2.6最短路径(第四次重点讲)

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最短路径知识点总结

最短路径知识点总结最短路径问题的核心思想是通过某种策略找到两个节点之间的最短路径。

在图的表示方法上，最短路径问题通常使用邻接矩阵或邻接表来表示图的结构。

多种最短路径算法也可以适用于不同的图模型，包括有向图、无向图、带权图等。

常用的最短路径算法包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法等。

下面将对这些算法进行介绍和总结。

Dijkstra算法是一种解决单源最短路径问题的贪心算法。

它的核心思想是通过不断地确定距离源点距离最短的顶点来逐步扩展已知的最短路径集合。

具体步骤包括：初始化距离数组，设置起点距离为0，其他顶点距离为无穷大；选择未访问顶点中距离最短的顶点，并将其标记为已访问；更新与该顶点相邻的顶点的距离；不断重复以上步骤直到所有顶点都被访问。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V表示顶点的个数。

当图比较大时，可以使用堆优化的Dijkstra算法，将时间复杂度优化到O((V+E)logV)。

Bellman-Ford算法是一种解决单源最短路径问题的动态规划算法。

它的核心思想是通过对所有边进行松弛操作，不断更新顶点的最短路径估计值。

具体步骤包括：初始化距离数组，设置起点距离为0，其他顶点距离为无穷大；循环遍历所有边，不断进行松弛操作，直到没有发生变化为止。

Bellman-Ford算法的时间复杂度为O(VE)，其中V表示顶点的个数，E表示边的个数。

这个算法可以解决包含负权边的图的最短路径问题，而Dijkstra算法则无法处理负权边。

Floyd-Warshall算法是一种解决多源最短路径问题的动态规划算法。

它的核心思想是通过对所有顶点之间的距离进行不断更新，找到所有顶点之间的最短路径。

具体步骤包括：初始化距离矩阵，设置顶点之间的距离为边的权重，若没有直接相连的边则设置为无穷大；循环遍历所有顶点，尝试将每个顶点作为中转点，并尝试更新所有顶点对之间的距离。

最短路径知识点

l A 最短路径问题一、基本模型与方法问题1：“牵牛从点A 出发，到河边l 喝水，再到点B 处吃草，走哪条路径最短？”即在l 上找一点P ，使得PA+PB 和最小.（1）A ，B 两点在直线异侧时，连接AB 交l 于P ，则PA+PB 和最小.（2）A ，B 两点在直线同侧时，在l 上找一点P ，使得PA+PB 和最小.作B 点关l 的对标点B’，连接AB’交l 于点P ，即为所要找的P 点，使PA+PB 和最小.(3)变式讨论：在l 上找一P 点，使得△PAB 周长最小.问题2：在l 上找一点P ，使得|PA 一PB|最大（1）A ，B 两点在直线同侧时，连接AB 井延长交l 于P ，则|PA 一PB|最大（2）A ，B 两点在直线异侧时，作B 点关于l 的对称点B’，连接AB’并延长交l 于点P ，即为所要找的P 点，使|PA 一PB|最大.（3）当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB 最小． l A l A l l A问题3：（1）在直线l 1、l 2上分别求点M 、N ，使△PMN 周长最小做法：分别作点P 关于直线l 1、l 2的对称点P 1，P 2连接P 1，P 2与l 1、l 2交点即为M ，N（2）变式：在直线l 1、l 2上分别求点M 、N ，使四边形PMQN 周长最小.做法：分别作点P ，Q 关于直线l 1，l 2的对称点P’，Q’，连接P’，Q’ 与l 1，l 2交点即为M ，N问题4：点在锐角△AOB 内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PD+CD 最小做法：做点P 关于直线OB 的对称点P’，过P’向直线OA 作垂线与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C问题5：（1）直线l 1△l 2，并且l 1与l 2之间的距离为d ，点A 和点B 分别在直线l 1、l 2的两侧，在直线l 1、l 2上分别求一点M 、N ，使AM+MN+AB 的和最小.作法：将点A 向下平移d 个单位到A 1，连结A 1B 交l 2于点N ，过N 作MN△”1，垂足为M ，连结AM ，则线段AM+MN+NB 的和最小，点M ，N 即为所求. l ABl 22O（2）直线l 的同侧有两点A ，B ，在直线l 上求两点C 、D ，使得AC+CD+DB 的和最小，且CD 的长为定值a ，点D 在点C 的右侧.作法：将点A 向右平移a 个单位到A 1，作点B 关于直线的对称点名B 1，连结A 1，B 1交直线l 于点D ，过点A 作AC//A 1D 交直线l 于点G ，连结BD ，则线段AC+CD+DB 的和最小. 点C 、D 即为所求二、基本题型训练(欢迎大家补充练习题并上传！)1. 如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB的最大值是多少？解答：l 21如图所示，作点A关于CD的对称点A′，连接A′C，连接A′B并延长交CD于点P，则点P就是PA PB-的值最大时的点，PA PB-＝A′B．∵△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC等于4，∴∠ACB＝90°．∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°．∵点A、A′关于CD对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′，∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．∵CA′＝AC＝BC＝4，∴△A′BC是等边三角形，∴A′B＝BC＝4．∴PA PB-的最大值为4．2.。

