高二物理 电学专题提升 专题27 带电粒子在有界磁场中运动轨迹特点及临界问题

专题27 带电粒子在有界磁场中运动轨迹特点及临界问题一：专题概述1.带电粒子在有界匀强磁场中运动时的常见情形2.带电粒子在有界磁场中的常用几何关系(1)四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度直线的交点． (2)三个角：速度偏转角、圆心角、弦切角，其中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的2倍． 二：典例精讲1．直线边界磁场的临界、极值问题典例1：平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。

一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。

粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。

已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。

不计重力。

粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )A.mv 2qB B.3mv qB C.2mv qBD.4mvqB【答案】D【解析】带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r ＝mv qB。

轨迹与ON 相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于AD －＝2r sin 30°＝r ，故△AO ′D 为等边三角形，∠O ′DA ＝60°，而∠MON ＝30°，则∠OCD ＝90°，故CO ′D 为一直线，OD －＝CD－sin 30°＝2CD －＝4r ＝4mvqB，故D 正确。

2． 圆形磁场的临界、极值问题典例2：如图所示,竖直放置的平行金属板A 、B 间电压为U 0,在B 板右侧CDMN 矩形区域存在竖直向下的匀强电场,DM 边长为L ,CD ,紧靠电场右边界存在垂直纸面水平向里的有界匀强磁场,磁场左右边界为同心圆,圆心O 在CDMN 矩形区域的几何中心,磁场左边界刚好过M 、N 两点.质量为m 、电荷量为+q 的带电粒子,从A 板由静止开始经A 、B 极板间电场加速后,从边界CD 中点水平向右进入矩形区域的匀强电场,飞出电场后进入匀强磁场.当矩形区域中的场强取某一值时,粒子从M 点进入磁场,经磁场偏转后从N 点返回电场区域,且粒子在磁场中运动轨迹恰与磁场右边界相切,粒子的重力忽略不计,取sin37°=0.6,cos37°=0.8.(1) 求粒子离开B 板时的速率v 1. (2) 求磁场右边界圆周的半径R.(3) 将磁感应强度大小和矩形区域的场强大小改变为适当值时,粒子从MN 间飞入磁场,经磁场偏转返回电场前,在磁场中运动的时间有最大值,求此最长时间t m .【答案】【解析】(1) 粒子从A 到B 的加速过程中,由动能定理有qU 00解得v 1(2) 如图所示,粒子刚好沿着磁场右边界到达N 点图中tan θθ=37°带电粒子在磁场中做圆周运动的半径θ则L(3) 粒子从同一点离开电场时,在磁场中运动轨迹与右边界相切时弧长最长,运动时间也最长;粒子从不同点离开电场,在磁场中运动轨迹与右边界相切时弧长最长,且当矩形区域场强为零时,粒子进入磁场时速度最小,粒子在磁场中运动的时间最长,则t m解得t m3．三角形磁场的临界、极值问题典例3：如图所示的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y 轴平行。

一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h，0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力。

求：(1)电场强度E 的大小；(2)粒子到达a 点时速度的大小和方向； (3)abc 区域内磁场的磁感应强度B 的最小值。

【答案】(1)mv 202qh (2)2v 0 方向指向第Ⅳ象限与x 轴正方向成45°角 (3)2mv 0qL(2)粒子到达a 点时沿y 轴负方向的分速度v y ＝at ＝v 0 所以v ＝v 20＋v 2y ＝2v 0方向指向第Ⅳ象限与x 轴正方向成45°角。

