4-4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
Asin(ωxφ)的图像及三角函数模型的简单应用文(2021年整理)
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课时作业（十八)第18讲函数y=A sin(ωx+φ）的图像及三角函数模型的简单应用时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.函数f（x）=sin x cos x+cos 2x的最小正周期和振幅分别是（)A. 2π,1B。
2π，2C。
π，1 D. π,22.已知函数f(x）=cos x—sin(2x+φ)（0≤φ≤π）有一个零点为π，则φ的值是（)A. B.C。
D。
3.［2017·孝义模拟]将函数y=sin x的图像向左平移φ(0≤φ≤2π)个单位长度后，得到函数y=sin的图像,则φ等于(）A. B.C。
D。
图K18—14.若函数y=sin（ωx+φ)（ω〉0）的部分图像如图K18-1所示，则ω等于.5。
将函数f（x)=sin(ωx+φ)ω>0，—〈φ<的图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变,再将所得图像向右平移个单位长度后得到y=sin x的图像，则f= 。
能力提升图K18-26.[2018·玉溪一中月考］已知函数f（x)=A sin(ωx+φ)x∈R,A〉0,ω>0，｜φ|〈的部分图像如图K18-2所示,则f（x）的解析式是()A. f(x)=2sinB。
f(x）=2sinC. f（x）=2sinD. f（x)=2sin7。
19课题：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用 (1)
课题：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用一、考点梳理：1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种方法二、基础自测：1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π82．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．23．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位三、考点突破：考点一、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例1】 1.(2018·四川高考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π32．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2考点二、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像【例2】已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R . (1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？[类题通法] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．(2)图像变换法：由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．提醒：五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同． 考点三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用【例3】如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点， MD ·MN＝π218.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间．四、当堂检测1．(2018·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π42．(2018·全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________3.函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图像如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为 五、课后巩固：1．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 2．(2018·全国大纲卷)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．23．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12 C.12D.324．(2018·福建)将函数f (x )＝sin (2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π65．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3， (12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围．7.将函数y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍．这样得到函数f (x )的图像．若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.(1)将函数g (x )化成g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 其中A ，ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的形式； (2)若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，θ0上的最大值为2，试求θ0的最小值．课题：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用一、考点梳理：1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3．由函数y ＝sin x 的图像变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种方法二、基础自测：1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，－π4 B ．2，12π，－π4 C ．2，1π，－π8 D ．2，12π，－π8 答案：A2．把y ＝sin 12x 的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图像，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．2 答案：C3．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图像，只要将函数y ＝cos 2x 的图像( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解析：选C ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋12，∴只要将函数y ＝cos 2x 的图像向左平移12个单位即可． 4．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0三、考点突破：考点一、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例1】 1.(2018·四川高考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3解析：选A 由图知最小正周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2，将图像最高点的坐标⎝⎛⎭⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，φ＝－π3，选A. 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 解析：选D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－56π，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2. [类题通法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.考点二、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像 【例2】已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到f (x )的图像？ [解] (1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图像．x π2 32π 52π 72π 92π 12x －π4 0 π2 π 32π 2π f (x )3－3本例第(2)问变为：由函数y ＝sin x 的图像作怎样的变换可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像？ 解：把y ＝sin x 的图像上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图像上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像． [类题通法] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图像的两种作法(1)五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像．(2)图像变换法：由函数y ＝sin x 的图像通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．提醒：五点作图取值要准确，一般取一个周期之内的；函数图像变换要注意顺序，平移时两种平移的长度不同． [针对训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，则φ＝________.解析：y ＝cos(2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位得到y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ的图像，整理得y ＝cos(2x －π＋φ)．∵其图像与y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像重合，∴φ－π＝π3－π2＋2k π，∴φ＝π3＋π－π2＋2k π.即φ＝5π6＋2k π.又∵－π≤φ<π，∴φ＝5π6.答案：5π62．设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<0的最小正周期为π，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝32. (1)求ω和φ的值； (2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图像．解：(1)最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f ⎝⎛⎭⎫π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π4＋φ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，∴sin φ＝－32. ∵－π2<φ<0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3，列表： 图像如图所示．考点三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用x 0 π6 512π 23π 1112π π 2x －π3－π3 0 π2 π 32π 53π f (x )121－112【例3】如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点， MD ·MN ＝π218. (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)由已知F (0,1)是线段MD 的中点，可知A ＝2，∵MD ·MN ＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，∴T ＝2π3，ω＝3，∴f (x )＝2sin(3x ＋φ)，设D 点的坐标为(x D,2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)，∴x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0.∵0<φ<π2，∴φ＝π4， ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )． [类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x . 利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．[针对训练] 将函数y ＝sin x 的图像向右平移π3个单位，再将所得的图像上各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的4倍．这样得到函数f (x )的图像．若g (x )＝f (x )cos x ＋ 3.(1)将函数g (x )化成g (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 其中A ，ω>0，φ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的形式； (2)若函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，θ0上的最大值为2，试求θ0的最小值． 解：(1)由题意可得f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，∴g (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫x －π3cos x ＋3＝4⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x cos x ＋ 3 ＝2(sin x cos x －3cos 2x )＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，θ0，∴2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π2，2θ0－π3，要使函数g (x )在⎣⎡⎦⎤－π12，θ0上的最大值为2，当且仅当2θ0－π3≥π2，解得θ0≥512π.故θ0的最小值为512π.四、当堂检测1．(2018·浙江高考)函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2 解析：选A 由f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，得最小正周期为π，振幅为1. 2．(2018·山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4解析：选B 把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像向左平移π8个单位后，得到的图像的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.3.函数y ＝sin ωx (ω>0)的部分图像如图所示，点A 、B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则ω的值为( )A.π2B.π4C.π3D ．π解析：选A 由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠C ＝90°，∴12|AB |＝y max －y min ＝1－(－1)＝2，即|AB |＝4，而T ＝|AB |＝2πω＝4，解得ω＝π2，故选A. 4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知：T 2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3， 则T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.答案：35．(2018·安徽高考)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.(1)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合；(2)不画图，说明函数y ＝f (x )的图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变化得到． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以当x ＋π6＝2k π－π2，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取最小值－ 3.此时x 的取值集合为xx ＝2k π－2π3，k ∈Z .(2)先将y ＝sin x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图像；再将y ＝3sin x 的图像上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f (x )的图像．五、课后巩固：1．把函数y ＝sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图像向左平移π4个单位，得到的函数图像的解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4解析：选A 由y ＝sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图像的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x . 2．(2018·全国大纲卷)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图像如图，则ω＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选B 由函数的图像可得T 2＝12·2πω＝⎝⎛⎭⎫x 0＋π4－x 0＝π4，解得ω＝4. 3．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位后所得函数图像的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32 B ．－12 C.12D.32解析：选A 由函数f (x )的图像向左平移π6个单位得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图像，因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，23π，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 4．(2018·福建)将函数f (x )＝sin (2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图像，若f (x )，g (x )的图像都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( ) A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6解析：选B 因为函数f (x )的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；又函数f (x )的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2(x －φ)＋π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32，所以φ可以为5π6. 5.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________． 解析：由图可知：A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，ω＝2πT ＝2，又函数图像经过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝62.答案：626．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，当x ＝10时， y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫π6×4＝20.5.答案：20.57．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图像．解：(1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4. (2)图像如图所示．8．已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解：(1)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图像向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图像，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2. 当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.9.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示． (1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π，－π6时，求f (x )的取值范围． 解：(1)由题中图像得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，所以T ＝2π，则ω＝1.将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1，而－π2<φ<π2，所以φ＝π3，因此函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由于－π≤x ≤－π6，－2π3≤x ＋π3≤π6，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤12，所以f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 2．已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )的最大值为2.(1)求f (x )的解析式．(2)在闭区间⎣⎡⎦⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不正在，请说明理由．解：(1)由T ＝2知2πω＝2得ω＝π.又因为当x ＝13时f (x )max ＝2，知A ＝2.且13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 故φ＝2k π＋π6(k ∈Z )．∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. (2)存在．令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k ＋13(k ∈Z )．由214≤k ＋13≤234.得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5. 故在⎣⎡⎦⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.。
2024版高考数学总复习：函数y=Asin(ωx φ)的图象及简单应用课件
π
3
的图象，只需
(
)
π
A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移 个
6
单位长度
1
π
B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单
2
6
位长度
π
C．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
6
1
原来的
2
π
D．先将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为
ωx＋φ
π
__
0
__
2π
___
x
y＝A sin (ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
1．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．
1
2．相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的 .