初中数学中考复习专题最短路径问题 (24张PPT)

【例题分层探究】问题 1：边 CD 是定值，此问题可转化为计算 CE＋DE 的最小值问题．问题 2：线段 CD，EF 均为定值，此问题可借助轴对称求最短路径的方法计算出 DE＋CF 的最小值．
初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）
初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）
∵C(0,-5) ∴C′(0,5) ∴直线C′D为y=-7x+5
D(2,-9)
ME
x
AO
B
∴y=0 ，即-7x+5=0 ∴m=5 ∕ 7
∴x=5 ∕ 7
C D
初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）
初中数学中考复习专题最短路径问题（24张PPT）
中考链接
24 如图 Z8－3，在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的
A
B l
在直线l上求一点P，使 PA+PB值最小
作B关于l 的对称点 B＇，连A B＇与l交点即为P
图形
原理
两点之间线段最短
PA+PB最小值为AB
原理
两点之间线段最短
PA+PB最小值为AB
问题3
作法
l1
P
分别作点P关于
l2
两直线的对称
在直线l1、l2上点P＇和P＂，连分别求点M P＇P＂与两直线
AM+MN+NB的值最小．
作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A ＇B＇交l2于M
，交l1于N．
图形
原理
两点之间线段最短．
AM+MN+NB 的最小值为线段A＇B＇的

最短路径

最短路径问题
一、教学内容：最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有连线中，垂线段最短”为知识基础进行研究。

二、教学目标
1、能利用两点之间，线段最短解决立体图形最短路径问题
2、利用立体图形展开图，画出平面图形。

三、教学重难点
重点：利用平面图形将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用平面图形将立体图形最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

四、教学问题诊断
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。

五、教学过程
问题一：在边长为4dm立方体木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？
问题二：在长5dm、宽3dm、高8dm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？
问题三：如图：有一个圆柱，它的高为8厘米，底面半径为2厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面相对的B点处的食物，沿圆柱表面爬行的最短路程是多少？（∏=3）
课堂小结：这节课你有什么收获？
作业布置：如图：有一个圆柱，它的高为8厘米，底面半径为2
厘米，在圆柱下底面的A
点有一只蚂蚁，它想吃到上底面相对
的内壁下1厘米B点处的食物，沿圆柱表面爬行的最短路程是多少？（∏=3）。

