数模方程求根3
求解三次方程的根
求解三次方程的根
介绍
本文档将介绍如何求解三次方程的根。
三次方程是一个三次多项式方程，可以用以下通用形式表示：
ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
其中，a、b、c和d是已知系数，x是要求解的未知数。
解法
要求解三次方程的根，可以通过以下步骤进行：
1. 确定系数
首先，确定方程中的系数a、b、c和d的值。
2. 应用求根公式
三次方程的求根公式比较复杂，我们可以转而应用数值计算方法来逼近解。
在这里，我们可以使用牛顿迭代法来求解三次方程的根。
步骤：
1. 选择一个初始近似值x0。
2. 使用以下迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件：
x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n))
其中，x(n)表示第n次迭代的近似值，f(x)表示三次方程的函数，f'(x)表示三次方程的导函数。
3. 当满足收敛条件时，近似值x(n+1)即为方程的一个根。
3. 解的个数和精度
三次方程可能有一个实根或三个实根。
当求解过程中产生一个
根时，可以通过多次迭代来寻找其他根。
另外，牛顿迭代法的精度取决于初始近似值的选择和迭代次数。
为了得到更精确的根，可以尝试多次迭代并选择更合适的初始近似值。
结论
求解三次方程的根是一个复杂的过程。
本文介绍了使用牛顿迭
代法来逼近解的方法。
通过选择适当的初始近似值和进行多次迭代，
可以得到较精确的根。
你也可以尝试其他数值计算方法来解决这个问题。
第3章-方程求根
x * xk 则有
此时，xk 就是满足精度要求的近似值。
§3.2 二分法
x2 0 的根，且误差 例：用二分法求方程的根 f ( x) sin x 4 不超过10-2
分析：除原点外，两条曲线只有一个交点，且 f (1.5) 0 f (2) ，故方程在[1.5,2]内只有一个实根。
所以342牛顿迭代法的收敛性例345用牛顿法于方程导出求的迭代公式并讨论其收敛性所以序列单调递减有界故使得迭代序列收敛于342牛顿迭代法的收敛性显示迭代失败的信息并终止计算输出终止计算输入执行计算342牛顿迭代法的收敛性由定理341知若是方程的单根时牛顿迭代法至少具有平方收敛速度
第三章 方程求根
3.1
f ( x) a n x a n1 x
n
n
n 1
.... a1 x a0
an 0
则称相应的方程为 次代数方程。 如果 f (x)中含有三角函数，对数函数等其他超越函数， (an 0) 则称相应的方程为超越方程。
n
§3.1 引言
方程的根可能是实数，也可能是复数，分别称为方程的 实根和复根。本章主要介绍方程实根的求法。 * x ，有 f ( x* ) 0 ，但 f ' ( x* ) 0 ，则称 x* 是方 若对于 程 f ( x) 0 的单根。 若有 f ( x * 则称 x 是方程
§3.1.2 根的分布
定理1（代数方程的上下界定理） n n 1 1 设 f ( x) an x an 1 x , , , a1 x a0 , (an 0)
且M max an 1 , an 2 ,..., a0
M 则方程f(x)=0的实根（若存在）的绝对值均小于 1 an
方程求根的数值方法
1）逐步搜索法
适当取一个小正数 h ，逐步计算 f(a) 、 f(a+h) 、 f(a+2h) 、 f(a+3h)、 …… 的值，直到相邻两个值 异号，则取这两点的中点为近似根。
2）图形放大法
y=f(x)图象与x轴交点（的横坐标）即为f(x)=0根。 借助计算机，逐步画图，就可得近似根。
3）数值迭代逼近法
f ( xn ) xn1 xn f ( xn ) n 0,1,......