(3)粒子在磁场中运动时，有qvB ＝m v 2r当粒子从b 点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r ＝22L ，所以B ＝2mv 0qL三 总结提升由于带电粒子往往是在有界磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．(1)两种思路一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值． (2)两种方法 一是物理方法： ①利用临界条件求极值； ②利用问题的边界条件求极值； ③利用矢量图求极值． 二是数学方法： ①利用三角函数求极值； ②利用二次方程的判别式求极值； ③利用不等式的性质求极值； ④利用图象法等．(3)从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示．审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件． 四 提升专练1.(多选) 在xOy 平面上以O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy 平面．一个质量为m 、电荷量为q 的带电粒子，从原点O 以初速度v 沿y 轴正方向开始运动，经时间t 后经过x 轴上的P 点，此时速度与x 轴正方向成θ角，如图所示．不计重力的影响，则下列关系一定成立的是( )．A ．若r <2mvqB，则0°<θ<90°B ．若 r ≥2mv qB ，则t ≥πmqBC ．若t ＝πm qB ，则r ＝2mvqBD ．若r ＝2mv qB，则t ＝πmqB【答案】AD2.(多选)如图所示,边长为L 的正方形区域abcd 内存在着匀强磁场.一个质量为m 、电荷量为q 、初速度为v 0的带电粒子从a 点沿ab 方向进入磁场,不计重力,则( )A. 若粒子恰好从c 点离开磁场,则磁感应强度B. 若粒子恰好从d 点离开磁场,则磁感应强度C. 若粒子恰好从bc 边的中点离开磁场,则磁感应强度D. 粒子从c 点离开磁场时的动能大于从bc 边的中点离开磁场时的动能 【答案】BC【解析】若粒子恰好从c 点离开磁场,轨迹半径r=L ,由得磁感应强度错误;若粒子恰好从d点离开磁场,轨迹半径由得磁感应强度正确;若粒子恰好从bc 边的中点离开磁场,其运动轨迹如图所示,由几何知识得r 22,可得,由正确;该题改变的是磁感应强度,粒子的入射速度是不变的,由于洛伦兹力不做功,不能改变粒子的动能,所以粒子从c 点离开磁场时和从bc 边的中点离开磁场时的动能相等,D 错误.3.(多选) )如图所示，MN 是磁感应强度为B 的匀强磁场的边界．一质量为m 、电荷量为q 的粒子在纸面内从O 点射入磁场．若粒子速度为v 0，最远能落在边界上的A 点．下列说法正确的有( )．A ．若粒子落在A 点的左侧，其速度一定小于v 0B ．若粒子落在A 点的右侧，其速度一定大于v 0C ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能小于v 0－qBd 2mD ．若粒子落在A 点左右两侧d 的范围内，其速度不可能大于v 0＋qBd 2m【答案】BC4. 空间有一圆柱形匀强磁场区域，该区域的横截面的半径为R，磁场方向垂直于横截面．一质量为m、电荷量为q(q＞0)的粒子以速率v0沿横截面的某直径射入磁场，离开磁场时速度方向偏离入射方向60°.不计重力，该磁场的磁感应强度大小为( )．A.3mv03qRB.mv0qRC.3mv0qRD.3mv0qR【答案】A5.(多选)如图所示,以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域,磁感应强度为B,∠A=60°,AO=L,在O点放置一个粒子源,可以向各个方向发射某种带负电粒子(不计重力作用),发射速度大小都为v0,且满足v0粒子发射方向与OC边的夹角为θ.对于粒子进入磁场后的运动,下列说法中正确的是()A. 粒子有可能打到A点B. 以θ=60°飞入的粒子在磁场中运动时间最短C. 以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等D. 在AC边界上只有一半区域有粒子射出【答案】AD【解析】根据Bqv0又v0可得,又OA=L,所以当θ=60°时,粒子经过A点,所以A正确;根据粒子运动的时间T,圆心角越大,时间越长,粒子以θ=60°飞入磁场中时,粒子从A点飞出,轨迹圆心角等于60°,圆心角最大,运动的时间最长,所以B错误;当粒子沿θ=0°飞入磁场中,粒子恰好从AC中点飞出,在磁场中运动时间也恰好是θ从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大,在AC边上有一半区域有粒子飞出,所以C错误,D正确.6.(多选) 空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子，不计重力．下列说法正确的是( )．A．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越大【答案】BD7.(多选) 利用如图所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN上方是磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d和d的缝，两缝近端相距为L.一群质量为m、电荷量为q，具有不同速度的粒子从宽度为2d的缝垂直于板MN进入磁场，对于能够从宽度为d的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )．A．粒子带正电B ．射出粒子的最大速度为qBd ＋L2mC ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大 【答案】BC8.(多选) 如图所示，直角坐标系中y 轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，右边界PQ 平行y 轴，一粒子(重力不计)从原点O 以与x 轴正方向成θ角的速率v 垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ 射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )A.v Ba 2πa 3v B.v 2Ba 2πa 3vC.v 2Ba 4πa 3v D.v Ba 4πa3v【答案】C【解析】粒子在磁场中运动轨迹如图所示，则由图知斜向上射入时有r sin θ＝a ，斜向下射入时有r sin θ＋a ＝r ，联立求得θ＝30°，且r ＝2a ，由洛伦兹力提供向心力得Bqv ＝m v 2r ，解得r ＝mv Bq ，即粒子的比荷为q m ＝v2Ba ，所以粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°，运动时间为t ＝T 3＝4πa3v，C 正确。