数学规律与应用问题详解 -第四讲最短路线问题

第四讲最短路线问题在日常工作、生活和娱乐中，经常会遇到有关行程路线的问题．在这一讲里，我们主要解决的问题是如何确定从某处到另一处最短路线的条数．例1下图4-1中的线段表示的是汽车所能经过的所有马路，这辆汽车从A走到B处共有多少条最短路线？分析为了叙述方便，我们在各交叉点都标上字母．如图4—2．在这里，首先我们应该明确从A 到B的最短路线到底有多长？从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，即AD＋DB．因此，在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，即在水平方向上不能向左走，在竖直方向上不能向上走．因此只能向右和向下走．有些同学很快找出了从A到B的所有最短路线，即：A→C→D→G→BA→C→F→G→BA→C→F→I→BA→E→F→G→BA→E→F→I→BA→E→H→I→B通过验证，我们确信这六条路线都是从A到B的最短路线．如果按照上述方法找，它的缺点是不能保证找出所有的最短路线，即不能保证“不漏”．当然如果图形更复杂些，做到“不重”也是很困难的．现在观察这种题是否有规律可循．1．看C点：由A、由F和由D都可以到达C，而由F→C是由下向上走，由D→C是由右向左走，这两条路线不管以后怎样走都不可能是最短路线．因此，从A到C只有一条路线．同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线．我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上，如图4-2．2．看F点：从上向下走是C→F，从左向右走是E→F，那么从A点出发到F，可以是A→C→F，也可以是A→E→F，共有两种走法．我们在图4—2中的F点标上数字“2”．2=1＋1．第一个“1”是从A→C 的一种走法；第二个“1”是从A→E的一种走法．3．看G点：从上向下走是D→G，从左向右走是F→G，那么从A→G我们在G点标上数字“3”．3＝2+1，“2”是从A→F的两种走法，“1”是从A→D的一种走法．4．看I点：从上向下走是F→I，从左向右走是H→I，那么从出发点在I点标上“3”．3=2+1．“2”是从A→F的两种走法；“1”是从A→H的一种走法．5．看B点：从上向下走是G→B，从左向右走是I→B，那么从出发点A→B可以这样走：共有六种走法．6=3＋3，第一个“3”是从A→G共有三种走法，第二个“3”是从A→I共有三种走法．在B点标上“6”．我们观察图4-2发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数．这样，我们可以通过计算来确定从A→B的最短路线的条数，而且能够保证“不重”也“不漏”．解：由上面的分析可以得到如下的规律：每个格右上角与左下角所标的数字和即为这格右下角应标的数字．我们称这种方法为对角线法，也叫标号法．根据这种“对角线法”，B点标6，那么从A到B就有6条不同的最短路线（见图4-3）．答：从A到B共有6条不同的最短路线．例2 图4-4是一个街道的平面图，纵横各有5条路，某人从A到B处（只能从北向南及从西向东），共有多少种不同的走法？分析因为B点在A点的东南方向，题目要求我们只能从北向南及从西向东，也就是要求我们走最短路线．解：如图4-5所示．答：从A到B共有70种不同的走法．例3如图4-6，从甲地到乙地最近的道路有几条？分析要求从甲地到乙地最近的道路有几条，也就是求从甲地到乙地的最短路线有几条．把各交叉点标上字母，如图4—7．这道题的图形与例1、例2的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是由哪两点的数之和来确定另一点的．①由甲→A有1种走法，由甲→F有1种走法，那么就可以确定从甲→G共有1＋1＝2（种）走法．②由甲→B有1种走法，由甲→D有1种走法，那么可以确定由甲→E共有1+1＝2（种）走法．③由甲→C有1种走法，由甲→H有2种走法，那么可以确定由甲→J共有1+2=3（种）走法．④由甲→G有2种走法，由甲→M有1种走法，那么可以确定从甲→N共有2＋1=3（种）走法．⑤从甲→K有2种走法，从甲→E有2种走法，那么从甲→L共有2＋2=4（种）走法．⑥从甲→N有3种走法，从甲→L有4种走法，那么可以确定从甲→P共有3＋4=7（种）走法．⑦从甲→J有3种走法，从甲→P有7种走法，那么从甲→乙共有3+7=10（种）走法．解：在图4-7中各交叉点标上数，乙处标上10，则从甲到乙共有10条最近的道路．例4某城市的街道非常整齐，如图4-8所示，从西南角A处到东北角B处要求走最近的路，并且不能通过十字路口C（因正在修路）．问共有多少种不同的走法？分析因为B点在A点的东北角，所以只能向东和向北走．为了叙述方便，在各交叉点标上字母，如图4-9．①从A→A1有1种走法，A→A11有1种走法，那么可以确定从A→A10共有1＋1=2（种）走法．②从A→A2有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→A9共有1+2=3（种）走法．③从A→A3有1种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定从A→A8共有1+3=4（种）走法．④从A→A4有1种走法，A→A8有4种走法，那么可以确定A→A7，共有1+4=5（种）走法．⑤从A→A5有1种走法，A→A7有5种走法，那么可以确定A→A6共有1＋5＝6（种）走法．⑥从A→C1有1种走法，A→A10有2种走法，那么可以确定从A→C2共有1+2=3（种）走法．⑦从A→C2有3种走法，A→A9有3种走法，那么可以确定A→C3共有3+3=6（种）走法．⑧从A→C4可以是A→C→C4，也可以是A→A7→C4，因为C处正在修路，所以A→C→C4行不通，只能由A7→C4，由于A→A7有5种走法，所以A→C4也有5种走法，从A→A6有6种走法，所以从A→C5共有5+6＝11（种）走法．⑨从A→B6有1种走法，A→C2有3种走法，那么可以确定从A→B7共有1＋3=4（种）走法．⑩从A→B7有4种走法，A→C3有6种走法，那么可以确定从A→B8共有4＋6=10（种）走法．⑾从A→B9可以是A→B8→B9，也可以是A→C→B9，因为C处正在修路，所以A→C→B9行不通，只能由B8→B9，由于A→B8有10种走法，所以A→B9．也有10种走法．从A→C4有5种走法，所以从A →B10共有10+5=15（种）走法．⑿从A→C5有11种走法，A→B10有15种走法，那么从A→B11共有15+11=26（种）走法．⒀从A→B5有1种走法，A→B7有4种走法，那么可以确定从A→B4共有1+4=5（种）走法．⒁从A→B4有5种走法，A→B8有10种走法，那么可以确定从A→B3共有5+10=15（种）走法．(15)从A→B3有15种走法，A→B9有10种走法，那么可以确定从A→B2共有15＋10=25（种）走法．(16)从A→B2有25种走法，A→B10有15种走法，那么可以确定从A→B1共有25+15=40（种）走法．(17)从A→B1有40种走法，A→B11有26种走法，那么可以确定从A→B共有40+26=66（种）走法．解：如图4-10所示．答：从A到B共有66种不同的走法．习题四1．如果沿图4-11中的线段，以最短的路程，从A点出发到B点，共有多少种不同的走法？2．从学校到少年宫有4条东西向的马路和3条南北向的马路相通．如图4-12，李楠从学校出发，步行到少年宫（只许向东和向南行进），最多有多少种不同的行走路线？3．如图4-13，从P到Q共有多少种不同的最短路线？4．如图4-14所示为某城市的街道图，若从A走到B（只能由北向南、由西向东），则共有多少种不同的走法？5．如图4-15所示，从甲地到乙地，最近的道路有几条？6．图4-16为某城市的街道示意图，C处正在挖下水道，不能通车，从A到B处的最短路线共有多少条？7．如图4-17所示是一个街道的平面图，在不走回头路、不走重复路的条件下，可以有多少种不同的走法？8．图4-18是某城市的主要公路示意图，今在C、D、E、F、G、H路口修建立交桥，车辆不能通行，那么从A到B的最近路线共有几条？返回目录第五讲归一问题为什么把有的问题叫归一问题？