当初值x0和方程的根 x*接近时， f(x) 近似等于 以此产生的序列 {Xn}得到 f(x)=0 的近似解，称为 f(x0)+f’(x0)(x-x0)， Newton法，又叫切线法。 则
f(x)=0
与
f(x0)+f’(x0)(x-x0)＝0
变端点弦截法又称两点割线法
弦截法的几何解释
求解方程f(x)=0的快速弦截法
(1) (2) 输入 : x0 , x1 , , N ; L 0, f 0 f ( x0 ), f1 f ( x1 ); | f1 | 时做 x1 x0 f1 ; f 2 f ( x2 ); L L 1; f1 f 0
1.5 4 1.5 3 x1 1.5 1.2543 3 4 1.5 1 4 得到方程的一个 x1 x1 3 x2 x1 1.1723 3 近似根 1.1640 ， 4 x1 1
4 x2 x2 3 x3 x2 1.1641 3 4 x2 1 4 x3 x3 3 x4 x3 1.1640 3 4 x3 1 4 x4 x4 3 x5 x4 1.1640 4 x4 1
f (1.125) 0 f (1.1875 ) 0,
方程求根的数值解法
17
牛顿法的收敛速度
迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 ( x )的选 取。如果当 x [a , b]时 ' ( x ) 0, 则该迭代过程只 可能是线性收敛。 对牛顿公式 其迭代函数为 由于 xk 1 xk f ( xk ) f ' ( xk )
f ( x) ( x) x ' f ( x) f ( x ) f '' ( x )
xk 1 xk
只要
k
f ( xk ) （牛顿公式） f ( xk ) ，每一步迭代都有 f ( xk ) 0 ， 而 且 ，
lim x k x *
，则
的根。
5
牛顿法几何表示
从几何的角度来分析一下牛顿公式的直观结构，方程
f ( x) 0 的根就是曲线 y f ( x) 与 轴的交点。设 xk 为 x* 的一个近似值，过曲线 y f ( x)上横坐标为 xk 的
22
弦截法
基本思想：利用一些函数值f ( xk ), f ( xk 1 ), 回避导数值f ' ( xk )的计算。 设xk , xk 1 , , xk r是f ( x ) 0的一组近似根，利用 , f ( xk r ), 构造插值多项式 函数值f ( xk ), f ( xk 1 ), 来
第六讲 方程求根的数值解法
1
第六讲
主要知识点
1、牛顿法的思想、牛顿迭代公式；
2、牛顿法的收敛性；
3、牛顿法的收敛速度；
3、弦截法思想。
2
一般迭代法
对于一般形式的方程 f ( x ) 0 先将方程化为 再从某一数 x0 出发，作序列x0 ， xn 1 g ( xn ) , n 0,1,2, 若序列有极限，即lim xn a
《数值分析》第六讲：方程求根
6
第六章： 第六章：方程求根
天才的伽罗华
1829年 伽罗华中学毕业前， 1829年，伽罗华中学毕业前，把关 于群论的初步研究结果的论文提交给法 国科学院，科学院委托当时法国最杰出 国科学院， 的数学家柯西审核论文。 的数学家柯西审核论文。 在1830年1月18日柯西计划对伽罗华 1830年 18日柯西计划对伽罗华 的研究成果在科学院举行一次全面的意 见听取会。他在一封信中写道： 见听取会。他在一封信中写道：“今天 我应当向科学院提交一份关于年轻的伽 罗华的工作报告……但因病在家，我很 但因病在家， 罗华的工作报告 但因病在家 遗憾未能出席今天的会议， 遗憾未能出席今天的会议，希望安排我 参加下次会议，讨论已指明的议题。” 参加下次会议，讨论已指明的议题。
7