4
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图
象的两种途径：
由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，
考点3 三角函数模型及其应用——应用性
考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性
考点1
由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式——基础性
1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin (ωx＋φ) > 0， <
象如图所示，则此函数的解析式可以是(
A．y＝sin
1
2
C．y＝sin 2
π
(3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋ (k∈Z)．
4-4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
第4章
第四节
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4．三角函数模型的应用 (1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数 拟合，从而得到函数模型.
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第4章
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基 础 自 测
π c＝(m，n)|m|< 2 平移后
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得到函数 y＝f(x)的图像，求实数 m、n 的值．
第4章
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[解析] f(x)＝a· b＝2cos2x＋ 3sin2x ＝cos2x＋ (1)由
π 3sin2x＋1＝2sin2x＋ 6 ＋1.
π π π － ， ，∴x＝－ . ∵x∈ 3 3 4
(2)y＝2sin2x 图像按(m，n)平移得到 π 图像，∴m＝－ ，n＝1. 12
π y＝2sin2x＋ 6 ＋1
的
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
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再把所得各点的横坐标 伸长
1 时)到原来的ω倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标 伸长 (当 A>1 时)或 缩短 标不变)而得到的． (当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐
第4章
第四节
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3．当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈(0，＋∞))表示 2π 周期 ，f＝ 1 叫做 频率 一个振动时，A 叫做 振幅，T＝ ω 叫做 T ，ωx＋φ 叫做 相位 ，φ 叫做 初相 ．
考点4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用(解析版)
2010-2015年高考真题汇编 专题4 三角函数、解三角形考点4 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1.（2015年湖南9，5分）将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的12,x x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（ ） A.512π B.3π C.4π D.6π【答案】D. 【解析】试题分析：向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-，故选D.考点：三角函数的图象和性质.2.（2015年全国卷18，5分）函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 （A ）13,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭, （B ）132,44k k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,2 （C ）13,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,（D ）132,2,44k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由图象可得1512,2.244T T πωπω=-⇒==⇒=代入点1,04⎛⎫⎪⎝⎭可得4πϕ=，()cos().4f x x ππ∴=+f(x)的单调减区间为22,4322,441322,.44k x k k x k k x k k ππππππππππ≤+≤+-≤≤+-≤≤+∈Z 3.（2015年山东3，5分）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B【解析】124sin )],12(4sin[)34sin(πππ的图象向右平移只需要吧x y x x y =-=-=个单位即可。
第三章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
已知简谐运动 f(x)＝2sin
π π x＋φ(|φ|< )的图象经 2 3
过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( π A．T＝6，φ＝6 π C．T＝6π，φ＝6 π B．T＝6，φ＝3 π D．T＝6π，φ＝3
)
返回
)
答案： D
返回
2．(2011· 北京西城区期末)函数 f(x)＝sin xcos
π π ＋xsin x－ 的图象 4 2
π x－ ＋sin 4
( B．关于 y 轴对称 3π D．关于直线 x＝ 8 对称
)
A．关于原点对称 π C．关于点(－8，0)对称
返回
2π 解析：观察函数图象可得周期T＝ 3 ，又由函数， 2π y＝Asin(ωx＋φ)得T＝ ω ， 2π 2π 则T＝ 3 ＝ ω ，所以ω＝3.