我国珠算除法中有一种方法，称为归除法．除数是几，就称几归；除数是8，就称为8归．而归一的意思，就是用除法求出单一量，这大概就是归一说法的来历吧！归一问题有两种基本类型．一种是正归一，也称为直进归一．如：一辆汽车3小时行150千米，照这样，7小时行驶多少千米？另一种是反归一，也称为返回归一．如：修路队6小时修路180千米，照这样，修路240千米需几小时？正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步．正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量．例1一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样速度1小时爬行多少米？分析为了求出蜗牛1小时爬多少米，必须先求出1分钟爬多少分米，即蜗牛的速度，然后以这个数目为依据按要求算出结果．解：①小蜗牛每分钟爬行多少分米？12÷6=2（分米）②1小时爬几米？1小时=60分．2×60=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米．还可以这样想：先求出题目中的两个同类量（如时间与时间）的倍数（即60分是6分的几倍），然后用1倍数（6分钟爬行12分米）乘以倍数，使问题得解．解：1小时=60分钟12×（60÷6）＝12×10＝120（分米）＝12（米）或12÷（6÷60）＝12÷0．1=120（分米）=12（米）答：小蜗牛1小时爬行12米．例2一个粮食加工厂要磨面粉20000千克．3小时磨了6000千克．照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？方法1：分析通过3小时磨6000千克，可以求出1小时磨粉数量．问题求磨完剩下的要几小时，所以剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求．解：（20000-6000）÷（6000÷3）=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时．方法2：用比例关系解．解：设磨剩下的面粉还要x小时．6000x＝3×14000x=7（小时）答：磨完剩下的面粉还要7小时．例3 学校买来一些足球和篮球．已知买3个足球和5个篮球共花了281元；买3个足球和7个篮球共花了355元．现在要买5个足球、4个篮球共花多少元？分析要求5个足球和4个篮球共花多少元，关键在于先求出每个足球和每个篮球各多少元．根据已知条件分析出第一次和第二次买的足球个数相等，而篮球相差7-5＝2（个），总价差355-281＝74（元）．74元正好是两个篮球的价钱，从而可以求出一个篮球的价钱，一个足球的价钱也可以随之求出，使问题得解．解：①一个篮球的价钱：（355-281）÷（7-5）=37元②一个足球的价钱：（281-37×5）÷3＝32（元）③共花多少元？32×5＋37×4=308（元）答：买5个足球，4个篮球共花308元．例4一个长方体的水槽可容水480吨．水槽装有一个进水管和一个排水管．单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空．两管齐开需多少小时把满池水排空？分析要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度．当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差．解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间．解：①进水速度：480÷8=60（吨/小时）②排水速度：480÷6=80（吨/小时）③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）列综合算式：480÷（480÷6-480÷8）=24（小时）答：两管齐开需24小时把满池水排空．例5 7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土．现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？方法1：分析要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土．解：①一辆卡车一次能运多少吨沙土？336÷6÷7=56÷7=8（吨）②560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走几吨？560÷5＝112（吨）③需要增加同样的卡车多少辆？112÷8-7＝7（辆）列综合算式：560÷5÷（336÷6÷7）-7＝7（辆）答：需增加同样的卡车7辆．方法2：在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式：①336÷6÷7，②336÷7÷6．算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量．在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：求出一共用车14辆后，再求增加的辆数就容易了．例6 某车间要加工一批零件，原计划由18人，每天工作8小时，7．5天完成任务．由于缩短工期，要求4天完成任务，可是又要增加6人．求每天加班工作几小时？分析我们把1个工人工作1小时，作为1个工时．根据已知条件，加工这批零件，原计划需要多少“工时”呢？求出“工时”数，使我们知道了工作总量．有了工作总量，以它为标准，不管人数增加或减少，工期延长或缩短，仍然按照原来的工作效率，只要能够达到加工零件所需“工时”总数，再求出要加班的工时数，问题就解决了．解：①原计划加工这批零件需要的“工时”：8×18×7．5=1080（工时）②增加6人后每天工作几小时？1080÷（18+6）÷4=11．25（小时）③每天加班工作几小时？11．25-8=3．25（小时）答：每天要加班工作3．25小时．例7 甲、乙两个打字员4小时共打字3600个．现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个．求甲、乙二人每小时各打字多少个？分析已知条件告诉我们：“在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个．”既然知道了“时间相同”，问题就容易解决了．题目里还告诉我们：“甲、乙二人4小时共打字3600个．”这样可以先求出“甲乙二人每小时打字个数之和”，就可求出所用时间了．解：①甲、乙二人每小时共打字多少个？3600÷4＝900（个）②“相同时间”是几小时？（2450＋2050）÷900＝5（小时）③甲打字员每小时打字的个数：2450÷5=490（个）④乙打字员每小时打字的个数：2050÷5=410（个）答：甲打字员每小时打字490个，乙打字员每小时打字410个．还可以这样想：这道题的已知条件可以分两层．第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个．由这两个条件可以求出在相同的时间内，甲乙二人共打字2450+2050=4500（个）；打字3600个用4小时，打字4500个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时间”．解：①“相同时间”是几小时？4×[（2450＋2050）÷3600]＝5（小时）②甲每小时打字多少个？2450÷5=490（个）③乙每小时打字多少个？2050÷5=410（个）答：甲每小时打字490个，乙每小时打字410个．习题五1．花果山上桃树多，6只小猴分180棵．现有小猴72只，如数分后还余90棵，请算出桃树有几棵？2．5箱蜜蜂一年可以酿75千克蜂蜜，照这样计算，酿300千克蜂蜜要增加几箱蜜蜂？3．4辆汽车行驶300千米需要汽油240公升．现有5辆汽车同时运货到相距800千米的地方，汽油只有1000公升，问是否够用？4．5台拖拉机24天耕地12000公亩．要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？返回目录。