第六章： 第六章：方程求根 第二周，柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时， 第二周，柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，忘记了原 来的议题。 来的议题。 1830年 1830年2月，伽罗华将论文寄给当时的科学院终身秘书傅立 叶，傅立叶于当年5月去世，在他的遗物中未发现伽罗华的手稿。 傅立叶于当年5月去世，在他的遗物中未发现伽罗华的手稿。 伽罗华递交的两次数学论文均被遗失。 伽罗华递交的两次数学论文均被遗失。 1831年1月，伽罗华将包含新成果的论文提交给法国科学院， 1831年 伽罗华将包含新成果的论文提交给法国科学院， 负责审查的数学家泊松（Possion),四个月后， 负责审查的数学家泊松（Possion),四个月后，以“完全不能理 四个月后 解”，建议科学院退稿。 建议科学院退稿。 1831年 1831年1月8日，因伽罗华揭发校长的政治两面派行为，被皇 因伽罗华揭发校长的政治两面派行为， 家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学； 家国民教育委员会批准开除出巴黎师范大学；
方程求根计算方法课件及实验教学
通过实际动手操作，学生能更好地理解方程求根的概念和方法，提高问题解决能力。
拓展思考
鼓励学生思考方程求根方法的适用性和限制性，帮助他们在实际问题中做出明智的选择。
迭代改进
教师应根据学生的实际情况和反馈，不断改进教学方法和实验设计，以提高教学效果。
方程求根计算方法课件及 实验教学
欢迎来到我们的课件，探索方程求根的计算方法和实验教学。方程求根在数 学中的重要性不可忽视，让我们一起开始这次精彩的探索之旅吧！
方程求根的重要性
方程求根是解决实际问题的关键步骤。它们在物理、工程学和经济学等领域中起着重要作用，帮助我们 找到未知数的值，并解决复杂的数学问题。
方程求根的一般方法
1 代入法
将可能的解代入方程，验证是否满足等式。这是一种常用的解方程方法。
2 消元法
通过逐步消除未知数的系数，将方程转化为更简单的形式，以便求解。
3 图像法
将方程的图像与坐标轴交点作为解。这种方法通常用于一次和二次方程。
二分法求实根
二分法是一种迭代方法，通过不断缩小搜索范围，找到实根的近似值。它基于连续函数的介值定理，是问题转化为一系列有根的逼近问题，通过多次逼近来找到实根。这种方法适用于未知数只存在 于特定区间的情况。
牛顿迭代法求实根
牛顿迭代法使用泰勒级数的概念，通过迭代逼近不断靠近方程的根。它是一 种快速收敛的方法，特别适用于函数具有光滑性的情况。
割线法求实根
割线法与牛顿迭代法类似，但它使用两个近似值来逼近根，从而更具稳定性。 割线法是一种可靠的求解非线性方程的方法。
方程求根的程序实现
选择合适的编程语言
根据问题的复杂性和计算要求，选择适用于方程求根的编程语言，如Python或MATLAB。
01方程求根2016
定义 2：设不动点方程 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ = ϕ ( x) 的一个不动点是 x*，若存在 x*的一个充分小的邻域
U δ ( x*) = x x − x * < δ ∀x0 ∈ U δ ( x*) 迭代序列 x k +1 = ϕ ( x k ) k = 0,1,2, 均收敛
f ( x k ) − f ( x k −1 ) ( x − x k ) 的零点，所以又称割线法 x k − x k −1
收敛范围：局部
收敛速度： p =
1+ 5 ≈ 1.618 ，超线性收敛 2
方程求根
问题: 求 x * , 使得 f ( x*) = 0 , x * 称为 f ( x) 的根或零点。