答案：3
返回
返回
1．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<π)中的参数的方法 在由图象求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝ M－m M＋m 2π ，k＝ 2 ，ω由周期T确定，即由 ω ＝T求出，φ由特 2 殊点确定．
返回
2．平移变换中的平移量 |φ| 从y＝sin ωx(ω>0)到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的变换中平移量为 ω (φ>0时，向左；φ<0时，向右)而不是|φ|.平移的距离是针对x的 变化量而言的．
返回
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[精析考题] [例1] (2010· 四川高考)将函数y＝sin x的图象上所有的点向 π 右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原 来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( ) π π A．y＝sin 2x－10 B．y＝sin 2x－5 1 1 π π x－ x－ C．y＝sin 2 D．y＝sin 2 10 20
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
2π 2π 3cos －sin 3 3
3 ＝10. 2
故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (2)因为 f(t)
＝10－2
3 π 1 π cos t＋ sin t 2 12 2 12
π π ＝10－2sin12t＋3 ，
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m 个单位 y 轴对
长度后，得到
1 1 π y＝sin2x＋2m＋6的图象，此图象关于
1 π π 2π 称．则2m＋6＝kπ＋2(k∈Z)；m＝2kπ＋ 3 (k∈Z)，又 m＞0， 2π ∴m 的最小值为 3 . 2π 答案： 3
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
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函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
结束
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函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
基础盘查一 2 3 4π π －4
基础盘查二
π 7π 13π ，0，(2π，2)， ，0，(5π，－2)， ，0 2 2 2
结束
3．解析：将函数
π π y＝tan ωx＋4 (ω＞0)的图象向右平移 6个单位长 π ωπ y＝tanωx＋4－ 6 (ω＞0)的图象，与函数
度后，得到函数
y k
π π ωπ π ＝tan ωx＋6 的图象重合，所以 4－ 6 ＝6＋kπ(k∈Z)，所以
1 ＝0 时，ω 的最小值为2. 1 答案：2
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第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 精讲附配套练习
第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用[考纲传真] 1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示3.由y＝sin x的图象变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象先平移后伸缩先伸缩后平移⇓⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(2016·四川高考)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图3-4-1，则ω＝( )图3-4-1A ．5 B.4 C.3D.2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4， 所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C.0D.－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________．π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.12分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 B.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D.y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．(1)D (2)2π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D. (2)因为y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，所以把y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象．]图3-4-2如图3-4-2所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图3-4-3所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )图3-4-3A ．－62 B.－32 C.－22D.－1D [由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z )，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D.](2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪π2－x ·cos ⎝ ⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .8分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.12分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.【导学号：01772119】(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.3分因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.5分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6分当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.10分故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.12分数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.6分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.9分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.12分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] (2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3-4-4A ．5 B.6 C.8D.10C [根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降找“五点法”作图中第一个零点．2．对称问题函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与x 轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x ，±A )的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )【导学号：01772040】A.12 B.1 C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3 B.13 C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m4，由函数f (x )的增减区间可知m4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2 B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则ca ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B.1 C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0， 所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________.【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1， 由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3， 又a ≥2，所以2≤a ≤3.] 三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)， 并且在定义域上为增函数．由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分 ∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15， ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分(2)对称轴为x ＝－2a －12. ①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分 ②当－2a －12＞1，即a ＜－12时， f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0 B.恒小于0 C ．等于0D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意， ∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2，故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围． [解] (1)由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f (－1)＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.2分所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，由f (x )＝(x ＋1)2知，函数f (x )的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1].6分(2)由题意知，x 2＋2x ＋1＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k ＜x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立，8分令g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34知g (x )在区间[－3，－1]上是减函数，则g (x )min ＝g (－1)＝1，所以k ＜1，即k 的取值范围是(－∞，1).12分第三节 基本不等式[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2016·安徽合肥二模)若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7 B.8 C ．9D.10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，故选C.]4．若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) 【导学号：01772209】A ．1＋ 2 B.1＋ 3 C ．3D.4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.](1)(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2 C ．2 2D.4(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，则2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．[变式训练1] (1)(2016·湖北七市4月联考)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，若不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，则m 的最大值等于( )A ．10 B.9 C ．8D.7(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，故选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn ＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4，3分∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).5分(2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋a b ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，10分 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).12分 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ， 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，10分故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9.12分 [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.【导学号：01772210】[证明] 由于a ，b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，3分 当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22，当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，8分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号.12分制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．[解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)， y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].2分 所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x＋2×130360x ，x ∈[]50，100. (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).5分(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10， 当且仅当130×18x＝2×130360x ， 即x ＝1810，等号成立.8分故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元.12分[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3]某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝100＋0.5x＋(2＋4＋6＋ (2x)x，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).5分(2)由基本不等式得：y＝x＋100x＋1.5≥2x·100x＋1.5＝21.5，8分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分[思想与方法]1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．2．基本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．2．“当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义是“a ＝b ”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(七) 二次函数与幂函数A 组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( ) 【导学号：01772040】A.12B.1C.32D.2C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时，f (x )是增函数，当x ∈(－∞，－2]时，f (x )是减函数，则f (1)的值为( )A ．－3B.13C.7D.5B [函数f (x )＝2x 2－mx ＋3图象的对称轴为直线x ＝m 4，由函数f (x )的增减区间可知m 4＝－2，∴m ＝－8，即f (x )＝2x 2＋8x ＋3，∴f (1)＝2＋8＋3＝13.]3．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B.m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D.m ＝1B [由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝2或m ＝1.又幂函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2，∴m ＝2或m ＝1.]4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )【导学号：01772041】A B C DD [由a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c 知a ＞0，c ＜0，则c a ＜0，排除B ，C.又f (0)＝c ＜0，所以也排除A.]5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a 等于( )A ．－1B.1C.2D.－2B [∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，∴函数的最大值在区间的端点取得．∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎨⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎨⎧ －a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.] 二、填空题6．(2017·上海八校联合测试改编)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ＞0)．若f (x )在[2,3]上的最大值为4，最小值为1，则a ＝________，b ＝________.1 0 [因为函数f (x )的对称轴为x ＝1，又a ＞0，所以f (x )在[2,3]上单调递增，所以⎩⎨⎧f (2)＝1，f (3)＝4，即⎩⎨⎧a ·22－2a ·2＋1＋b ＝1，a ·32－2a ·3＋1＋b ＝4，解方程得a ＝1，b ＝0.] 7．已知P ＝2，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________. 【导学号：01772042】P ＞R ＞Q [P ＝2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝ ⎛⎭⎪⎫223＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123＞⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P ＞R ＞Q .] 8．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围是________．[2,3] [f (x )＝(x －a )2＋5－a 2，根据f (x )在区间(－∞，2]上是减函数知，a ≥2，则f (1)≥f (a ＋1)，从而|f (x 1)－f (x 2)|max ＝f (1)－f (a )＝a 2－2a ＋1，由a 2－2a ＋1≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.]三、解答题9．已知幂函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．[解] 幂函数f (x )经过点(2，2)，∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2.4分又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． 由f (2－a )＞f (a －1)，得⎩⎨⎧ 2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1，10分解得1≤a ＜32.∴a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.12分 10．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3，(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，对称轴x ＝－32∈[－2,3]，2分∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15.5分 (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；8分②当－2a －12＞1，即a ＜－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知a ＝－13或－1. 12分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·江西九江一中期中)函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )【导学号：01772043】A ．恒大于0B.恒小于0C ．等于0 D.无法判断A [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意，∴f (x )＝x 2 015.∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ，又ab ＜0，不妨设b ＜0，则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0，又f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A.]2．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2 [由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，－2， 故当m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．]。
§4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
⇓ 步骤4
以上两种方法的区别：方法一先平移再伸缩；方法 二先伸缩再平移．特别注意方法二中的平移量．
3．当函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，x∈[0， ＋∞))表示一个振动时，A 叫做 振幅 ，T＝ 2π 1 叫做 周期 ，f＝ 叫做 频率 ，ωx＋φ 叫 ω T 做 相位 ，φ 叫做 初相 .