最短路径问题的求解PPT精选文档

这种算法最关键的问题就是如何确定估价函数，估价函数越准，则能越快找到答案。这种算法实现起来并不难，只不过难在找准估价函数，大家可以自已找相关资料学习和思考。
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最短路径问题的求解
三、等代价搜索法等代价搜索法也是在宽度优先搜索的基础上进行了部分优化的一种算法，它与
启发式搜索的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值，也就是说，等代价搜索法是启发式搜索的一种简化版本。它的大体思路是：
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最短路径问题的求解
二、启发式搜索在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展开的结点展开，
而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
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最短路径问题的求解
八、Dijkstra算法（从一个顶点到其余各顶点的最短路径，单源最短路径）例3、如下图，假设C1,C2,C3,C4,C5,C6是六座城市，他们之间的连线表示两城市间有道路相通，连线旁的数字表示路程。请编写一程序，找出C1到Ci 的最短路径(2≤i≤6)，输出路径序列及最短路径的路程长度。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点， D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：
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最短路径问题的求解
4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点最近未展开的D点，处理后得到如下图的最终结果：

最短路径问题说课稿

最短路径问题说课稿最短路径问题说课稿作为一位兢兢业业的人民教师，时常需要用到说课稿，借助说课稿可以有效提升自己的能力。

那么说课稿应该怎么写才合适呢？以下是为大家提供的最短路径问题说课稿，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。

一、教材分析1、特点与地位：重点中的重点。

本课是教材求两结点之间的最短路径问题是图最常见的应用的之一，在运输、通讯网络等方面具有一定的实用意义。

2、重点与难点：结合学生现有抽象思维能力水平，已掌握基本概念等学情，以及求解最短路径问题的自身特点，确立本课的重点和难点如下：（1）重点：如何将现实问题抽象成求解最短路径问题，以及该问题的解决方案。