定义 1：如果 f ( x) ∈ c[ a, b] ， f (a ) f (b) < 0 ，则 f ( x) 在区间[a,b]上一定有根，[a,b] 称有根区间。 §1 搜索法 1 逐步搜索法 将区间分为 n 份，变号，则区间缩小。 2 二分法 需一有根区间[a,b]， f (a ) f (b) < 0 ，取 a，b 中点 c， 若 f (a ) f (c ) > 0 ，则 a:=c，区间变为[c,b] 否则，b:=c，区间变为[a,c] 优点：算法简单，收敛速度快，且收敛有保证。
1
3） ϕ ' ( x) ≤ q < 1 ∀x ∈ [a, b] 则结论同定理 1。 推论 1.2 ：设 1 ） ϕ ( x) ∈ c [ a, b] ， 2 ）若 x* 是不动点方程 x = ϕ ( x) 的不动点，且
1
ϕ ' ( x*) < 1 ， 则 ϕ ( x) 在 x* 的 邻 域 U δ ( x*) 内 存 在 唯 一 的 不 动 点 x * ，
方程求根的数值计算方法
代替牛顿法中的导数有
以下快速弦截法迭代公式：
xk +1 = xk − f ( xk ) − f ( xk −1 ) f ( xk )
( xk − xk −1 )
三、方程求根的弦截法
•弦 截 法 求 根 的 基 本 步 骤 ： 1 设 定 初 值 x 0 , x1 ; 2 求 出 f ( x 0 ), f ( x1 ); 3 利 用 弦 截 法 求 根 公 式 求 近 似 根 x; x = x1 − f ( x1 ) × ( x1 − x 0 ) /( f ( x1 ) − f ( x 0 )) 4 将 x1作 为 新 的 初 值 x 0, 新 的 近 似 根 x 作 为 新 的 初 值 x1 , 再 回 到 2;...如 此 循 环 往 复 直 到 x − x1 < ε & & f ( x ) < ε 为 止 。 •注 意 ： 对 于 弦 截 法 也 有 可 能 陷 入 死 循 环 。 解 决 的办法与牛顿法一样。
*
*
0
*
k +1
k
*
二、方程求根的牛顿法 对于方程 f ( x) = 0 ，设已知它的近似根 为 xk ，则函数 f ( x) 在点 xk 附近可用一阶 泰勒多项式 p( x) = f ( xk ) + f ′( xk )( x − xk ) 来近似， 若取 p( x) =0 的根作为 f ( x ) = 0 新的近似根， 记为 ，则有如下著名的牛顿公式 牛顿公式： x k +1 牛顿公式 相应的迭代函数是：
迭代法的设计思想
– 迭代法是一种逐次逼近法，这种方法使用某个 迭代法是一种逐次逼近法， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 固定公式－即迭代公式反复校正根的近似值， 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 使之逐步精确化，直至满足精度要求的结果。 – 迭代法的求根过程分成两步，第一步先提供根 迭代法的求根过程分成两步， 的某个猜测值，即所谓迭代初值， 的某个猜测值，即所谓迭代初值，然后将迭代 初值逐步加工成满足精度要求的根。 初值逐步加工成满足精度要求的根。
方程求根
迭代法—算例分析2
例如：求方程 f ( x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根 x*
22
§2.2
迭代法—算例分析2
例如：求方程 f ( x) x3 x 1 0 在x0 1.5 附近的根 x*
3 解：将方程改写为 xk 1 x ， k 1
由此建立迭代公式： xk 1 3 xk 1 (k 0,1, 2, ) 计算结果如下表
f (1)<0, f (2)>0 记 I0=[1,2] , x0 =(1+2)/2=1.5
因为 f (x0) f (1)>0 得 I1=[1.5, 2] , x1 =(1.5+2)/2=1.75
f (x1) f (1.5)<0 得 …….