3π π 2，T＝4× 2 －2＝4π，
π 1 π π (2)令 2kπ－ ≤ x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 2 2 4 2 3π π ∴4kπ－ ≤x≤4kπ＋ ，k∈Z. 2 2 ∴函数 f(x)的单调递增区间为 3π π 4kπ－ ，4kπ＋ (k∈Z)． 2 2 π 1 π 3 令 2kπ＋ ≤ x＋ ≤ π＋2kπ (k∈Z) 2 2 4 2 π 5π ∴4kπ＋ ≤x≤4kπ＋ ，k∈Z. 2 2 ∴函数 f(x)的单调递减区间为 π 5π 4kπ＋ ，4kπ＋ (k∈Z)． 2 2
方法二 将 y＝sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原 1 来的 倍，纵坐标不变，得到 y＝sin 2x 的图象；再将 y＝ 2 π π sin 2x 的图象向左平移 个单位；得到 y＝sin 2x＋ ＝ 6 6 π π sin2x＋ 的图象； 再将 y＝sin2x＋ 的图象上每一点的横 3 3 坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y＝ π 2sin2x＋ 的图象． 3
基础自测 1．
π 2 y＝2sin2x－ 的振幅为________，频率和 4
1 π π 4 初相分别为___、________.
2．将函数
π π y＝sinx＋ 的图象向右平移 个单位，再 3 6
向上平移 2 个单位所得图象对应的函数解析式是 π y＝sinx＋ ＋2 6 ________________．
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 知识点与题型归纳
●高考明方向1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题．★备考知考情1.三角函数的图象画法、图象变换、由图象求解析式以及利用三角函数解决实际问题是高考考查的热点．2.常和三角恒等变换相结合出现在解答题中，同时还考查数形结合思想的理解和应用．3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.一、知识梳理《名师一号》P59知识点二、例题分析：（一）“五点法”作图例1．（1）《名师一号》P60 高频考点例1（2）12已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X .注意:【规律方法】(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出3一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的图象．变式：用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在区间[0,]π上的图象注意:关注区间端点，须在表格中列出、在图像中标示例1．（2）《名师一号》P59 对点自测1函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是图中的()ABC D4解析 当x ＝0时，y ＝－32，可排除B 、D. 当x ＝π6时，y ＝0，可排除C.注意: 知式选图的策略关注：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、 极值点、特殊点、特征直线等（二）三角函数的图象变换 例1．《名师一号》P60 高频考点 例1（3）已知函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(3)说明y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．解：方法1：先平移后伸缩把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，5即可得到y ＝2sin ⎝2x ＋3的图象． 方法2：先伸缩后平移将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12，纵坐标不变，得到y ＝sin2x 的图象；再将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．【规律方法】(2)变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝⎛⎭⎫x ＋φω来确定平移单位．注意：《名师一号》P60 问题探究 问题1在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位长度个数为什么不一样？可以看出，前者平移|φ|个单位长度，后者平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．6变式：y ＝2sin ⎝ ⎭2x ＋3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．★注意： 图像变换（1）关注哪个函数是初始函数!（2）图象变换只能在同名函数之间进行！ （利用诱导公式进行正、余互化） （3）注意 先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量的差别《计时双基练》P249 第7题注意:逆向还原练习1：8月月考第6题为了得到函数2sin(2)6yx π=-的图像，可以将2sin(2)6y x π=+的图像（ ）．A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 sin sin()y x y x ωϕ=→=+7C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位变式：为了得到函数2sin(2)6y x π=-的图像，可以将2(2cos )6π=+y x 的图像向 平移 个单位答案：右；练习2：函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后 与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是A ．()f x =)32cos(π-x B ．()f x =)62cos(π-xC ．()f x =)62cos(π+x D ．()f x =)32cos(π+x答案：B【解析】逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位 即得()y f x =的图象，56π即()sin2()sin(2)cos[(2)]6323cos(2)cos(2)66ππππππ=+=+=-+=-+=-f x x x xx x（三）据函数sin()=++y A x bωϕ的图象求解析式例1．（1）《名师一号》P59 对点自测 3已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝__________；φ＝__________.解析由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝π3，故T＝43π.∴ω＝2πT＝32.例1．（2）（补充）如图所示某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b.(1)这一天的最大用电量为______，最小用电量为______；(2)这段曲线的函数解析式为________．89解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．(2)观察图象可知，从8～14时的图象是 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，∴A ＝12×(50－30)＝10，b ＝12×(50＋30)＝40，∵12·2πω＝14－8，∴ω＝π6， ∴y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋40.将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6.∴所求解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (x ∈[8,14])．答案：(1)50万度 30万度(2)y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π6＋40 (8≤x ≤14)注意：《名师一号》P60 问题探究 问题2确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的 步骤是什么？(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT . (3)求φ，常用方法有：10①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰”点)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π. ★特别注意：①第一、五个点的横坐标与第三个点的横坐标的区别 ②求得的ϕ有无数个，结合题目条件取其中一个即可（四）三角函数图象与性质的综合 例1．《名师一号》P60 高频考点 例2(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6<α<2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．11解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….因－π2≤φ<π2得k ＝0.所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154.因cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π612＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158.《计时双基练》P247 第5题例2．《名师一号》P61 特色专题 典例 (2014·山东卷)已知向量a ＝(m ，cos2x )，b ＝(sin2x ，n )，函数f (x )＝a·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求m ，n 的值；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．【规范解答】(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin2x ＋n cos2x .因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2.13 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3，----关于m 、n 的方程组即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)． 由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0.即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2φ＋π6＝1.因为0<φ<π，所以φ＝π6.因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos2x ，由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z.14所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z.【名师点评】 在第(1)问中，可先根据向量数量积坐标运算整理出f (x )的解析式，再由图象过两点，代入整理可得关于m ，n 的方程组，利用此方程组即得m ，n 的值．在第(2)问中，通过图象平移知识，可得含参数φ的g (x )的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，可确定最高点的坐标，代入可求出g (x )确定的解析式，从而求出单调区间．（五）三角函数模型的应用例1．《名师一号》P61高频考点 例3如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．15解：(1)由条件，得A ＝2，T 4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6. ∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3.当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4. (2)由(1)可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在圆弧DE ︵上，故OP ＝ 6.“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ)＝6⎝⎛⎭⎫12sin2θ＋12cos2θ－12＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，∴当2θ＋π4＝π2， 即θ＝π8时，S 取得最大值．【规律方法】 本题属三角函数模型的应用，通常解决方法是转化为y ＝sin x ，y ＝cos x 等基本初等函数，可以解决图象、最值、单调性等问题，体现了化归的思想方法．课后作业一、计时双基练P249 基础1-9；课本P60变式思考1二、计时双基练P249基础10、11；培优1-4课本P60变式思考2、3; P62对应训练预习第六节16。
高中数学理人教A版一轮参考课件：4-4 函数y=Asin(ωx φ)的图象及三角函数模型的简单应用
,(π,0),
3π ,-1 2
②利用图象变换作图时 “先平移,后伸缩 ”与 “先伸缩,后平移 ”中平移的距离 相同; ③将 y=3sin 2x 的图象左移 个单位后所得图象的解析式是 y=3sin 2������ + ④函数 y=Asin( ωx+φ)两个相邻的最值点之间的距离为半个周期 ; ⑤由图象求解析式时,振幅 A 的大小是一个周期内的图象的最高点的值. 其中正确的是( A.④ ) B.③④ C.⑤ D.④⑤
2π 3 π 3
π 3
,所以图象向左平移 m(m>0)个长度
π 3
,此函数图象关于原点对称,所以 m+ =π+kπ,
主干梳理
要点梳理
考点自测
1
2
3
4
5
5. (2014 山西太原模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的部 分图象如图所示,则 f(0)= .