（2）难点：求解最短路径算法的程序实现。

3、安排：最短路径问题包含两种情况：一种是求从某个源点到其他各结点的最短路径，另一种是求每一对结点之间的最短路径。

根据教学大纲安排，重点讲解第一种情况问题的解决。

安排一个课时讲授。

教材直接分析算法，考虑实际应用需要，补充旅游景点线路选择的实例，实例中问题解决与算法分析相结合，逐步推动教学过程。

二、教学目标分析1、知识目标：掌握最短路径概念、能够求解最短路径。

2、能力目标：（1）通过将旅游景点线路选择问题抽象成求最短路径问题，培养学生的数据抽象能力。

（2）通过旅游景点线路选择问题的解决，培养学生的独立思考、分析问题、解决问题的能力。

3、素质目标：培养学生讲究工作方法、与他人合作，提高效率。

三、教法分析课前充分准备，研读教材，查阅相关资料，制作多媒体课件。

教学过程中除了使用传统的“讲授法”以外，主要采用“案例教学法” ，同时辅以多媒体课件，以启发的方式展开教学。

由于本节课的内容属于图这一章的难点，考虑学生的接受能力，注意与学生沟通，根据学生的反响控制好教学进度是本节课成功的关键。

四、学法指导1、课前上次课结课时给学生布置任务，使其有针对性的预习。

2、课中指导学生讨论任务解决方法，引导学生分析本节课知识点。

数学最短路径问题讲解

数学最短路径问题讲解数学中的最短路径问题是一个经典的优化问题，主要涉及在图或网络中找到两个节点之间的最短路径。

这类问题在日常生活和工程中有着广泛的应用，如交通路线规划、网络路由、电路设计等。

最短路径问题的常用算法有Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。

Dijkstra算法适用于没有负权重的图，它从源节点开始，逐步找到离源节点最近的节点，直到找到目标节点。

Bellman-Ford算法则可以处理包含负权重的图，它通过不断地松弛边的权重来找到最短路径。

下面以一个简单的例子来解释最短路径问题：假设我们有一个有向图，其中节点表示城市，边表示道路，边的权重表示两城市之间的距离。

我们要找出从城市A到城市B的最短路径。

首先，我们需要理解最短路径的含义。

最短路径是指从一个节点到另一个节点经过的边的权重之和最小的路径。

如果存在负权重的边，我们需要找到一个路径，使得经过的边的权重之和加上起点的权重（如果起点有权重）最小。

在解决最短路径问题时，我们可以使用图论中的一些基本概念，如路径、权重、源节点、目标节点等。

路径是指从一个节点到另一个节点经过的一系列边，权重是指路径上边的权重之和。

源节点是指我们开始寻找最短路径的节点，目标节点是指我们要找到最短路径的终点。

最短路径问题的求解方法通常包括贪心算法和动态规划。

贪心算法是指每一步都选择当前看起来最优的选择，希望这样的局部最优选择能够导致全局最优解。

动态规划则是将问题分解为若干个子问题，并从子问题的最优解逐步推导出原问题的最优解。

在实际应用中，我们还需要考虑一些特殊情况，如图中存在负权重的环、图中存在负权重的边等。

对于这些情况，我们需要使用特定的算法来处理，如Bellman-Ford算法或Floyd-Warshall算法等。

总之，最短路径问题是一个经典的的问题，它的求解方法有很多种。

在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的算法来处理最短路径问题。

八年级数学最短路径问题知识点

八年级数学最短路径问题知识点教学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最瀛路径.算法具体的形式包括：E确定起点的最短路径问题■即已知起始结点，求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题•与确定包点的问题相反，该问题是已知终结结点,求最短路径的问题，③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最理路径.【问题原型】“将军饮马北"造桥选址）〃费马点【涉及知识「俩点之间线段最短”「,垂线段最短1 “三角形三边关系,"轴对称，“平移二【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等，【解题思路】我对称点实现“折”转"直北近两年出现三折线”转“直”等变式问题考查.【例题及解析】例1 如图1,在直角梯形ABCD 中,ZABC=90°, AD〃BC, AD=4, AB=5, BC=6, 点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时，PB的长为（）(A)l (B)2 (C)2.5 (D)3分析此题首先要确定P点的位看可以延长CB （或DA）的一倍，即CB=BM,再连接MD交AB于点P（大家可以思考一下P点的正确性与合理性一可运用两点之间，线段最短这一性质）.我们可以通过AMPBS/WPA,从而求出PB的长，故选D.例2如图2, AABC礼AB=AC=13, BC=10, AD是BC边上的中线，F为AD上的动点，E 为AC边上的动点，则CE+EF的最小值为分析显然，本题需要确定两个动点E和F,那么，怎样确定这两个点呢？我们可以过点B 作BE1AC交AD于点F,从而确定了E和F点（大家可以用从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短来加以说明）.此时,CF + EF = BE.用与囱=；殖・比^；班”。

