2．（10分）若是的特征值，则
6、（本题满分20分）求下列矩阵的特征值和特征向量：
7、（本题满分20分）设是正定矩阵，是半正定矩阵，证明：
1．（10分）的所有根；
2．（10分）
8、（本题满分20分）设和都是数域上向量空间，和分别是和的线
性变换组成的向量空间，是到的同构映射。
1．（5分）证明：，有；
2．（15分）证明：，这里表示同构。
中南大学
2007年研究生入学考试试题
考试科目：高等代数
1、填空题（每小题5分，共25分）
1．设（
）
2．设，则秩（
）
3．设是实数域，，试写出中的正交补（
）
4．设是向量空间上的线性变换，向量，则在基下的坐标为（
）
5．取何值时，是正定二次型？
（
）
2、（本题满分15分）设为正整数，证明整除的充要条件是整除

2007考研数二真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：110 小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是( )A .1x e - 1.l n 1xB x+- .11C x +- .1c o s D x -(2)函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[],ππ-上的第一类间断点是x =( ).A 0 .B 1 .C 2π-.D 2π(3) 如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上的图形分别是直径为2的上、下半圆周.设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是( ).A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--(4) 设函数()f x 在0x =连续，则下列命题错误的是( ).A 若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在(5) 曲线1ln(1)xy e x=++渐近线的条数为( ).A 0 .B 1 .C 2 .D 3(6) 设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0f x ''>，令()(1,2,)n u f n n == ，则下列结论正确的是( ).A 若12u u >，则{}n u 必收敛 .B 若12u u >，则{}n u 必发散.C 若12u u <，则{}n u 必收敛 .D 若12u u <，则{}n u 必发散(7) 二元函数(,)f x y 在点(0,0)处可微的一个充分条件是( )32-1O1 -2 -3yx.A[](,)(0,0)lim(,)(0,0)0x y f x y f →-=.B []0(,0)(0,0)lim0x f x f x→-=且[]0(0,)(0,0)lim 0y f y f y→-=.C[]22(,)(0,0)(,)(0,0)lim0x y f x y f x y→-=+.D []0lim (,0)(0,0)0x x x f x f →''-=且 0lim (0,)(0,0)0y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ (8) 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于( ).A 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰(9) 设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 ( ).A 12αα-2331,,αααα-- .B 21αα+2331,,αααα++ .C 1223312,2,2αααααα--- .D 122332,2,2αααααα+++ (10) 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则A 与B ( ) .A 合同，且相似 .B 合同，但不相似 .C 不合同，但相似 .D 既不合同，也不相似二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(11) 30arctan sin lim_________x x xx →-=(12) 曲线2cos cos 1sin x t t y t⎧=+⎨=+⎩上对应于4t π=的点处的法线斜率为_____(13) 设函数123y x =+，则()(0)___________n y =(14) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432x y y y e '''-+=的通解为_____y =(15) 设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z zxy x y∂∂-=∂∂＿＿＿＿＿ (16) 设矩阵01000010,00010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)设()f x 是区间[0,]4π上的单调、可导函数，且满足()10cos sin ()sin cos f x xt tf t dt tdt t t--=+⎰⎰其中1f-是f 的反函数，求()f x .(18)设D 是位于曲线2(1,0)x ay xa a x -=>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域.(I) 求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()V a ; (II) 当a 为何值时，()V a 最小？并求出最小值.(19)求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.(20)已知函数()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=，函数()y y x =由方程11y y xe --=所确定.设(ln sin )z f y x =-，求2002,x x dzd zdxdx ==.(21)设函数()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=(22)设二元函数 222,1(,)1,12x x y f x y x y x y⎧+≤⎪=⎨<+≤⎪+⎩计算二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰，其中{}(,)2D x y x y =+≤(23)设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程 12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 得值及所有公共解.(24)设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.(I)验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；(II) 求矩阵B .2007年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题 (1)【答案】B 【详解】方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小，当0x →时，11;11;2xe x x x -+- 2221cos 2sin 2(),222x xx x -==当0x +→时，此时0x →，所以11();11;2xe x x x --+- 211cos (),2x x - 可以排除A 、C 、D ，所以选(B). 方法2： 1ln1x x +=-1ln 1x x x x -++=-ln[1]1x xx++-当0x +→时，11x -→，01x xx+→-，又因为0x →时，()ln 1x x + ，所以()ln[1]~~1~11x x x xx x x x x x x++++=+--，选(B).方法3：()0001111ln()ln()()1111lim limlim 12x x x x x x x x x x x xxx+++'''→→→+⎡⎤+-+⎢⎥-+--⎣⎦=洛()()()()()2001111211221lim lim 1112x x x x x x x x x x x x xx++→→-++-⋅+-+-==+- 设()()()2211111x x xA B x xx x+-=++-+-，则()()11422A x B x x x x x -++=+- 对应系数相等得：2,1A x B = =，所以原式()()()022121lim lim 1111x x x x xx x x x x++→→+-⎡⎤==+⎢⎥+-+-⎣⎦021lim lim 0111x x x x x++→→=+=++-1=，选(B). (2)【答案】( A)【详解】首先找出()f x 的所有不连续点，然后考虑()f x 在间断点处的极限.()f x 的不连续点为0、1、2π±，第一类间断点包括可去间断点及跳跃间断点.逐个考虑各个选项即可.对A : 111111101()tan (1)lim ()lim lim lim 1,()(1)xxx x x x x xxxe e x e e e ef x x e e e ee e ++++-→→→→-+++====---11101110000lim ()tan lim ()lim lim 1.()lim x x x x x x x x x x x e e e e x e e e f x e x e e e e e e -----→→→→→⎛⎫+⎪++⎝⎭=====--⎛⎫--- ⎪⎝⎭()f x 在0x =存在左右极限，但()()0lim lim x x f x f x +-→→≠，所以0x =是()f x 的第一类间断点，选(A)；同样，可验证其余选项是第二类间断点，()1lim x f x →=∞，()2lim x f x π→=∞，()2lim x f x π→-=∞. (3)【答案】C【详解】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t d t =⎰ 知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --==- -- -=- =⎰⎰⎰令因为，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3)F F -=.而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以 232333(3)()()(2)288424F f t dt f t dt F ππππ=+=-==⋅=⎰⎰所以 3(3)(3)(2)4F F F -==，选择C (4)【答案】( D) 【详解】方法1：论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确.由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=，所以(A)正确；由选项(A)知，(0)0f =，所以00()(0)()lim lim 0x x f x f f x x x→→-=-存在，根据导数定义，0()(0)'(0)lim 0x f x f f x →-=-存在，所以(C)也正确；由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=所以0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦即有(0)0f =.所以(B)正确，故此题选择(D).方法2：举例法，举例说明(D)不正确. 例如取()f x x =，有00()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在而 ()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---，()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--，左右极限存在但不相等，所以()f x x =在0x =的导数'(0)f 不存在. (D)不正确，选(D).(5)【答案】D【详解】因为001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭001lim lim ln(1)x x x e x →→=++=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；因为1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++⎪⎝⎭--1lim lim ln(1)000x x x e x →∞→∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令 21l n (1)1l n (1)l i m l i m l i m x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+10lim 11xx x e e →+∞+ +=洛必达法则令 ()1l i m l i m l n (1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()1lim lim ln(1)x x x e x x →+∞→+∞=++-()ln 0lim ln(1)ln x x x x x e e e →+∞= ++- 1lim ln()xx x e e→+∞+=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y x =是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择(D)。