主干梳理
= ,初相为- .
1 π
π 4
主干梳理
要点梳理
考点自测
1
2
3
4
5
3.为了得到函数 y=sin(x+1)的图象,只需把函数 y=sin x 的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动 1 个单位长度 B.向右平行移动 1 个单位长度 C.向左平行移动 π 个单位长度 D.向右平行移动 π 个单位长度 解析:根据平移法则“左加右减”可知,将函数 y=sin x 的图象上所有的点向 左平移 1 个单位长度即可得到函数 y=sin(x+1)的图象. 答案:A
第 4讲
函数Y=ASIN(ΩX+Φ)的图象 及三角函数模型的简单应用
4-4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
π 1 A．t＝2，s 的最小值为 6 π 3 B．t＝ 2 ，s 的最小值为 6 π 1 C．t＝2，s 的最小值为 3 π 3 D．t＝ 2 ，s 的最小值为 3
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第四章 三角函数、解三角形
【解析】 因为点 所以
π P ，t在函数 4 π y＝sin 2x－ 的图象上， 3
1 A．向左平行移动2个单位长度 1 B．向右平行移动2个单位长度 C．向左平行移动 1 个单位长度 D．向右平行移动 1 个单位长度
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第四章 三角函数、解三角形
1 【解析】 y＝sin 2x 的图象向左平移2个单位长度得到函数 y ＝sin
1 2x＋2的图象，即函数
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，
ω＞0)的图象的步骤如下：
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第四章 三角函数、解三角形
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后 平移”中平移的长度一致．(
π π 得 s＝－kπ＋ 6 或 s＝－kπ－ 6 ，k∈Z.又 s＞0，故 s 的最小值 π 为 6 .故选 A.
【答案】 A
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第四章 三角函数、解三角形
π f(x)＝sin2x＋ 的图象向右平移 4
5．若将函数
φ 个单位，所
得图象关于 y 轴对称，则 φ 的最小正值是________． 【解析】 ∵函数 得到
第四章 三角函数、解三角形
§4.4 [ 考纲要求 ]
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 1. 了解函数 y ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的物理意义；
必修四数学 第6讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
课题：函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用个性化教学辅导教案第6讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．“五点法”作图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.x －φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径画出y＝sin x的图象←步骤1→画出y＝sin x的图象向左（右）平移|φ|个单位长度横坐标变为原来的1ω倍得到y＝sin（x＋φ）的图象←步骤2→得到y＝sin ωx的图象横坐标变为 原来的1ω倍 向左（右）平移 |φω|个单位长度得到y ＝sin （ωx ＋φ）的图象←步骤3→得到y ＝sin （ωx ＋φ）的图象 纵坐标变为 原来的A 倍 纵坐标变为 原来的A 倍 得到y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象←步骤4→得到y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象 3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义当函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[)0，＋∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．由图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的一般步骤： (1)由函数的最值确定A 的值； (2)由函数的周期来确定ω的值；(3)由函数图象最高点(或最低点)的坐标得到关于φ的方程，再由φ的范围得φ的值．也可以由起始点的横坐标得φ的值．1．(必修4 P 57A 组T 1(1)改编)要得到函数y ＝cos(x ＋1)，x ∈R 的图象，只需把y ＝cos x (x ∈R )上的所有点( ) A ．向左平移π个单位长度 B ．向右平移π个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度2．(必修4 P 55练习T 2(1)改编)为了得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π5的图象，只需将y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的图象上的所有点( ) A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移2π5个单位长度D ．向右平移2π5个单位长度3．(必修4 P 55练习T 2(3)改编)为了得到y ＝3sin 2x ＋1的图象，只需将y ＝3sin x 的图象上的所有点( ) A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度4．(必修4 P 60例2改编)关于函数f (x )＝|sin x |的下列结论中，正确的序号为________(正确的全填上)． ①f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称； ②周期T ＝π；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与变换已知f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)离y 轴最近的一条对称轴为x ＝π12.(1)求f (x )的周期；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种作法：①五点法：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．②图象变换法：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1．将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝sin 2x ＋2C ．y ＝cos 2xD ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 2．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( ) A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移π4个单位长度由y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象确定解析式(1)[根据图象写性质](2015·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (2)[根据图象求解析式]函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4(1)根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式问题，主要是确定A 、ω和φ的值．(2)根据图象的对称性和周期性可直接写出其单调区间和对称中心、对称轴或最值．1．函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－7π12，2k π－π12，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－π12，2k π＋5π12，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z 2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 3.若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝( )A.π6 B ．7π12 C ．76π D ．73π1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，⎭⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π12－f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的单调递增区间．2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6，求函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域．1.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安2．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6（x －6）(x ＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.一、选择题1．(必修4 P 58A 组T 2(3)改编)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 2．(必修4 P 143A 组T 5改编)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋2x ＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π6B ．x ＝π12C ．x ＝π6D ．x ＝π33．(必修4 P 147A 组T 12改编)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos x ＋a 的最大值为1，则常数a 的值为( ) A ．－1 B ．3 C ．2 D ．1＋ 3二、填空题4．(必修4 P 58A 组T 2(3)改编)关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称；④它的图象可由y ＝4cos 2x 向右平移π12个单位得到．其中正确的命题是____________(写出所有正确命题的序号)．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2在一个周期内的图象如图所示．若方程两个不同的实数解x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为( )π3B ．23ππ D ．π3或43π二、填空题已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，|φ|<π)的一段图象如图所示．则函数的解析式为________．成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军 10 / 11＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，、N 分别是最高点、最低点，O 的最小正周期是________．。
2014高三数学北师大版一轮总复习4-4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用