,构造■方程，求出BE =号，即CE + EF的最小值为号.例3如图3,已知平面直角坐标系中，A (2, -3), B(4, -1).(1)若点P(x, 0)是x 轴上的一个动点，当APAB 的周长最短时，求x 的值； (2)若C D 是x 轴上的两个动点，且D(a, 0), CD=3,当四边形ABCD 的周长最短时,求a 的值；(3)设M, N 分别为x 轴、y 轴上的动点，问：是否存在这样的点M(m, 0)和N(0, n),使得四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出叫n 的值.若不存在，请说明理由.⑴如图3,找出A (或B)关于x 轴的对称点A1，连结AiB 交x 轴于点P.设直线AB 的解析式为y=kix+bi.将AQ 3)、B (4, -1)代入，得产 +" =3,1% + 4 = . I,解之叶…16, = 7.故 y =-2彳+7,⑵如图4,过A 点作x 轴的平行线，并截取A%=3.画点A1关于x 轴的对称点生,连结A?B 交x 轴于点C,再在x 轴上截取CD=3,可得周长最短的四边形ABCD (大家也可以利用两点之间，线段最短，来证明最短周长的正确性).由题意，可知4(5,3).设4B 的直线悬析式为)=&七+ b 2. 将代人，得产 + % = 3, i 倏 +% =-1,故y = 4*-17, 当,=0时/ = y -3 = 44 4如图5,我们可以先分别找出A 、B 关于y 轴和x 轴的对称点Ai 和&,再连结ABi,分别交x 轴和y 轴干点M 与N,此时，四边形ABMN 的周长是最短的(同样, 可以用两点之间，线段最短来加以证明).设AB 的直线解析式为y=k3x+b.将4（-2, 一）”©「）代入，得产 + 4 : 1,分析与解解之得h =4,6) = -17(3)I - 24, + 65 ; . 3, u .1 解之得A 56「.亨故厂参-{■.当x =0 时,=-Y，■ 当）• =0时，Z =京.所以…的值分别为右等例4如图6,四边形ABCD是正方形，M是对角线BD上的任意一点.⑴当点M在何处时，AM+CM的值最小？⑵当点M在何处时，AM+BM+CM的值最小？并说明理由.图6 困7分析（1）（如图6,显然，连结AC与BD的交点即为M点（可利用两点之间，线段最短来证明）.（2）如图7,以AB为边在正方形外画等边三角形ABE,连结EC交BD于点M.此时，MA+MB+MC=EC（其中,ABMN 为等边三焦形，且YEBNgACBM,所以MA+MB=EM）. 若在BD上（除M点之外）任取一点M,,过点Mi作MiNi〃MN交BN 或延长线于点Ni, 连结ENi.可利用两点之间线段最短，证明MiA+M】B+MiOEC,从而得出MA+.MB+ MC最短.。

数学九年级最短路径知识点

数学九年级最短路径知识点如今，随着社会的发展和科学技术的进步，数学这门学科的重要性变得越来越凸显。

在学习数学的过程中，我们不仅需要掌握基本的运算方法，还需要深入理解其中的一些关键概念和定理。

其中，最短路径是数学中一个重要的知识点，在实际生活中也有着广泛的应用。

在本文中，我们将深入探讨数学九年级最短路径的相关知识。

首先，我们需要明确什么是最短路径。

最短路径是指在图中从一个点到另一个点的路径中，路径上各边的权值和最小的那条路径。

在数学中，我们通常使用图论来研究最短路径问题。

图论是一门研究图及其在各个领域中的应用问题的学科，它被视为离散数学的一个分支。

接下来，我们将介绍最短路径问题的两个经典算法：迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。

迪杰斯特拉算法是一种用于解决带权有向图上的最短路径问题的算法。

该算法以一个源点为起点，逐步确定到其他各点的最短路径。

它的基本思想是通过不断更新源点到各点的距离，从而找到最短路径。

具体步骤如下：1. 初始化：将源点到各点的距离初始化为无穷大，将源点到自身的距离初始化为0；2. 选择当前距离最短的顶点，标记为已访问；3. 更新距离：根据当前选中的顶点，更新源点到其他未访问顶点的距离；4. 重复步骤2和步骤3，直到所有顶点都已访问。

弗洛伊德算法也是解决最短路径问题的一种经典算法。

与迪杰斯特拉算法不同的是，弗洛伊德算法解决的是任意两点之间的最短路径问题，而不仅仅是从一个源点到其他各点的最短路径。

该算法的基本思想是通过不断更新两点之间的最短距离，从而找到整个图中各个顶点之间的最短路径。

具体步骤如下：1. 初始化：将任意两点之间的距离初始化为无穷大，将每个顶点到自身的距离初始化为0；2. 对于每一对顶点i和j，如果存在一条路径从i到j的距离小于当前的最短距离，就更新最短距离；3. 重复步骤2，直到所有顶点之间的最短路径都得到确定。