I2=[1.5, 1.75] , x2 =(1.5+1.75)/2=1.625
if B A 0 where else x1 2 x2 2 x3 2 where
( B 2 A3 | B |)1 / 3 ;
A cos( a , 3 3 2 a A cos( ) , 3 3 4 a A cos( ) , 3 3 arccos( B / A3 / 2 ) ; )
二分法
求 f (x) = 0 的根
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
y
f (x)
a
x*
b
x
称[a, b]为方程的有根区间。
7
§2.1
二分法—算法构造
a x a1
b2 x* x
b
给定有根区间 [a, b] ( f(a) ·f(b) < 0) 和 精度 或 1. 令 x = (a+b)/2 2. 如果 b – a < 或 f (x) < , 停机，输出 x 3. 如果 f (a) f (x) < 0 , 则令 b = x，否则令 a = x, 返回第1步 用二分法求根，通常先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。
数学建模方程求根、不动点和迭代
f i( x ) x
( i 1 , 2 , 3 )
蛛网图与不动点迭代
运行观察程序zxy7_3， 理解蛛网图的原理
简单和复杂：二次函数迭代和混沌代， 其中0 < r < 1是一个可变参数。 1） 固定若干个不同的的值，观察迭代序列的 的极限；
y y ( x ) I 上是可微的，且 在
y '(x) F x /F y
。
隐函数的存在定理的可视化
选择特殊的例子 运行zxy7_1.m， 画出曲面z=F(x,y)、x-y 平面的图像和它们的交线。 画出曲线z = F(x0, y)；（备注）
y 2 F ( x , ) y x 4x 0 (2 0.1sin(xy)
迭代N次，略去前n个迭代值，并将后N – n个迭代 值画在r-x坐标系中（zxy7_4)
2）用蛛网图观察三种不同类型的迭代。(zxy7_5) 3）加密r的取值，得到加密Feigenbaum图。 （zxy7_4改变参数)
蛛网图与不动点迭代
问题 （用不动点迭代求 g(x) = 0 的根）
g(x) x 2 x 4 0 的根。 求方程
f 1( x ) 4 x
2
f2(x) 4/(1 x) f 3 ( x ) x ( x x 4 ) / ( 2 x 1 )
2
g ( x ) 0
不动点迭代法迭代法求解差分方程三次方程求根公式3次方程求根公式2次方程求根公式一元二次方程求根方程求根公式三次方程求根方程求根非线性方程求根
实验七
方程求根、不动点和迭代
隐函数的存在定理的可视化
隐函数存在定理
y ( （a）设函数 F ( x , )在点 x0 ,y 0 ) 的某邻域内有连续
方程求根公式法范文
方程求根公式法范文方程求根公式法是一种利用代数方法来求解方程根的方法。
它基于代数学中的根与系数之间的关系，通过一定的变形和运算找到方程的根。
这种方法通常适用于一次、二次、三次和四次方程。
本文将详细介绍这些方程的求根公式和求解方法。
一次方程的求根公式法：一次方程的标准形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，且a≠0。
方程的根可以通过简单的代数运算得到：x=-b/a这个根就是方程的解。
对于一次方程来说，求解过程非常简单。
二次方程的求根公式法：二次方程的标准形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c为已知数，且a≠0。
对于这种方程，可以使用求根公式来计算根的值：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)其中±表示两个根，一个取加号，一个取减号。
这个公式被称为二次方程的求根公式。
需要注意的是，方程有三种可能的情况：1. 如果b^2 - 4ac > 0，方程有两个实数根；2. 如果b^2 - 4ac = 0，方程有一个实数根；3. 如果b^2 - 4ac < 0，方程没有实数根，但有两个虚数根。
三次方程的求根公式法：三次方程的标准形式为ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c和d为已知数，且a≠0。
对于这种方程，可以使用卡尔达诺公式来计算根的值：x=(q+∛(q^2+p^3))^1/3+(q-∛(q^2+p^3))^1/3-b/(3a)其中，p = (3ac - b^2)/(9a^2) 和 q = (9abc - 27a^2d -2b^3)/(54a^3)。
这个公式被称为三次方程的求根公式。
四次方程的求根公式法：四次方程的标准形式为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a、b、c、d和e为已知数，且a≠0。