4-4函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用基 础 巩 固一、选择题1．(2012·浙江理，4)把函数y ＝cos2x ＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是( )[答案] A[解析] 本题考查三角函数的图像的平移与伸缩变化，y ＝cos2x ＋1―→y ＝cos x ＋1―→y ＝cos(x ＋1)＋1―→y ＝cos(x ＋1)，故选A.2．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则( )A ．ω＝1，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝2，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6 [答案] D[解析] 由图可知T 4＝712π－π3＝π4，T ＝π，即2πω＝π，∴ω＝2，又因为图像向右平移了π2－π3＝π6，∴φ＝－π6.(或利用2π3＋φ＝π2解也可)3．已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2 B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4 D ．ω＝2，θ＝π4[答案] A[解析] y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0<θ<π，所以θ＝π2，y ＝2cos ωx ， ∴y ∈[－2,2]．又∵|x 1－x 2|min ＝π，故y ＝2与y ＝2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π.即2πω＝π，所以ω＝2.故选A.4．(文)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的相邻两条对称轴之间的距离为π2，f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6 B ．ω＝12，φ＝π3 C ．ω＝2，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝π3[答案] D[解析] 相邻两条对称轴之间的距离为π2， 即T 2＝π2，T ＝π，∴ω＝2.由f (0)＝3，得sin φ＝32，而|φ|<π2，∴φ＝π3.(理)若把函数y ＝3cos x －sin x 的图像向右平移m (m >0)个单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] A[解析] y ＝3cos x －sin x ＝2cos(x ＋π6)，向右平移π6个单位后得到y ＝2cos x ，故选A.5．(2012·吉安一模)如图，在某点给单摆一个作用力后它开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (m/s)和时间t (s)的函数关系为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，单摆摆动时，从最右边到最左边的距离为( )A ．6 3B ．3 3C ．3D ．6[答案] A[解析] ∵s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，∴T ＝2πω＝1，从最左边到平衡位置O 需要的时间为T 4＝14s ，由6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π×14＋π6＝33，得从最右边到最左边的距离为6 3.6．(文)(2013·陕西师大附中上学期一模)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图像如图所示，为了得到函数g (x )＝sin2x 的图像，则只需将f (x )的图像( )A ．向右平移π6个长度单位 B ．向右平移π12个长度单位 C ．向左平移π6个长度单位 D ．向左平移π12个长度单位[答案] A[解析] 由图可知A ＝1，T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π， ∴2πω＝π，∴ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，将(7π12，－1)代入得sin(7π6＋φ)＝－1， ∴7π6＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π3，k ∈Z . ∵|φ|<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，将f (x )的图像向右平移π6个单位可得，sin[2(x －π6)＋π3]＝sin2x ，故选A.(理)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t ＝0时，点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12][答案] D[解析] ∵T ＝12，∴ω＝2π12＝π6，从而设y 关于t 的函数为y ＝sin(π6t ＋φ)． 又∵t ＝0时，y ＝32，∴φ＝π3，∴y ＝sin(π6t ＋π3)， ∴2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2，即12k －5≤t ≤12k ＋1，k ∈Z 时，y 递增．∵0≤t ≤12，∴函数y 的单调递增区间为[0,1]和[7,12]． 二、填空题7．如图所示为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像上的一段，则这个函数的解析式为______________．[答案] y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－3π4[解析] A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，T ＝4π3，∵2πω＝43π，∴ω＝32，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋φ.∵当x ＝56π时，y ＝2，∴2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×56π＋φ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋54π＝1，∴φ＋54π＝π2，φ＝－3π4，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫32x －3π4. 8．(文)(2012·东营模拟)已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫25π6＝________. [答案] 0[解析] 解法1：f (x )＝－3×1－cos2x 2＋12sin2x ＝－32＋12sin2x ＋32cos2x ＝－32＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫256π＝－32＋sin 263π＝－32＋sin 2π3＝－32＋32＝0.解法2：当x ＝25π6时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫256π＝－3sin 225π6＋sin 25π6cos 25π6＝－3sin 2π6＋sin π6cos π6＝－34＋12×32＝0.(理)函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的对称中心是____________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2k π，0，k ∈Z[解析] 由x 2－π6＝k π，k ∈Z 得x 2＝π6＋k π. ∴x ＝π3＋2k π，k ∈Z .∴对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2k π，0.三、解答题9．(文)(2012·湖北文，18)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π4，0)，求函数f (x )的值域． [解析] (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)，得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，函数f (x )的值域为[－2－2，2－2]．(理)(2012·湖北理，17)已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．[解析] (1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋3sin2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ. 由直线x ＝π是y ＝f (x )图像的一条对称轴，可得 sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )， 即ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56. 所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图像过点(π4，0)，得f (π4)＝0， 即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2， 即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2， 由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(53x －π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－2].能 力 提 升一、选择题1．(文)(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1a 2a 3a 4＝a 1a 4－a 2a 3.将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin2x 3cos2x1的图像向左平移π6个单位，以下是所得函数图像的一个对称中心的是( )A ．(π4，0) B ．(π2，0) C ．(π3，0) D ．(π12，0)[答案] B[解析] 根据行列式的定义可知f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)，向左平移π6个单位得到g (x )＝2sin[2(x ＋π6)－π3]＝2sin2x ，所以g (π2)＝2sin(2×π2)＝2sinπ＝0，所以(π2，0)是函数的一个对称中心，选B.(理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在(0，π2)单调递减 B ．f (x )在(π4，3π4)单调递减 C ．f (x )在(0，π2)单调递增 D ．f (x )在(π4，3π4)单调递增 [答案] A[解析] 本题主要考查三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期性、奇偶性、单调性以及辅助角公式．依题意：f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π4)， 又T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ＋π4)又f (x )为偶函数，∴φ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π＋π4. 又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin(2x ＋π2)＝2cos2x . 又y ＝cos x 在x ∈(0，π)单调递减， 则由0<2x <π得0<x <π2.即f (x )＝2cos2x 在(0，π2)单调递减，故选A.2．(文)(2012·合肥五校联考)若将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图像重合，则ω的最小值为( )A.16 B.14 C.13 D.12[答案] D[解析] 本题考查正切函数的图像的平移变换．