高等代数考研真题第一章多项式

第一章多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。

2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。

（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式（x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0（x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x)3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n-1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。

4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。

证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。

6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m(x)。

7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

07考研数一真题及答案

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为_______ 【详解】因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故3条(8) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B_______(填是否合同，相似)【详解】由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同.二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)(11)12311x e dx x⎰=_______ 【分析】先作变量代换，再分部积分。

【详解】111213213211211()t xt txe dx t e dt te dt x t ==-=⎰⎰⎰ =111121112221.2tt t tdetee dt e =-=⎰⎰(12) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂∂=_______ 【详解】利用复合函数求偏导公式，有z x∂∂=112ln .y xf yx f y y -''⋅+⋅ (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的通解为_______ 其中21,C C 为任意常数.【详解】特征方程为2430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x xy C e C e =+设非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的特解为*2xy ke=，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为32122.x x xy C e C e e =+-(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则dS y x ⎰⎰∑+|)|(= _______【详解】由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ⎰⎰∑=0. 又曲面:1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是dS y x ⎰⎰∑+|)|(=dS y ⎰⎰∑||=dS x ⎰⎰∑||=dS z ⎰⎰∑||=dS z y x ⎰⎰∑++|)||||(|31=dS ⎰⎰∑3123831⨯⨯==43.3 (15) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为_______. 【详解】依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1. 三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。