四次方程的求根公式较为复杂，可以使用费拉里公式来计算根的值。
费拉里公式涉及复数和虚数的运算，因此在计算过程中需要使用复数计算的相关知识。
数学练习解三次根式方程
数学练习解三次根式方程解三次根式方程是数学中的一个重要内容，掌握解题方法对于学生来说至关重要。
在本文中，我们将介绍解三次根式方程的基本步骤和方法，并提供一些练习题来帮助读者加深理解和应用。
解三次根式方程的基本步骤如下：步骤一：将方程化简为标准形式，即保证方程只含有一个三次根式项，并将其他项移到等号右边。
步骤二：通过立方公式将三次根式项转化为一个新的变量。
假设原方程为∛(ax + b) = c，引入新变量y = x + k，其中k为任意实数，将方程化简为∛(ay + b') = c'。
步骤三：对新方程进行求解，将其转化为关于y的二次方程或一次方程。
这一步骤通常需要通过恒等变形、分组、移项等方法。
步骤四：解出方程中的变量y，并回代到步骤二的新方程中。
步骤五：根据y与x的关系，解出原方程中的变量x。
现在让我们通过一些实际例子来演示解三次根式方程的过程。
例题一：解方程∛(x + 1) = 2。
解答：步骤一：方程已经是标准形式，可以直接进入下一步。
步骤二：引入新变量y = x + k，假设k = 1，将方程变为∛(y + 1) = 2。
步骤三：对新方程进行求解，将其转化为关于y的二次方程。
将∛(y + 1) = 2两边立方得到y + 1 = 8，然后将常数项移到右边得到y = 7。
步骤四：将y = 7回代到步骤二的新方程中得到∛(x + 1) = 2，解得x + 1 = 2^3，即x + 1 = 8，解得x = 7。
步骤五：我们得到x = 7，即解方程∛(x + 1) = 2的根为x = 7。
现在让我们来解几个练习题，加深对解三次根式方程的理解：练习一：解方程∛(3x - 2) + 1 = 0。
解答：步骤一：将方程化简为标准形式，得到∛(3x - 2) = -1。
步骤二：引入新变量y = 3x - 2，将方程变为∛y = -1。
步骤三：将∛y = -1两边立方得到y = -1，此时方程已经转化为一次方程。
方程求根的数值方法
方程求根的数值方法数值方法是一种求解方程根的近似方法，它通过一系列计算和迭代来逼近方程的根。
这些方法常用于无法通过代数方法求得解析解的复杂方程，或者是当方程没有明确的解析解时。
在这篇文章中，我们将讨论三种常用的数值方法：二分法、牛顿法和割线法。
二分法是一种基于零点定理的根查找方法。
零点定理指出，如果一个函数在区间[a,b]的两个端点处取得正负值，那么这个函数在这个区间内至少存在一个根。
二分法的基本思想是将区间二分，并判断根是否在分割后的子区间内。
具体步骤如下：1.选择一个初始区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号。
2.计算区间中点c=(a+b)/23.如果f(c)等于0或者f(c)的绝对值小于给定的误差限，那么c是近似的根。
4.如果f(c)和f(a)异号，那么根在左半区间[a,c]内；否则，根在右半区间[c,b]内。
5.重复步骤2到4，直到找到满足条件的近似根。
二分法的优点是简单易懂，收敛速度较快；缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度。
牛顿法是一种迭代法，通过对函数f(x)的一阶导数进行线性逼近，来求得方程f(x)=0的根。
具体步骤如下：1.选择一个初始近似根x0。
2.计算函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)。
3.计算线性逼近方程的解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
4.如果f(x1)的绝对值小于给定的误差限，那么x1是近似的根。
5.否则，令x0=x1，重复步骤2到4，直到找到满足条件的近似根。
牛顿法的优点是收敛速度快，通常是二次收敛；缺点是对于一些特殊的函数，可能会出现发散或者陷入局部最优解的情况。
割线法是对牛顿法的改进，它通过将区间的两个端点连接起来，构建一条割线来逼近方程的根。
具体步骤如下：1.选择两个初始近似根x0和x1，使得f(x0)和f(x1)异号。
2.计算割线的斜率k=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)。
3.计算线性逼近方程的解x2=x1-f(x1)/k。
方程求根的万能公式
方程求根的万能公式
在数学中，方程求根是一个重要的问题，它涉及到数学中的代数、方程以及求解技巧。
为了解决这一问题，数学家们提出了各种方法和公式。
其中，最著名的就是方程求根的万能公式。