将函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图像向右平移π6个单位长度，得到的函数为y ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋π4，由题意，得－ωπ6＋π4＝π6，∴ω＝12.(理)(2012·安阳一中月考)已知函数f (x )＝sin ωx 的图像的一部分如图(1)，则图(2)的函数图像所对应的解析式可以为( )A ．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12B ．y ＝f (2x －1)C ．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1 D ．y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12[答案] B[解析] 由图得，图(2)是将图(1)中的图像先向右平移1个单位，再将所有点的横坐标缩短到原来的12倍得到，即y ＝f (x )→y ＝f (x －1)→y ＝f (2x －1)．二、填空题 3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．[答案] 62[解析] 由图像可知，A ＝2，T 4＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，则y ＝2sin(2x ＋φ)，将(712π，－2)代入，解之得φ＝π3，从而y ＝2sin(2x ＋π3)，f (0)＝62.4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，则函数解析式为__________．[答案] y ＝2sin(4x ＋π6)＋2 [解析]依题意知⎩⎨⎧A ＋n ＝4－A ＋n ＝0，∴⎩⎨⎧A ＝2n ＝2.又∵T ＝π2，∴ω＝2πT ＝2ππ2＝4，∴y ＝2sin(4x ＋φ)＋2，又∵x ＝π3为其图像的一条对称轴． ∴4π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－5π6(k ∈Z )． 又∵0<φ<π2，令k ＝1，得φ＝π6，∴y ＝2sin(4x ＋π6)＋2. 三、解答题5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2)的图像(部分)如图所示．(1)确定f (x )的解析式；(2)若f (α2π)＝12，求cos(α＋π3)的值． [解析] (1)由图像可知A ＝2， T 4＝56－13＝12，∴T ＝2，ω＝2πT ＝π. 将点P (13，2)代入y ＝2sin(πx ＋φ)， 得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，所以φ＝π6.故所求解析式为f (x )＝2sin(πx ＋π6)，x ∈R . (2)∵f (α2π)＝12，∴2sin(α2＋π6)＝12， 即sin(α2＋π6)＝14. ∴cos(α＋π3)＝cos[2(α2＋π6)] ＝1－2sin 2(α2＋π6)＝78.6．(2012·重庆文，19)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ )(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图像与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f (x ＋π6)的值域． [解析] (1)由题设条件知f (x )的周期T ＝π， 即2πω＝π，解得ω＝2因为f (x )在x ＝π6处取得最大值2，所以A ＝2， 从而sin(2×π6＋ω)＝1， 所以2×π6＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 又由－π<φ≤π，得φ＝π6，故f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)g (x )＝6cos 4x －sin 2x －12sin (2x ＋π2)＝6cos 4x ＋cos 2x －22cos2x＝(2cos 2x －1)(3cos 2x ＋2)2(2cos 2x －1) ＝32cos 2x ＋1(cos 2x ≠12) 因cos 2x ∈[0,1]，且cos 2≠12.故g (x )的值域为[1，74)∪(74，52]．7．(文)已知向量m ＝(sin ωx ＋cos ωx ，3cos ωx )，n ＝(cos ωx －sin ωx,2sin ωx )，其中ω>0，函数f (x )＝m ·n ，若f (x )相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值，并求f (x )的最大值及相应x 的集合；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 所对的边，△ABC 的面积S ＝53，b ＝4，f (A )＝1，求边a 的长．[解析] (1)f (x )＝cos 2ωx －sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＝cos2ωx ＋3sin2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由题意可得T ＝π，∴ω＝1， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1时，f (x )有最大值2，∴2x ＋π6＝2k π＋π2，∴x ＝k π＋π6 (k ∈Z )， ∴x 的集合为{x |x ＝π6＋k π，k ∈Z }． (2)f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，0<A <π，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3，S ＝12bc sin π3＝53，∴c ＝5，由余弦定理得：a 2＝16＋25－2×4×5cos π3＝21，∴a ＝21.(理)如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m,60s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？[分析] (1)以圆心O 为原点建立平面直角坐标系，利用三角函数的定义求出点B 的纵坐标，则h 与θ之间的关系式可求．(2)把θ用t 表示出来，代入h 与θ的函数关系式即可．[解析] (1)以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π2，故点B 的坐标为(4.8cos(θ－π2)，4.8sin(θ－π2))，∴h ＝5.6＋4.8sin(θ－π2)．(2)点A 在圆上转动的角速度是π30， 故t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝5.6＋4.8sin(π30t －π2)，t ∈[0，＋∞)． 到达最高点时，h ＝10.4m.由sin(π30t －π2)＝1，得π30t －π2＝π2，∴t ＝30， ∴缆车到达最高点时，用的最少时间为30s.。
第四章 第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
23ωπ －ωφ
2π－φ ω
ωx＋φ
_0__
π
2
_π__
3π 2
_2_π_
y＝Asin(ωx＋φ) 0
A
0
－A
0
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3.由函数 y＝sin x 的图象变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的图象的两种方法
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[基本能力]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后
变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变 方法
换其自变量 x，如果 x 的系数不是 1，则需把 x 的系数
提取后再确定平移的单位长度和方向
可以把判断的两函数变为同名的函数，且 x 的系数变
为一致，通过列方程求解，如 y＝sin 2x 变为 y＝sin( 2x
方程 思想
＋π3 )，可设平移 φ 个单位长度，即由 2(x＋φ)＝2x＋π3 解得 φ＝π6，向左平移π6，若 φ＜0 说明向右平移|φ|个单 位长度
3 ∠HRQ＝π6，则 tan∠QRH＝A3＝ 33，解得 A＝ 3.又 P(1， 3)是 图象的最高点，所以π3×1＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.又因为 0<φ<π2，所 以 φ＝π6，所以 f(x)＝ 3sinπ3x＋π6，f(0)＝ 3sin π6＝ 23.故选 B.
[答案] B
[方法技巧]
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考法二 由图象求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
[例 3] (1)(2018·怀仁期末联考)若函数 f(x)＝sin(ωx－φ)
|φ|≤π2的部分图象如图所示，则 ω 和 φ 的值是
()
A．ω＝1，φ＝π3 C．ω＝12，φ＝π6
数学-最新高三-最新数学-4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用
1 A．向左平行移动2个单位长度
1 B．向右平行移动2个单位长度 C．向左平行移动 1 个单位长度 D．向右平行移动 1 个单位长度 1 解析 因为 y＝sin(2x＋1)＝sin 2x＋2，所以只需将 y＝sin 2x 的图象向左 1 平行移动2个单位即可，故选 A. 答案 A π π 3．已知简谐运动 f(x)＝2sin x＋φ(|φ|< 2 )的图象经过点(0，1)，则该简谐运 3 动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为__________． π 1 解析 由题意知 1＝2sin φ，得 sin φ＝2，又|φ|< 2 ， π π 得 φ＝ 6 ；而此函数的最小正周期为 T＝2π÷ ＝6. 3 π 答案 6， 6 4.(人教 A 必修 4P60 例 1 改编)如图，某地一天，从 6～14 时的温度变化曲线近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这 段曲线的函数解析式为________． 解析 从图中可以看出，从 6～14 时的是函数 y＝Asin(ωx 1 ＋φ)＋b 的半个周期，所以 A＝2(30－10)＝10， 1 b＝2(30＋10)＝20， π π 1 2π 又2× ＝14－6，所以 ω＝ 8 .又 8 ×10＋φ＝2π，
自我检测 1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示
(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中向左或 向右平移的长度一样．(×) (2)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为 A，最小值为－A.(×) (3)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期． (×) (4)函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 T，那么函数图象的两个相邻对称中 T 心之间的距离为 2 .(√) 2．(2014· 四川卷)为了得到函数 y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数 y＝sin 2x 的图象上所有的点( )
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π π 7π 所以 4x＋ ∈6， 6 ， 6 π π 1 所以当 4x＋ ＝ 时，g(x)取最大值 ； 6 2 2 π 7π 1 当 4x＋ ＝ 时，g(x)取最小值－ . 6 6 4
3/28/2013
[答案]
π f(x)＝2sin x 4
2π π [解析] 由图知：T＝8，∴ ω ＝8，∴ω＝ ，A＝2. 4
π ∴f(x)＝2sin4x＋φ，令
x＝2，
π π ∴2＝2sin2＋φ.∴sin2 ＋φ＝1.