中南大学研究生入学考试试题高等代数

一、（20分）设0x 是n 维欧氏空间V 中非零向量，,0k R k ∈≠，定义变换1．验证T 是线性变换；2．设0x 在V 的标准正交基12,,,n e e e 下的坐标为()12,,,n ξξξ，求在该基下的矩阵；3．证明T 为对称变换，即(,)(,)Tx y x Ty =，,x y V ∀∈；4．证明：T 为正交变换的充要条件是202k x =-。

二、（16分）设n n A R ⨯∈，记1．证明：()C A 是n n R ⨯的子空间；2．当A I =时，求()C A ；3．当时，求()C A 的维数和一组基。

三、（16分）设12(,,,)T n b b b b =为n 维非零列向量，求矩阵的特征值和特征向量，其中H b 表示列向量b 的共轭转置。

四、（14分）设,,n n n A R b x R ⨯∈∈，证明线性方程组必有解。

五、（12分）设,A B 为n 阶实矩阵，证明六、（12分）求证：A 为幂零阵（即存在正整数m ，使得0m A =）的充要条件是：对任一自然数r ，有()0.r Tr A =七、（10分）设,A B 是n 阶实对称矩阵，0A ≠，证明：A 为正定矩阵的充要条件是，对所有正定矩阵B ，恒有()0.Tr AB >中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、填空题：（每小题6分，共30分）1、设四阶方阵1234(,,,)A αααα=，1234(,,,)B βααα=，其中1234,,,,ααααβ为4维列向量，若||1,||2A B ==，则||()A B +=。

2、设六阶方阵A 的秩等于4，则A 的伴随矩阵*A 的秩等于()。

3、设三阶方阵A 的行列式1||2A =，1A -为A 的逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，则*11|()|()2A A --=。

中南大学2002-2009研究生入学考试试题高等代数

中南大学2002-2009研究生入学考试试题高等代数中南大学2002年研究生入学考试试题考试科目：高等代数注：以下2R 表示n 维实列向量空间，n n R ?表示n 阶实矩阵的全体，T A 表示矩阵A 的转置，()Tr A 表示矩阵A 的迹。

一、（20分）设0x 是n 维欧氏空间V 中非零向量，,0k R k ∈≠，定义变换00(,),Tx x k x x x x V=+∈1．验证T 是线性变换；2．设0x 在V 的标准正交基12,,,n e e e 下的坐标为()12,,,n ξξξ ，求在该基下的矩阵；3．证明T 为对称变换，即(,)(,)Tx y x Ty =，,x y V ?∈； 4．证明：T 为正交变换的充要条件是22k x =-。

二、（16分）设n n A R ?∈，记(){:,}.n nC A B AB BA B R==∈1．证明：()C A 是n n R ?的子空间； 2．当A I =时，求()C A ；3．当100002000A n ?? ? ?= ? ???时，求()C A 的维数和一组基。

三、（16分）设12(,,,)T n b b b b = 为n 维非零列向量，求矩阵0H b A b=?的特征值和特征向量，其中H b 表示列向量b 的共轭转置。

四、（14分）设,,n n n A R b x R ?∈∈，证明线性方程组TTA Ax A b=必有解。

五、（12分）设,A B 为n 阶实矩阵，证明0.A B BA ≥-六、（12分）求证：A 为幂零阵（即存在正整数m ，使得0m A =）的充要条件是：对任一自然数r ，有()0.r Tr A =七、（10分）设,A B 是n 阶实对称矩阵，0A ≠，证明：A 为正定矩阵的充要条件是，对所有正定矩阵B ，恒有()0.Tr AB > 中南大学2003年研究生入学考试试题考试科目：高等代数一、填空题：（每小题6分，共30分）1、设四阶方阵1234(,,,)A αααα=，1234(,,,)B βααα=，其中1234,,,,ααααβ为4维列向量，若||1,||2A B ==，则||()A B +=。

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