方程求根的万能公式，也称为求根公式，是一个用来求解一元n次多项式方程的根的公式。
它可以用来求解任何形式的多项式方程，包括二次方程、三次方程、四次方程等等。
这个公式的形式非常简洁，但是它的应用却非常广泛。
方程求根的万能公式可以表示为：
对于一元n次多项式方程ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+...+k=0。
其中a,b,c,...,k是常数，x是未知数，n是方程的次数。
方程的根可以通过这个公式来求解，这个公式可以给出方程的所有根的表达式。
通过这个公式，我们可以求解各种复杂的多项式方程，从而解决各种实际问题。
方程求根的万能公式的提出，极大地推动了代数学的发展，它为数学家们提供了一个强大的工具，使他们能够更加深入地研究各种多项式方程的性质和解法。
同时，这个公式也在实际中有着广泛的应用，例如在工程、物理、经济等领域。
总之，方程求根的万能公式是数学中一个非常重要的公式，它为我们解决方程求根问题提供了一种非常有效的方法。
它的提出和应用，对数学的发展和实际问题的解决都具有重要的意义。
数学建模讲稿插值拟合方程求根
根据直线的点斜式方程变形得到 q(x)在第 i 段 ?xi?1, xi ?上的表达式
为
q(x) ?
x ? xi xi?1 ? xi
yi ?1
?
x ? xi?1 xi ? xi?1
yi , xi?1
?
x?
xi ,i
? 1,2,?
,n
可以证明，分段线性插值具有良好的收敛性，即 lim q(x) ? f (x), 其 n? ?
[xi,yi]=meshgrid(1:0.1:12,5:85);
zi=interp2(x, y, z, xi, yi,); mesh(xi, yi, zi) xlabel(‘月份' ) ylabel(‘纬度' ) zlabel(‘气旋' )
axis([0 12 0 90 0 50])
title(‘南半球气旋可视化图形' )
j?0
可知
m
mn
? ? ? ?
2 2
? (S ( xi ) ? yi )2? ( a j? j ( xi ) ? yi )2
i? 0
i?0 j?0
为拟合系数 a j ( j ? 0,1, L , n )的函数
因此可假设
mn
? ? ? (a0 , a1 ,L , an ) ? ( a j? j ( xi ) ? yi )2
y=
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 55 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 35 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 45 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 55 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 75 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85 85
方程求根的数值方法
x x 3 0, x ln(x) 1, x e
4
x
定理：f(x)连续，f(a)与f(b)异号，a<b，则方程 f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个根，称(a,b)是该 方程的一个有根区间。 若已知(a,b)内有且仅有一个根，则称(a,b)是一个 单根区间。 确定了单根区间(a,b)后，就可用数值求根的方法 进行求近似解。常用的方法有
注意到迭代函数形式不唯一，其迭代差异可能很大。 迭代法需要讨论的基本问题有：迭代法函数构造、 迭代序列的收敛性，收敛速度以及误差估计。
定理（压缩映像原理）
设迭代函数 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上满足：
（1） 对任意x∈[a,b]，φ(x) ∈[a,b]；
（2） 满足Lipschitz条件
x1 , x2 [a, b]
( x1 ) ( x2 ) L x1 x2
0 L 1
则 x＝φ (x) 在闭区间[a,b]上 存在唯一解x*，使 得对任意x∈[a,b]，由xk+1= φ(xk) 产生的序列 {xk}收敛于x*。
迭代法的几何意义
yx x ( x) 交点的横坐标即为f(x)=0的根。 y ( x)
方程求根的数值方法
有少数方程 f(x)=0 可以用传统的数学表达式推演而得 到准确根，求根很容易，如：方程 x2+x-2=0 有两个 根，是1 、 -2 ；方程 lnx=0有一个根，是 1。但这样的 方法只能解极少数简单方程；对于大量的由实际问题 而产生的方程，例如下面的方程就求不出准确根（即： 一点误差都没有的根），只能用数值解法求近似根.