π π ∵|φ|< ，∴φ＝0，∴f(x)＝2sin x. 2 4
π 1 π π 1 2 (2)由(1)知 φ＝ ，所以 f(x)＝ sin2xsin ＋cos xcos － 3 2 3 3 2
π π sin2＋3cos2x 1 ＝ sin2x＋ cos x－ ＝ sin2x＋ × － 4 2 4 4 2 2 4 π 1 ＝ sin2x＋ 6 ， 2
考情分析：
三角函数y＝Asin(ωx＋φ)+b 的图象和性质一直是高考的 热点，它的单调性、奇偶性及最值问题都是高考的重点且常以 解答题的形式与解三角形综合考查，其考查内容及形式仍是近 几年高考对该部分内容考查的命题方向。
3/28/2013
知识梳理 1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五 个特征点．如下表所示.
π π 2x－ － ，π (4)． 函数y＝sin 的简图是( 3 在区间 2
)
[答案] A
[解析] 当 x＝0
π 时，y＝sin－3 ＝－
3 ，排除 B、D. 2
π 而 x＝ 时，y＝0，排除 C，故选 A. 6
(5)、(2011·全国卷)函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0， π |φ|< ，x∈R)的部分图像如图所示，则函数表达式为 2 ______________．
1．确定y＝Asin(ωx＋φ)+b 的解析式的步骤 (1)求A 与b,确定函数的最大值M 和最小值m, 则A=(M-m)/2, b=(M+m)/2 (2)求ω,确定函数的周期T,则ω= (3)求φ ，常用方法有：
2 T
一、代入法：把图象上的一个已知点代入或代入图象与 直线y=b 的交点求解（此时要注意交点在升上区间上还是在下 降区间上） 二、五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第 φ － ，0 一零点 ω 作为突破口．要注意从图像的升降情况找准第 一个零点的位置，同时要利用好最值点．具体如下：
3/28/2013
x
0－φ π π－φ 3 2π－φ －φ π－φ 2 2 ω ω ω ω ω
ωx＋φ
0
π 2
π
3 π 2
－A
2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
0
2.函数 y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，其中 A>0，ω>0)的图像可以 看作由下面的方法得到的：先把正弦曲线上所有的点 向左 (当 φ>0 时)或 向右 (当 φ<0 时)平行移动|φ|个单位长度， (当 ω>1 时)或 缩短 (当 0<ω<1
π π 1 sin2＋φ(0<φ<π)，其图像过点6，2.
(1)求 φ 的值；
1 (2)将函数 y＝f(x)的图像上各点的横坐标缩短到原来的 ， 2 π 纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图像，求函数 g(x)在[0， ]上 4 的最大值和最小值．
π 1 ， [解析] (1)因为已知函数图像过点 6 2 ，所以有 π π 2× 1 1 2 π cosφ－1 sin ＋φ (0<φ<π)，即有1 ＝ sin 6 sinφ＋cos 2 2 2 6 2 3 3 ＝ sinφ＋ cosφ－cosφ(0<φ<π)， 2 2 π φ＋ π π π 所以sin 6 ＝1，所以φ＋ ＝ ，解得φ＝ . 6 2 3
方法归纳：
根据三角函数的图象求函数的解析式，关键是 在图象上找到几个确定的点的坐标，由最高点或最 低点确定出 A 的值，再由图象确定出最小正周期， 从而求出ω，最后根据特殊点的坐标确定出φ值。
三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合应用
[ 例 4]
1 1 2 已 知 函 数 f(x) ＝ sin2xsinφ ＋ cos xcosφ － 2 2
[答案]
3 y＝4sin 8 x 4
LOGO
T [解析] 由图像可以看出，A＝4， ＝6＋2，∴T＝16. 2
2π π 则ω＝ ＝ .根据 8 6 0 ， 16 8
3 4
3 y 4 sin( x ) 8 4
再把所得各点的横坐标 伸长
1 时)到原来的ω倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标 伸长 (当 A>1 时)或 缩短 标不变)而得到的． (当 0<A<1 时)到原来的 A 倍(横坐
3．当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈(0，＋∞))表示 2π 1 一个振动时，A 叫做 振幅 ，T＝ ω 叫做 周期 ，f＝T叫做 频率 ，ωx＋φ 叫做 相位 ，φ 叫做 初相 ．
求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
一、例题解析 下图为y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一段，求其解析式．
[分析] 首先确定A.以M 点为第一个零点， 由于此时曲线是 2π 先上升后下降(类似于y＝sinx 的图像)，所以A>0.而ω＝ ，φ可 T 由相位来求解．
π ，0 解：以点M 3 为第一个零点， 2π 则A＝ 3，ω＝ ＝2，解析式为y＝ 3sin(2x＋φ)， T π ，0 π 2π 将点M 3 代入得：2× ＋φ＝0⇒φ＝－ ， 3 3 2π 2x－ ∴所求解析式为y＝ 3sin 3 .
π (1)（2010·重庆高考）已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< )的 2 部分图像如下图所示，则( )
π A．ω＝1，φ＝ 6 π B．ω＝1，φ＝－ 6 π C．ω＝2，φ＝ 6 π D．ω＝2，φ＝－ 6
[答案] D
[解析]
T 7 π π 由图可知 ＝ π－ ＝ ，T＝π， 4 12 3 4
“第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝0； π “第二点”(即图像的“峰点”)为 ωx＋φ＝ ； “第三点”(即图 2 像下降时与 x 轴的交点)为 ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的 3π “谷点”)为 ωx＋φ＝ ；“第五点”为 ωx＋φ＝2π. 2
完成课时作业（二十四）
3/28/2013
2π 2π π 即 ＝π，∴ω＝2，根据 ＋φ＝ 得： ω 3 2 π φ＝－ 6
（2）已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在区间[0,2π] 的图像如下：
那么ω＝( A．1
) B．2 1 C. 2 1 D. 3
[答案] B
2π [解析] 由图像可知，函数周期 T＝π，ω＝ T ＝2.
π (3)． 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0， ω>0， |φ|< ) 2 的部分图像如图所示， 则f(x)的解析式为____________．