了解了这两种算法，我们就可以应用它们来解决实际问题。

最短路径问题经常出现在交通规划、电力传输以及信息网络等领域。

最短路径问题教案

最短路径问题教案最短路径问题是图论中的一个重要问题，它涉及到在一个给定图中找到两个节点之间最短的路径的长度。

最常见的应用场景是在网络中找到两个节点间的最短路径，在计算机科学中，最短路径问题也常被应用于路由算法和图像处理等领域。

一、教学目标：1. 理解最短路径问题的基本概念和应用场景。

2. 掌握最短路径算法的基本原理和实现方法。

3. 能够用编程语言实现最短路径算法的代码。

4. 能够解决实际问题中的最短路径问题。

二、教学重点：1. 最短路径问题的基本概念和应用场景。

2. 最短路径算法的基本原理和实现方法。

三、教学难点：1. 最短路径算法的实现方法。

2. 如何解决实际问题中的最短路径问题。

四、教学过程：1. 导入：通过实际例子引入最短路径问题，如旅行商问题、网络路由等。

2. 概念讲解：讲解最短路径问题的基本概念，包括图、节点、边、路径等相关概念。

3. 最短路径算法：讲解最短路径算法的基本原理和实现方法，包括迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等。

4. 实例演示：（1）演示迪杰斯特拉算法的实现过程，并给出具体的图示例。

（2）演示弗洛伊德算法的实现过程，并给出具体的图示例。

5. 练习：（1）以小组为单位，每个小组选择一个最短路径问题，分析问题，设计算法，编写代码求解。

（2）小组展示解题过程和结果。

6. 总结：总结最短路径问题的概念、算法和应用场景，并提出建议和思考。

五、教学手段：1. PPT讲解：用PPT讲解最短路径问题的基本概念、算法原理和实现方法，并配以图示例进行讲解。

2. 实例演示：通过具体的图示例演示最短路径算法的实现过程，帮助学生理解算法的具体步骤和操作。

3. 问题解答：在讲解过程中，及时解答学生提出的问题，帮助学生理解和消除疑惑。

4. 小组练习：通过小组合作的方式，让学生在实际问题中应用最短路径算法，锻炼解决问题的能力和编程实践能力。

六、思考题：1. 最短路径问题有哪些应用场景？2. 迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法有什么区别？3. 最短路径问题还有哪些其他的解法？分别适用于什么情况？4. 如何判断一个图中是否存在负权边？5. 如何判断一个图中是否存在负权环？七、教学反思：最短路径问题是图论中的一个经典问题，教学过程中需要注意以问题为导向，通过实例来讲解和演示算法的实现过程，培养学生的问题分析和解决能力。

最短路径课件

供应链管理
通过优化物流路径，提高供应链整体运作效率，增强企业竞争力。
06
总结与展望
本课程重点内容回顾
Dijkstra算法
Bellman-Ford算法
Floyd-Warshall算法
SPFA算法
详细介绍了Dijkstra算法的原理、实现过程及应用场景。
分析了Bellman-Ford算法的原理、实现步骤及解决负权边问题的优势。
动态网络最短路径
研究动态网络中最短路径问题的求解方法，适应网络拓扑结构和权重变化。
近似算法与启发式搜索
研究最短路径问题的近似算法和启发式搜索方法，解决复杂网络中的计算难题。
学生自我评价报告
知识掌握情况
分析学生对最短路径算法原理、实现及应用场景的掌握程度。
编程实践能力
评价学生在实现最短路径算法过程中的编程实践能力及问题解决能力。
Floyd-Warshall算法实现步骤
初始化距离矩阵
根据图的邻接矩阵或邻接表初始化节点间的距离矩阵，对于无权图，相邻节点间距离为1 ，不相邻节点间距离为无穷大；对于带权图，相邻节点间距离为对应边的权重，不相邻节点间距离为无穷大。
迭代更新距离矩阵
通过三重循环遍历所有节点组合(i,j,k)，比较节点i到j的路径与节点i到k再到j的路径长度，若后者更短，则更新节点i到j的最短路径估计值。
离值不再更新。
检测负环
在迭代计算过程中，若某个节点被更新次数超过节点数，则存在负环，算法结束并返回错误信息
。
Bellman-Ford算法优缺点分析
优点
Bellman-Ford算法可以处理带有负权重的图，且能检测到负环的存在。算法实现简单，易于理解。