但如果由x=x3-1建立迭代公式 xk+1=xk3-1，k=0,1· · ·
方程求根(计算方法)
牛顿(3)
亲手制作了第一具反射望远镜。在哲学上深信物质、 运动、空间和时间的客观存在性，坚持用观察和实 验方法发现自然界的规律，力求用数学定量方法表 述的定律说明自然现象，其科学研究方法支配后世 近300年的物理学研究。
牛顿像(1)
牛顿像(2)
牛顿像(3)
牛顿像(4)
牛顿像(5)
牛顿像(6)
*
a0 b0 x 2
stop.
§2.2 二分法
(5) x=(a0+b0)/2, f=f(x) if stop.
f 1 then x* x
(6) If f1f<0, then b0=x, f2=f else a0=x, f1=f, endif
(7) Goto (3)
§2.2 二分法
§2.2 二分法
不断重复这个过程直到 bi ai ， 为给 定精度，于是得到方程根 (ai bi ) / 2 。
[a0 , b0 ] [a2 , b2 ] ... [ak 1 , bk 1 ] [ak , bk ]
• 新区间长度总是旧区间长度的一半，二 分k次后区间假设为[ak,bk]，其长度为，
§2.1 问题的提出
如修正牛顿法，拟牛顿法等。1797年，高斯给出 “代数基本定理”，指出高次代数方程根的存在性。 1819年，霍纳提出求高次代数方程数值解的另一种 方法－－霍纳法，其思想及计算程序与秦九韶的方 法近似，类似的方法鲁非尼在1804年也提出过，霍 纳法也有广泛的应用，它的现代改进形式叫劈因子 法。现在常用的代数方程数值解法还有伯努利法和 劳斯表格法。
牛顿像(7)
牛顿像(8)
高斯(1) 高斯(Gauss, Carl Friedrich 1777.4.30-1855.2.23)：德 国数学家、物理学家、天文学家。生于不伦瑞克， 卒于格丁根。高斯是近代数学奠基者之一，在历史 上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列。 他幼年时就表现出超人的数学天才。1795年进入格 丁根大学学习。第二年他发现正十七边形的尺规作 图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解 决了欧几里得以来悬而未决的问题。1798年转入黑 尔姆施泰特大学，1799年获博士学位。1807年以后 一直在格丁根大学任教授。 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、 代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都
第五章 方程求根的数值解法
逐次搜索法
在 x 的不同取值点上计算 f (x)，观察 f (x) 的符号， 只要在充分接近的相邻两点函数值 f (x) 反号，则以该 两点为端点的区间必然是有根区间 例：求方程 f ( x ) x 3 11.1 x 2 + 38.8 x 41.77 0 的有 根区间. 解：取步长为 1 对方程的根进行搜索，结果如下： x f (x) 符号 0 1 2 + 3 + 4 5 6 +
迭代法
迭代法又称逐次迭代法，其基本思想是构造不动点 方程，以求得近似根（如果 x * 满足 x * ( x * )，则称 x * 为 (x) 的不动点） 由方程 f (x) 0 变换为 x (x)，然后建立迭代格式
xn +1 ( xn ) n 0,1,2,
当给定初值 x0 后，由迭代格式可求得一系列准确根 的近似值，组成迭代序列 {xn}。
[a0 , b0 ] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ] 个区间的宽度的一 半，因此 [an, bn] 的宽度为 ： 1 1 1 bn an (bn1 an1 ) 2 (bn 2 an 2 ) n (b0 a0 ) 2 2 2 取每个有根区间的中点 xi (ai + bi ) 2 作为 x* 的近 似值，则在二分过程中，可以得到一系列精度越来 越高的方程根的近似值序列：
8
二分法（续）
假设已找到 f (x) 的较为粗略的有根区间 [a0, b0]， 并且 f (x) 在 [a0, b0] 上连续 取中点 x0 (a0 + b0 ) 2 将区间 [a0, b0] 分成两半，检 查 f (x0) 与 f (a0) 是否同号？